Download ppt - Lösen von quadratischen Ungleichungen

Lösen von quadratischen Ungleichungen

Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 =>

x = 4 oder x = -1

Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Betrachte den Graphen der Parabel

y = -2x² + 6x +8


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode


y = -2x² + 6x +8

Mit den gefundenen Nullstellen

x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,

kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode


y = -2x² + 6x +8

Mit den gefundenen Nullstellen

x = 4 und x = -1 und der Beobachtung, dass vor dem x² der Faktor –2 steht,

kann man den Graphen sofort skizzieren. (Also wirklich nur skizzieren!)


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

y = -2x² + 6x +8 > 0 heißt doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

y = -2x² + 6x +8 > 0 heisst doch, dass die y – Koordinaten der Punkte auf der Parabel positiv sein sollen.

Das sind dann alle Punkte der Parabel, die oberhalb der x-Achse liegen.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Zur Lösung der Ungleichung benötigt man aber die x – Werte, die die Ungleichung erfüllen.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode


Das müssen die x – Werte sein, die zu den Punkten der Parabel oberhalb der x-Achse gehören.

Wie viele sind das ?


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode




Unendlich viele !


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode




Unendlich viele !

Aber sie liegen alle in dem Intervall

]-1 ; 4[


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Parabelmethode

Aber sie liegen alle in dem Intervall

]-1 ; 4[

Das ist die Lösung!

]-1 ; 4[

Lösung


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Löse zuerst die Gleichung : -2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 =>

x = 4 oder x = -1

Damit kannst du jetzt eine Menge anfangen.

Neben der Parabelmethode gibt es noch die

„Zahlenstrahltabelle“.

Parabelmethode


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Erinnere dich an den Satz von Vieta:

-2x² + 6x +8 = 0 I :(-2)

x² - 3x – 4 = 0 => x = 4 oder x = -1 =>

(x – 4)(x + 1) = 0

Die „-2“ wieder ran => -2(x – 4)(x + 1) = 0


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Also ist

-2x² + 6x +8 > 0 , wenn

-2(x – 4)(x + 1) > 0 ist.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

Der Term -2(x – 4)(x + 1) ist ein Produkt aus drei Faktoren. Mit der Zahlenstrahltabelle untersucht man die Vorzeichen der drei Faktoren.

Also gut, beginne mit einem Zahlenstrahl!


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

„Zahlenstrahltabelle“

Es ist sicher nützlich, wenn man die gefundenen Nullstellen auch auf dem Zahlenstrahl markiert.

x


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4


Die beiden Nullstellen geben nämlich die Lage der Spalten vor.Auf die „0“ kann man jetzt verzichten.

x


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4


Und dann braucht man noch eine Spalte für die drei Faktoren.

x


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Jetzt musst du dir überlegen, welches Vorzeichen der jeweilige Term hat, wenn sich das x auf dem Zahlenstrahl von links nach rechts bewegt.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Bei –2 ist das einfach, weil das x keinen Einfluss nimmt.


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Trage in das entsprechende Tabellenfeld das Vorzeichen ein.

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x


- -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x


In die erste Zeile müssen also drei „-“ – Zeichen.

- - -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Jetzt ist die zweite Zeile dran.

Setze in (x – 4 ) einfach einen Beispielwert aus dem Bereich des Zahlenstrahls ein.

- - -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Z.B.: (-2 – 4 ) = - 6

- - -

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Z.B.: (1 – 4 ) = - 3

- - -

- -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Z.B.: (5 – 4 ) = + 1

- - -

- - +


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x

Es geht auch noch anders.

(x+1) ist doch an der Stelle x = -1 gleich 0!

- - -

- - +

0


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x


Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

- - -

-

- +

0

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

-1 4

-2

(x-4)

(x+1)


x


Dann muss der Term links von –1 negativ sein,

und rechts von –1 positiv !

- - -

-

- +

0 + +

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

So, jetzt ist das Vorzeichen des gesamten Produkts dran.

Ahnst du es schon?


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ?


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Minus mal Minus“ gibt ? Minus!

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ?

-


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Minus mal Plus“ gibt ? Plus!

- +


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ?

- +


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

„Minus mal Plus mal Plus“ gibt ? Minus!

- + -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

So, fast fertig! Für welchen Bereich des Zahlenstrahls ist denn das Produkt nun positiv?

- + -


Beispiel: -2x² + 6x +8 > 0

0-1 4

-2

(x-4)

(x+1) -

- -

- -

-

+ +

+

-2(x-4)(x+1)


x

Genau! Da ist wieder das Intervall ]-1 , 4[.

- + -