Lineare AlgebraII
Christian Ebert &Fritz Hamm
Skalarprodukt,Norm, Metrik
Matrizen
LineareAbbildungen
LineareAbbildungen undMatrizen
Lineare Algebra II
Christian Ebert & Fritz Hamm
2. Dezember 2011
Lineare AlgebraII
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Übersicht
Lineare Algebra IGruppen & KörperVektorräume, Basis & Dimension
Lineare Algebra IISkalarprodukt, Norm & MetrikLineare Abbildung & Matrizen
Lineare Algebra IIIEigenwerte, EigenwertzerlegungSingulärwertzerlegung
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Das Skalarprodukt I
Definition (Skalarprodukt)
Sei K ∈ {R,C} und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung
〈·, ·〉 : V × V → K, (v,w) 7→ 〈v,w〉
heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:S1 〈v + v′,w〉 = 〈v,w〉+ 〈v′,w〉
〈λv,w〉 = λ〈v,w〉S2 〈v,w + w′〉 = 〈v,w〉+ 〈v,w′〉
〈v, λw〉 = λ〈v,w〉
S3 〈v,w〉 = 〈w, v〉S4 〈v, v〉 > 0R für alle v 6= 0V
Hierbei ist λ die zu λ konjugiert komplexe Zahl:
(a + ib) = a− ib
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Das Skalarprodukt II
Ein Skalarprodukt ist einepositiv definite (S4)hermitesche (S3)Sesquilinearform, d.h.
linear im ersten Argument (S1) undsemilinear im zweiten Argument (S2)
Ist K = R, dann ist λ = λ und das Skalarprodukt damit einepositive definite symmetrische BilinearformWegen (S3) ist 〈v, v〉 ∈ R (also insbes. auch für K = C)
Ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischerVektorraum, ein C-Vektorraum mit Skalarprodukt unitärerVektorraum
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Norm & Metrik I
Definition (Norm)
Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung
‖ · ‖ : V → R, v 7→ ‖v‖
heißt Norm auf V, falls für alle v,w ∈ V und alle λ ∈ K gilt:N1 ‖λv‖ = |λ|‖v‖N2 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖+ ‖w‖ (Dreiecksungleichung)N3 ‖v‖ = 0K gdw. v = 0V
Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierterVektorraumFür alle v ∈ V gilt: ‖v‖ ≥ 0
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Norm & Metrik II
Bemerkung
Für einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum V definiertman eine Norm mittels
‖v‖ :=√〈v, v〉 für alle v ∈ V
Für einen normierten Vektorraum V definiert man eine Metrikmittels
d(v, v′) := ‖v− v′‖ für alle v ∈ V
Euklidischer/unitärer VR⇒ normierter VR⇒ metrischer VR
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Orthonormalbasis
Definition
Sie V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.Zwei Vektoren v,w ∈ V heißen orthogonal falls 〈v,w〉 = 0.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißt orthogonal, fallsje zwei Vektoren vi, vj; i, j ∈ I, i 6= j orthogonal sind.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißt orthonormal,falls sie orthogonal ist und ‖vi‖ = 1 für alle i ∈ I.Eine Familie von Vektoren (vi)i∈I aus V heißtOrthonormalbasis, falls sie Basis von V und orthonormal ist.
Jeder endlich-dimensionale euklidische bzw. unitäreVektorraum besitzt eine Orthonormalbasis
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Hilbertraum
Definition
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißtPrähilbertraum/Skalarproduktraum/Innenproduktraum.Ein Prähilbertraum heißt Hilbertraum, wenn er bzgl. derinduzierten Metrik vollständig ist.
Definition
Sei (M, d) ein metrischer Raum mit Metrik d.(M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folgekonvergiert, d.h. ihr Grenzwert in M liegt.Eine Folge (ai)i∈N heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0ein N ∈ N existiert, sodass
d(an, am) < ε für alle n,m ≥ N
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Der Begriff der Matrix I
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
......
am1 am2 am3 . . . amn
A ist eine m× n-Matrix.
Kurzschreibweise:
(aij), i = 1, . . . ,m und j = 1, . . . , n
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Der Begriff der Matrix II
Reihen und Spalten
1. Spalte a11a21...
am1
2. Reihe
(a21, a22, . . . , a2n)
aij ist die ij-te Komponente der Matrix.
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Der Begriff der Matrix III
Ai = (ai1, ai2, . . . , ain)
Aj =
a1j
a2j...
amj
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Der Begriff der Matrix IV
Beispiel
(1 1 −2−1 4 −5
)
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Spezielle Matrizen I
Ein (Reihen-)Vektor(x1, . . . , xn)
ist eine 1× n Matrix.
Ein (Spalten-)Vektor x1...
xn
ist eine n× 1 Matrix.
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Spezielle Matrizen II
Falls n = m wird die Matrix quadratische Matrix genannt. Beispielesind:
Beispiel
(1 2−1 0
) 1 −1 52 1 −13 1 −1
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Spezielle Matrizen III
Für die Nullmatrix O gilt aij = 0 für alle i, j.
O =
0 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0...
......
......
0 0 0 . . . 0
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Addition von Matrizen I
Seien A = (aij) und B = (bij) zwei m× n-Matrizen.
A + B
ist diejenige Matrix, die die Komponente aij + bij in der i-ten Reiheund der j-ten Spalte besitzt.
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Addition von Matrizen II
Beispiel
A =
(1 −1 02 3 4
)B =
(5 1 −12 1 −1
)
A + B =
(6 0 −14 4 3
)
Es gilt:O + A = A + O = A
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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar I
Sei c eine Zahl und A = (aij) eine Matrix. cA ist diejenige Matrix,deren ij-te Komponente gleich caij ist.
cA = (caij)
Beispiel
Seien A und B wie oben. Sei c = 2.
2A =
(2 −2 04 6 8
)2B =
(10 2 −24 2 −2
)
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Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar II
(−1)A = −A =
(−1 1 0−2 −3 −4
)
Es gilt für alle Matrizen A:
A + (−1)A = O
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Der Raum der Matrizen
Theorem
Die Matrizen (einer gegebenen Größe m× n) mit Komponentenaus einem Körper K bilden einen Vektorraum über K, der mitMatm×n(K) bezeichnet wird.
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Die transponierte Matrix I
Sei A = (aij) eine m× n-Matrix. Die n×m-Matrix B mit bji = aij wirddie transponierte Matrix von A genannt und durch tA bezeichnet.
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
......
am1 am2 am3 . . . amn
tA =
a11 a21 a31 . . . am1a12 a22 a32 . . . am2...
......
......
a1n a2n a3n . . . amn
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Die transponierte Matrix II
Beispiel
A =
(2 1 01 3 5
)tA =
2 11 30 5
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Die transponierte Matrix III
Eine Matrix A wird symmetrisch genannt, falls gilt:
tA = A
Eine symmetrische Matrix ist immer eine quadratische Matrix.
Beispiel
Die Matrix 1 −1 2−1 0 32 3 7
ist symmetrisch.
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Die transponierte Matrix IV
Sei A = (aij) eine quadratische Matrix. Die Einträgea11, a22, . . . , ann werden die diagonalen Komponenten von Agenannt. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, falls
alle Komponenten außer (möglicherweise) den diagonalenKomponenten gleich 0 sind; also aij = 0, falls i 6= j.
a11 0 0 . . . 00 a22 0 . . . 0...
......
......
0 0 0 . . . ann
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Die transponierte Matrix V
Definition
Die Einsmatrix In ist diejenige n× n-Diagonalmatrix, derendiagonale Komponenten gleich 1 sind.
In =
1 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0...
......
......
0 0 0 . . . 1
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Multiplikation von Matrizen I
Definition
Sei A = (aij), i = 1, . . . ,m und j = 1, . . . , n eine m× n-Matrix. SeiB = (bjk), j = 1, . . . , n und k = 1, . . . , s eine n× s-Matrix.
A =
a11 . . . a1n
. . .am1 . . . amn
B =
b11 . . . b1s
. . .bn1 . . . bns
Das Produkt AB ist die m× s-Matrix, deren ik-te Koordinate durch
n∑j=1
aijbjk = ai1b1k + ai2b2k + . . .+ ainbnk
gegeben ist.
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Multiplikation von Matrizen II
Beispiel
A =
(2 1 51 3 2
)B =
3 4−1 22 1
AB ist die 2× 2-Matrix mit
AB =
(15 154 12
)
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Multiplikation von Matrizen III
Beispiel
Sei
C =
(1 3−1 −1
)und A, B wie oben.
BC =
3 4−1 −22 1
( 1 3−1 −1
)=
−1 5−3 −51 5
und
A(BC) =
(2 1 51 3 2
) −1 5−3 −51 5
=
(0 30−8 0
)
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Multiplikation von Matrizen IV
Sei A eine m× n-Matrix und B eine n× 1-Matrix; d.h. B ist einSpaltenvektor. Dann ist das Produkt von A und B: a1 . . . a1n
......
am1 . . . amn
b1
...bn
=
c1...
cm
mit
ci =
n∑j=1
aijbj = ai1b1 + . . .+ ainbn
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Multiplikation von Matrizen V
Sei X = (x1, . . . , xm) ein Reihenvektor; d.h. eine 1× m-Matrix. DasProdukt XA wird dann wie folgt gebildet:
(x1, . . . , xm)
a1 . . . a1n...
...am1 . . . amn
= (y1, . . . , yn)
mityk = x1a1k + . . .+ xmamk
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Multiplikation von Matrizen VI
Theorem
Seien A,B,C Matrizen. Angenommen A,B und A,C könnenmultipliziert werden und B,C können addiert werden. Dannkönnen A und B + C multipliziert werden und es gilt:
A(B + C) = AB + AC
Falls x eine Zahl ist, gilt ferner:
A(xB) = x(AB)
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Multiplikation von Matrizen VII
Theorem
Seien A,B,C Matrizen. Angenommen A,B und B,C könnenmultipliziert werden. Dann kann A mit BC und AB mit Cmultipliziert werden und es gilt:
(AB)C = A(BC)
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Multiplikation von Matrizen VIII
Definition
Sei A eine quadratische n× n-Matrix. A heißt invertierbar odernicht-singulär falls eine n× n-Matrix B existiert mit
AB = BA = In
B wird die zu A inverse Matrix genannt und durch A−1
bezeichnet.
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Multiplikation von Matrizen IX
Theorem
Seien A,B Matrizen, die multipliziert werden können. Dannkönnen tB und tA multipliziert werden und es gilt:
t(AB) = tBtA
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Der Begriff der Linearen Abbildung I
Definition
Seien V und V ′ Vektorräume über einem Körper K. Eine lineareAbbildung
F : V → V ′
ist eine Abbildung, die die folgenden Eigenschaften hat:1 für beliebige Elemente u, v ∈ V gilt:
F(u + v) = F(u) + F(v)
2 für alle c ∈ K und v ∈ V gilt:
F(cv) = cF(v)
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Der Begriff der Linearen Abbildung II
Beispiel
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und sei{v1, . . . , vn} eine Basis von V. Definiere
F : V → Kn
durch Abbildung von v auf den Koordinatenvektor X bezüglich derBasis. Also falls
v = x1v1 + . . .+ xnvn
ist, mit xi ∈ K dann ist
F(v) = (x1, . . . , xn)
Die Abbildung F ist eine lineare Abbildung.
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Der Raum der Linearen Abbildung I
Seien V,V ′ Vektorräume über einem Körper K. Die Abbildung O,die jedem Element v ∈ V das Element 0 in V ′ zuordnet ist einelineare Abbildung.
Seien T : V → V ′ und F : V → V ′ lineare Abbildungen. Definieredie Summe T + F für ein Element u ∈ V durch:
(T + F)(u) = T(u) + F(u)
Die Abbildung T + F ist dann linear.
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Der Raum der Linearen Abbildung II
Sei a ∈ K und T : V → V ′ eine lineare Abbildung. Definiere füru ∈ V eine Abbildung aT durch:
(aT)(u) = aT(u)
aT ist dann eine lineare Abbildung.
Die Menge L der linearen Abbildungen von V nach V ′ bildetbezüglich dieser Operationen einen Vektorraum.
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Kern und Bild einer Linearen Abbildung I
Definition
Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und seiF : V → W eine lineare Abbildung. Der Kern von F ist die Mengealler v ∈ V mit F(v) = O. Der Kern von F wird durch Ker Fbezeichnet.
Der Kern von F ist ein Teilraum von V.
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Kern und Bild einer Linearen Abbildung II
Beispiel
Sei L : R3 → R die Abbildung mit
L(x, y, z) = 3x− 2y + z
Falls A = (3,−2, 1) kann L wie folgt geschrieben werden:
L(X) = X · A
Der Kern von L ist die Menge aller Lösungen der Gleichung:
3x− 2y + z = 0
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Kern und Bild einer Linearen Abbildung III
Lemma
Die folgenden Aussagen sind äquivalent.1 Der Kern von F ist gleich {O}.2 Falls v,w Elemente von V mit F(v) = F(w) sind, dann ist
v = w, d.h. F ist injektiv.
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Kern und Bild einer Linearen Abbildung IV
Theorem
Sei F : F → W eine lineare Abbildung mit Kern gleich {O}. Fallsv1, . . . , vn linear unabhängige Elemente aus V sind, dann sindF(v1), . . . ,F(vn) linear unabhängige Elemente von W.
Definition
Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Das Bild von F ist dieMenge der Elemente w ∈ W für die ein Element v ∈ V existiert mitF(v) = w. Das Bild von F wird durch Im F bezeichnet.
Das Bild von F ist ein Teilraum von W.
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Kern und Bild einer Linearen Abbildung V
Theorem
Sei V ein Vektorraum. Sei L : V → W eine lineare Abbildung vonV in einen anderen Raum W. Sei n die Dimension von V, q dieDimension des Kerns von L und s die Dimension des Bildes vonL. Dann ist n = q + s. Also:
dimV = dim Ker L + dim Im L
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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung I
Definition
Sei
A =
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n...
......
......
am1 am2 am3 . . . amn
eine m× n-Matrix. Die A entsprechende lineare Abbildung
LA : Rn → Rm
ist definiert durch:LA(X) = AX
für jeden Spaltenvektor X in Rn.
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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung II
Es gilt:A(X + Y) = AX + AY und A(cX) = cAX
Beispiel
A =
(2 1−1 5
)und X =
(37
)Dann (
2 1−1 5
)(37
)=
(6 + 7−3 + 35
)=
(1332
)
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Die einer Matriz entsprechende LineareAbbildung III
Theorem
Falls A,B m× n-Matrixen sind und falls LA = LB, dann A = B. Fallsalso zwei Matrizen dieselbe lineare Abbildung induzieren, sind siegleich.
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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz I
Zuerst ein Spezialfall: Sei
L : Rn → R
eine lineare Abbildung. Zu zeigen: Es existiert ein Vektor A in Rn
mit der Eigenschaft L = LA, d.h. für jedes X gilt:
LA(X) = AX
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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz II
Generalisierung
Theorem
Sei L : Kn → Km eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine(eindeutig bestimmte) Matrix A mit L = LA.
a11 . . . a1n...
...am1 . . . amn
x1
...xn
=
a11x1 + . . . + a1nxn...
am1x1 + . . . + amnxn
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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz III
Beispiel
Sei F : R3 → R2 eine Projektion, d.h. die Abbildung mit:
F(x1, x2, x3) = (x1, x2)
Die mit F assoziierte Matrix ist dann:(1 0 00 1 0
)
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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz IV
Beispiel
Eine lineare Abbildungh L : R2 → R2 wir eine Rotation genannt,falls ihre Matrix in der folgenden Form geschrieben werden kann:(
cosθ −sinθsinθ cosθ
)
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Die einer Linearen Abbildung entsprechendeMatriz V
Es gilt:LA+B = LA + LB und LcA = cLA