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Fieting, Olaf 1 von 19 23.11.2013, 15:05

Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL In der Wissenschaft, aber auch in der Wirtschaft, spielt das Lösen von Extremwertaufgaben eine große Rolle. Immer wieder wird die Frage danach gestellt, was unternommen werden muss, damit die minimalsten Kosten, der größte Gewinn, die größte Ausbeute oder auch der kleinste Materialeinsatz erreicht werden kann. In diesem Beitrag soll demonstriert werden, wie neben dem Einsatz der Differentialrechnung auch der in EXCEL integrierte Solver zur Lösung dieser Probleme genutzt werden kann. Jeder, der beide Verfahren parallel zueinander erprobt hat, wird dann feststellen können, welch eine Reduzierung des Arbeitsaufwandes beim Einsatz von EXCEL erreicht werden kann. Natürlich kann keinem der Nutzer von EXCEL erspart bleiben, dass er bei beiden Verfahren die ersten gleichen Schritte vornehmen muss. In diesem Beitrag sollen dem Anwender von EXCEL beide Verfahrensweisen am Standardbeispiel des Mathematikunterrichts aufgezeigt werden. Des Weiteren sollen im letzten Teil des Beitrages weitere mögliche Aufgabenstellungen aufgeführt werden. (Die mathematischen als auch die Lösungen in EXCEL können über den Autor bezogen werden).

Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung ..................................................................................................................... 2

2 Mathematische Lösung............................................................................................................ 2

2.1 Finden des mathematischen Ansatzes .................................................................................... 3

2.2 Aufstellen der mathematischen Funktion ................................................................................ 3

2.3 Bestimmen der lokalen Extrema .............................................................................................. 4

2.4 Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen ............................................... 5

2.5 Formulieren der/des Ergebnisse/s ........................................................................................... 5

3 Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL ........................................................................... 6

3.1 Erstellen des entsprechenden Tabellenblattes ....................................................................... 6

3.2 Lösen der Extremwertaufgabe mit Hilfe des in EXCEL integrierten Solvers ........................... 6

4 Praktische Anwendungsbeispiele ............................................................................................ 8

4.1 Berechnung Materialverbrauch für eine Konservendose ........................................................ 8

4.1.1 Mathematische Lösung............................................................................................................ 9

4.1.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 10

4.2 Berechnung Sportanlage ....................................................................................................... 11

4.2.1 Mathematische Lösung.......................................................................................................... 12

4.2.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 13

4.3 Berechnung Bewässerungskanal .......................................................................................... 13

4.3.1 Mathematische Lösung.......................................................................................................... 14

4.3.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 16

4.4 Berechnung Kosten Wasserleitung ....................................................................................... 17

4.2.1 Mathematische Lösung.......................................................................................................... 17

4.2.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver ....................................................................................... 19

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Fieting, Olaf 2 von 19 23.11.2013, 15:05

1 Aufgabenstellung Aus einem rechteckigen Blech mit den Seitenlängen S1 = 16 cm und S2 = 6 cm soll ein Gefäß mit maximalem Fassungsvermögen (Volumen) hergestellt werden, indem aus jeder Ecke ein Quadrat herausgeschnitten wird, der Rest zu einem offenen Quader zusammengebogen und verschweißt wird. Wie groß müssen die Seiten des herauszuschneidenden Quadrates sein, damit die Aufgabe realisiert werden kann? Wie groß sind die Seiten a und b des Gefäßes? Wie groß ist das Volumen des Behälters?

2 Mathematische Lösung Zur Lösung von Extremwertaufgaben wird in der Mathematik als Mittel die Differentialrechnung herangezogen. Dabei ist in folgenden Schritten vorzugehen: (1) Finden des mathematischen Ansatzes

(2) Aufstellen der mathematischen Funktion und Festlegung des Definitionsbereiches

(3) Bestimmen der lokalen Extrema

(4) Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen

(5) Formulieren des Ergebnisses

Bei Problemstellungen, die sich mit quadratischen Funktionen beschreiben lassen sind keine Mittel der Differentialrechnung notwendig. Hier reichen Scheitelpunktbetrachtungen. Als Beispiel kann die Aufgabe herangezogen werde, dass man mit 100 m Zaun, eine möglichst große rechteckige Fläche eingezäunt werden soll.

x

S1

S2

x

a

b

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2.1 Finden des mathematischen Ansatzes In diesem Schritt kommt es darauf an, die Größe zu definieren, die das entsprechende Extremum darstellt, von welcher Größe es abhängt und von welcher Art dieses Extremum ist. Weiterhin sind Nebenbedingungen und Einschränkungen sowie weitere, auf der Grundlage der zu suchenden abhängigen Größe, zu bestimmende Werte mathematisch festzulegen. Lösungsansatz

1 Gesuchtes Extremum: Volumen (V)

2 Art des Extremums: Maximum

3 Bestimmende Größe des Extremums: Seitenlänge des Quadrates (x)

4 Nebenbedingungen/Einschränkungen: 0 < x <s2 und 0 < x <3

Gesuchte Lösungen

Maximale Volumen (Vmax)

Länge und Breite des Behälters (a, b)

2.2 Aufstellen der mathematischen Funktion

Die mathematische Funktion, die das Volumen des Behälters beschreibt, kann dabei mit:

definiert werden. Bei Extremwertaufgaben, die zunächst eine Funktion mehrerer Variablen ist, muss durch Anwenden der Nebenbedingungen, diese in eine Funktion mit einer Variablen überführt werden. Aus der obigen Darstellung ist zu erkennen, dass a mit und b mit festgelegt werden kann. Daraus ergibt sich für die Formel des Volumens folgender Ausdruck: Nach Einsetzen der Werte für s1 = 16 cm und s2 = 6 cm erhält man: Das Auflösen dieser Formel ergibt den folgenden Ausdruck:

xbaxbafV ;;

xsa 21

xsb 22

xxsxsxfV )2)(2( 21

xxxxfV )26)(216(

xxxxfV 96444 23

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2.3 Bestimmen der lokalen Extrema Bestimmen der Extremwertstelle Zum Ermitteln der Extremwertstelle (x-Wert der Funktion, an der die Funktion ihren Extremwert hat) wird die erste Ableitung der Funktion f(V) gebildet. Anschließend muss die erste Ableitung der Funktion zu Null gesetzt werden und man erhält folgende Gleichung: Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, kann diese mit Hilfe des Vieta'schen Wurzelsatzes gelöst werden. Dabei muss beachtet werden, dass zwei Lösungen ermittelt werden können. Daraus ergibt sich folgender Term: Nach Auflösung der entsprechenden Formel erhält man zwei Ergebnisse.

xxxxf 96444 23

968812 2 xxxf I

0968812 2 xx

qpp

x 22,1 )

2(

2

8)6

22(

6

22 2

2,1 x

083

222 xx

36

196

6

222,1 x

6

14

6

222,1 x

66

361 x

333333,16

82 x

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Auswertung der Ergebnisse Auf Grund der vorher festgestellten Nebenbedingungen 0 < x < 3 ist zu ersehen, dass der Wert für x1 = 6 cm keine Lösung der Aufgabe sein kann. Es kommt also nur die Lösung x2 = 1,33333 cm als gültiges Ergebnis in Frage. Bestimmen der Art des Extremwertes Hier muss festgestellt werden, ob es sich bei dem ermittelten Ergebnis wirklich um ein Extremum (Maximum, Minimum) handelt. Dabei ist es notwendig die zweite Ableitung der aufgestellten Funktion, welcher die erste Ableitung zugrunde liegt, zu ermitteln. Für x ist der möglich ermittelte Wert aus der Lösung der ersten Ableitung einzusetzen. In diesem Falle also 1,33333 oder auch 4/3. Sollte das Ergebnis kleiner 0 sein, handelt es sich um ein Maximum, wie es im gegeben Fall erstrebt wurde. Sollte das Ergebnis positiv sein, handelt es sich um ein Minimum.

2.4 Analysieren des Verhaltens der Funktion an den Randstellen Weiterhin muss das Verhalten an den Randstellen der Funktion betrachtet werden. Im Falle des betrachteten Beispiels sind es die Werte, die die Nebenbedingungen beschreiben, also x=0 und X=3. Beim Einsetzen dieser Werte in die Ausgangsfunktion erhält man jeweils ein Volumen von 0, was wiederum ein Minimum bedeuten würde, also nicht das erstrebt Ergebnis.

2.5 Formulieren der/des Ergebnisse/s Wie in den vorangegangenen Betrachtungen ermittelt wurde ist ein maximales Volumen zu erreichen, wenn die Seitenlänge der herauszuschneidenden Quadrate 4/3 cm betragen. Das maximale Volumen, das erreicht wird beträgt: Die Länge der Seiten a und b betragen dementsprechend 13 1/3 cm bzw. 3 1/3 cm.

968812 2 xxxfI

8824 xxfII

56883

424)

3

4( fxf

II

3

496

3

444

3

44

3

4 23 )()()(fV

.....26,5927

1600)

3

4( fV

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3 Lösen von Extremwertaufgaben mit EXCEL Wenn die Tabellenkalkulation EXCEL eingesetzt wird, hat der Nutzer ein mächtiges Werkzeug zur Verfügung. Dabei ist natürlich davon auszugehen, dass er die mathematisch dargelegten Schritte natürlich ebenfalls vorzunehmen hat. Das betrifft das Finden des mathematischen Ansatzes, das Definieren der mathematischen Funktion und auch der entsprechenden Nebenbedingungen/Einschränkungen. Eine einfache, jedoch sehr arbeitsaufwendige, Lösung besteht z.B. darin, dass eine lange Liste (eventuell über 2000 - 3000 Zeilen) erstellt wird, die den gesuchten Wert x in 1/1000 Schritten berechnet. Danach könnte man mit Hilfe der Funktionen MAX oder MIN von allen ermittelten Werten den größten bzw. kleinsten Betrag zu bestimmen. Wesentlich eleganter und vor allem auch zeitsparender ist der Einsatz des in EXCEL integrierten Solvers.

3.1 Erstellen des entsprechenden Tabellenblattes Für das Erstellen eines funktionierenden Tabellenblattes sind natürlich die oben genannten Schritte vorzunehmen. Dabei kann man an einigen Stellen auf komplexe Formeln verzichten, da man über EXCEL auf die einzelnen Zwischenlösungen ganz einfach zurückgreifen kann. Zum Lösen der genannten Aufgabe soll das folgende Tabellenblatt genutzt werden. Dabei wird der notwendige Wert in der Zelle H8 bestimmt. Vor Einsatz des Solvers soll der Inhalt dieser Zell leer bleiben (also auf „Null“ stehen).

3.2 Lösen der Extremwertaufgabe mit Hilfe des in EXCEL integrierten Solvers Bei der Lösung der o.g. Extremwertaufgabe ist in folgender Reihenfolge vorzugehen: (1) Aufrufen des Solvers

(2) Eintragen der Zielzelle (H10)

(3) Einstellen der Art des Zielwertes (hier Maximum)

(4) Eintragen der veränderbaren Zelle (H8)

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(5) Festlegen der Nebenbedingungen (H8>=0, H8<=3), die über die Schaltfläche "Hinzufügen" eingegeben werden können.

(6) Nach dem Festlegen aller Parameter (siehe unten stehende Abbildung) wird mit

Anklicken der Schaltfläche "Lösen" die Berechnung ausgelöst. Sollte durch den Server eine Lösung gefunden werden, meldet er sich mit unten

stehendem Dialogfeld. Wenn die Lösung angenommen werden soll, muss die Option „Lösung verwenden“ mit „OK“ bestätigt werden.

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Die Lösungen werden dann in die veränderbare Zelle eingetragen. Wie aus dem Tabellenblatt zu ersehen ist, liegen auch bei diesem Verfahren die gleichen Lösungen vor.

4 Praktische Anwendungsbeispiele

4.1 Berechnung Materialverbrauch für eine Konservendose Welche Maße muss eine zylindrische Konservendose besitzen, damit bei gefordertem Inhalt von einem Liter (1000 cm³) zu ihrer Herstellung möglichst wenig Blech verbraucht wird?

h

r

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4.1.1 Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen

Höhe der Dose (h)

Radius (r) bzw. Durchmesser (d)

Erstellen der Ausgangsformel mit bzw. Nach Einsetzen von h in die Formel für die Oberfläche ergibt sich oder Bestimmen von Radius und Höhe der Dose Nach Umstellen der Gleichung ergibt sich für den Radius

hrrhrfO 22; 2

hrV 2

2r

Vh

2

2 22r

VrrrfO

12 22 rVrrfO

12 22 rVrrf

224 rVrrfI

024 2 rVr

3

2

Vr

3

2

1000

r

425,r

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und für die Höhe der Dose Dazu ist aber eine kleine Anmerkung notwendig. Die ideal Dose sollte einen quadratischen Achsenschnitt haben. Das ist aber in der Praxis oft nicht der Fall. Das kann z. B. daran liegen, dass eine Cola-Dose auch handlich sein soll und damit vom Optimum deutlich abweicht. Trotzdem ist der Materialverbrauch in der Regel nur 2 % höher. Bestimmen der Art des Extremwertes Nach Lösen der Gleichung ergibt sich Da dieser Wert größer Null ist, handelt es sich um ein Minimum.

4.1.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver Erstellen des entsprechenden Arbeitsblattes

2r

Vh

2425

1000

,

h

8410,h

3

3

2

44

V

Vrf

II

12II

rf

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Einstellen der Lösungsbedingungen für den Solver

Ergebnis der Lösung

4.2 Berechnung Sportanlage Es soll eine Leichtathletikanlage gebaut werden. Diese muss eine Tartanbahn mit einer Länge von 400 m besitzen. Wie müssen die Maße der Bahn beschaffen sein, damit eine maximale Spielfläche Amax entsteht.

l

r

Amax

Spielfläche

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4.2.1 Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen

Länge Mittelstück (l)

Radius (r) der Halbkreise

Erstellen der Ausgangsformel Die Länge der Bahn wird mit wie folgt berechnet. Laut Forderung soll die Tartanbahn 400 m lang sein. Nach l umgestellt ergibt sich: Die Formel für die Spielfläche lautet: Bestimmen des Radius und der Länge der Spielfläche

Bestimmen der Art des Extremwertes Da das Ergebnis der zweiten Ableitung negativ ist, handelt es sich um ein Maximum.

lrL 22

lrlrfA 2;max

40022 lr

rl 200

)200(2 rrrf

)2400 2rrrf

rrfI

4400

04400 r

83931100

4

400,

r

830931200 , l

100l

4II

rf

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4.2.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver Erstellen des entsprechenden Arbeitsblattes

Einstellen der Lösungsbedingungen für den Solver Ergebnis der Lösung

4.3 Berechnung Bewässerungskanal

Für eine Bewässerungsanlage soll ein trapezförmiger Kanal (Querschnitt) bebaut werden. Es stehen Platten mit den Maßen 4 m x 4 m zur Verfügung. Die Platten sind so anzuordnen, dass möglichst viel Wasser (maximaler Querschnitt) transportiert werden kann. Wie breit muss die obere Öffnung des Kanals sein, damit die gestellte Aufgabe gelöst werden kann? Wie tief wird der Kanal und in welchem Böschungswinkel müssen die Seitenplatten verlegt?

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4.3.1 Mathematische Lösung

Gesuchte Lösungen

Obere Öffnung des Kanales (b)

Tiefe des Kanales (h)

Böschungswinkel (α)

Mathematischer Ansatz Nebenbedingungen Einschränkungen für x 0<= x <= s/2 Aufstellen der mathematischen Formel

s

s

s h

x x

b

hbs

A

2

xsb 2

22 xsh

hbs

A

2

22

2

)2(xs

xssxfA

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Für s = 4 gilt: Bestimmen der lokalen Extrema Es wird zuerst die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel gebildet. Nach Lösen der Funktion dritten Grades erhält man folgende Lösungen: und Auf Grund der oben genannten Einschränkungen kommt für die Lösung nur In Frage. Überprüfen der Art des Extremwertes Mit gilt Da das Ergebnis negativ ist, handelt es sich hier um ein Maximum.

22)( xsxsxf

)()( 222 xsxsxf

)16()4( 22 xxxf

)2()24()16()4(2 22 xxxxxfI

128244 23 xxxfI

0128244 23 xx

0326 23 xx

421 ,x

23 x

23 x

128244 23 xxxfI

xxxfII

4812 2

23 x

144II

xf

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4.3.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver Erstellen des entsprechenden Arbeitsblattes Einstellen der Lösungsbedingungen für den Solver Ergebnis der Lösung

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4.4 Berechnung Kosten Wasserleitung Von einem Wasserturm W soll zu den Hauptgebäuden H eine Wasserleitung gebaut werden. Durch eine Nebenleitung soll außerdem ein abseits der Hauptleitung gelegenes Gebäude S mit Wasser versorgt werden. Dieses hat von der Hauptleitung einen Abstand von 1 km. Der Fußpunkt des von S auf die Hauptleitung gefällten Lotes liegt in einem Abstand von 2 km von den Hauptgebäuden entfernt. Die Entfernung zwischen Hauptgebäuden und Wasserturm beträgt 6 km. Die Kosten für einen Meter Wasserleitung werden wie folgt veranlagt: Hauptleitung (HL): 30 Einheiten

Entlastete Hauptleitung (EHL): 22 Einheiten

Nebenleitung (NL): 12 Einheiten

Alle Leitungen werden geradlinig verlegt. In welcher Entfernung vom Wasserturm muss die Nebenleitung von der Hauptleitung abgezweigt werden, damit die Baukosten möglichst niedrig werden?

4.4.1 Mathematische Lösung Gesuchte Lösungen

Entfernung Abzweigpunkt vom Wasserturm (x)

Kosten sollen minimal sein

Erstellen der Ausgangsformel

HL

HL

EHL

1 km

6 km

4 km

x km 2 km (4-x) km H W

S

EHLNLHL KKKK

24112242230 xxxxfK

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Bestimmen der Entfernung vom Wasserturm (x)

Nach Umstellen der Gleichung ergibt sich folgende Formel: Da es sich hier um eine quadratische Gleichung handelt, kann diese mit Hilfe des Vieta'schen Wurzelsatzes gelöst werden. Dabei muss beachtet werden, dass zwei Lösungen ermittelt werden können. Daraus ergibt sich folgender Term: Die erste Lösung entfällt (siehe Zeichnung).

2817121328 xxxxfK

2

12817121328 xxxxf

828172

1128 2

12

xxxf I

2817

8268

xx

xxf

I

2817

48128

xx

xxf

I

0817

48128

2

xx

x

021582 ,xx

qpp

x 22,1 )

2(

2

21516421

,,

x

80421

,,

x

8944270421

,,

x

89442741

,x

kmx 1131055732

,,

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Bestimmen der Art des Extremwertes Mit dem Ergebnis für x=3,11 ergibt sich für die die zweite Ableitung ein Wert von ca. 5,00. Da dieser Wert positiv ist, handelt es sich um ein Minimum.

4.4.2 Lösen der Aufgabe mit dem Solver

Erstellen des entsprechenden Arbeitsblattes Einstellen der Lösungsbedingungen für den Solver Ergebnis der Lösung

32817

12

xx

xfII


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