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Skript

Logik und Algebra

Mathematische Grundlagen

Andreas Zeh-Marschke

Version 8.1

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Dipl.-Mathematiker Andreas Zeh-Marschke M.Sc. Praktische Informatik

Tauberring 16 b, 76344 Eggenstein-LeopoldshafenE-Mail Andreas(at)Zeh-Marschke.deHomepage http://www.Zeh-Marschke.de

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort 9

1 Aussagen 11

1.1 Aussagen und Aussageformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Verknüpfung von Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4 Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 Beweisverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Mengen 41

2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Teilmengen und Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.3 Operationen von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.4 Klasseneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.5 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Relationen 69

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.3 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.4 Ordnungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 Abbildungen 95

4.1 De�nition von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3 Mengen von Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

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Inhaltsverzeichnis

5 Strukturen 113

5.1 Verknüpfungen und Operationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1185.3 Ringe und Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4 Moduln und Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.5 Verbände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6 Boolesche Algebren 123

6.1 Boolesche Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Konstruktion der Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 KV-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.5 Schaltnetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.6 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.7 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Namensliste 149

Abkürzungen 151

Literatur 153

Index 155

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Abbildungsverzeichnis

2.1 Teilmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2 Transitive Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3 Durchschnitt von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4 Mengendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5 Klasseneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1 Darstellung Relation als Gra�k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2 Beispiel: Ortsverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.3 Beispiel: Ordnungsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.4 Beispiel: maximale und minimale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.5 Ordnungsrelation Teiler von 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1 Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2 Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.3 Urbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1 disjunkte Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.2 KV-Diagramm n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.3 KV-Diagramm n = 2 a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.4 KV-Diagramm n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.5 KV-Diagramm n = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.6 KV-Diagramm n = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.7 KV-Diagramm n = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.8 KV-Diagramm n = 4, Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.9 NOT-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.10 AND-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.11 OR-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.12 NOR-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.13 NAND-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.14 XOR-Gatter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.15 Halbaddierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.16 Halbaddierer (Symbol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.17 Volladdierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.18 Volladdierer (Symbol) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

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Tabellenverzeichnis

1.1 Beispiel Wahrheitstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2 Wahrheitstafel Negation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3 Wahrheitstafel Konjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.4 Wahrheitstafel Disjunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5 Wahrheitstafel Implikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Wahrheitstafel Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Beispiel Auswertung Wahrheitstafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Liste 1-stellige Verknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.9 Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10 Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11 Beweis ¬A = A∧A = A∨A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12 Beweis Satz vom ausgeschlossenen Dritten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.13 Beweis Regel von de Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.14 Beweis Satz zum modus tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Darstellung Relation in Tabellenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1 Abbildungsvorschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1 Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.2 Beispiel 3-stellige boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.3 Beispiel: Min-Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.4 Quine-McCluskey Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5 Quine-McCluskey Stufe 0, disjunktive Normalform . . . . . . . . . . . . . 1326.6 Quine-McCluskey Stufe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.7 Quine-McCluskey Stufe 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.8 Beispiel Max-Terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.9 Beispiel mit vier Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.10 Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.11 Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.12 Beispiel mit vier Aussagen, Tabelle Min-Terme und Primimplikanten . . . 1366.13 Boolesche Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.14 Schalttabelle Halbaddierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436.15 Schalttabelle Volladdierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

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Vorwort

Vorwort zur Version 8.1

Dieses Skript entstand aus Vorlesungen, die ich an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg - Karlsruhe (ehemalige Berufsakademie Karlsruhe), erstmals im Frühjahr2001 im Studiengang Wirtschaftsinformatik im Fachbereich Wirtschaft, gehalten habe.Im zweiten Semester wird das Thema Logik und Algebra im Umfang von etwa 30Stunden inklusive Übungen behandelt. Daher können in der Vorlesung und damit auchin diesem Skript die Themen Logik und Algebra nur angerissen werden. Für die weiteReise ins Innere der Mathematik und für die Frage des Einsatzes mathematischer Theoriein die Praxis der Anwendung kann dies nur ein erster Startpunkt sein.

Was soll im Rahmen einer solchen Vorlesung gelehrt werden? Was ist wichtig? Dies istkeine leichte Frage, denn die Mathematik und auch das Thema Logik und Algebra istreichhaltig und bietet viele interessante Aspekte. Für die Auswahl kann man sich danndie Frage stellen, was ist für einen Wirtschaftsinformatiker wichtig? Wichtig ist zu denkenund zwar systematisch, logisch, abstrakt und strukturiert! Ich werde versuchen neben derTheorie auch praktische Beispiele zu bringen, um damit (ho�entlich) das Verständnis zufördern.

Des weiteren möchte ich Peter Hartmann beip�ichten, der im Vorwort zu seinem BuchMathematik für Informatiker (Hartmann 2002) geschrieben hat: �Genauso wie Sieeine Programmiersprache nicht durch das Lesen der Syntax lernen können, ist es unmög-lich Mathematik zu verstehen ohne mit Papier und Bleistift zu arbeiten�. Das heiÿt, dassman sich intensiv mit der Mathematik beschäftigen muss, um sie zu verstehen und dassman viel üben muss. Das ist mit Arbeit verbunden, aber ohne dies geht es nicht.

Anforderungen wandeln sich schnell und werden sich wohl auch immer schneller wandeln.Daher muss man sich schnell in neue Themen einarbeiten. Dafür ist eine stabile und so-lide Basis nötig. Dazu ist es notwendig, dass man denkt, um das vorhandene Wissenrichtig einzusetzen. Daher werde ich in diesem Skript Logik und Algebra auf Bewei-se nicht ganz verzichten, denn Beweise sind eine Möglichkeit, um das Denken zu üben.Das Denken darf sich jedoch nicht allein auf die Mathematik konzentrieren. Wichtig istein übergreifendes Denken. Wobei dies ein langer Entwicklungsprozess sein wird, der imRahmen nur einer Vorlesung nicht erreicht werden kann. Dieses Skript stellt eine Einfüh-rung dar, um eine Basis für die Arbeit zu scha�en. Ich ho�e, dass mir dies einigermaÿen

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Tabellenverzeichnis

gelungen ist, obwohl ich weiÿ, dass es schwierig ist, das mathematische Verständnis zuvermitteln.

In den Übungsaufgaben versuche ich neben den theoretischen Aspekten auch immerwieder praktische Anwendungen mit einzubringen. In der praktischen Anwendung bestehtmeistens die Schwierigkeit, aus den Problemen den mathematischen Kern zu erarbeiten,um eine klare mathematische Aufgabe zu erhalten.

Im Literaturverzeichnis sind einige grundlegende und weiterführende Bücher aufgeführt.Bücher, welche das Thema Logik und Algebra behandeln, oder Teilaspekte dieses Skriptsbeleuchten. Diese Literatur kann daher als Vertiefung aufgefasst werden, die jedoch in derRegel weit mehr beinhalten als dieses Skript. Manchmal haben die Bücher auch andereHerangehensweisen an die Thematik, was sehr spannend sein kann, denn es gibt vieleWege, sich die Mathematik zu erschlieÿen.

Am nächsten zu den Inhalten der Vorlesung passt das Buch von Staab 2007. Die Inhaltewerden auch gut von Hartmann 2002, Lehmann und Schulz 2004, Meinel und Mundhenk2002, Schichl und Steinbauer 2009 und Struckmann und Wätjen 2007 dargestellt. Dieanderen Referenzen in der Literaturliste beziehen sich auf Bücher, die teilweise deutlichüber den Sto� der Vorlesung gehen: Beutelspacher und Zschiegner 2002, Henze 2005,Knauer 2001, Lau 2004b, Lau 2004a, Schmidt 2000, Steger und Schickinger 2002, G.Teschl und S. Teschl 2006 und Witt 2001. Die Bücher Arens 2008 und Eichholz undVilkner 2002 sind eher Nachschlagewerke.

Die erste Version des Skripts entstand 2001. Im Laufe der Jahre wurden Anpassungenund Ergänzungen, sowohl auf fachlicher, als auch auf technischer Art umgesetzt. Vondaher wird das Skript ständig Veränderungen unterzogen. Das Skript wurde mit TEX,genauer mit LATEX erstellt.

Ein Skript ist niemals fertig. Durch neue Erkenntnisse gibt es immer wieder neue in-teressante Sachverhalte, die eingearbeitet werden können. Veränderungen in den Schwer-punkten bedingen ebenso Veränderungen. Daher werde ich von Zeit zu Zeit immer wiedereinzelne Kapitel anpassen.

Ich habe versucht Fehler herauszunehmen, ohne neue Fehler zu machen - nicht immerganz einfach. Wenn Fehler entdeckt werden, so bitte ich, dass mir diese Fehler gemeldetwerden, damit ich diese Fehler in einer neuen Version korrigieren kann. Auch Anregungenund weitere Anmerkungen sind gerne willkommen.

Andreas Zeh-MarschkeEggenstein-Leopoldshafen, 18.02.2017

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Kapitel 1

Aussagen

1.0.1 . In diesem Kapitel werden grundlegende Begri�e der mathematischen Logik ein-geführt. Es werden dabei einige Themen behandelt, die für das mathematische Denken,die mathematische Sprechweise und das Beweisen benötigt werden. Es kann und solldamit im Rahmen dieser Einführung die mathematische Logik nur insoweit eingeführtwerden, wie dies für das weitere Verständnis benötigt wird. Als Ziel kann hier die Ein-führung in das logische Denken und die Durchführung von logischen Schlussfolgerungengenannt werden. Logische Schlussfolgerungen, die gelernt und später auch angewendetwerden. Ein weiteres Ziel ist es, mathematische Formulierungen kennen zu lernen, ma-thematische Formulierungen, die nicht nur in der Mathematik, sondern auch in anderenBereichen (zum Beispiel Wirtschaftswissenschaften, Ingenieurwesen, Informatik . . . ) ein-gesetzt werden. Die Einführung in diesem Kapitel ist damit nur sehr knapp und gehtsomit nicht bis zu den philosophischen Fragen der Logik. Das würde den Rahmen ganzund gar sprengen.

Die klare Formulierung von Aussagen ist in allen Bereichen notwendig, nicht nur inder Mathematik. Beispielsweise ist die Spezi�kation einer Software ohne klare Aussa-gen, Aussagen, die vollständig und widerspruchsfrei sind, nicht denkbar. Auch andereWissenschaften erfordern klare Aussagen und Folgerungen aus Aussagen.

Auch in Programmiersprachen sind logische Konzepte implementiert. Um diese Konzeptezu verstehen, ist die Kenntnis von Aussagen eine unabdingbare Basis.

Zuerst werden Aussagen und Aussageformen (Abschnitt 1.1) und Verknüpfungenvon Aussagen (Abschnitt 1.2) betrachtet, um das Grundgerüst zu erhalten. Danachwerden Sätze der Aussagenlogik (Abschnitt 1.3) untersucht und bewiesen. Im anschlie-ÿenden Abschnitt 1.4 wird die Prädikatenlogik angerissen, die den Sprachumfang er-weitert. Der abschlieÿende Abschnitt 1.5 beschäftigt sich mit Beweisverfahren, die imweiteren Verlauf angewendet werden.

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1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1 Aussagen und Aussageformen

1.1.1 Beispiel. Bevor der Begri� Aussage präzisiert wird, einige Beispiele von Aussa-gen. Zur präzisen mündlichen oder schriftlichen Formulierung von Sachverhalten ist dieMathematik, aber nicht allein die Mathematik, dazu übergegangen, Aussagen zu tre�en,die teilweise in natürlicher Sprache und teilweise in einer künstlichen und formalisiertenSprache wiedergegeben werden. Daher einige Beispiele von Aussagen, wobei erst danachder Begri� Aussage präziser gefasst wird.

1. 2 + 3 = 5.Dies ist eine wahre Aussage.

2. 4 ist eine Primzahl.Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass Aussagen nicht immer wahr sind,sie können auch falsch sein!

3. Es gibt unendlich viele Primzahlen.Dies ist eine wahre Aussage, die bereits vom griechischen Mathematiker Euklid (um300 v.Chr.) vor etwa 2.300 Jahren bewiesen wurde.

4. Die Gleichung xn + yn = zn hat, auÿer der trivialen Lösung, keine ganz-zahligen Lösungen für n gröÿer als 2Dies ist eine Aussage, die von französischen Mathematiker Pierre de Fermat (1601- 1665)1 etwa 1637 aufgestellt wurde. Die Aussage ist als groÿer Fermat'scher Satzoder Fermats letzter Satz bekannt. Sie wurde erst 1993 / 1995 vom britischen Ma-thematiker Andrew Wiles (*1953) bewiesen2.

5. Jede gerade Zahl, die gröÿer als 2 ist, ist Summe zweier Primzahlen.Die Aussage ist die Goldbach'sche Vermutung, benannt nach dem deutschen Ma-thematiker Christian Goldbach (1690 - 1764).

(Beispiele: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7) Dies ist eineAussage, von der noch nicht bekannt ist, ob sie wahr oder falsch ist.

6. Es ist Vollmond.Dies ist eine Aussage, die manchmal wahr ist, manchmal jedoch falsch. Der Wahr-heitsgehalt hängt von der Zeit ab. Hier erreicht man dann die temporale Logik,welche zeitliche Zusammenhänge einbezieht.

7. Brasilia ist die Hauptstadt von Brasilien.Dies ist eine wahre Aussage, nicht aus der Mathematik. Der Wahrheitswert einersolchen Aussage kann sich im Laufe der Zeit verändern. Die Aussage �Rio de Janeiro

1Eine Kurzbiographie über Pierre de Fermat: Klaus Barner; Das Leben Fermats; in Mitteilungen derDeutschen Mathematiker-Vereinigung, Heft 3/2001

2Eine interessante und lesenswerte Beschreibung der Geschichte des Satzes von Fermat, von den Grund-lagen bis zu seiner Lösung, mit vielen historischen Anmerkungen steht in Simon Singh; Fermats letzterSatz; dtv, 2000

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Kapitel 1 Aussagen

ist die Hauptstadt von Brasilien� war bis 1960 eine wahre Aussage, seit 1960 nichtmehr, denn dann wurde Brasilia die Hauptstadt von Brasilien.

8. Guten Morgen!Dies ist keine Aussage, sondern ein Ausruf.

9. Dieser Satz ist falsch.Diesen Satz wird später, wenn der Begri� Aussage präziser de�niert ist noch ge-nauer betrachtet.

10. Diese Person ist groÿ.Auch diesen Satz wird nach der De�nition des Begri�es Aussage noch genauerbetrachtet.

1.1.2 De�nition (Aussage). Auf der Basis dieser Beispiele wird nun der Begri� Aus-sage genauer de�niert.

De�nition. Ein sprachliches Gebilde A heiÿt Aussage, wenn man eindeutig entschei-den kann, ob es wahr oder falsch ist.

Einer Aussage kann somit eindeutig der Wahrheitswert �wahr� oder �falsch� zuge-ordnet werden. Ist A eine Aussage, dann sei w(A) der zugehörige Wahrheitswert derAussage.

Dies ist keine klare De�nition, da auf Begri�e zurückgegri�en wird, die selber nicht exaktde�niert sind.

Statt der Begri� �wahr� und �falsch� werden oftmals auch andere Begri�e oder Kurzzei-chen verwendet. Es werden oftmals statt �wahr� auch der englische Begri� �true� oderdie Kürzel W , w, T , t oder 1 verwendet. Für �falsch� wird auch der englische Begri��false� oder die Kürzel F , f oder 0 verwendet.

Diese De�nition von Aussagen basiert auf dem Prinzip der Zweiwertigkeit, das heiÿt aufder Tatsache, dass eine Aussage entweder wahr oder falsch ist. Daher spricht man hier vonzweiwertiger Logik. Es gibt Kulturkreise, in denen das Prinzip der zweiwertigen Logiknicht gilt, in denen es neben �wahr� und �falsch� auch noch andere Wahrheitswerte gibt,zum Beispiel �vielleicht� oder �unbestimmt� oder sogar noch andere Abstufungen.3

1.1.3 Anmerkung (Diskussion �Dieser Satz ist falsch.�). Nun wird der Satz �Die-ser Satz ist falsch.� untersucht. Auf den ersten Blick ist es eine Aussage. Wenn es eineAussage ist, dann ist zu klären, welchen Wahrheitswert die Aussage hat, denn einer Aus-sage muss nach der De�nition eindeutig ein Wahrheitswert zugeordnet werden können.

3siehe hierzu John D. Barrow; Ein Himmel voller Zahlen - Auf den Spuren mathematischer Wahrheit;rororo, 1999

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1.1 Aussagen und Aussageformen

Wenn es eine wahre Aussage ist, dann besagt der Satz, dass die Aussage des Satzes falschist, dass es also eine falsche Aussage ist. Also kann es keine wahre Aussage sein. Ist esdann eine falsche Aussage? Wenn die Aussage des Satzes falsch ist, dann besagt dies, dassdie Aussage des Satzes wahr ist!? Auch das führt zu einem Widerspruch. Es kann nichtentschieden werden, ob der Satz wahr oder falsch ist. Somit ist es keine Aussage (nachder De�nition)! Es ist eine Paradoxie, die zu tiefer gehenden, philosophischen Problemender Logik führt, die hier nicht näher beleuchtet werden.

1.1.4 Anmerkung (Diskussion �Diese Person ist groÿ.�). Beim Satz �Diese Per-son ist groÿ.� ist es ebenfalls schwer zu bestimmen, ob dieser Satz wahr oder falsch ist.Die Gröÿe bezieht sich hierbei auf die Körpergröÿe. Für Pygmäen ist eine Person mit 1,70m Körperlänge eine groÿe Person, für Basketballspieler ist dies jedoch nicht groÿ. Diesführt in die moderne Entwicklung der Fuzzy Logik, die bewusst mit Unschärfen arbeitet.Die Fuzzy Logik wird hier nicht weiterverfolgt. Die Fuzzy Logik wird beispielsweise inder regelungstechni für die Steuerung in Technik aber auch in der Medizin eingesetzt.

1.1.5 Beispiel. Es gibt andere Formulierungen, für die man direkt keinenWahrheitswertzuordnen kann. Die nachfolgenden Sätze sind keine Aussage.

• P (x) := �x ist eine Primzahl.�

• T (x, y) := �x ist ein Teiler von y.�

• S(x, y, z) := �x ist die Summe von y und z�

Wenn man jedoch für die Platzhalter x, y oder z konkrete Werte aus einem Grundbereichvon Werten einsetzt, dann ergeben sich hieraus Aussagen, denen man einen Wahrheits-wert zuordnen kann.

1.1.6 De�nition (Variable, Aussageform). Die Beispiele führen zur nachfolgendenDe�nition.

De�nition. Eine Variable über einem Grundbereich ist ein Symbol, für das spezielleObjekte eines Grundbereichs eingesetzt werden können. Eine mit Hilfe mindestens einerVariablen ausgedrückte Formulierung heiÿt Aussageform oder Prädikat, wenn beimEinsetzen von bestimmten Objekten des Grundbereichs für die Variable(n) eine Aussageentsteht.

Auch diese De�nition agiert mit schwammigen Begri�en.

1.1.7 Beispiel. Für die Aussageformen in Beispiel 1.1.5 gelten:

• w(P (3)) = w; w(P (4)) = f ; w(P (5)) = w

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Kapitel 1 Aussagen

• w(T (2, 3)) = f ; w(T (2, 4)) = w

• w(S(5, 2, 3)) = w

Durch die Einsetzung von konkreten Werten aus dem Grundbereich in die Aussageformenwerden konkrete Aussagen gebildet, für die jeweils ein Wahrheitswert bestimmbar ist.

1.1.8 Beispiel. In Java, aber auch in anderen Programmiersprachen, gibt es den pri-mitiven Datentyp boolean mit den beiden möglichen Werte �true� und �false�. Diesist eine Darstellung der Wahrheitswerte. Eine Aussage ist dann einfach eine BoolescheVariable. Bei der Programmierung gibt es viele Aussageformen. Jede Methode mit einemRückgabewert vom Typ boolean ist eine Aussageform

• public boolean istPrimzahl ();

• public boolean istTeilerVon (long zahl);

• public boolean istSummeVon (double x, double y);

1.2 Verknüpfung von Aussagen

1.2.1 . Im Nachfolgenden werden Verknüpfungen von Aussagen betrachtet, das heiÿtmit Verbindungen von mehreren Aussagen und wie ausgehend von Aussagen andereAussagen gebildet werden können. Diese Verknüpfungen sind aus dem Alltag bekannt,allerdings vielleicht ein klein bisschen anders als die nachfolgenden De�nitionen. Es sinddies die Verknüpfungen �nicht�, �und�, �oder�, �wenn, dann� und �genau dann, wenn�. Inder Aussagenlogik werden diese Verknüpfungen so festgelegt, dass sich der Wahrheitswertder Verknüpfung eindeutig aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen ergibt, unabhängigdavon, ob zwischen den Teilaussagen ein inhaltlicher Zusammenhang besteht oder jedochkein Zusammenhang besteht. Auch wenn die Verknüpfungen teilweise aus dem Alltagsle-ben bekannt sind, so ist deren mathematische De�nition und Deutung manchmal etwasanders als in der Umgangssprache.

1.2.2 De�nition (Wahrheitstafel, Verknüpfungstafel). Zur Darstellung der Aus-sagen wird eine Wahrheitstafel oder Verknüpfungstafel verwendet. In der Tabellesind für alle möglichen Belegungen der Variablen mit Wahrheitswerten der daraus resul-tierende Wahrheitswert der Verknüpfung dargestellt. Die Wahrheitstafel in Tabelle 1.1zeigt als Beispiel die Wahrheitstafel für die und-Verbindung.

Mit Hilfe von Wahrheitstafeln können nun die einzelnen Verknüpfungen präzise darge-stellt werden.

1.2.3 De�nition (Negation). Zuerst wird die �nicht�-Verknüpfung präzisiert.

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1.2 Verknüpfung von Aussagen

A B A ∧Bw w ww f ff w ff f f

Tabelle 1.1: Beispiel Wahrheitstafel

De�nition. Es sei A eine beliebige Aussage. Eine Aussage C heiÿt Negation derAussage A, falls C genau dann wahr ist, wenn A falsch ist und falsch, wenn A wahrist.

Die Negation von A wird mit C = ¬A oder mit C = not(A) oder mit C = A bezeichnet.Die Negation von A wird auch durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.2 dargestellt.

A ¬Aw ff w

Tabelle 1.2: Wahrheitstafel Negation

Auch wenn hier nur eine Aussage verwendet wird, wird hier von einer Verknüpfunggesprochen, einer 1-stelligen Verknüpfung. Diese Verknüpfung entspricht auch dem um-gangssprachlichen Umgang �nicht�.

1.2.4 Beispiel. Ist A die Aussage, dass eine Kugel ist rot ist, dann ist ¬A die Aussage,dass die Kugel nicht rot ist.

1.2.5 De�nition (Konjunktion). Jetzt kommt die �und�-Verknüpfung.

De�nition. Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage C heiÿt Konjunktionoder und-Verknüpfung oder and-Verknüpfung der Aussagen A und B, falls C genaudann wahr ist, wenn A wahr ist und B wahr ist. Die Konjunktion von A und B wirdmit C = A ∧B oder mit C = A and B bezeichnet.

Die Konjunktion von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.3 dargestellt.Die Konjunktion entspricht dem umgangssprachlichen �und�.

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Kapitel 1 Aussagen

A B A ∧Bw w ww f ff w ff f f

Tabelle 1.3: Wahrheitstafel Konjunktion

Alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte für A und B sind mit dem Ergebnisder Verknüpfung dargestellt.

1.2.6 Beispiel. Ist A die Aussage, dass eine Kugel rot ist und B die Aussage, dass aufeiner Kugel eine gerade Zahl ist, dann ist die Aussage C = A∧B die Aussage, dass eineKugel rot ist und eine gerade Nummer hat.

1.2.7 Beispiel. Ist A die wahre Aussage, �2 ist gerade� und B die falsche Aussage �3 istgerade�, so ist die Aussage A ∧B (�2 ist gerade und 3 ist gerade�) eine falsche Aussage.

1.2.8 De�nition (Disjunktion). Jetzt kommt die �oder�-Verknüpfung.

De�nition. Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage C heiÿt Disjunktionoder Adjunktion oder oder-Verknüpfung oder or-Verknüpfung der Aussagen A undB, falls C genau dann wahr ist, wenn A wahr ist oder B wahr ist (oder A wahr ist undB wahr ist). Die Disjunktion von A und B wird mit C = A ∨ B oder C = A or Bbezeichnet.

Die Verwendung von �oder� im mathematischen Sinne ist ein nicht ausschlieÿendes �oder�.In der Umgangssprache verwendet man das �oder� oftmals als �exklusives oder�, alsoals �entweder . . . oder�. Dies ist zu beachten. Hier wird mit der oder-Verknüpfung stetsdas nicht-ausschlieÿende �oder� verwendet. Ein �ausschlieÿendes oder� wird später nocheingeführt.

Die Disjunktion von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.4 dargestellt.

1.2.9 Beispiel. Ist A die Aussage, dass eine Kugel rot ist und B die Aussage, dass aufeiner Kugel eine gerade Zahl ist, dann ist die Aussage C = A ∨ B die Aussage, dassdie Kugel rot ist oder eine gerade Nummer hat. Die Kugel kann auch rot sein und einegerade Nummer haben.

1.2.10 Beispiel. Ist A die wahre Aussage, �2 ist gerade� und B die falsche Aussage �3ist gerade�, so ist die Aussage A∨B (�2 ist gerade oder 3 ist gerade�) eine wahre Aussage.

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1.2 Verknüpfung von Aussagen

A B A ∨Bw w ww f wf w wf f f

Tabelle 1.4: Wahrheitstafel Disjunktion

1.2.11 De�nition (Implikation). Bei der �wenn-dann�-Verknüpfung wird der Ver-gleich zum umgangssprachlichen noch etwas schwieriger.

De�nition. Es seien A und B beliebige Aussagen. Eine Aussage C heiÿt Implikationoder Subjunktion oder Folgerung von A nach B, falls C genau dann wahr ist, wennA und B wahr sind oder aber A falsch ist. Die Implikation von A nach B wird mitC = A→ B bezeichnet.

Die Implikation von A und B wird durch die Wahrheitstafel in der Tabelle 1.5 dargestellt.

A B A→ B

w w ww f ff w wf f w

Tabelle 1.5: Wahrheitstafel Implikation

Mit dieser De�nition haben viele Personen, die vom normalen Sprachgebrauch ausgehenSchwierigkeiten, denn in der vorletzten Zeile steht, dass man von etwas Falschem etwasRichtiges folgern kann. Das ist auf den ersten Blick merkwürdig, aber es wurde obenbereits erwähnt, dass die mathematische De�nition manchmal etwas anderes ist. Eineinfachen Beispiel ist in Beispiel 1.2.13 zu �nden.

1.2.12 Beispiel. Es sei A die wahre Aussage �2 ist gerade� und B die wahre Aussage�4 ist gerade�. Die Aussage A→ B ist ebenfalls wahr.

1.2.13 Beispiel. Es sei A die falsche Aussage �1 = -1� und B die wahre Aussage �12 =(−1)2�. Auch die Aussage A→ B ist wahr.

Aus etwas Falschem kann alles gefolgert werden!

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Kapitel 1 Aussagen

1.2.14 De�nition (Äquivalenz). Nun wird die �genau dann - wenn�-Verknüpfung vor-gestellt.

De�nition. Eine Aussage C heiÿt Äquivalenz oder Bijunktion von A und B, fallsC genau dann wahr ist, wenn A wahr ist und B wahr ist oder aber A falsch ist und Bfalsch ist. Die Äquivalenz von A und B wird mit C = A↔ B bezeichnet.

Die Äquivalenz von A und B wird durch die Wahrheitstafel in Tabelle 1.6 dargestellt.

A B A↔ B

w w ww f ff w ff f w

Tabelle 1.6: Wahrheitstafel Äquivalenz

1.2.15 Beispiel. Es sei A die Aussage, dass der Schalter (im Stromkreis) geschlossenist und B die Aussage, dass der Strom im Stromkreis �ieÿt. Dann sind die Aussagen Aund B äquivalent.

1.2.16 Anmerkung. Damit sind die fünf wichtigsten Verknüpfungen (Negation, Kon-junktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz) eingeführt. Sie werden auch Junk-toren genannt.

Bei der Darstellung von Ausdrücken kann es zu Problemen kommen, wenn man keineKlammern setzt oder wenn man keine Vereinbarung über die Reihenfolge der Verknüp-fungen festlegt. Beispiel: A ∧B ∨ C.

Es wird daher vereinbart: Die Junktoren ¬, ∧, ∨,→ und↔ binden jeweils stärker als dieNachfolger in dieser Liste. Daher kann man den Ausdruck A∧B∨C auch als (A∧B)∨Cschreiben, während A ∧ (B ∨ C) etwas anderes darstellt.

Im Zweifelsfall sollten eher etwas mehr Klammern geschrieben werden als zu wenige, ummögliche Fehlerquellen oder genauer Interpretationsfehler zu vermeiden.

1.2.17 Beispiel. Mit Hilfe einer Wahrheitstafel können auch zusammengesetzte Aus-sagen schrittweise gelöst werden. Dazu wird die zusammengesetzte Aussage (A →B) ∨ (A ∧ C) betrachtet. Wie sieht der Wahrheitswert der Aussage in Abhängigkeitvon den Wahrheitswerten der elementaren Aussagen A, B und C aus. (siehe Tabelle 1.7)

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1.2 Verknüpfung von Aussagen

A B C (A → B) ∨ (A ∧ C)

w w w w w w w w w ww w f w w w w w f fw f w w f f w w w ww f f w f f f w f ff w w f w w w f f wf w f f w w w f f ff f w f w f w f f wf f f f w f w f f f

0. 1. 0. 2. 0. 1. 0.

Tabelle 1.7: Beispiel Auswertung Wahrheitstafel

1.2.18 Anmerkung. Die zusammengesetzte Aussage wurde schrittweise gelöst. In deruntersten Zeile steht, in welcher Reihenfolge die Teilaussagen gelöst wurden. Dabei steht�0.� für die einfache Übertragung der Basiswerte. Gleiche Zahlenwerte in der letzten Zeilebedeuten, dass die Ergebnisse auf dieser Ebene in beliebiger Reihenfolge gebildet werdenkönnen.

Die Erstellung von Wahrheitstafeln für Aussagen kann auch mit Hilfe eines Tabellenkal-kulationsprogramms erstellt werden. Diese Programme bieten logische Funktionen undAusdrücke. Auch moderne Programmiersprachen bieten Konstrukte für die Bearbeitungvon logischen Ausdrücken.

1.2.19 De�nition (1-stellige Verknüpfungen). Es sei A eine Aussage, dann gibt esvier 1-stelligen Verknüpfungen. Das heiÿt, es gibt vier Möglichkeiten, wie die Wahrheits-werte in Abhängigkeit des Wahrheitswertes von A verteilt sein können. In der Tabelle1.8 werden die möglichen 1-stelligen Verknüpfungen dargestellt:

V1 V2 V3 V4A true id(A) ¬A false

w w w f ff w f w f

Tabelle 1.8: Liste 1-stellige Verknüpfungen

In dieser Wahrheitstafel sind in der ersten beiden Zeilen die Aussagen oder einstelligenVerknüpfungen aufgeführt, in den beiden nachfolgenden Zeilen die möglichen Verteilun-gen der Wahrheitswerte von Vi(A), für i = 1, 2, 3, 4 bei gegebenem Wahrheitswert derAussage A. In der zweiten Zeile stehen die kurzen Bezeichnungen der Verknüpfung. DieBezeichnungen dieser Verknüpfungen sind in der Literatur allerdings nicht einheitlich.

Die Verknüpfungen true(A) und false(A) sind unabhängig vom Wahrheitswert von A

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Kapitel 1 Aussagen

stets wahr beziehungsweise falsch. Die Verknüpfung id(A) ist die Identität von A, sodass als einzige nicht-triviale 1-stellige Verknüpfung die Negation ¬A, not(A) oder Ableibt.

1.2.20 Anmerkung. Nun werden die 2-stelligen Verknüpfungen untersucht. Einige die-ser Verknüpfungen haben besondere Namen und sind (insbesondere in der Informatik)bedeutend. Vier Verknüpfungen wurden oben bereits de�niert: Konjunktion, Disjunktion,Implikation und Äquivalenz. Jetzt werden alle Möglichkeiten untersucht.

1.2.21 De�nition (2-stellige Verknüpfungen). Zweistellige Verknüpfungen gibt esinsgesamt 16, die in den Tabellen 1.9 und 1.10 vollständig aufgeführt sind. In der Ta-belle stehen die Wahrheitswerte von Vi(A,B) für i = 1, 2, . . . , 16 in Abhängigkeit derWahrheitswerte von A und B.

V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8A B true ∨ id(A) → id(B) ↔ ∧w w w w w w w w w ww f w w w w f f f ff w w w f f w w f ff f w f w f w f w f

Tabelle 1.9: Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 1

V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16A B ∧ ∨ ¬B ¬A ∨ false

w w f f f f f f f fw f w w w w f f f ff w w w f f w w f ff f w f w f w f w f

Tabelle 1.10: Liste 2-stellige Verknüpfungen, Teil 2

Aus der Wahrheitstafel kann man erkennen, dass die Verknüpfungen aus dem zweiten Teilaus der Negation der Verknüpfungen aus dem ersten Teil entstehen. Es gilt Vi(A,B) =¬(V17−i(A,B)) für i = 1, . . . , 16.

1.2.22 Bemerkung. Die Verknüpfung V3 setzt sich zusammen aus A ∨ ¬B oder aberB → A, die Verknüpfungen V1, V4 und V6 sind trivial, so dass sich alle 2-stelligen Ver-knüpfungen auf die fünf Verknüpfungen ¬, ∨, ∧, → und ↔ zurückführen lassen. Darausergibt sich die

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1.2 Verknüpfung von Aussagen

Bemerkung. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit Hilfe der Junk-toren darstellen.

1.2.23 Bemerkung. Darüber hinaus lassen sich die Verknüpfungen �→� und �↔� alleinmit Hilfe der Verknüpfungen �¬�, �∨� und �∧� darstellen lassen:

Bemerkung. Es seien A und B beliebige Aussagen dann gelten

(A↔ B)⇔ (A→ B) ∧ (B → A) (1.1)

(A→ B)⇔ ¬A ∨B . (1.2)

1.2.24 Bemerkung. Damit ergibt sich sogar die

Bemerkung. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit Hilfe der Ver-knüpfungen �¬�, �∨� und �∧� darstellen.

Dies ist auch der Grund, wieso in einigen Programmiersprachen, zum Beispiel in Java,und in Tabellenkalkulationsprogrammen oftmals nur die logischen Operatoren �¬�, �∨�und �∧� realisiert sind.

1.2.25 De�nition (nand, nor, xor). Einige Verknüpfungen aus der obigen Tabellehaben einen besonderen Namen, die in der Tabelle auch bereits eingetragen sind.

• ∧ = ¬∧ (nicht und; nicht zugleich; nand),

• ∨ = ¬∨ (nicht oder; weder noch; nor)

• ∨ = exclusive or (exklusives oder; entweder oder; xor)

1.2.26 Bemerkung. Die Verknüpfungen haben ihre besondere Bedeutung in der Schal-talgebra, die auf der nachfolgenden Bemerkung beruht.

Bemerkung. Die 2-stelligen Verknüpfungen lassen sich alle allein mit den Verknüp-fung �∨� beziehungsweise �∧� darstellen.

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Kapitel 1 Aussagen

Beweis: Es gelten die nachfolgenden Äquivalenzen, die leicht nachgerechnet werden kön-nen.

¬A⇔ (A∧A)⇔ (A∨A) (1.3)

A ∧B ⇔ (A∧B)∧(A∧B)⇔ (A∨A)∨(B ∨B) (1.4)

A ∨B ⇔ (A∧A)∧(B ∧B)⇔ (A∨B)∨(A∨B) (1.5)

A→ B ⇔ A∧(A∧B)⇔ (B ∨(A∨B))∨(B ∨(A∨B)) (1.6)

Diese Äquivalenzen können beispielsweise mittels Wahrheitstafeln bewiesen werden. Dieswird anhand der erste Äquivalenz ausgeführt, siehe Tabelle 1.11.

A ¬A A∧A A∨Aw f f ff w w w

Tabelle 1.11: Beweis ¬A = A∧A = A∨A

Es kann aber auch ohne Wahrheitstafeln bewiesen werden, durch äquivalente Umformun-gen.

(A∧B)∧(A∧B)⇔ ¬(A∧B)⇔ ¬(¬(A ∧B))⇔ A ∧B

Die Ausführung des Beweises der restlichen Äquivalenzen kann als einfache Übung durch-geführt werden.

1.3 Aussagenlogik

1.3.1 De�nition (Tautologie, Kontradiktion). Der Wahrheitswert einer zusam-mengesetzten Aussage lässt sich eindeutig aus den Wahrheitswerten der Teilaussagenermitteln. Wenn A eine beliebige Aussage ist, dann ist die Verknüpfung A ∨ ¬A stetswahr, während die Verknüpfung A∧¬A stets falsch ist, unabhängig vom Wahrheitswertvon A. Dies führt zur nachfolgenden De�nition.

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1.3 Aussagenlogik

De�nition. Eine Aussage heiÿt eine Tautologie, wenn sie stets eine wahre Aussageist. Eine Aussage heiÿt eine Kontradiktion, wenn sie stets eine falsche Aussage ist.

Allgemein gültige Aussage (Tautologien) heiÿen auch Sätze der Aussagenlogik. Sie bildendie Basis für die mathematische Logik und das Beweisen. Im nachfolgenden werden einigeTautologien aufgestellt und beweisen.

1.3.2 Satz (vom ausgeschlossenen Dritten). Es kann nur eine Aussage A oder dieNegation von A gelten, nichts anderes.

Satz. Es sei A eine Aussage, dann gilt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.Es ist

A ∨ ¬A (1.7)

eine Tautologie.

Beweis:

A A ∨ ¬Aw w w ff f w w

0. 2. 1.

Tabelle 1.12: Beweis Satz vom ausgeschlossenen Dritten

Der Beweis kann mit Hilfe einer Wahrheitstafel (siehe Tabelle 1.12) erbracht werden.

1.3.3 Satz (vom Widerspruch). Es kann nicht gleichzeitig eine Aussage A und dieNegation davon wahr sein.

Satz (Satz vom Widerspruch). Es sei A eine Aussage, dann gilt der Satz vomWiderspruch. Es ist

¬(A ∧ ¬A) (1.8)

eine Tautologie.

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Kapitel 1 Aussagen

Die Aussage (A ∧ ¬A) ist eine Kontradiktion. Dies bedeutet, dass eine Aussage nichtgleichzeitig wahr und falsch sein kann.

1.3.4 Satz (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetz). Aus dem Rech-nen mit Zahlen sind die Assoziativ-, Kommutativ- und Distributivgesetze bekannt. Ent-sprechende Regeln git es auch für Aussagen.

Satz. Es seien A, B und C Aussagen. Es gelten das Assoziativgesetz

(A ∧B) ∧ C ↔ A ∧ (B ∧ C) (1.9)

(A ∨B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C) (1.10)

, das Kommutativgesetz

A ∧B ↔ B ∧A (1.11)

A ∨B ↔ B ∨A (1.12)

und das Distributivgesetz

A ∧ (B ∨ C)↔ (A ∧B) ∨ (A ∧ C) (1.13)

A ∨ (B ∧ C)↔ (A ∨B) ∧ (A ∨ C). (1.14)

Das Assoziativgesetz ermöglicht es, einfach A ∧ B ∧ C beziehungsweise A ∨ B ∨ C zuschreiben, ohne dass man Klammern setzen muss. Dies erleichtert oftmals die Schreib-arbeit. Das Assoziativgesetz gilt auch für mehr als drei Aussagen. Diese drei Gesetzeerinnern stark an die entsprechenden Gesetze bei der Arithmetik mit �+� und �·�, dochbeim Distributivgesetz ist zu sehen, dass es Unterschiede gibt.

1.3.5 Satz (von der doppelte Verneinung). Die Negation der Negation ist wiederdie ursprüngliche Aussage.

Satz. Es sei A eine Aussage, dann gilt der Satz von der doppelten Verneinung.Es ist

¬(¬(A))↔ A (1.15)

eine Tautologie.

Die doppelte Verneinung einer Aussage hebt sich also gegenseitig auf.

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1.3 Aussagenlogik

1.3.6 Satz (Regeln von de Morgan). Wie verhalten sich die Negation mit der Kon-junktion und Disjunktion.

Satz. Es seien A und B Aussagen, dann gelten die Regeln von de Morgan

(a) ¬(A ∧B)↔ ¬A ∨ ¬B (1.16)

(b) ¬(A ∨B)↔ ¬A ∧ ¬B (1.17)

Die Negation einer and-Verknüpfung ist die or-Verknüpfung der Negationen der Aussa-gen. Ebenso ist die Negation einer or-Verknüpfung die and-Verknüpfung der Negationen.Die Regeln von de Morgan sind nach dem britischen Mathematiker Augustus de Morgan(1806 - 1871) benannt.

Beweis: Es wird ¬(A ∧ B) ↔ (¬(A) ∨ ¬(B)) mit Hilfe einer Wahrheitstafel (siehe 1.13)bewiesen.

A B ¬ (A ∧B) ↔ ¬A ∨ ¬Bw w f w w f f fw f w f w f w wf w w f w w w ff f w f w w w w

2. 1. 3. 1. 2. 1.

Tabelle 1.13: Beweis Regel von de Morgan

Durch ersetzen von A durch ¬A und B durch ¬B in der obigen Äquivalenz, ergibt sich,dabei hilft auch der Satz von der doppelten Verneinung,

¬(¬A ∧ ¬B)↔ (¬(¬A) ∨ ¬(¬B))↔ A ∨B . (1.18)

Negation auf beiden Seiten und nochmalige Anwendung des Satzes der doppelten Ver-neinung ergibt die zweite Regel von de Morgan.

¬(A ∨B)⇔ (doppelte Verneinung)

¬(¬(¬A) ∨ ¬(¬B))⇔ (Regel von de Morgan, a)

¬(¬(¬A ∧ ¬B))⇔ (doppelte Verneinung)

¬A ∧ ¬B

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Kapitel 1 Aussagen

1.3.7 Anmerkung (Sätze für Beweisverfahren). Im nachfolgenden werde einigeSätze der Aussagenlogik vorgestellt, die bei den Beweisverfahren immer wieder die Grund-lage bilden.

1.3.8 Satz (Kontrapositionssatz). Wenn aus einer Aussage A die Aussage B folgt,dann ist das äquivalent zu der Folgerung von nicht B (also Aussage B gilt nicht) zu nichtA.

Satz. Es seien A und B beliebige Aussagen, dann gilt der Kontrapositionssatz

(A→ B)↔ (¬B → ¬A) . (1.19)

Wenn die Folgerung �aus A folgt B� bewiesen werden soll, dann kann dafür auch dieFolgerung �aus nicht B folgt nicht A� bewiesen werden.

1.3.9 Satz (Abtrennungsregel). Es wir der Zusammenhang zwischen der Folgerung�A→ B� und der Aussage A betrachtet.

Satz. Es seien A und B beliebige Aussagen, dann gilt der Satz zum modus ponensoder die Abtrennungsregel

((A→ B) ∧A)→ B . (1.20)

Wenn die Folgerung �aus A folgt B� wahr ist und die Aussage A wahr ist, dann ist auchdie Aussage B wahr.

1.3.10 Satz (Satz zum modus tollens). Es wir der Zusammenhang zwischen derFolgerung �A→ B� und der Aussage B betrachtet.

Satz. Es seien A und B beliebige Aussagen, dann gilt der Satz zum modus tollens

(A→ B) ∧ ¬B → ¬A . (1.21)

Wenn die Folgerung �aus A folgt B� wahr ist und die Aussage B nicht wahr ist, dannist auch die Aussage A nicht wahr. Wäre die Aussage A wahr, dann wäre nach derAbtrennungsregel die Aussage B wahr.

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1.3 Aussagenlogik

A B (A→ B) ∧ ¬B → ¬Aw w w f f w fw f f f w w ff w w f f w wf f w w w w w

1. 2. 1. 3. 1.

Tabelle 1.14: Beweis Satz zum modus tollens

Beweis: Der Beweis ist als Wahrheitstabelle in der Tabelle 1.14 zu sehen.

Der Beweis kann jedoch auch ohne Wahrheitstafel, durch äquivalente Umformungen er-folgen.

(A→ B) ∧ ¬B⇔ (siehe Bemerkung 1.2.23)

(¬A ∨ B) ∧ ¬B⇔ Distributivgesetz

(¬A ∧ ¬B) ∨ (B ∧ ¬B)⇔ (Satz 1.3.3 vom Widerspruch)

(¬A ∧ ¬B) ∨ false⇔ (siehe Bemerkung 1.2.23)

¬A ∧ ¬B⇒

¬A

1.3.11 Satz (Kettenschlussregel). Was ist, wenn man mehrere Folgerungen hat.

Satz. Es seien A, B und C beliebige Aussagen, dann gilt der Satz zum modus bar-bara oder die Kettenschlussregel

[(A→ B) ∧ (B → C)]→ (A→ C) . (1.22)

Wenn die Folgerung �aus A folgt B� wahr ist und auch die Folgerung �aus B folgt C�wahr ist, dann ist auch die Folgerung �aus A folgt C� eine wahre Aussage.

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Kapitel 1 Aussagen

1.4 Prädikatenlogik

1.4.1 Anmerkung. Für die Formulierung mathematischer Theorien reicht die Aussa-genlogik noch nicht aus. In der Aussagenlogik werden Aussagen betrachtet. In der Prä-dikatenlogik werden Prädikate oder Aussageformen betrachtet.

Bei der weiteren Analyse von Aussagen stöÿt man auf Subjekte, Prädikate und sogenann-te quanti�zierbare Redeteile wie �für alle� und �es gibt�. Subjekte sind Namen für Dingeaus einer bestimmten vorgegebenen Individualmenge, Prädikate sind Namen für Relatio-nen4 auf dieser Individualmenge. 1-stellige Prädikate heiÿen Eigenschaften. Weiter führtman die Quantoren �∀� (�für alle� oder Generalisator) und �∃� (�es gibt� oder Partikulari-sator) ein. Darüber hinaus gibt es noch das Gleichheitszeichen �=� und Vergleichsoptionen�<� und �>�, um Identitäten darstellen zu können. Führt man noch Funktionen5 (in nVariablen) ein, die jedoch genau genommen nur ((n+ 1)-stellige) Relationen sind. Damitsind Elemente der Prädikatenlogik der 1. Stufe mit Identität eingeführt. Damit könnenmathematische Aussagen formulieren werden. Dies und die Erweiterung in höhere Stufenwird hier nicht weiter ausgeführt.

Damit hilft die Prädikatenlogik bei klaren Beschreibung mathematischer Aussagen. DiePrädikatenlogik wird an dieser Stelle nicht weiter detailliert. Sie wird immer wieder an-gewendet.

1.4.2 Beispiel. Gegeben sei die Aussage �Es existiert (mindestens) eine Primzahl gröÿer5 und kleiner 9�.Sei P das 1-stellige Prädikat (Eigenschaft) �ist Primzahl�, dann lässt sich die Aussagekurz in mathematischer Schreibweise darstellen als

∃n ∈ N : P (n) ∧ (5 < n < 9) . (1.23)

1.4.3 Beispiel. Die Aussage �Für alle reelle Zahlen x gröÿer 0 existiert (mindestens)eine natürliche Zahl n, so dass 1/n kleiner x ist� lässt sich in mathematischer Formdarstellen als:

∀(x ∈ R+) : ∃ (n ∈ N) : 1/n < x . (1.24)

1.5 Beweisverfahren

1.5.1 . Unter einem Beweis versteht man die Ableitung einer Aussage aus anderen Aus-sagen nach bestimmten, logischen Schlussregeln. Es werden hier einige der Beweisverfah-ren an konkreten Beispielen betrachtet. Ziel eines Beweises ist es immer, aus einer Mengevon wahren Aussagen durch logische Schlussfolgerungen eine Behauptung zu bestätigen.

4Relationen werden erst später genauer betrachtet5Funktionen werden erst später genauer betrachtet

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1.5 Beweisverfahren

In den nachfolgenden Kapiteln wird es noch oft die Gelegenheit geben, die verschiedenenBeweisverfahren einzusetzen.

1.5.2 (Gegenbeispiel). Nicht jede Behauptung ist wahr. Die Anführung eines einzigenGegenbeispieles ist eine Möglichkeit, eine Behauptung zu widerlegen. Eine Möglichkeit,die man immer in Erwägung ziehen sollte. Für die Widerlegung einer Aussage genügt eineinziges Gegenbeispiel. Für einen Beweis einer Aussage reichen auch viele Beispiele nicht.

1.5.3 (Vollständiges Durchrechnen). Ebenfalls eine einfache Möglichkeit ist dasvollständige Durchrechnen aller Fälle. Dies ist jedoch nur dann möglich, wenn esendlich viele Fälle gibt. Es ist nur dann wirklich einfach, wenn die Anzahl der möglichenFälle klein ist. In den ersten Abschnitten wurden einige Beweise dadurch geführt. Mitdem Aufkommen der Computer sind derartige Beweise verstärkt aufgekommen. Ein be-rühmtes Beispiel ist der Beweis des Vierfarbenproblem6, das mit Hilfe der Reduzierungauf endliche viele Untersuchungsfälle und dem anschlieÿenden Durchrechnen mittels einesComputerprogramms gelöst wurde.

1.5.4 (Direkter Beweis). Beim direkten Beweis wird eine Aussage aus einer wah-ren Aussage durch direkte logische Schlussregeln hergeleitet. Als Basis dient hierbei derSatz zum modus ponens.

((A→ B) ∧A)→ B (1.25)

1.5.5 Beispiel (direkter Beweis). Beispiel für einen direkten Beweis:

Behauptung: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl, dann ist auch n2 eine ungeradeZahl. Hierbei sei �n ist ungerade� die Aussage A und �n2 ist ungerade� die Aussage B.

Beweis: Da n eine ungerade natürliche Zahl ist, existiert eine Zahl k(∈ N0), mit n =2k + 1. Damit gilt

n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 . (1.26)

Somit ist auch n2 eine ungerade Zahl.

Damit wurde die Aussage direkt bewiesen.

1.5.6 (Indirekter Beweis). Der indirekten Beweis basiert auf dem Kontrapositi-onssatz, der folgenden Äquivalenz:

(A→ B)↔ (¬B → ¬A) (1.27)

Es wird somit von der Negation der Aussage B ausgegangen und daraus die Negationder Aussage A bewiesen. Auf Grund der Äquivalenz wird die Aussage damit indirektbewiesen.

6Wie viele Farben reichen aus, um eine beliebige Karte so einzufärben, dass je zwei aneinander gren-zende Länder unterschiedliche Farben haben? Diese Problem wurde von Francis Guthrie (englischerMathematiker) 1852 formuliert. Erst 1977 gelangen Kenneth Appel und Wolfgang Haken mit Hilfeeines Computerprogrammes der Beweis.

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Kapitel 1 Aussagen

1.5.7 Beispiel (indirekter Beweis). Beispiel für einen indirekten Beweis:

Behauptung: Ist n2 eine gerade Zahl, dann ist auch n eine gerade Zahl.

Beweis: A sei die Aussage �n2 ist gerade�, B sei die Aussage �n ist eine gerade Zahl�.Die Negation zu B ist die Aussage �n ist ungerade�. Beim Beispiel 1.5.5 zum direktenBeweis wurde gezeigt, dass dann n2 eine ungerade Zahl ist, dies ist die Negation von A.Aus der Negation von B folgt die Negation von A, damit folgt aus A die Aussage B.

Damit wurde die Aussage indirekt bewiesen.

1.5.8 (Beweis durch Widerspruch). Der Beweis durch Widerspruch basiert aufdem Satz zum modus tollens.

(A→ B) ∧ ¬B → ¬A (1.28)

Wenn aus der Aussage A die Aussage B folgt, jedoch die Negation von B wahr ist, dannkann die Aussage A nicht wahr sein, denn ansonsten würde auch die Aussage B wahrsein, was ein Widerspruch darstellt. Somit ist die Negation von A wahr.

1.5.9 Beispiel (Beweis durch Widerspruch). Ein schon über 2000 Jahrer alter Be-weis durch Widerspruch.

Behauptung:√

2 ist irrational.Beweis: Wenn

√2 rational ist, dann gibt es teilerfremde, natürliche Zahlen p und q, so

dass√

2 = pq gilt. Damit ergibt sich 2q2 = p2. Damit ist p2 gerade und damit auch p

(siehe Beispiel 1.5.7 zum indirekten Beweis). Somit gibt es eine Zahl k, so dass p = 2kgilt. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich 2q2 = 4k2. Hier kann man durch 2 kürzenund man erhält q2 = 2k2. Damit ist q2 gerade und somit auch q. Dies widerspricht jedochder Annahme, dass p und q teilerfremd sind, also ist die Annahme, dass

√2 rational ist

falsch!

Damit wurde die Aussage, dass√

2 irrational ist, durch Widerspruch bewiesen.

1.5.10 (Vollständige Induktion). Beim Beweis durch vollständige Induktion be-weist man eine Aussage der Form ∀n ∈ N : A(n), indem zuerst die Aussage für n = 1bewiesen wird (Induktionsbeginn oder Induktionsverankerung). In der Induktionsannah-me wird angenommen, dass A(n) gilt. Im Induktionsschritt von n auf n + 1 wird dieAussage A(n + 1), basierend auf der Aussage A(n) (manchmal auch auf den AussagenA(n − 1), . . .) bewiesen: (A(n) → A(n + 1)). Durch wiederholte Anwendung des Satzesdes modus ponens gilt A(n) für alle n ∈ N.

1.5.11 Beispiel (Vollständige Induktion).

Behauptung:

∀n ∈ N :n∑i=1

i =n(n+ 1)

2(1.29)

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1.6 Aufgaben

Beweis: Die Aussage A(n) ist für n ∈ N

A(n) :

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2(1.30)

Induktionsbeginn: Es gilt A(1), denn∑1

i=1 i = 1 = 1(1+1)2 .

Induktionsannahme: A(n) gilt.

Induktionsschritt von n auf n+ 1:

n+1∑i=1

i =

n∑i=1

i + (n+ 1) =n(n+ 1)

2+ (n+ 1) =

(n+ 1)(n+ 2)

2(1.31)

Beim ersten Gleichheitszeichen wurde der Term für n + 1 so umgeformt, dass ein Termentsteht, für den die Induktionsannahme verwendbar ist. Beim mittleren Gleichheitszei-chen wurde die Induktionsannahme verwendet.

1.6 Aufgaben

1.6.1 Aufgabe. Es seien A, B und C Aussagen. Erstellen Sie die Wahrheitstafeln fürdie nachfolgenden logischen Aussagen

(a) (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ C)(b) (A→ (B ∨ C)) ∧ (A ∨B)(c) (A ∧B)↔ (B ∨ C)(d) (¬A→ B) ∨ (B ∧ C)

1.6.2 Aufgabe. Es seien A, B und C Aussagen. Bestimmen Sie die Wahrheitstafeln dernachfolgen Aussageformen

(a) (A ∧B) ∨ C(b) A ∧ (B ∨ C)(c) (A ∨B) ∧ C(d) A ∨ (B ∧ C)

1.6.3 Aufgabe. Erstellen Sie Wahrheitstafeln mit Hilfe eines Tabellenkalkulationspro-gramms ihrer Wahl.

1.6.4 Aufgabe. Erstellen Sie Wahrheitstafeln mit Hilfe eines Programms in einer belie-bigen Programmiersprache Ihrer Wahl.

1.6.5 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die logischen Verknüpfungen ¬, ∧, ∨ und → alleindurch den logischen Operator ∧ darstellbar sind.

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Kapitel 1 Aussagen

1.6.6 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die logischen Verknüpfungen ¬, ∧, ∨ und → alleindurch den logischen Operator ∨ darstellbar sind.

1.6.7 Aufgabe. Es seien A und B zwei beliebige Aussagen. Zeigen Sie, dass

(A→ B)↔ (¬B → ¬A)

eine Tautologie ist. (Kontrapositionssatz)

1.6.8 Aufgabe. Beweisen Sie den Satz zum modus ponens.

1.6.9 Aufgabe. Zeigen Sie, dass die nachfolgenden Aussagen Tautologien sind:(a) (A→ B)↔ (¬A ∨B)(b) (A↔ B)↔ ((A ∧B) ∨ (¬A ∧ ¬B))(c) (A↔ B)↔ ¬(A∨B)(d) (A∨B)↔ ¬(A ∨B)(e) (A∧ B)↔ ¬(A ∧B)

1.6.10 Aufgabe. Es seien A, B und C Aussagen. Zeigen Sie, dass folgende AussagenTautologien (Sätze der Aussagenlogik) sind.

1. (splitten) [(A ∨B)→ C]↔ [(A→ C) ∧ (B → C)]

2. (verschieben) [(A ∧B)→ C)]↔ [A→ ¬B ∨ C]

3. (tauschen) [(A ∧B)→ C)]↔ [(A ∧ ¬C)→ ¬B]

4. (aggregieren) [(A→ B) ∧ (A→ C)]↔ [A→ (B ∧ C)]

1.6.11 Aufgabe. Beweisen Sie durch vollständige Induktion:

∀n ∈ N :n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6

1.7 Lösungen

1.7.1 Lösung. zu Aufgabe 1.6.1

Es werden die Wahrheitstabellen erstellt.

(a) (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ C)

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1.7 Lösungen

D = E =A B C A ∧ ¬B D ∨ E ¬A ∧ Cw w w f f fw w f f f fw f w w w fw f f w w ff w w f w wf w f f f ff f w f w wf f f f f f

1. 2. 1.

(b) (A→ (B ∨ C)) ∧ (A ∨B)

E = D = F =A B C A→ D B ∨ C E ∧ F A ∨Bw w w w w w ww w f w w w ww f w w w w ww f f f f f wf w w w w w wf w f w w w wf f w w w f ff f f w f f f

2. 1. 3. 1.

(c) (A ∧B)↔ (B ∨ C)

D = E =A B C A ∧B D ↔ E B ∨ Cw w w w w ww w f w w ww f w f f ww f f f w ff w w f f wf w f f f wf f w f f wf f f f w f

1. 2. 1.

(d) (¬A→ B) ∨ (B ∧ C)

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Kapitel 1 Aussagen

E = D = F =A B C ¬D A→ B E ∨ F B ∧ Cw w w f w w ww w f f w f fw f w w f w fw f f w f w ff w w f w w wf w f f w f ff f w f w f ff f f f w f f

2. 1. 3. 1.

1.7.2 Lösung. zu Aufgabe 1.6.2

Es wird die Wahrheitstabelle erstellt.

A B C (A ∧B) ∨ C A ∧ (B ∨ C) (A ∨B) ∧ C A ∨ (B ∧ C)

w w w w w w ww w f w w f ww f w w w w ww f f f f f wf w w w f w wf w f f f f ff f w w f f ff f f f f f f

1.7.3 Lösung. zu Aufgabe 1.6.3

Übung

1.7.4 Lösung. zu Aufgabe 1.6.4

Übung

1.7.5 Lösung. zu Aufgabe 1.6.5

Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.

A∧ A⇔ ¬(A ∧A)⇔ ¬A

(A∧B)∧(A∧B)⇔ ¬(¬(A ∧B) ∧ ¬(A ∧B))⇔ (A ∧B) ∨ (A ∧B) Regel von de Morgan⇔ A ∧B

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1.7 Lösungen

(A∧A)∧(B ∧B)⇔ ¬(¬(A ∧A) ∧ ¬(B ∧B))⇔ ¬(¬A ∧ ¬B)⇔ A ∨B Regel von de Morgan

Wegen (A → B) = (¬A ∨ B) und den oben aufgeführten Nachweisen, ist auch dieImplikation allein mit ∧ darstellbar.

1.7.6 Lösung. zu Aufgabe 1.6.6

Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.

A∨A⇔ ¬(A ∨A)⇔ ¬A

(A∨A)∨(B ∨B)⇔ ¬(¬(A ∨A) ∨ ¬(B ∨B))⇔ ¬(¬A ∨ ¬B)⇔ (A ∧B) Regel von de Morgan

(A∨B)∨(A∨B)⇔ ¬(¬(A∨B)∨¬(A∨B))⇔ ((A ∨B) ∧ (A ∨ B)) Regel von de Morgan⇔ A ∨B

Wegen (A → B) = (¬A ∨ B) und den oben aufgeführten Nachweisen, ist auch dieImplikation allein mit �∨� darstellbar.

1.7.7 Lösung. zu Aufgabe 1.6.7

Es werden Umformungen durchgeführt.

A→ B⇔

¬A ∨B⇔ doppelte Verneinung

¬A ∨ ¬(¬B)⇔ kommutativ

¬(¬B) ∨ ¬A⇔

¬B → ¬A

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Kapitel 1 Aussagen

1.7.8 Lösung. zu Aufgabe 1.6.8

Es werden äquivalente Umformungen durchgeführt.

(A→ B) ∧A ⇒ (¬A ∨B) ∧A⇒ (¬A ∧A) ∨ (B ∧A))⇒ false ∨ (B ∧A)⇒ (B ∧A)⇒ B

1.7.9 Lösung. zu Aufgabe 1.6.9

(a) Beweis mittels einer Wahrheitstafel.

A B A⇒ B ¬A ∨Bw w w ww f f ff w w wf f w w

(b) Beweis durch äquivalente Umformungen.

A↔ B⇔

(A→ B) ∧ (B → A)⇔ (a)

(¬A ∨B) ∧ (¬B ∨A)⇔ Distributivgesetz

[¬A ∧ (¬B ∨A)]∨[B ∧ (¬B ∨A)]

⇔ Distributivgesetz[¬A ∧ ¬B] ∨ [¬A ∧A]∨[B ∧ ¬B] ∨ [A ∧B]

⇔ Satz vom ausgeschlos-senen Dritten

[¬A ∧ ¬B] ∨ [A ∧B]

(c) Beweis durch Wahrheitstafel.

A B A⇔ B ¬ (A∨B)

w w w w fw f f f wf w f f wf f w w f

1. 2. 1.

Version 8.1 18.02.2017 37

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1.7 Lösungen

(d) Beweis durch Wahrheitstafel.

A B A∨B ¬ (A ∨B)

w w f f ww f f f wf w f f wf f w w f

1. 2. 1.

(e) Beweis durch Wahrheitstafel.

A B A∧B ¬ (A ∧B)

w w f f ww f w w ff w w w ff f w w f

1. 2. 1.

1.7.10 Lösung. zu Aufgabe 1.6.10

(splitten)[(A ∨B)→ C]↔ [(A→ C) ∧ (B → C)]

(A ∨B)→ C⇔

¬(A ∨B) ∨ C⇔ Regel von de Morgan

(¬A ∧ ¬B) ∨ C⇔ Distributivgesetz

(¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ C)⇔

(A→ C) ∧ (B → C)

(verschieben)

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Kapitel 1 Aussagen

[(A ∧B)→ C)]↔ [A→ (¬B ∨ C)]

(A ∧B)→ C⇔

¬(A∧B) ∨ C⇔ Regel von de Morgan

(¬A ∨ ¬B) ∨ C⇔ Assoziativgesetz

¬A ∨ (¬B ∨ C)⇔

A→ (¬B ∨ C)

(tauschen)[(A ∧B)→ C)]↔ [(A ∧ ¬C)→ ¬B]

(A ∧B)→ C⇔ verschieben von B von links nach rechts

A→ (¬B ∨ C)⇔ verschieben von C von rechts nach links

(A ∧ ¬C)→ ¬B

(aggregieren)[(A→ B) ∧ (A→ C)]↔ [A→ (B ∧ C)]

(A→ B) ∧ (A→ C)⇔

(¬A ∨B) ∧ (¬A ∨ C)⇔ Distributivgesetz

¬A ∨ (B ∧ C)⇔

A→ (B ∧ C)

1.7.11 Lösung. zu Aufgabe 1.6.11

Induktionsbeginn: Für n = 1 ist die Aussage wahr:

1∑i=1

i2 = 1 =1(1 + 1)(2 · 1 + 1)

6

Induktionsannahme: die Aussage gilt für n

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1.7 Lösungen

Induktionsschritt von n auf n+ 1:

n+1∑i=1

i2 =

n∑i=1

i2 + (n+ 1)2

=n(n+ 1)(2n+ 1)

6+ (n+ 1)2

=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)

6

Beim mittleren Gleichheitszeichen wurde die Induktionsannahme verwendet.

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Kapitel 2

Mengen

2.0.1 . In diesem Kapitel werden die wichtigsten Grundbegri�e und Notationen der Men-genlehre eingeführt. Begri�e und Symbolik der Mengenlehre und der formalen Logikzusammen gestatten eine präzise Formulierung mathematischer Aussagen.

Zuerst werdenMengen eingeführt (Abschnitt 2.1), bevor dannTeilmengen und diePo-tenzmenge de�niert werden (Abschnitt 2.2). Im Abschnitt 2.3 werden Operationenvon Mengen betrachtet und die Mengenarithmetik untersucht. Im anschlieÿenden Ab-schnitt 2.4 werden Klasseneinteilungen das heiÿt Zerlegungen von Mengen betrachtet,die eine Verbindung zu Äquivalenzrelationen haben, die erst im nächsten Kapitel be-trachtet werden, beschrieben. Ein wichtiges Beispiel von Mengen, die ebenfalls im nach-folgenden Kapitel eine weiter gehende Bedeutung haben, ist das kartesische Produkt,welches im abschlieÿenden Abschnitt 2.5 de�niert wird.

2.1 Mengen

2.1.1 De�nition (Menge). Die grundlegende De�nition einer Menge geht zurück aufden deutschen Mathematiker Georg Cantor (1845 - 1918).

De�nition. Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedenerObjekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte, diezu einer Menge zusammengefasst werden heiÿen Elemente der Menge.Ist M eine Menge und x ein Objekt, so schreibt man x ∈ M , wenn x ein Element vonM ist und x /∈M , wenn x nicht Element von M ist.

Mengen können entweder durch die Aufzählung ihrer Elemente oder die Angabe derEigenschaften der Elemente der Menge beschrieben werden. Die Elemente werden ingeschweifter Klammer geschrieben.

2.1.2 Beispiel. Einige Beispiele von Beschreibungen von Mengen:

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2.1 Mengen

1. A sei die Menge aller Farben einer Verkehrsampel.A := {rot, gelb, grün}

2. B sei die Menge aller möglichen Farbzustände einer Verkehrsampel.B := {rot, rot-gelb, grün, gelb, gelb-blinkend, aus}

3. C sei die Menge aller geraden Zahlen.

4. D sei die Menge aller Quadratzahlen kleiner als 100.D := {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81}

5. E sei die Menge der Studentinnen und Studenten einer Vorlesung.

2.1.3 Beispiel. Die Beschreibung von Mengen kann auch mit Hilfe von Prädikaten er-folgen.

1. Es sei P3 das Prädikat �ist gerade�, also P3(x) die Aussageform �x ist gerade�.Weiter sei C := {x | P3(x)} die Menge, deren Elemente diejenigen Objekte sind,für welche die Aussage P3(x) wahr ist.

2. Es seien P4 das Prädikat �ist Quadratzahl� und P4(x) die Aussageform �x ist Qua-dratzahl�. Weiter seien Q4 das Prädikat �ist kleiner als 100� und Q4(x) die Aussa-geform �x ist kleiner als 100�. Die Menge der Quadratzahlen kleiner als 100 kanndurch D := {x | P4(x) ∧Q4(x)} beschrieben werden.

2.1.4 Anmerkung. Die obige De�nition der Menge kann zu Widersprüchen führen. DieBildung der �Menge� M aller Mengen X, die nicht Element von sich selbst sind, führtzu einem Widerspruch. Gehört M selbst zu dieser Menge oder nicht? Dies ist unter demNamen Antinomie von Russell bekannt, benannt nach dem britischen Mathematiker undPhilosoph Bertrand Russell (1872 - 1970, Nobelpreis für Literatur 1950). Diese Problema-tik wird hier nicht weiter verfolgt. Daher beschäftigen wir uns nur mit der sogenannten�naiven� Mengenlehre.

2.1.5 Beispiel (Wichtige grundlegende Mengen). Beispiele wichtiger Mengen ausder Mathematik:

1. Menge der natürlichen Zahlen1: N

N = {n | n ist naturlicheZahl} = {1, 2, 3, . . .} (2.1)

2. Menge der natürlichen Zahlen mit der 0: N0

N0 = {n | n ist naturliche Zahl oder (n = 0)} = {0, 1, 2, . . .} (2.2)

3. Menge der Primzahlen: P

P = {p | p ist Primzahl} = {2, 3, 5, 7, 11, . . .} (2.3)1Die 0 zählt bei mir nicht zu den natürlichen Zahlen!

42 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 2 Mengen

4. Menge der ganzen Zahlen: Z

Z = {z | z ist ganze Zahl} = {0,±1,±2,±3, . . .} (2.4)

5. Menge der rationalen Zahlen: Q

Q = {x | x ist rationale Zahl} = {x =p

q| p ∈ Z und q ∈ Z\{0}} (2.5)

6. Menge der reellen Zahlen: R

R = {x | x ist reelle Zahl} (2.6)

2.1.6 Beispiel. Für die nachfolgenden Beispiel sei stets die Grundmenge X einer derMengen Z, Q oder R.

1. Menge der positiven Zahlen: X+

X+ = {x | x ∈ X und (x > 0)} (2.7)

2. Menge der negativen Zahlen: X−

X− = {x | x ∈ X und (x < 0)} (2.8)

3. Menge der positiven Zahlen inklusive der 0: X+0

X+0 = {x | x ∈ X und (x ≥ 0)} (2.9)

4. Menge der negativen Zahlen inklusive der 0: X−0

X−0 = {x | x ∈ X und (x ≤ 0)} (2.10)

5. X>α Menge der Zahlen, gröÿer α (x > α)

X>α = {x | x ∈ X mit (x > α)} (2.11)

6. X≥α Menge der Zahlen, gröÿer oder gleich α (x ≥ α)

X≥α = {x | x ∈ X mit (x ≥ α)} (2.12)

7. X<α Menge der Zahlen, kleiner α (x < α)

X<α = {x | x ∈ X mit (x < α)} (2.13)

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2.1 Mengen

8. X≤α Menge der Zahlen, kleiner oder gleich α (x ≤ α)

X≤α = {x | x ∈ X mit (x ≤ α)} (2.14)

2.1.7 Beispiel (Intervalle). Auch für die nachfolgenden Beispiel sei stets die Grund-menge X einer der Mengen Z, Q oder R.

1. o�enes Intervall

(α, β) = {x ∈ X | α < x < β} (2.15)

2. halbo�ene Intervalle

(α, β] = {x ∈ X | α < x ≤ β} (2.16)

[α, β) = {x ∈ X | α ≤ x < β}

3. abgeschlossenes Intervall

[α, β] = {x ∈ X | α ≤ x ≤ β} (2.17)

Statt �(� beziehungsweise �)� wird manchmal auch �]� beziehungsweise �[� geschrieben.Damit gelten dann (α, β) =]α, β[, (α, β] =]α, β] und [α, β[.

2.1.8 Beispiel. Anbei einige weitere Mengen.

1. Menge der komplexen Zahlen: C

C = {x | x ist komplexe Zahl} (2.18)

2. Für n ∈ N sei

Zn = {0, 1, 2, . . . , n− 1} (2.19)

2.1.9 De�nition (Mengengleichheit). Wichtig ist immer die Frage, wann zwei Men-gen gleich sind.

De�nition. Zwei Mengen M und N heiÿen gleich (M = N), wenn sie dieselbenElemente enthalten.

M = N :⇔ ∀x : (x ∈M)↔ (x ∈ N) (2.20)

Die Reihenfolge, mit der die Elemente in einer Menge aufgeführt werden ist nicht vonBedeutung. Genauso können Elemente mehrmals aufgeführt werden, ohne dass sich dieMenge ändert. Daher sind folgende Mengen identisch: {1, 2, 3} = {2, 1, 3} = {2, 3, 2, 1}.

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Kapitel 2 Mengen

2.1.10 Anmerkung. Wenn Elemente in einer Menge mehrmals vorkommen dürfen,dann ist dies eine Multimenge, die jedoch hier nicht weiter behandelt wird.

2.1.11 De�nition (endliche Menge, leere Menge). Für die Anzahl der Elementeeiner Menge gilt:

De�nition. Es sei M eine Menge, dann ist |M | die Anzahl der Elemente von M .Eine Menge M heiÿt endliche Menge, wenn |M | < ∞ gilt, ansonsten heiÿt sie eineunendliche Menge .Die Menge ∅, die keine Elemente enthält heiÿt leere Menge.

Für eine unendliche Menge kann man die Elemente nicht einzeln au�ühren. Für eine end-liche Menge ist dies machbar, jedoch nicht immer praktikabel. Dann werden die Elementeüber ihre Eigenschaften aufgeführt.

2.2 Teilmengen und Potenzmenge

2.2.1 De�nition (Teilmenge). Teilobjekten einer Menge werden nachfolgend de�-niert.

De�nition. Es seien M und N zwei Mengen. Die Menge N heiÿt Teilmenge von M(N ⊆ M), wenn jedes Element von N auch Element von M ist. Die Menge M heiÿtdann auch Obermenge von N .

N ⊆M :⇔ ∀x : (x ∈ N)→ (x ∈M) (2.21)

Die Menge N heiÿt echte Teilmenge von M (N ⊂ M), wenn N eine Teilmenge vonM ist, jedoch N ungleich M ist.

N ⊂M :⇔ (N ⊆M) ∧ (N 6= M) . (2.22)

Ist N keine Teilmenge von M , so schreibt man N 6⊆M .

Für alle Mengen M gelten M ⊆ M und ∅ ⊆ M . Die leere Menge und die Menge selbstsind also stets Teilmengen einer Menge, dies sind die trivialen Teilmengen einer Menge.Ist N eine echte Teilmenge von M , dann gibt es Elemente in M , die nicht Elemente vonN sind.

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2.2 Teilmengen und Potenzmenge

Für wichtige Mengen aus der Mathematik gilt:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . (2.23)

2.2.2 Anmerkung. Zur Veranschaulichung und leichteren Erfassung mengentheoreti-scher Zusammenhänge bedient man sich häu�g Punktmengen in der Ebene (siehe Abbil-dung 2.1).

M N

Abbildung 2.1: Teilmenge

Diese Abbildungen heiÿen Mengendiagramme oder auch Euler-Diagramme oderVenn-Diagramme. Sie sind benannt nach dem schweizer Mathematiker Leonhard Euler(1707 - 1783) und dem britischen Logiker John Venn (1834 - 1923). Die Mengendiagram-me dienen nur der Veranschaulichung! Sie können einem beim Beweisen als Anschauunghelfen, sie ersetzen jedoch keinen Beweis!

2.2.3 Bemerkung. Aus der De�nition der Gleichheit für Mengen und der De�nitionfür Teilmengen ergibt sich

Bemerkung. Es seien M und N Mengen, dann gilt:

(M = N)⇔ (M ⊆ N) ∧ (N ⊆M) . (2.24)

Beweis:M = N

⇔ (De�nition der Gleichheit)∀x : (x ∈ N)↔ (x ∈M)

⇔ (Aussagenlogik)∀x : (x ∈ N)→ (x ∈M))∧∀x : (x ∈M)→ (x ∈ N))

⇔ (De�nition der Teilmenge)(N ⊆M) ∧ (M ⊆ N) .

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Kapitel 2 Mengen

Für den Beweis einer Mengengleichheit wird oftmals nachgewiesen, dass sich die beidenMengen gegenseitig als Teilmengen enthalten.

2.2.4 Bemerkung. Die Teilmengenbeziehung ist transitiv.

Bemerkung. Es seien L, M und N Mengen, dann gilt (Transitivität):

(N ⊆M) ∧ (M ⊆ L)→ (N ⊆ L) . (2.25)

Ist N eine Teilmenge von M und M eine Teilmenge von L, dann ist N auch eineTeilmenge von L.

L M N

Abbildung 2.2: Transitive Teilmengen

Beweis: Die Gra�k (siehe Abbildung 2.2) dient nur der Veranschaulichung. Der formaleBeweis ist kurz. Für jedes x ∈ N gilt:

(x ∈ N)⇒ N ist Teilmenge von M (N ⊆M)

(x ∈M)⇒ M ist Teilmenge von L (M ⊆ L)

(x ∈ L)

2.2.5 Übung. Es seienM = {1, 2} und N = {2, 3, 4}. Welche der folgenden Aussagensind richtig?

• M ⊆ N?Nein, da 1 ∈M , aber 1 /∈ N .

• N ⊆M?Nein, da 4 ∈ N , aber 4 /∈M .

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2.2 Teilmengen und Potenzmenge

• M = N?Nein, da 4 ∈ N , aber 4 /∈M .

• M 6= N?Ja.

• {2, 4} ⊆ N?Ja.

• 2 ∈ M?Ja.

• 2 ⊆ M?Nein, dies ist nicht einmal ein gültiger Ausdruck, da 2 keine Menge ist, so dasskeine Teilmengenbeziehung bestehen kann. Gültig wären die Aussagen 2 ∈ Moder {2} ⊆ M .

• {2, {3, 4}} ⊆ N?Nein, die Menge auf der linken Seite besteht aus zwei Elementen, aus der 2 undaus der Menge mit den Elementen 3 und 4. Das zweite Element ({3, 4}) ist jedochkein Element von N (sondern eine Teilmenge von N). Für die Teilmengenbeziehungmüsste es jedoch Element von N sein.

2.2.6 De�nition (Potenzmenge). Die Teilmengen einer Menge lassen sich selber wie-derum zu einer Menge zusammenfassen.

De�nition. Die Mengen aller Teilmengen einer Menge M heiÿt Potenzmenge vonM : P(M).

P(M) := {T | T ⊆M} (2.26)

2.2.7 Beispiel. 1. Es sei M = ∅, also die leere Menge, dann ist P(M) = {∅}, alsodie Menge, die nur ein Element hat, nämlich die leere Menge. Man beachte somit,dass P(M) nicht die leere Menge ist, sondern die Menge, die nur aus der leerenMenge besteht!

2. Es sei M = {a} eine Menge, die aus einem Element besteht. Damit ist die Potenz-menge die Menge, die aus der leeren Menge und der Menge selbst besteht, denndas sind die einzigen Teilmengen der Menge M , also P(M) = {∅,M}.

3. Es sei M = {a, b} eine Menge mit genau zwei Elementen, dann ist P(M) ={∅, {a}, {b},M}.

2.2.8 Bemerkung. Für endliche Mengen kann die Elementanzahl der Potenzmenge ein-fach angegeben werden.

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Kapitel 2 Mengen

Bemerkung. Es sei M eine endliche Menge mit n = |M | Elementen, dann hat diePotenzmenge von M genau 2n Elemente.

(|M | = n)→ (|P(M)| = 2n) (2.27)

Der Beweis kann durch vollständige Induktion geführt werden, was hier jedoch nichtausgeführt wird.

2.2.9 Bemerkung. Eine Teilmengenbeziehung überträgt sich auch auf die Potenzmen-gen.

Bemerkung. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Ist M eine Teilmenge von N ,dann ist die Potenzmenge von M eine Teilmenge der Potenzmenge von N .

M ⊆ N → P(M) ⊆ P(N) (2.28)

Beweis: als Übung

2.3 Operationen von Mengen

2.3.1 . Wie kann mit Mengen gerechnet werden, welche Operationen gibt es und welcheRegeln gibt es für die Operationen gibt.

2.3.2 De�nition (Durchschnitt). Eine wichtige Verknüpfung von Mengen ist derDurchschnitt.

De�nition. Es seien M und N beliebige Mengen. Die Menge der Elemente, die sowohlin der Menge M , als auch in der Menge N sind, heiÿt der Durchschnitt (M ∩N) vonM und N .

M ∩N := {x | (x ∈M) ∧ (x ∈ N)} (2.29)

Die Abbildung (siehe 2.3) veranschaulicht den Durchschnitt. Der Durchschnitt der Men-gen M und N beinhaltet nur die kleine innere Fläche, die mit M ∩N bezeichnet ist.

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2.3 Operationen von Mengen

N

M

M ∩N

Abbildung 2.3: Durchschnitt von Mengen

2.3.3 De�nition (Vereinigung). Eine weitere wichtige Verknüpfung von Mengen istdie Vereinigung.

De�nition. Es seien M und N beliebige Mengen. Die Menge der Elemente, die in derMenge M oder in der Menge N sind, heiÿt die Vereinigung (M ∪N) von M und N .

M ∪N := {x | (x ∈M) ∨ (x ∈ N)} (2.30)

2.3.4 De�nition (disjunkt). Die Eigenschaft, dass der Durchschnitt zweier Mengendie leere Menge ist, ist eine besondere Eigenschaft.

De�nition. Sind M und N zwei beliebige Mengen, mit leerem Durchschnitt (M ∩N =∅), dann heiÿenM und N disjunkt, und man kann stattM∪N auchM+N schreiben.

2.3.5 Anmerkung. Durchschnitt und Vereinigung lassen sich nicht nur für zwei Mengende�nieren. Ist I eine beliebige (endliche oder unendliche) Indexmenge und ist jedem i ∈ Ieine MengeMi zugeordnet, so de�niert man den verallgemeinerten Durchschnitt derMengen Mi mittels ⋂

i∈IMi := {x | ∀i ∈ I : x ∈Mi} . (2.31)

Es ist die Menge der Elemente, die in jeder der Mengen Mi enthalten ist.

Weiter de�niert man mittels⋃i∈I

Mi := {x | ∃i ∈ I : x ∈Mi} (2.32)

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Kapitel 2 Mengen

die verallgemeinerte Vereinigung der Mengen Mi. Es ist die Menge der Elemente,die in mindestens einer der Mengen Mi enthalten ist.

Ist die Indexmenge gleich der leeren Menge, so ist der Durchschnitt die Grundmenge (!)und die Vereinigung die leere Menge (!), da die Bedingung i ∈ I nicht erfüllt ist.

2.3.6 Satz. Für das Rechnen mit Mengen gelten folgende Aussagen:

Satz (Assoziativ-, Kommutativ- und Distributionsgesetz). Es seien M , N undL beliebige Mengen. Dann gelten die Assoziativgesetze

M ∪ (N ∪ L) = (M ∪N) ∪ L (2.33)

M ∩ (N ∩ L) = (M ∩N) ∩ L , (2.34)

die Kommutativgesetze

M ∪N = N ∪M (2.35)

M ∩N = N ∩M (2.36)

und die Distibutivgesetze

M ∪ (N ∩ L) = (M ∪N) ∩ (M ∪ L) (2.37)

M ∩ (N ∪ L) = (M ∩N) ∪ (M ∩ L) . (2.38)

Mit Hilfe der Mengendiagramme (siehe Abbildung 2.4) lassen sich diese Sätze leichtveranschaulichen.

M

N

L

Abbildung 2.4: Mengendiagramm

Formal wird das Distributivgesetz bewiesen.

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2.3 Operationen von Mengen

x ∈M ∩ (N ∪ L)↔ (De�nition Durchschnitt)

(x ∈M) ∧ (x ∈ (N ∪ L))↔ (De�nition Vereinigung)

(x ∈M) ∧ ((x ∈ N) ∨ (x ∈ L))↔ (Distributivgesetz - Aussagen)

((x ∈M) ∧ (x ∈ N))∨((x ∈M) ∧ (x ∈ L))

↔ (De�nition Durchschnitt)(x ∈M ∩N) ∨ (x ∈M ∩ L)

↔ (De�nition Vereinigung)x ∈ (M ∩N) ∪ (M ∩ L)

Somit wurde gezeigt, dass jedes Element x ∈M ∩ (N ∪L) auch Element von (M ∩N)∪(M ∩L), also M ∩ (N ∪L) ⊆ (M ∩N) ∪ (M ∩L) und umgekehrt. Wir haben damit diebeidseitige Teilmengenbeziehung gezeigt, und somit die Idendität der beiden Mengen.

Das Assoziativgesetz gilt nicht nur für drei Mengen, sondern auch für mehre Mengen.Daher kann hierbei auf die Klammersetzung verzichtet werden.

2.3.7 Bemerkung. Für das Rechnen mit Mengen sind folgende Regeln oftmals nützlich:

Bemerkung. Es seien M und N beliebige Mengen, dann gelten

M ∩ (M ∪N) = M (2.39)

M ∪ (M ∩N) = M (2.40)

M ∩M = M (2.41)

M ∪M = M (2.42)

2.3.8 Bemerkung. Für die leere Menge und die Grundmenge gelten folgende Aussagen:

Bemerkung. Es sei M eine beliebige Teilmenge der Grundmenge G, dann gelten

M ∩∅ = ∅ (2.43)

M ∪∅ = M (2.44)

M ∩G = M (2.45)

M ∪G = G (2.46)

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Kapitel 2 Mengen

2.3.9 Bemerkung. Wie wirken sich der Durchschnitt und die Vereinigung von zweiMengen auf die Potenzmengen aus, welchen Beziehungen gibt es?

Bemerkung. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Dann gelten(a) Die Potenzmenge des Durchschnitts der Mengen M und N ist gleich dem Durch-schnitt der Potenzmengen der Mengen M und N .

P(M ∩N) = P(M) ∩ P(N) (2.47)

(b) Die Vereinigung der Potenzmengen der Mengen M und N ist eine Teilmenge derPotenzmenge der Vereinigung der Mengen M und N .

P(M) ∪ P(N) ⊆ P(M ∪N) (2.48)

Beweis: Übung. Bei (a) ist die gegenseitige Teilmengenbeziehung zu zeigen. Bei (b) istnur die eine Richtung nachzuweisen. Wieso gilt die Gegenrichtung nicht? Finden Sie dazuein Gegenbeispiel.

2.3.10 De�nition (Di�erenz, Komplement). Im nachfolgenden seien M , N und Lstets beliebige Mengen, die Teilmenge einer festen Grundmenge G sind.

De�nition. (a) Es seien M und N beliebige Mengen, dann heiÿt

M\N := {x | (x ∈M) ∧ (x /∈ N)} (2.49)

die Di�erenz der Mengen M und N . In der Di�erenz sind die Elemente von M , dienicht in N sind.(b) Es sei M eine beliebige Teilmenge von G, dann heiÿt die Menge

{G(M) := {x ∈ G | x /∈M} = G\M (2.50)

das Komplement von M bezüglich G. Es enthält die Elemente der Grundmenge, dienicht in M sind.

Ist die Grundmenge G allgemein bekannt, so kann man das Komplement einer MengeMkurz als M schreiben. Durch die Umformulierung {G(M) := {x ∈ G | ¬(x ∈ M)} wirdder Zusammenhang zwischen Komplementbildung und der aussagenlogischen Negationdeutlich.

Es ergibt sich sofort, dass M und {G(M) disjunkt sind und dass M + {G(M) = G ist.

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2.3 Operationen von Mengen

2.3.11 Bemerkung. Wie bildet man die Di�erenzmenge, mit Hilfe der Komplement-menge.

Bemerkung. Es seien M und N beliebige Teilmengen einer Grundmenge G, dann gilt

M\N = M ∩ {G(N) . (2.51)

Beweis: Übung

2.3.12 De�nition (symmetrische Di�erenz). Wie wird die symmetrische Di�erenzmit Hilfe der Di�erenzen gebildet.

De�nition. Es seien M und N Mengen, dann heiÿt

M4N := (M\N) + (N\M) (2.52)

die symmetrische Di�erenz von M und N .

Veranschaulichen Sie sich die Di�erenz.

2.3.13 Bemerkung. Nochmals eine andere Möglichkeit, die symmetrische Di�erenzdarzustellen.

Bemerkung. Es seien M und N beliebige Teilmengen, dann gilt

M4N = (M ∪N)\(M ∩N) . (2.53)

Beweis: Übung

2.3.14 Satz (Regel von de Morgan). Wie bei den Aussagen gibt es auch hier Regelnvon de Morgan.

Satz. Es seien M und N beliebige Teilmengen der Grundmenge G, dann gelten dieSätze von de Morgan

{G(M ∪N) = {G(M) ∩ {G(N) (2.54)

{G(M ∩N) = {G(M) ∪ {G(N) . (2.55)

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Kapitel 2 Mengen

Ist die Grundmenge G bekannt, so schreibt man kurz

(M ∪N) = M ∩N und (2.56)

(M ∩N) = M ∪N . (2.57)

Beweis der ersten Aussage:x ∈ {G(M ∪N)

↔ (De�nition Komplement)(x ∈ G) ∧ (x /∈ (M ∪N))

↔ (Negation)(x ∈ G) ∧ ¬(x ∈ (M ∪N))

↔ (De�nition Vereinigung)(x ∈ G)∧¬((x ∈M) ∨ (x ∈ N))

↔ (Satz von de Morgan - Aussagen)(x ∈ G)∧((¬(x ∈M)) ∧ (¬(x ∈ N)))

↔ (Assoziativgesetz)((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈M)))∧((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ N)))

↔ (Negation)((x ∈ G) ∧ (x /∈M))∧((x ∈ G) ∧ (x /∈ N))

↔ (De�nition Komplement)(x ∈ {G(M) ∧ (x ∈ {G(N))

↔ (De�nition Durchschnitt)x ∈ {G(M) ∩ {G(N)

Auf Grund der De�nition der Mengengleichheit gilt damit die behauptete Aussage. Derandere Teil kann analog bewiesen werden.

2.3.15 Anmerkung. Auch für Familien von Mengen gelten die verallgemeinerter Sätzevon de Morgan .

{G(⋂i∈I

Mi) =⋃i∈I

{G(Mi) (2.58)

{G(⋃i∈I

Mi) =⋂i∈I

{G(Mi) (2.59)

2.4 Klasseneinteilung

2.4.1 De�nition (Klasseneinteilung). Im folgenden sei I stets eine beliebige Index-menge.

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2.4 Klasseneinteilung

De�nition. Es sei {Mi | i ∈ I)} eine Familie von beliebigen nicht leeren Teilmengeneiner Grundmenge. Die Familie von Mengen heiÿt (paarweise) disjunkt, wenn füralle i, j ∈ I die Mengen Mi und Mj disjunkt sind:

{Mi | i ∈ I} paarweise disjunkt :⇔ ∀i, j ∈ I, i 6= j : Mi ∩Mj = ∅ . (2.60)

Eine Familie von Mengen heiÿt Klasseneinteilung oder disjunkte Zerlegung oderPartition von G, wenn sie paarweise disjunkt ist und die verallgemeinerte Vereinigungder Mengen gleich der Grundmenge ist.

M1

M2

M3

M4

M5

M6

Abbildung 2.5: Klasseneinteilung

Klasseneinteilung tre�en wir an vielen Stellen an.

2.4.2 Beispiel. Es sei G die Menge aller derzeit lebenden Menschen, M die Mengeder Menschen männlichen Geschlechts und F die Menge der Menschen weiblichen Ge-schlechts, dann gilt M ∩F = ∅ und M ∪F = G, so dass dies eine Klasseneinteilung ist.Wir haben zwei disjunkte Klassen.

2.4.3 Beispiel. Die natürlichen Zahlen lassen sich in die disjunkten Mengen der geradenund der ungeraden Zahlen zerlegen.

2.4.4 Beispiel. Ist P die Menge der Produktion der Automobile eines Werkes an einemTag. Es werden die verschiedenen Baumuster B1, . . . , Bn produziert und seien T1, . . . , Tndie Menge der Autos der Tagesproduktion mit diesen Baumustern, dann ist {Ti ; i =1, . . . , n} die Klasseneinteilung der Tagesproduktion P .

2.4.5 De�nition (Äquivalenzklassen). Durch die Klasseneinteilung einer Menge Gist jedes Element von G genau in einer Teilmenge der Klasseneinteilung enthalten.

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Kapitel 2 Mengen

De�nition. Sind zwei Elemente x, y in der gleichen Teilmenge einer Klasseneintei-lung, so heiÿen sie äquivalent (x ∼ y). Die Teilmengen der Klasseneinteilung heiÿenauch Äquivalenzklassen. Ein Element einer Äquivalenzklasse heiÿt Repräsentantder Äquivalenzklasse.

2.4.6 Bemerkung. Für Äquivalenzklassen gibt es einige Eigenschaften, die bei der Be-handlung von Relationen noch genauer betrachtet werden.

Bemerkung. Es seien x, y und z Elemente aus einer Menge G mit einer Klassenein-teilung. Für die Äquivalenz ∼ der Klasseneinteilung gelten:(a) Für jedes x ∈ G ist x ∼ x, das heiÿt, dass die Klasseneinteilung re�exiv ist.(b) Ist x ∼ y, sind also x und y in derselben Äquivalenzklasse, dann gilt auch y ∼ x,das heiÿt, dass die Klasseneinteilung symmetrisch ist.(c) Ist x ∼ y und y ∼ z, dann ist auch x ∼ z, das heiÿt, dass die Klasseneinteilungtransitiv ist.

2.4.7 Beispiel. Die Menge der ganzen Zahlen Z wird bezüglich des Rests bei der Di-vision durch 6 in sechs verschiedene Äquivalenzklassen aufgeteilt. Für i = 0, 1, 2, 3, 4, 5seien Ti die Menge der ganzen Zahlen, die bei der Division durch 6 den Rest i haben.

Ti = {x ∈ Z | ∃n ∈ Z : x = 6n+ i} (2.61)

Dies de�niert eine Klasseneinteilung: Z = T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5.Für einen Repräsentanten und jeden Vertreter einer der Klassen T2, T4 oder T6 gilt, dasser durch zwei teilbar ist. Die Repräsentanten der Klassen T3 und T6 sind jeweils durch 3teilbar. Daher können in den Klassen T2, T3, T4 und T6 keine Primzahlen enthalten sein.(Ausnahme: 2 und 3 selbst). Durch die gemeinsame Eigenschaft der Zahlen der Klassenkann dies für jedes Element der Klasse bewiesen werden.

2.4.8 Anmerkung. Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so kann die Menge Z in ndisjunkte Teilmengen bezüglich der Division durch n zerlegt werden. Die Teilmengen Tifür i = 0, 1, . . . , n− 1, werden folgendermaÿen gebildet:

Ti := {x ∈ Z | ∃k ∈ Z : x = kn+ i} (2.62)

Diese Teilmengen bilden eine Klasseneinteilung der ganzen Zahlen. Die Menge Zn ={0, 1, . . . , n − 1} bildet ein Repräsentantensystem. Dieses Repräsentantensysten werdenim Folgenden noch vorkommen. Es hat eine wichtige Bedeutung in der Informatik.

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2.5 Kartesisches Produkt

2.4.9 Anmerkung. Die Klassenaufteilung ist ein häu�g verwendetes Verfahren, um dieProblemlösung oder andere Aufgaben auf eine begrenzte Zahl von Fällen zu reduzieren.Bei Meinungsumfragen werden die Befragten in bestimmte Klassen eingeteilt, um dannAussagen über die Vertreter dieser Klassen im allgemeinen zu erhalten.

Auch die Fallunterscheidungen ist eine Klasseneinteilung. Auch Fallunterscheidungenkommen an vielen Stellen vor, zum Beispiel bei der De�nition von mathematischen Funk-tionen, bei der Berechnung der privaten Steuerlast, in Programmvorgaben, um nur einigewenige Beispiele zu nennen.

2.5 Kartesisches Produkt

2.5.1 Anmerkung. In vielen Fällen ist es sinnvoll, geordnete Paare (x, y) von Elemen-ten x ∈ X und y ∈ Y zweier Mengen X und Y zu betrachten. Dabei heiÿt x die ersteKomponente und y die zweite Komponente. Ein Beispiel hierfür ist das 2-dimensionaleKoordinatensytem, bei dem X = R und Y = R gilt. Die Gleichheit zweier geordneterPaare wird durch

(x1, y1) = (x2, y2) :⇔ (x1 = x2) ∧ (y1 = y2) (2.63)

de�niert. Die Mengen X und Y können jedoch auch beliebige Mengen sein.

2.5.2 De�nition (Kartesisches Produkt). Zuerst die De�nition eines kartesischenProduktes bei zwei Mengen.

De�nition. Es seien X und Y zwei beliebige Mengen, dann heiÿt die Menge

X × Y := {(x, y) | x ∈ X ∧ y ∈ Y } , (2.64)

also die Menge der geordneten Paare (x, y) mit x ∈ X und y ∈ Y das kartesischeProdukt der Mengen X und Y . Die Elemente dieses kartesischen Produktes heiÿenauch geordnete 2-Tupel .

Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Philosophen und Mathematiker RenèDescartes (1596 - 1650) benannt. Das kartesische Produkt ist selber wieder eine Menge,deren Elemente die geordneten 2-Tupel sind.

2.5.3 Beispiel. In der Regel ist X × Y ungleich Y × X. Die Gleichheit ist hier dieMengengleichheit. Diese Aussage kann anhand des ersten Beispiel sofort gesehen werden.

Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {a, b}, dann ist

X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} (2.65)

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Kapitel 2 Mengen

und

Y ×X = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} . (2.66)

Die beiden kartesischen Produkte sind ungleich.

2.5.4 Beispiel. Es seien P = {p1, p2, p3, p4} eine Menge von Produkten und L ={l1, l2, l3} eine Menge von Lieferanten. Dann ist P × L das kartesische Produkt derProdukte und Lieferanten.

2.5.5 Beispiel. Es seien X = Y = N, dann ist N× N die Menge der geordneten Paarevon natürlichen Zahlen.

2.5.6 Beispiel. Es seien X = Y = R, dann ist R× R die Menge der geordneten Paarevon reellen Zahlen, der 2-dimensionale Anschaungsraum.

2.5.7 De�nition (Kartesisches Produkt). Die De�nition des kartesischen Produkteskann verallgemeinert werden. Das Produkt kann auch für drei oder mehr Mengen gebildetwerden.

De�nition. Es sei n ∈ N. Des weiteren seien beliebige nicht leere MengenX1, X2, . . . , Xn gegeben. Dann heiÿt die Menge

n∏i=1

Xi := {(x1, x2, . . . , xn) | ∀ni=1xi ∈ Xi} , (2.67)

die Menge aller (geordneten) n-Tupel (x1, x2, . . . , xn) mit xi ∈ Xi für alle i ∈{1, 2, . . . , n}, das kartesische Produkt von X1, X2, . . . , Xn.

Statt∏ni=1Xi schreibt man auch X1×X2×· · ·×Xn. Die De�nition kann auch auf Folgen

von Mengen {Xn}n∈N verallgemeinert werden.

Ist n = 2, so nennt man X1 × X2 auch Paarmenge. Für n = 1 ist das kartesischeProdukt gleich der Menge X1. Sind X1 = X2 = · · · = Xn = X, so schreibt man für∏ni=1Xi auch kurz Xn. Beispiele für spezielle kartesische Produkte sind R2 und R3, die

2- und 3-dimensionalen Anschungsräume.

2.5.8 Bemerkung. Bei einem (endlichen) kartesisches Produkt von endlichen Mengen,kann die Elementanzahl des kartesichen Produktes berechnet werden.

Bemerkung. Es seien für n ∈ N die Mengen X1, X2, . . . , Xn endlich mit den Elemen-tanzahlen |Xi| = mi. Dann gilt |

∏ni=1Xi| =

∏ni=1mi.

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2.6 Aufgaben

2.6 Aufgaben

2.6.1 Aufgabe. Geben Sie die folgenden Mengen reeller Zahlen in der aufzählendenSchreibweise an:(a) A := {x | x+ 2 = 5}(b) B := {x | x2 − 1 = 3}(c) C := {x | x3 = −8}(d) D := {x | (x− 3)2 = 36}(e) E := {x | x2 = −1}

2.6.2 Aufgabe. Bestimmen Sie alle Teilmengen von A = {a}, B = {a, b} und C ={a, b, c}.

2.6.3 Aufgabe. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie: Ist M eineTeilmenge von N , dann ist P(N) eine Teilmenge von (N) ist:

M ⊆ N → P(M) ⊆ P(N) . (2.68)

2.6.4 Aufgabe. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass die Po-tenzmenge vom Durchschnitt gleich dem Durchschnitt der Potenzmengen ist:

P(M) ∩ P(N) = P(M ∩N) (2.69)

2.6.5 Aufgabe. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Beweisen Sie, dass die Ver-einigung der Potenzmengen eine Teilmenge der Potenzmenge der Vereinigung ist:

P(M) ∪ P(N) ⊆ P(M ∪N) (2.70)

Gilt auch die Umkehrung? Beweisen Sie dies oder widerlegen Sie die Umkehrung.

2.6.6 Aufgabe. Es seien A und B beliebige Mengen und G eine Grundmenge. BeweisenSie, dass A\B = A∩{G(B) gilt, dass also die Di�erenz A ohne B gleich dem Durchschnittvon A mit dem Komplement von B ist.

2.6.7 Aufgabe. Es seien A und B beliebige Mengen. Beweisen Sie

A4B = (A ∪B)\(A ∩B) , (2.71)

dass also die symmetrische Di�erenz gleich der Di�erenz der Vereinigung vom Durch-schnitt ist.

2.6.8 Aufgabe. Es seienM und N beliebige Mengen mit der Grundmenge G. BeweisenSie, die Regel von de Morgan, dass also

{G(M ∩N) = {G(M) ∪ {G(N) (2.72)

gilt.

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Kapitel 2 Mengen

2.6.9 Aufgabe. Es seien G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} eine Grundmenge, M ={2, 3, 4, 7, 9} und N = {1, 4, 5, 9}. Bestimmen Sie:

(a) M ∩N

(b) M ∪N

(c) M\N

(d) N\M

(e) {G(M)

(f) {G(N)

(g) M∆N

2.6.10 Aufgabe. Es sei G = {n ∈ N | n < 12}, A = {1, 2, 4, 8, 9} und B ={2, 3, 5, 7, 11} Bestimmen Sie

(a) A ∩B

(b) A ∪B

(c) A\CG(B)

(d) B\A

(e) Geben Sie eine Menge C mit so wenig wie möglich Elemente an, so dass A∪B∪C = Gist.

2.6.11 Aufgabe. Es seien Ti := {n ∈ N | i teilt n} die Menge der Vielfachen von i füri ∈ N. Bestimmen Sie für beliebige i, j ∈ N Ti ∩ Tj .

2.6.12 Aufgabe. Es seien X, Y und Z beliebige Mengen. Zeigen Sie(a) X × (Y ∩ Z) = (X × Y ) ∩ (X × Z)(b) X × (Y ∪ Z) = (X × Y ) ∪ (X × Z)

Veranschaulichen Sie sich die Mengen mit Hilfe einer Skizze im 2-dimensionalen An-schaungsraum.

2.6.13 Aufgabe. Es seien X1, X2, Y1 und Y2 beliebige Mengen. Zeigen Sie

(a) (X1 ×X2) ∩ (Y1 × Y2) = (X1 ∩ Y1)× (X2 ∩ Y2)

(b) (X1 ×X2) ∪ (Y1 × Y2) ⊆ (X1 ∪ Y1)× (X2 ∪ Y2)

(c) Gilt auch die Umkehrung von (b)? Beweisen Sie entweder die Umkehrung oder zeigenSie an Hand eines Gegenbeispiels, dass die Umkehrung nicht gilt.

Veranschaulichen Sie sich die Mengen mit Hilfe einer Skizze im 2-dimensionalen Anschau-ungsraum.

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2.7 Lösungen

2.6.14 Aufgabe. Es seien X1, X2, Y1 und Y2 beliebige Mengen. Zeigen Sie

(X1 ⊆ X2) ∧ (Y1 ⊆ Y2)→ (X1 × Y1) ⊆ (X2 × Y2) . (2.73)

2.7 Lösungen

2.7.1 Lösung. zu Aufgabe 2.6.1

(a) A = {3}(b) B = {2,−2}(c) C = {−2}(d) D = {−3, 9}(e) E = ∅

2.7.2 Lösung. zu Aufgabe 2.6.2

P(A) = {∅, A}P(B) = {∅, {a}, {b}, B}P(C) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, C}

2.7.3 Lösung. zu Aufgabe 2.6.3

Es ist zu zeigen, dass jedes Element der Potenzmenge von M auch ein Element derPotenzmenge von N ist. Es ist somit zu zeigen

T ∈ P(M)→ T ∈ P(N)

gemäÿ der De�nition der Teilmenge.

T ∈ P(M)⇒ De�nition Potenzmenge

T ⊆M⇒ Transitivität (T ⊆M ⊆ N)

T ⊆ N⇒ De�nition Potenzmenge

T ∈ P(N)

2.7.4 Lösung. zu Aufgabe 2.6.4

Es ist die gegenseitige Teimengenbeziehung nachzuweisen, also

T ∈ P(M) ∩ P(N)⇒ T ∈ P(M ∩N)

und

T ∈ P(M ∩N)⇒ T ∈ P(M) ∩ P(N) .

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Kapitel 2 Mengen

T ∈ P(M) ∩ P(N)⇔ De�nition Durchschnitt

T ∈ P(M) ∧ T ∈ P(N)⇔ De�nition Potenzmenge

(T ⊆M) ∧ (T ⊆ N)⇔ Transitivität

T ⊆M ∩N⇔ De�nition Potenzmenge

T ∈ P(M ∩N)

2.7.5 Lösung. zu Aufgabe 2.6.5

Es ist die Teilmengenbeziehung zu zeigen:

T ∈ P(M) ∪ P(N)→ T ∈ P(M ∪N) .

T ∈ P(M) ∪ P(N)⇒ De�nition Vereinigung

T ∈ P(M) ∨ T ∈ P(N)⇒ De�nition Potenzmenge

(T ⊆M) ∨ (T ⊆ N)⇒ Transitivität T ⊆M ⊆M ∪N

Transitivität T ⊆ N ⊆M ∪NT ⊆M ∪N

⇒ De�nition PotenzmengeT ∈ P(M ∪N)

Mit M = {1, 2}, N = {3, 4} und T = {2, 3} erhält man ein Beispiel dafür, dass dieGegenrichtung nicht gilt, denn T ∈ P(M ∪N), jedoch T 6∈ P(M) ∪ P(N).

2.7.6 Lösung. zu Aufgabe 2.6.6

Es werden die De�nitionen von Di�erenz, Komplement und Durchschnitt eingesetzt.

A\B = {x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} De�nition Di�erenz

= {x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ {G(B))} De�nition Komplement

= A ∩ {G(B) De�nition Durchschnitt

2.7.7 Lösung. zu Aufgabe 2.6.7

Bei diesem Beweis werden Schritt für Schritt De�nitionen und bekannte Aussagen ein-gesetzt

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2.7 Lösungen

A4B= De�nition symmetrische Di�erenz

(A\B) + (B\A)= Aufgabe 2.6.6

(A ∩B) ∪ (A ∩B)= Distributivgesetz mehrmals

(A ∪B) ∩ (A ∪A)

∩(B ∪B) ∩ (A ∪B)

= X ∪X = G

(A ∪B) ∩G ∩G ∩ (A ∪B)= X ∩G = X

(A ∪B) ∩ (A ∪B)= Regel von de Morgan

(A ∪B) ∩ (A ∩B)= Aufgabe 2.6.6

(A ∪B)\(A ∩B)

2.7.8 Lösung. zu Aufgabe 2.6.8

Hier werden schrittweise Umformungen durchgeführt indem vorhandenen De�nitionenausgenutzt werden, um die Behauptung in die Aussagenlogik zu übertragen. Dort habenwir die Regel von de Morgan bereits bewiesen.

x ∈ {G(M ∩N)⇔ (De�nition Komplement)

(x ∈ G) ∧ (x /∈ (M ∩N))⇔ (De�nition Negation)

(x ∈ G) ∧ ¬(x ∈ (M ∩N))⇔ (De�nition Durchschnitt)

(x ∈ G)∧¬((x ∈M) ∧ (x ∈ N))

⇔ (Aussagenlogik Satz von de Morgan)(x ∈ G)∧((¬(x ∈M)) ∨ (¬(x ∈ N)))

⇔ (Distributivgesetz)((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈M)))∨((x ∈ G) ∧ (¬(x ∈ N)))

⇔ (De�nition Negation)((x ∈ G) ∧ (x /∈M))∨((x ∈ G) ∧ (x /∈ N))

⇔ (De�nition des Komplements)(x ∈ {G(M) ∨ (x ∈ {G(N))

⇔ (De�nition Vereinigung)x ∈ {G(M) ∪ {G(N)

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Kapitel 2 Mengen

2.7.9 Lösung. zu Aufgabe 2.6.9

(a) M ∩N = {4, 9}

(b) M ∪N = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

(c) M\N = {2, 3, 7}

(d) N\M = {1, 5}

(e) {G(M) = {1, 5, 6, 8}

(f) {G(N) = {2, 3, 6, 7, 8}

(g) M∆N = {1, 2, 3, 5, 7}

2.7.10 Lösung. zu Aufgabe 2.6.10

(a) A ∩B = {2}

(b) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11}

(c) A\CG(B) = {2}

(d) B\A = {3, 5, 7, 11}

(e) C = {6, 10}

2.7.11 Lösung. zu Aufgabe 2.6.11

Behauptung: Ti ∩ Tj = Tk mit k = kgV (i, j), (kgV = kleinstes gemeinsames Vielfaches)Zu zeigen ist die gegenseitige Teilmengenbeziehung zwischen Ti ∩ Tj und Tk, also x ∈Ti ∩ Tj ⇔ x ∈ Tk

x ∈ Ti ∩ Tj⇔ x ∈ Ti ∧ x ∈ Tj⇔ (i|x) ∧ (j|x)⇔ k = kgV (i, j)|x⇔ x ∈ Tk

2.7.12 Lösung. zu Aufgabe 2.6.12

Für den Beweis wird insbesondere die De�nition des kartesischen Produkts, aber auchdie Regeln der Mengenarithmetik verwendet.

(a)

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2.7 Lösungen

(a, b) ∈ X × (Y ∩ Z)⇔ kartesisches Produkt

(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ∩ Z)⇔ De�nition Durchschnitt

(a ∈ X) ∧ ((b ∈ Y ) ∧ (b ∈ Z))⇔ Assoziativgesetz

A ∧A = A(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ) ∧ (a ∈ X) ∧ (b ∈ Z)

⇔ kartesisches Produkt((a, b) ∈ X × Y ) ∧ ((a, b) ∈ X × Z)

⇔ De�nition Durchschnitt((a, b) ∈ (X × Y ) ∩ (X × Z)

(b)

(a, b) ∈ X × (Y ∪ Z)⇔ kartesisches Produkt

(a ∈ X) ∧ (b ∈ Y ∪ Z)⇔ De�nition Vereinigung

(a ∈ X) ∧ ((b ∈ Y ) ∨ (b ∈ Z))⇔ Distributivgesetz

((a ∈ X) ∧ (b ∈ Y )) ∨ ((a ∈ X) ∧ (b ∈ Z))⇔ kartesisches Produkt

((a, b) ∈ X × Y ) ∨ ((a, b) ∈ X × Z)⇔ De�nition Vereinigung

((a, b) ∈ (X × Y ) ∪ (X × Z)

2.7.13 Lösung. zu Aufgabe 2.6.13

(a) Für den Beweis werden schrittweise De�nitionen und bekannte Regeln eingesetzt.

(x1, x2) ∈ (X1 ×X2) ∩ (Y1 × Y2)⇔ De�nition Durchschnitt

(x1, x2) ∈ (X1 ×X2)∧ (x1, x2) ∈ (Y1 × Y2)

⇔ kartesisches Produkt[(x1 ∈ X1) ∧ (x2 ∈ X2)]

∧ [(x1 ∈ Y1) ∧ (x2 ∈ Y2)]⇔ Assoziativgesetz

[(x1 ∈ X1) ∧ (x1 ∈ Y1)]∧ [(x2 ∈ X2) ∧ (x2 ∈ Y2)]

⇔ De�nition Durchschnitt[(x1 ∈ X1 ∩ Y1)]

∧ [(x2 ∈ X2 ∩ Y2)]⇔ kartesisches Produkt

(x1, x2) ∈ (X1 ∩ Y1)× (X2 ∩ Y2)

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Kapitel 2 Mengen

Daraus ergibt sich die gegenseitige Teilmengenbeziehung und daher die Identität derMengen.

(b) Hier wird nicht bei jedem Teilschritt die beidseitige Folgerung funktionieren.

(x1, x2) ∈ (X1 ×X2) ∪ (Y1 × Y2)⇔ De�nition Vereinigung

(x1, x2) ∈ (X1 ×X2)∨ (x1, x2) ∈ (Y1 × Y2)

⇔ kartesisches Produkt[(x1 ∈ X1) ∧ (x2 ∈ X2)]

∨ [(x1 ∈ Y1) ∧ (x2 ∈ Y2)]⇔ Distributivgesetz

[(x1 ∈ X1) ∨ (x1 ∈ Y1)]∧ [(x1 ∈ X1) ∨ (x2 ∈ Y2)]∧ [(x2 ∈ X2) ∨ (x1 ∈ Y1)]∧ [(x2 ∈ X2) ∨ (x2 ∈ Y2)]

⇒ Bedingungen weglassen[(x1 ∈ X1) ∨ (x1 ∈ Y1)]

∧ [(x2 ∈ X2) ∨ (x2 ∈ Y2)]⇔ De�nition Vereinigung

(x1 ∈ X1 ∪ Y1) ∧ (x2 ∈ X2 ∪ Y2)⇔ kartesisches Produkt

(x1, x2) ∈ (X1 ∪ Y1)× (X2 ∪ Y2)

Daraus ergibt sich (X1 ×X2) ∪ (Y1 × Y2) ⊆ (X1 ∪ Y1)× (X2 ∪ Y2).

(c) Die Umkehrung gilt nicht, was mit dem Beispiel X1 = {a}, Y1 = {b}, X2 = {1}und Y2 = {2} gezeigt werden kann. Das Tupel (a, 2) ist im kartesischen Produkt derVereinigungen, jedoch nicht in der Vereinigung der kartesischen Produkte.

2.7.14 Lösung. zu Aufgabe 2.6.14

Zu zeigen ist, dass jedes Element auf X1 × X2 auch Element in Y1 × Y2 gilt. Sei dazu(a, b) ∈ (X1 × Y1). Dann gilt auf Grund der De�ntion des kartesischen Produkts a ∈ X1

und b ∈ Y1. Da die Teilmengenbeziehungen X1 ⊆ X2 und Y1 ⊆ Y2 gelten folgt darausa ∈ X2 und b ∈ Y2 und damit (a, b) ∈ (X2 × Y2) .

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Kapitel 3

Relationen

3.0.1 . Zu einem der fundamentalen Begri�en der Mathematik gehört der Begri� derRelation, der im Abschnitt 3.1 grundlegend de�niert wird. Den Relationen liegt daskartesische Produkt von Mengen zugrunde. Relationen beschreiben Beziehungen zwi-schen Elementen von Mengen. Die Eigenschaften von Relationen werden anschlieÿend(Abschnitt 3.2) de�niert.

Relationen �nden sich auch in vielen Bereichen des täglichen Lebens, zum Beispiel inden Beziehungen zwischen Menschen: �Andreas ist befreundet mit Bernd�, �Claudia istverheiratet mit Dieter� und �Ernst ist Vater von Franz�. Auch die Stücklistenstruktur�ist Teil von� ist eine Relation. Relationen �nden auch in der Informatik eine wichtigeAnwendung. Ein relationales Datenbankmodell basiert auf Relationen. Diese Beispielesollen nur andeuten, dass der Begri� der Relationen um uns herum oft vorkommt.

Zwei wichtige Typen von Relationen, die genauer betrachtet werden, sind die Äquiva-lenzrelation (Abschnitt 3.3) und die Ordnungsrelation (Abschnitt 3.4).

3.1 Grundlagen

3.1.1 De�nition (Relation). Die De�nition einer Relation ist sehr einfach.

De�nition. Es seien X1, X2, . . . , Xn beliebige nicht leere Mengen, dann heiÿt jede Teil-menge R ⊆ X1 ×X2 × · · · ×Xn des kartesischen Produktes eine n-stellige Relationder Mengen X1, X2, . . . , Xn.Zwei Relationen heiÿen gleich, wenn sie als Mengen gleich sind.

Die 1-stelligen Relationen einer Menge sind genau die Teilmengen der Menge. Als 0-stellige Relationen werden die Elemente der Menge aufgefasst. Eine 2-stellige Relationheiÿt auch binäre Relation.

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3.1 Grundlagen

3.1.2 Beispiel. Zur Verdeutlichung der De�nition einige Beispiele von Relationen.

Es seien X = {1, 2, 3} und Y = {a, b}. Daraus ergeben sich für das kartesische ProdukteX × Y

X × Y = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} . (3.1)

DurchR := {(1, a), (2, b), (3, a), (3, b)} ist eine Relation de�niert, die mittels einer Tabelle(siehe Tabelle 3.1) oder einer Gra�k (siehe Abbildung 3.1) beschrieben werden kann.

1 2 3a X Xb X X

Tabelle 3.1: Darstellung Relation in Tabellenform

3

2

1

b

a

Abbildung 3.1: Darstellung Relation als Gra�k

3.1.3 Beispiel. Es seien P = {p1, p2, p3, p4} eine Menge von Produkten und L ={l1, l2, l3} eine Menge von Lieferanten. Dann ist P × L das kartesische Produkt derProdukte und Lieferanten. Wenn der Lieferant l1 die Produkte p1 und p2, der Lieferantl2 die Produkte p1, p3 und p4 und der Lieferant l3 die Produkte p2 und p4 liefert, so kanndie Relation R �wird geliefert von� dargestellt werden durch

R = {(p1, l1), (p2, l1), (p1, l2), (p3, l2), (p4, l2), (p2, l3), (p4, l3)} (3.2)

3.1.4 Beispiel. Es sei M = {A,B,C,D} eine Menge von vier Orten. Die Relation Rder Ortsverbindungen auf M sei de�niert durch die Eigenschaft, dass das Tupel (X,Y )genau dann in der Relation enthalten ist, wenn es eine Verbindung vom Ort X zum OrtY gibt. Existiert eine direkte Verbindung von Ort X nach Ort Y , dann bedeutet dasnicht, dass es auch eine direkte Verbindung von Ort Y zum Ort X gibt. Es sei

R = {(A,B), (B,A), (A,C), (C,D), (3.3)

(D,A), (B,D), (D,B), (B,C), (C,B)} .

Die Relation kann auch als Gra�k dargestellt werden (siehe Abbildung 3.2). Hierbei wirddurch einen gerichteten Pfeil von X nach Y dargestellt, dass das Tupel (X,Y ) in derRelation ist, dass es somit eine direkte Verbindung von X nach Y gibt.

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Kapitel 3 Relationen

A B

C D

Abbildung 3.2: Beispiel: Ortsverbindungen

3.1.5 Beispiel. Es sei X = Y = R, dann ist

K2 := {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y2 = 4)} (3.4)

eine Relation von R2. Gra�sch sind es die Punkte im 2-dimensionalen Anschaungsraum,die auf einem Kreis mit Radius 2 um den Ursprung liegen.

3.1.6 Beispiel. Es sei X = Y = N, dann sind

R := {(x, y) ∈ N2 | (x ≤ y)} (3.5)

und

R := {(x, y) ∈ N2 | (x < y)} (3.6)

Relationen von N2. Veranschaulichen Sie sich die Menge gra�sch.

3.1.7 Beispiel. Es sei X = Y = N, dann ist

R := {(x, y) ∈ N2 | (x− y = 1) ∨ (y − x = 1)} (3.7)

eine Relation von N2.

3.1.8 Beispiel. Es sei M eine beliebige Menge und X = Y = P(M) die Potenzmengevon M , dann ist

T := {(U, V ) | (U ⊆M) ∧ (V ⊆M) ∧ (U ⊆ V )} (3.8)

eine Relation von P(M)2.

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3.1 Grundlagen

3.1.9 Beispiel. Es sei X = Y = Z, dann ist für n ∈ N

Rn := {(x, y) ∈ Z2 | n|(x− y)} (3.9)

eine Relation von Z2. Ein Tupel (x, y) ist in der Relation, wenn die Di�erenz der beidenZahlen durch n teilbar ist.

Für n = 1 ist R1 = Z2, also trivial.

Für n = 2 ist R2 die Menge der ganzzahligen 2-Tupel, für welche die Di�erenz der beidenZahlen durch 2 teilbar ist. So sind die Tupel (0, 0), (0, 2), (1, 3), (12,−6) Elemente derRelation, während (17, 12) nicht zur Relation gehört.

Für n = 5 sind beispielsweise die Tupel (0, 0), (0, 5), (0, 10), (1, 6), (2, 7), (3, 8), (5, 0)und (17, 12) in der Relation. Nicht in der Relation sind beispielsweise (0, 1), (0, 2), (0, 3),(0, 4) und (12, 8).

Verdeutlichen Sie sich, welche Elemente in der Relation

Rn = {(x, y) ∈ Z2 | n|(x− y)} (3.10)

für n = 1, 2, 3, 4, 5 und 6 enthalten sind.

3.1.10 De�nition (Inverse Relation). Für die Relationen können einige spezielleOperationen de�niert werden. Eine davon ist die inverse Relation.

De�nition. Es sei R ⊆ X × Y eine binäre Relation. Die inverse Relation R−1 istde�niert durch

R−1 = {(y, x) ∈ Y ×X | (x, y) ∈ R} . (3.11)

Ist (x, y) eine Element aus R ⊆ X × Y , dann ist (y, x) ein Element aus R−1 ⊆ Y ×X.

3.1.11 Beispiel (Inverse Relation). Es sei X = Y = N und R ⊆ X × Y = N2.Hierbei sei R de�niert durch

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)} . (3.12)

Dann gilt

R−1 = {(1, 1), (2, 1), (4, 1), (3, 2), (2, 4)} . (3.13)

3.1.12 De�nition (Komposition). Eine weitere Operation ist die Komposition vonRelationen.

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Kapitel 3 Relationen

De�nition. Es seien R ⊆ X×Y und S ⊆ Y ×Z binäre Relationen. Die KompositionR ◦ S ist eine Relation zwischen X und Z. Sie ist de�niert durch

R ◦ S = {(x, z) ∈ X × Z | ∃y ∈ Y : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ S} (3.14)

Die Komposition R◦S beinhaltet somit die Tupel (x, z) ∈ X×Z, für die es ein Elementy ∈ Y gibt, so dass sowohl (x, y) ∈ R, als auch (y, z) ∈ S gelten. Statt R ◦ S schreibtman auch kurz RS.

3.1.13 Beispiel (Komposition). Es sei X = Y = Z = N, R ⊆ X × Y = N2 undS ⊆ Y × Z = N2. Hierbei sei R de�niert durch

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)} (3.15)

und S durch

S = {(1, 3), (2, 2), (1, 4), (3, 5)} . (3.16)

Dann gilt

R ◦ S = {(1, 3), (1, 4), (1, 2), (2, 5), (4, 2)} (3.17)

3.1.14 Beispiel (Komposition). Es sei X = Y = N, R ⊆ X × Y = N2. Hierbei sei Rde�niert durch

R = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 3), (4, 2)} . (3.18)

Dann gilt

R2 = R ◦R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)} . (3.19)

Weiterhin gilt, hier im speziellen Fall, R3 = R2.

3.2 Eigenschaften

3.2.1 . Für 2-stellige Relationen R ⊆ X × Y , mit beliebigen nicht leeren Mengen Xund Y schreibt man auch xRy statt (x, y) ∈ R. Im nachfolgenden werden hauptsächlich2-stellige Relationen R ⊆ X×X, mit einer beliebigen Menge X, betrachtet. Man sprichtdann auch von einer Relation auf X. Im Nachfolgenden einige wichtige Eigenschaftenvon Relationen auf X.

3.2.2 De�nition (re�exiv, irre�exiv). Zuerst werden Beziehungen eines Elementeszu sich selbst betrachtet.

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3.2 Eigenschaften

De�nition. Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Relation R ⊆ X×X heiÿtre�exiv, falls für alle x ∈ X, (x, x) ∈ R

∀x ∈ X : (x, x) ∈ R (3.20)

gilt. Eine Relation R ⊆ X ×X heiÿt irre�exiv, falls für alle x ∈ X, (x, x) /∈ R

∀x ∈ X : (x, x) /∈ R (3.21)

gilt.

Ist die Relation re�exiv, dann steht jedes Element in einer Beziehung zu sich selbst. Istdie Relation irre�exiv, dann steht jedes Element nicht in einer Beziehung zu sich.

3.2.3 De�nition (symmetrisch, asymmetrisch, antisymmetrisch). Nun werdendie Beziehung zwischen zwei Elementen betrachtet.

De�nition. Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Relation R ⊆ X×X heiÿtirre�exiv, falls für alle x ∈ X, (x, x) /∈ R symmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus(x, y) ∈ R folgt, dass auch (y, x) ∈ R

∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R (3.22)

gilt. Eine Relation R ⊆ X × X heiÿt asymmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus(x, y) ∈ R folgt, dass (y, x) /∈ R

∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R → (y, x) /∈ R (3.23)

gilt. Eine Relation R ⊆ X × X heiÿt antisymmetrisch, falls für alle x, y ∈ X aus(x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R folgt, dass dann x = y

∀(x, y ∈ X) : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → (x = y) (3.24)

gilt.

Wenn das Tupel (x, y) in der Relation ist, dann ist das Tupel (y, x) in der Relation, wenndie Relation symmetrisch ist. Bei einer asymmetrischen Relation ist das Tupel (y, x)nicht in der Relation. Bei einer antisymmetrischen Relation folgt aus der Tatsache, dasssowohl das Tupel (x, y), als auch das Tupel (y, x) in der Relation ist, dass dann x und ygleich sind.

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Kapitel 3 Relationen

Besonders zu beachten ist, dass die Eigenschaften symmetrisch und antisymmetrisch nichtdie �Negation� zueinander sind. Das heiÿt eine Relation die nicht symmetrisch ist, istdamit nicht automatisch antisymmetrisch. Und eine Relation, die nicht antisymmetrischist, ist nicht automatisch damit symmetrisch. Ebenso wenig ist eine Relation, die nichtsymmetrisch ist, asymmetrisch.

3.2.4 De�nition (transitiv). Nun wird eine Folge von Tupeln betrachtet.

De�nition. Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Relation R ⊆ X × Xheiÿt transitiv, falls für alle x, y, z ∈ X aus (x, y) ∈ R und (y, z) ∈ R folgt, dass auch(x, z) ∈ R gilt:

∀(x, y, z ∈ X) : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R (3.25)

gilt.

Wenn (x, y) und (y, z) aus der Relation sind, dann ist auch (x, z) aus der Relation.

3.2.5 De�nition (vollständig). Ist es immer möglich, eine Beziehung zwischen zweiElementen zu haben?

De�nition. Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge. Eine Relation R ⊆ X×X heiÿtvollständig, falls für alle x, y ∈ X (x, y) ∈ R oder (y, x) ∈ R

∀(x ∈ X) and (y ∈ X) : (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R . (3.26)

gilt.

Mindestens eines der Paare (x, y) und (y, x) ist in der Relation. Wenn eine Relationvollständig ist, dann bedeutet dies, dass zu zwei Elementen x und y stets (x, y) oder(y, x) (oder auch beide) in der Relation sind.

3.2.6 Beispiel. Es sei X = Y = N, dann ist R := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation vonN2. Die Relation ist re�exiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.

3.2.7 Beispiel. Es sei X = Y = N, dann ist R := {(x, y) | x < y)} eine Relation vonN2. Die Relation ist irre�exiv, transitiv und antisymmetrisch, jedoch nicht re�exiv odersymmetrisch.

3.2.8 Beispiel. Es sei X = Y = R, dann ist R := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation vonR2. Die Relation ist re�exiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig.

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3.2 Eigenschaften

3.2.9 Beispiel. Es sei X = Y = R, dann ist R := {(x, y) | x2 + y2 = 4} eine Relationvon R2. Die Relation ist symmetrisch.

3.2.10 Beispiel. Es seien X = Y = Z und n ∈ N, dann ist R := {(x, y) | n|(x − y)}eine Relation von Z2. Die Relation ist re�exiv, symmetrisch und transitiv.

3.2.11 De�nition (Äquivalenzrelation, Ordnungsrelation). Die wichtigsten Rela-tionen erfüllen gleichzeitig mehrere der Eigenschaften re�exiv, symmetrisch, antisymme-trisch, transitiv und vollständig.

De�nition. Es seien X eine beliebige, nicht leere Menge und R ⊆ X×X eine Relationauf X.

1. R heiÿt Äquivalenzrelation auf X, falls sie re�exiv, transitiv und symmetrischist. In diesem Fall schreibt man a ≈ b anstelle von (a, b) ∈ R und man sagt �a istäquivalent zu b�.

2. R heiÿt Ordnungsrelation auf X, falls sie re�exiv, transitiv und antisymme-trisch ist. In diesem Fall schreibt man a � b anstelle von (a, b) ∈ R und man sagt�a ist kleiner gleich b�.

3. R heiÿt Präferenzrelation auf X, falls sie re�exiv, transitiv und vollständig ist.In diesem Fall schreibt man a � b anstelle von (a, b) ∈ R und sagt �a ist höchstensso gut wie b�.

Bevor die Äquivalenz- und Ordnungsrelationen genauer betrachten werden folgen nuneinige Beispiele für solche Relationen.

3.2.12 Beispiel. Es sei X = Y = N, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation vonN2. Die Relation ist re�exiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig und daher eine(vollständige) Ordnungsrelation (auf N).

3.2.13 Beispiel. Es sei X = Y = R, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation vonR. Die Relation ist re�exiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig und daher eine(vollständige) Ordnungsrelation (auf R).

3.2.14 Beispiel. Es sei M eine beliebige, nicht leere Menge und X = Y = P(M) diePotenzmenge von M , dann ist R := {(U, V ) | (U ⊆ V )} eine Relation auf P(M). DieRelation ist re�exiv, antisymmetrisch und transitiv und daher eine Ordnungsrelation (aufP(M)). Die Relation ist jedoch nicht vollständig.

3.2.15 Beispiel. Es sei X = R, dann wird durch R := {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ |y|} einePräferenzrelation auf R de�niert. Sie ist re�exiv, transitiv und vollständig, jedoch wedersymmetrisch noch antisymmetrisch, daher ist es eine Präferenzrelation.

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Kapitel 3 Relationen

3.2.16 Beispiel. Es sei X eine Menge von Gütern. Jedem x ∈ X sei ein Wert u(x)zugeordnet, der als Nutzen von x interpretiert wird. Dann wird durch R := {(x, y) ∈X2 | u(x) ≤ u(y)} eine Präferenzrelation auf X de�niert. Sie ist re�exiv, transitiv undvollständig, jedoch weder symmetrisch noch antisymmetrisch, daher ist es eine Präfe-renzrelation.

3.3 Äquivalenzrelationen

3.3.1 Beispiel. Eine Äquivalenzrelation ist eine Relation, die re�exiv, symmetrisch undtransitiv ist. Dazu einige Beispiele.

1. In der Geometrie ist die Parallelität von Geraden eine Äquivalenzralation auf derMenge der Geraden.

2. Die Anzahl der Elemente einer Menge (Mächtigkeit) ist eine Äquivalenzrelation aufder Menge der endlichen Mengen.

3.3.2 Beispiel. Es sei X = Z, dann ist für n ∈ N\{1}

Rn := {(x, y) | (n|(x− y)} ⊆ Z2 (3.27)

eine Relation. Die Relation ist re�exiv, symmetrisch und transitiv, daher ist die Relationeine Äquivalenzrelation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡ ymodulon oderx ≡n y und sagt �x ist kongruent zu y modulo n�.Sind x und y kongruent modulo n, dann besitzen x und y bei der Division durch n denselben Rest.

Für n = 1 wäre R1 = Z2. Daher ist dieses Beispiel einfach und wird im weiteren nichtvertieft.

3.3.3 Beispiel. Es seiX = N. Jedem n ∈ N wird durch q(n) die Quersumme zugeordnet.Durch

R := {(x, y) ∈ N2 | q(x) = q(y)} (3.28)

ist eine Äquivalenzrelation auf N de�niert wird.

3.3.4 De�nition (Äquivalenzklasse). Die Elemente einer Menge, die bezüglich einerÄquivalenzrelation zueinander äquivalent sind bilden eine Teilmenge der Menge. DieseTeilmengen werden nun genauer betrachtet.

De�nition. Es sei X eine beliebige Menge und R ⊆ X × X eine Äquivalenzrelationauf X. Für jedes x ∈ X heiÿt die Menge

[x] := {y ∈ X | y ≈ x} (3.29)

die Äquivalenzklasse von x.

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3.3 Äquivalenzrelationen

Eine Äquivalenzrelation [x] enthält somit all diejenigen Elemente der Menge, die zu xäquivalent sind.

3.3.5 Bemerkung. Für Äquivalenzklassen gelten folgende Aussagen:

Bemerkung. Es sei X eine beliebige Menge und R ⊆ X ×X eine Äquivalenzrelationauf X, dann gelten:

1. Jede Äquivalenzklasse ist ungleich der leeren Menge.

2. Sind zwei Elemente x und y äquivalent, dann sind die Äquivalenzklassen [x] und[y] von x und y identisch.

3. Jedes Element gehört zu genau einer Äquivalenzklasse.

4. Je zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt.

Beweis:

1. Da x ∈ [x] gilt, ist eine Äquivalenzklasse nicht die leere Menge.

2. Wenn x ≈ y gilt, dann gilt für ein z ∈ X:

z ∈ [x]↔ z ≈ x↔ z ≈ y ↔ z ∈ [y] (3.30)

Die mittlere (Aussagen-)Äquivalenz gilt auf Grund der Transitivität der Relation,da x ≈ y gilt. Damit hat man die Mengenidentität von [x] und [y] gezeigt, dajedes Element von [x] auch Element von [y] ist und umgekehrt. Also wurde diegegenseitige Teilmengenbeziehung gezeigt.

3. Da x ∈ [x], gehört x mindestens zu einer Äquivalenzklasse. Falls x ∈ [y] und x ∈ [z]gelten, dann folgt daraus, dass x ≈ y und x ≈ z gilt. Auf Grund der Transitivitätder Relation ist dann y ≈ z und somit [y] = [z]. Damit gehört x zu maximal einerund zu genau einer Äquivalenzklasse.

4. Folgt direkt aus den obigen Aussagen.

3.3.6 Anmerkung. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge X zerlegt damit X inpaarweise disjunkte, nicht leere Mengen, die Äquivalenzklassen. Es entsteht somit eineKlasseneinteilung. Genauso folgt aus einer Klasseneinteilung einer Menge eine Äquiva-lenzrelation, indem zwei Elemente genau dann in einer Äquivalenzklasse sind, wenn siezur selben Klasse bezüglich der Klasseneinteilung gehören.

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Kapitel 3 Relationen

3.3.7 De�nition (Quotientenmenge). Eine Äquivalenzrelation erzeugt eine neueMenge, die Menge der Äquivalenzklassen von X. Hierbei muss man beachten, dass dieElemente der Klasseneinteilung selber Mengen sind, nämlich die Äquivalenzklassen.

De�nition. Es sei X eine beliebige, nicht leere Menge und R ⊆ X ×X eine Äquiva-lenzrelation auf X, dann heiÿt die Menge der Äquivalenzklassen von X nach R

X/R := {[x] | x ∈ X} (3.31)

die Quotientenmenge von X nach R.Ein Element y ∈ [x] heiÿt Repräsentant der Klasse [x].Eine Menge V heiÿt vollständiges Repräsentantensystem von X/R, wenn V genauein Element aus jeder Klasse von X/R enthält.

3.3.8 Beispiel. Die Geraden mit paralleler Richtung bilden die Äquivalenzklassen. DieParallelität von Geraden führt zum Begri� der Richtung.

3.3.9 Beispiel. Die Mengen mit gleicher Elementanzahl bilden die Äquivalenzklassenauf der Menge der endlichen Mengen. Die Mächtigkeit von Mengen führt zum Begri� derKardinalität.

3.3.10 Beispiel. Für jedes n ∈ N\{1} ist

Rn := {(x, y) | n|(x− y)} ⊆ Z2 (3.32)

eine Relation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡ ymodulon und sagt, �x istkongruent zu y modulo n�. Für n ∈ N\{1} gibt es n Repräsentanten der QuotientenmengeZ/Rn. Die Klassen seien [0], [1], . . . , [n−1]. Die Repräsentanten seien 0, 1, . . . , n−1. Durch

[x] + [y] := [x+ y] (3.33)

und

[x] · [y] := [x · y] (3.34)

wird auf der Quotientenmenge Z/Rn =: Zn eine Addition und eine Multiplikation de�-niert.

1. Rn ist eine Äquivalenzrelation.

2. Für beliebiges n ∈ N\{1} und i = 0, 1, . . . , n− 1 gilt

[i] = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn+ i} (3.35)

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3.4 Ordnungsrelationen

3.3.11 Beispiel. Es seiM = N×N die Menge der 2-Tupel mit natürlichen Zahlen. EineRelation R ⊆M ×M sei de�niert durch:

((a, b) , (c, d)) ∈ R :⇔ (a+ d = b+ c) . (3.36)

Statt ((a, b) , (c, d)) ∈ R schreibt man auch (a, b) ∼ (c, d).

R ist eine Äquivalenzrelation auf M = N × N. Die Quotientenmenge (N × N)/R oder(N× N)/ ∼ ist äquivalent zu den ganzen Zahlen Z.

3.4 Ordnungsrelationen

3.4.1 De�nition (teilweise geordnet, streng geordnet). Es seien M eine Mengeund R ⊆M ×M eine Ordnungsrelation. Eine Relation ist eine Ordnungsrelation, wennsie re�exiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Statt (x, y) ∈ R schreibt man x � y undsagt �x ist kleiner (oder gleich) y� ist.

Wichtige Begri�e für Ordnungsrelationen werden eingeführt.

De�nition. Eine binäre Relation � auf einer Menge M heiÿt Ordnungsrelation,teilweise Ordnung oder partielle Ordnung, wenn sie re�exiv, antisymmetrisch undtransitiv ist. Die Menge M heiÿt dann geordnete Menge (M,�) oder teilweise ge-ordnete Menge.Wenn eine Relation transitiv, jedoch nicht re�exiv ist, dann heiÿt die Relation einestrenge Ordnungsrelation. Eine Menge mit einer strengen Ordnungsrelation heiÿtstreng geordnete Menge.

Für ein teilweise geordnete Menge schreibt man auch kurz tgo Menge oder poset�partially ordered set�.

3.4.2 Anmerkung. Es sei M eine Menge. Ist R ⊆ M × M eine Ordnungsrelati-on, so kann daraus eine strenge Ordnungsrelation gebildet werden, indem die RelationR\D ⊆M ×M gebildet wird, mit D := {(x, x) | x ∈M}. Es wird somit die �Diagonale�der Menge M entfernt. Auf der anderen Seite kann aus einer strengen Ordnungsrelationeine Ordnungsrelation gebildet werden, indem diese �Diagonale� zur Relation hinzugefügtwird. Daher kann man zwischen einer Ordnungsrelation und einer strengen Ordnungsre-lation hin- und herschalten.

3.4.3 Beispiel. Die Mengen (N,≤), (Z,≤), (Q,≤) und (R,≤) mit der uns bekanntenkleiner-gleich-Beziehung sind geordnete Mengen.Die Mengen (N, <), (Z, <), (Q, <), (R, <) sind streng geordnete Mengen.

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Kapitel 3 Relationen

3.4.4 Beispiel. Es sei M eine Menge, dann ist (P(M),⊆) eine geordnete Menge.(P(M),⊂) ist eine streng geordnete Menge.

3.4.5 Beispiel. Die Menge (N, |) mit der Ordnungsrelation

x � y :⇔ x|y (3.37)

ist eine geordnete Menge.In diesem Beispiel ist die Ordnungsrelation durch die Teilbarkeit der Zahlen bestimmt.

3.4.6 Beispiel. Für alle n ∈ N gilt, dass n|n gilt, daher ist die Relation re�exiv. Esseien n,m ∈ N. Wenn n|m und m|n gilt, dann folgt daraus n = m, somit ist die Relationantisymmetrisch. Wenn für n,m, l ∈ N gilt: n|m und m|l, dann gilt auch n|l, und daherist die Relation transitiv. Somit ist die Relation insgesamt eine Ordnungsrelation.

3.4.7 De�nition (linear geordnet). Die reellen Zahlen können auf einem Zahlen-strahl angeordnet werden. Gilt diese Eigenschaft allgemeiner?

De�nition. Eine Ordnungsrelation � auf einer Menge M heiÿt total geordnet, kon-nex oder linear geordnet, wenn für alle Elemente x, y der MengeM x � y oder y � xgilt.

(M,�) linear geordnet :⇔ ∀(x, y ∈M) : (x � y) ∨ (y � x) . (3.38)

Bei einer total geordneten Menge verwendet man oftmals auch das Symbol ≤ statt �.Damit verdeutlicht man die Nähe zur totalen Ordnung auf den Zahlenmengen N, Z, Qund R.

Bei einer linear geordneten Menge können die Elemente der Menge linear angeordnetwerden. Es kann für zwei Elemente der Menge stets angegeben werden, welche von beidenZahlen kleiner ist.

3.4.8 Beispiel. (N,≤), (Z,≤), (Q,≤) und (R,≤) sind linear geordnete Mengen.

3.4.9 Beispiel. Es seiM eine Menge, dann ist (P(M),⊆) keine linear geordnete Menge.

3.4.10 Beispiel. (N, |) ist keine linear geordnete Menge.

3.4.11 De�nition (Ordnungsdiagramme). Ordnungsstrukturen endlicher Mengen(M,�) lassen sich in einfachen Fällen übersichtlich in einem Diagramm darstellen. DieseDiagramme heiÿen Ordnungsdiagramm oder Hasse-Diagramm, benannt nach demdeutschen Mathematiker Helmut Hasse (1898 - 1979). Jedem Element der Menge wird

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3.4 Ordnungsrelationen

ein Punkt der Zeichenebene zugeordnet. Ist a � b, so wird ein Pfeil von a nach b gezeich-net. Es kann vereinbart werden, dass ein Element b oberhalb eines Elements a gezeichnetwird, wenn a � b ist. Darüber hinaus werden a und b einfach verbunden. Ein Pfeil istnicht notwendig, da durch die Anordnung �unten - oben� die Pfeilrichtung entnommenwerden kann. Um die Anzahl der Linien zu reduzieren, werden keine Verbindungen einesElements mit sich selbst gezeichnet, das heiÿt, dass die re�exive Eigenschaft nicht dar-gestellt wird. Darüber hinaus wird a nicht mit b verbunden, wenn b auch über anderePunkte mit a verbunden ist, das heiÿt, die transitive Eigenschaft wird nicht dargestellt.

3.4.12 Beispiel. Es sei M = {n ∈ N | 1 < n < 10} und x � y :⇔ x|y. Dann kanndie Ordnungsrelation folgendermaÿen gra�sch mit Hilfe eines Ordnungs- oder Hasse-Diagramm dargestellt werden (siehe Abbildung 3.3).

2

4

8

6

3

9

5

7

Abbildung 3.3: Beispiel: Ordnungsrelation

3.4.13 Beispiel. 2

4

6

12

3

5

25

7

Abbildung 3.4: Beispiel: maximale und minimale Elemente

Es seiM = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 12, 25} mit der Ordnungsrelation a � b :⇔ a|b. Das Ordnungs-

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Kapitel 3 Relationen

diagramm hat folgendes Aussehen (siehe Abbildung 3.4) In diesem Beispiel gibt es keinElement, das gröÿer als 12, 25 oder 7 ist. Wird die Menge auf die Element {2, 3, 4, 6, 12}eingeschränkt, dann ist die 12 sogar gröÿer als jedes andere Element der Menge. Diesführt zu De�nitionen von ausgezeichneten Elementen einer geordneten Menge.

3.4.14 De�nition (maximales Element, gröÿtes Element). Die Elemente im vor-herigen Beispiel werden nun klar de�niert.

De�nition. Es sei (M,�) eine geordnete Menge. Ein Element m aus M heiÿt maxi-males Element von M (m = maxEl(M)), wenn es kein Element gibt, das gröÿer alsm ist:

m = maxEl(M) :⇔ (m ∈M) ∧ [∀(x ∈M) : m ≤ x→ x = m] . (3.39)

Ein Element g aus M heiÿt gröÿtes Element von M (g = grEl(M)), wenn g gröÿerals jedes andere Element von M ist:

g = grEl(M) :⇔ (g ∈M) ∧ ∀(x ∈M) : x ≤ g . (3.40)

Für ein maximales Element gibt es keine Elemente in der Menge, die gröÿer sind alsdieses maximale Element. Ein gröÿtes Element ist gröÿer als jedes andere Element. Dasist ein kleiner, aber entscheidender Unterschied, der zu beachten ist. Eine Menge kanndurchaus mehrere maximale Element haben. Wenn ein gröÿtes Element existiert, dannist dieses eindeutig.

3.4.15 De�nition (minimales Element, kleinstes Element). Nun die Elemente,die in der Ordnung unten stehen.

De�nition. Es sei (M,�) eine geordnete Menge. Ein Element m aus M heiÿt mini-males Element von M (m = minEl(M)), wenn es kein Element gibt, das kleiner alsm ist:

m = minEl(M) :⇔ (m ∈M) ∧ [∀(x ∈M) : x ≤ m→ x = m] . (3.41)

Ein Element k aus M heiÿt kleinstes Element von M (k = klEl(M)), wenn k kleinerals jedes andere Element von M ist:

k = klEl(M) :⇔ (k ∈M) ∧ ∀(x ∈M) : k ≤ x . (3.42)

Für ein minimales Element gibt es keine Elemente in der Menge, die kleiner sind alsdieses minimale Element. Ein kleinstes Element ist kleiner als jedes andere Element. Das

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3.4 Ordnungsrelationen

ist ein kleiner, aber entscheidender Unterschied, der zu beachten ist. Eine Menge kanndurchaus mehrere minimale Element haben. Wenn ein kleinstes Element existiert, dannist dieses eindeutig.

3.4.16 Beispiel. Im Beispiel 3.4.13 sind 12, 25 und 7 maximale Elemente, die Zahlen2, 3, 5 und 7 sind minimale Elemente. Es gibt kein gröÿtes oder kleinstes Element. Wieman sieht, kann ein Element zugleich maximales und minimales Element sein. Für dieTeilmenge 2, 3, 4, 6, 12 ist 12 ein gröÿtes Element. Ein gröÿtes Element einer Mengemuss nicht existieren. Genausowenig ein kleinstes Element.

3.4.17 Beispiel. Es sei

F := {x ∈ Q | x = 1− 1

n, n ∈ N} (3.43)

eine Teilmenge der geordneten Menge (Q,≤). Alle Elemente der Menge sind kleiner 2oder auch kleiner 3/2 oder auch kleiner 1. Somit gibt es Element aus der Obermenge Qvon F , die eine obere Schranke für die Elemente der Menge von F bilden.

3.4.18 De�nition (Schranke, beschränkt). Dies führt zu folgenden De�nitionen.

De�nition. Es sei (M,�) eine geordnete Menge und T eine Teilmenge von M mit derselben Ordnungsrelation. Ein Element o aus M heiÿt obere Schranke von T (o =obSch(T )), wenn alle Elemente von T kleiner oder gleich o sind

o = obSch(T ) :⇔ (o ∈M) ∧ ∀(x ∈ T ) : x � o . (3.44)

Existiert eine obere Schranke für eine Menge T , so heiÿt die Menge nach oben be-schränkt.Ein Element u aus M heiÿt untere Schranke von T (u = untSch(T )), wenn alleElemente von T gröÿer oder gleich u sind

u = untSch(T ) :⇔ (u ∈M) ∧ ∀(x ∈ T ) : u � x . (3.45)

Existiert eine untere Schranke für eine Menge T , so heiÿt die Menge nach untenbeschränkt.

Eine obere oder untere Schranke einer Menge T muss nicht in der Menge T selbst enthal-ten sein, sie können in einer Obermenge existieren. Wenn eine Menge T ein gröÿtes oderein kleinstes Element hat, dann ist dieses Element auch zugleich eine obere oder untereSchranke für die Menge M .

3.4.19 Beispiel. Für die obige Menge F (siehe Beispiel 3.4.17) sei S die Menge deroberen Schranken. Es stellt sich die Frage nach dem kleinsten Element dieser Menge. Indiesem Beispiel ist 1 das kleinste Element der oberen Schranken. Die 1 ist nicht in derMenge F enthalten, jedoch in der Obermenge Q.

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Kapitel 3 Relationen

3.4.20 De�nition (Grenze, Supremum, In�mum).

De�nition. Ein Element o aus M heiÿt obere Grenze von T (o = obGr(T )), wenn odas kleinste Element der Menge der oberen Schranken von T ist. Das Element o heiÿtdann auch Supremum von T :

o = obGr(T ) :⇔ (o ∈M) ∧ o = klEl(S) (3.46)

mit S = {s | s = obSch(M)}.

Ein Element u aus M heiÿt untere Grenze von T (u = untGr(T )), wenn u das gröÿteElement der Menge der unteren Schranken von T ist. Das Element u heiÿt dann auchIn�mum von T :

u = untGr(T ) :⇔ (u ∈M) ∧ u = grEl(S) (3.47)

mit S = {s | s = untSch(M)}.

Eine obere oder untere Grenze muss nicht immer existieren.

3.4.21 Beispiel. Sei nun

W := {x ∈ Q | x2 ≤ 2} ⊆ Q . (3.48)

Die Menge W ist nach oben beschränkt, denn beispielsweise 2; 1,5 oder 1,42 sind obereSchranken. Es gibt jedoch keine obere Grenze von W in Q, da

√2 keine rationale Zahl

ist. Erst wenn man nicht Q, sondern R als Obermenge betrachtet, hat die Menge W eineobere Grenze.

3.4.22 Beispiel. Es sei A := {t ∈ N | (t|36) and(t < 15)} mit der Ordnungsstruktur, diedurch a ≤ b :⇔ a|b de�niert ist. Die Elemente der Menge A sind A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12}.Das Ordnungsdiagramm ist in Abbildung 3.5 zu sehen.

Die 9 und die 12 sind maximale Elemente, denn es gibt keine Elemente in der Menge, diegröÿer sind. Die 6 hingegen ist kein maximales Element, da die 12 gröÿer als die 6 ist.Ein gröÿtes Element existiert nicht, denn die 12 ist gemäÿ der Ordnungsstruktur nichtgröÿer als 9, da die 9 kein Teiler der 12 ist. In der Obermenge der natürlichen Zahlengibt es verschiedene obere Schranken bezüglich der Ordnungsstruktur, zum Beispiel die36 oder auch die 72. Die 18 ist keine obere Schranke, denn die 12 ist kein Teiler der 18,also ist die 18 nicht gröÿer als jedes Element der Menge. Das Supremum ist die 36.

Die 1 ist minimales Element, kleinstes Element und In�mum der Menge.

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3.5 Aufgaben

4

2

12

1

6

3

9

Abbildung 3.5: Ordnungsrelation Teiler von 36

3.5 Aufgaben

3.5.1 Aufgabe. Eine re�exive und transitive Relation R sei sowohl symmetrisch, alsauch antisymmetrisch. Was können Sie daraus für die Relation folgern?

3.5.2 Aufgabe. Es sei X = Y = R, dann ist R≤ := {(x, y) | x ≤ y)} eine Relation vonR2. Zeigen Sie, dass die Relation re�exiv, antisymmetrisch, transitiv und vollständig ist.Daher ist es eine (vollständige) Ordnungsrelation (auf R).

3.5.3 Aufgabe. Es sei M eine beliebige Menge und X = Y = P(M) die Potenzmengevon M , dann ist R := {(U, V ) | (U ⊆ V )} eine Relation auf P(M). Zeigen Sie, dass dieRelation re�exiv, antisymmetrisch und transitiv und daher eine Ordnungsrelation (aufP(M)) ist. Zeigen Sie, dass die Relation nicht vollständig ist.

3.5.4 Aufgabe. Für jedes n ∈ N sei

Rn := {(x, y) ∈ Z2 | (n|(x− y)} (3.49)

eine Relation. Ist (x, y) ∈ Rn dann schreibt man auch x ≡ y modulo n und sagt, dass �xkongruent zu y modulo n� ist. Für n ∈ N gibt es n Repräsentanten der QuotientenmengeZ\Rn. Die Klassen seinen [0], [1], . . . , [n − 1], die Repräsentanten seien 0, 1, . . . , n − 1.Durch

[x] + [y] := [x+ y] (3.50)

[x] · [y] := [x · y] (3.51)

wird auf der Quotientenmenge Z/Rn =: Zn eine Addition und eine Multiplikation de�-niert.

(a) Zeigen Sie, dass Rn eine Äquivalenzrelation ist.

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Kapitel 3 Relationen

(b) Zeigen Sie, dass für beliebiges n ∈ N und i = 0, 1, . . . , n− 1 gilt

[i] = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn+ i} (3.52)

gilt.

(c) Erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel für Zn für n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 und 10.

3.5.5 Aufgabe. Es sei M = N×N die Menge der 2-Tupel mit natürlichen Zahlen. EineRelation R ⊆M ×M sei de�niert durch:

((a, b) , (c, d)) ∈ R :⇔ (a+ d = b+ c) (3.53)

Statt ((a, b) , (c, d)) ∈ R schreibt man auch (a, b) ∼ (c, d).

1. Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation auf M = N× N ist.

2. Bestimmen Sie die Elemente der Äquivalenzklassen von (1, 1), (1, 2) und (2, 1).

Die Quotientenmenge (N× N)/R oder (N× N)/ ∼ ist äquivalent zu den ganzen ZahlenZ.

3.5.6 Aufgabe. Es sei M = R2\{(0, 0)} und R ⊆ M ×M eine Relation, die de�niertist durch

((x1, y1), (x2, y2)) ∈ R :⇔ x1y2 = x2y1 (3.54)

Ist ((x1, y1), (x2, y2)) ∈ R, dann schreibt man auch (x1, y1) ∼ (x2, y2).

(a) Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist.

(b) Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [(0, 1)], [(1, 0)], [(1, 1)] und [(1, a)] (a ∈ R).

3.5.7 Aufgabe. Es sei M = {n ∈ N | 1 < n < 10} und R ⊆ N × N eine Relation, diede�niert ist durch (x, y) ∈ R :⇔ x|y (x ist ein Teiler von y).

(a) Bestimmen Sie alle Elemente von M und R.

(b) Zeigen Sie, dass R eine Ordnungsrelation ist.

(c) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm der Relation.

(d) Zeigen Sie, dass R keine Äquivalenzrelation ist.

3.5.8 Aufgabe. Es sei Tn := {t ∈ N | t|n} für n ∈ N eine Teilmenge von N mitder Ordnungsrelation R, die durch die Teilbarkeit de�niert ist: (x, y) ∈ R :⇔ x|y.Bestimmen Sie die Elemente der Mengen T2, T3, T4, T6, T12 und T24 und zeichnen Siedie Ordnungsdiagramme.

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3.5 Aufgaben

3.5.9 Aufgabe. Es sei Tn := {t ∈ N | t|n} für n ∈ N eine Teilmenge von N mitder Ordnungsrelation R, die durch die Teilbarkeit de�niert ist: (x, y) ∈ R :⇔ x|y. Esseien p und q Primzahlen. Bestimmen Sie die Elemente von Tn und zeichnen Sie dieOrdnungsdiagramme für n = p, p2, p3, p4, pq, p2q, p3q, p2q2.

3.5.10 Aufgabe. Es sei A := {t ∈ N | (t|72) and (t < 20)} die Menge der Teiler von 72,die kleiner als 20 sind. Es gelte die Ordnungsstruktur, die durch a ≤ b :⇔ a|b de�niertist.(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.(c) Bestimmen Sie alle maximalen, minimalen, gröÿten und kleinsten Elemente von A,falls diese existieren.(d) Bestimmen Sie das Supremum und das In�mum, falls diese existieren.

3.5.11 Aufgabe. Es sei � die Ordnungsrelation auf N, die durch a � b :⇔ a|b de�niertist. Es sei A := {t ∈ N | (t|108) ∧ (t < 20)} die Menge der Teiler von 108, die kleiner als20 sind. Es gelte die obige Ordnungsstruktur.

(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.

(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.

(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) dasgröÿte und das kleinste Element.

(d) Bestimmen Sie das Supremum und das In�mum, falls diese existieren.

3.5.12 Aufgabe. Es sei ≤ die Ordnungsrelation auf N, die durch a � b :⇔ a|b de�niertist. Es sei A := {t ∈ N| (t|216) and (t > 2) and (t < 50)} mit der obigen Ordnungsstruk-tur.(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) dasgröÿte und das kleinste Element.(d) Bestimmen Sie das Supremum und das In�mum, falls diese existieren.

3.5.13 Aufgabe. Es sei ≤ die Ordnungsrelation auf N, die durch a � b :⇔ a|b de�niertist. Es sei A := {t ∈ N | (t|360) ∧ t > 9) ∧ (t < 100)} die Menge der Teiler von 360, diegröÿer als 9 und kleiner als 100 sind. mit der obigen Ordnungsstruktur.(a) Bestimmen Sie die Elemente von A.(b) Zeichnen Sie das Ordnungsdiagramm.(c) Geben Sie die minimalen und maximalen Elemente an, sowie (falls sie existieren) dasgröÿte und das kleinste Element.(d) Bestimmen Sie das Supremum und das In�mum, falls diese existieren.

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Kapitel 3 Relationen

3.5.14 Aufgabe. Es sei M = {(x1, x2) ∈ R2|x1 ≤ x2} die Menge der Tupel (x1, x2) mitx1 ≤ x2. Eine Relation R auf M ist de�niert durch:

((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R :⇔ (x1 ≤ y1) and (y2 ≤ x2) (3.55)

Statt ((x1, x2), (y1, y2)) ∈ R kann man auch (x1, x2) w (y1, y2) schreiben. Die Tupel(x1, x2) können als Intervalle auf R interpretiert werden.

(a) Zeigen Sie, dass durch R eine Ordnungsrelation de�niert wird.

(b) Zeigen Sie, dass es keine linear geordnete Ordnungsrelation ist.

3.6 Lösungen

3.6.1 Lösung. zu Aufgabe 3.5.1 Da die Relation R symmetrisch ist, gilt für alle 2-Tupel(x, y) ∈ R, dass auch für das 2-Tupel (y, x) gilt, dass (y, x) ∈ R ist. Da nun wiederumdie Relation auch antisymmetrisch ist, gilt somit, da sowohl (x, y) als auch (y, x) in derRelation sind, dass dann x = y gilt. Somit ist die Relation die �Gleichheitsrelation�.

R = {(x, y) | x = y}

3.6.2 Lösung. zu Aufgabe 3.5.2

re�exiv: ∀x ∈ R : x ≤ x → ∀x ∈ R : (x, x) ∈ R≤

antisymmetrisch: Seien (x, y) ∈ R≤ und (y, x) ∈ R≤ ⇒ x ≤ y ∧ y ≤ x → x = y

transitiv: Seien (x, y) ∈ R≤ und (y, z) ∈ R≤ → x ≤ y ∧ y ≤ z → x ≤ z → (x, z) ∈ R≤

vollständig: ∀x, y ∈ R : x ≤ y ∨ y ≤ x → (x, y) ∈ R≤ ∨ (y, x) ∈ R≤

3.6.3 Lösung. zu Aufgabe 3.5.3

re�exiv: ∀U ∈ P(M) : U ⊆ U → ∀U ∈ P(M) : (U,U) ∈ P(M)

antisymmetrisch: Seien (U, V ) ∈ P(M) und (V,U) ∈ P(M)→ U ⊆ V ∧V ⊆ U ⇒ U = V

transitiv: Seien (U, V ) ∈ P(M) und (V,W ) ∈ P(M) → U ⊆ V ∧ V ⊆ W → U ⊆ W →(U,W ) ∈ P(M)

vollständig: Es seien M = {a, b}, A = {a} und B = {b}. Es gilt weder A ⊆ B nochB ⊆ A.

3.6.4 Lösung. zu Aufgabe 3.5.4

(a) ∀n ∈ N

• ∀x ∈ Z:x− x = 0 → n|(x− x) → (x, x) ∈ Rn⇒ re�exiv

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3.6 Lösungen

• ∀x, y ∈ Z:(x, y) ∈ Rn → n|(x− y) → n|(y − x) → (y, x) ∈ Rn⇒ symmetrisch

• ∀x, y, z ∈ Z:(x, y) ∈ Rn∧ (y, z) ∈ Rn → n|(x− y)∧n|(y− z)→ n|(x− y) + (y− z)→ n|(x− z)→ (x, z) ∈ Rn⇒ transitiv

(b) Es sei A = {z ∈ Z | ∃x ∈ Z : z = xn+ i}. Dann geltenz ∈ [i] ↔ (z, i) ∈ Rn ↔ n|(z− i) ↔ ∃x ∈ Z : xn = z− i ↔ ∃x ∈ Z : z = xn+ i ↔ z ∈ A⇒ Damit gilt sowohl [i] ⊆ A und A ⊆ [i], so dass die Gleichheit gilt.

Da die Relation re�exiv, symmetrisch und transitiv ist, ist es eine Äquivalenzrelation.

(c)

n = 2

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

n = 3

+ 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

· 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 2 1

n = 4

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

n = 5

+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

· 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

n = 6

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Kapitel 3 Relationen

+ 0 1 2 3 4 50 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 50 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

3.6.5 Lösung. zu Aufgabe 3.5.5 Vorbemerkung: Im folgenden seien stets a, b, c, d, eund f ∈ N und die Rechenregeln für die natürlichen Zahlen werden angewendet. Desweiteren gilt:

x ∈M ⇔ ∃a, b ∈ N : x = (a, b)

Um nachzuweisen, dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss nachgewiesen wer-den, dass die Relation re�exiv, symmetrisch und transitiv ist.

∀a, b ∈ Na+ b = a+ b⇒ (a, b) ∼ (a, b)→ ∀x ∈M : x ∼ x

=⇒ re�exiv

(a, b) ∼ (c, d)⇒ a+ d = b+ c⇒ c+ b = d+ a ⇒ (c, d) ∼ (a, b)

=⇒ symmetrisch

(a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (e, f)⇒ (a+ d = b+ c) ∧ (c+ f = d+ e)

⇒ a+ d+ c+ f = b+ c+ d+ e⇒ a+ f = b+ e⇒ (a, b) ∼ (e, f)

=⇒ transitiv

[(1, 1)] = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), . . .} ∼= 0[(2, 1)] = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), . . .} ∼= 1[(1, 2)] = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), . . .} ∼= -1

3.6.6 Lösung. zu Aufgabe 3.5.6

• ∀x, y ∈ R : xy = xy → (x, y) ∼ (x, y) ⇒ die Relation ist re�exiv.

• (x1, y1) ∼ (x2, y2) → x1y2 = x2y1 → x2y1 = x1y2 → (x2, y2) ∼ (x1, y1) ⇒ dieRelation ist symmetrisch

• (x1, y1) ∼ (x2, y2) and (x2, y2) ∼ (x3, y3) → x1y2 = x2y1 and x2y3 = x3y2 →x1y2x2y3 = x2y1x3y2 → x1y3 = x3y1 → (x1, y1) ∼ (x3, y3) → die Relation isttransitivIst x2 = 0 , dann gilt y2 6= 0 und damit muss x1 = 0 und ebenso x3 = 0 gelten.Wenn y2 = 0 gilt, dann folgt daraus y1 = 0 und y3 = 0:

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3.6 Lösungen

⇒ die Relation ist eine Äquivalenzrelation

[(0, 1)] = {(x, y)|(x, y) ∼ (0, 1)} = {(0, y)|y ∈ R×}

[(1, 0)] = {(x, 0)|x ∈ R×}

[(1, 1)] = {(x, x)|x ∈ R×}

[(1, a)] = {(x, ax)|x ∈ R×}

3.6.7 Lösung. zu Aufgabe 3.5.7(a) M = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3, 6), (3, 9), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8), (9, 9)}

(b)

• ∀x ∈M : x|x → (x, x) ∈ R⇒ re�exiv

• (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R → x|y and y|x → x = y⇒ antisymmetrisch

• (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R → x|y ∧ y|z → x|z → (x, z) ∈ R⇒ transitiv

Da die Relation re�exiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist es eine Ordnungsrelation.

(c)

23

45

67

89

�����

AAAA

(d) 2|4 → (2, 4) ∈ R, jedoch (4, 2) /∈ R, da 4 kein Teiler von 2 ist.

3.6.8 Lösung. zu Aufgabe 3.5.8 T2 = {1, 2}, T3 = {1, 3}, T4 = {1, 2, 4}, T6 ={1, 2, 3, 6}, T12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},

3.6.9 Lösung. zu Aufgabe 3.5.9 Übung

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Kapitel 3 Relationen

3.6.10 Lösung. zu Aufgabe 3.5.10

(a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18}

(b)

1

2

4

8

3

6

12

9

18

@@

@@

@@

@@

@@ @@

��

����

����

(c) minimales Element = kleinstes Element = 1maximale Element: 8, 12, 18; gröÿtes Element existiert nicht

(d) In�mum = 1; Supremum = 72

3.6.11 Lösung. zu Aufgabe 3.5.11

(a) A = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18}

(b)

1

2

4

3

6

12

9

18

@@

@@ @@

@@ @@

��

����

����

(c) minimales Element = kleinstes Element = 1maximale Element: 12, 18; gröÿtes Element existiert nicht

(d) In�mum = 1; Supremum = 36

Version 8.1 18.02.2017 93

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3.6 Lösungen

3.6.12 Lösung. zu Aufgabe 3.5.12

(a) A = {3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36}

(c)maxEl(A) = {24, 27, 36},minEl(A) = {3, 4}, gröÿtes und kleinstes Element existiertnicht.

(d) sup(A) = 216, inf(A) = 1

3.6.13 Lösung. zu Aufgabe 3.5.13

(a) A = {10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90}

(c) maxEl(A) = {40, 60, 72, 90}, minEl(A) = {10, 12, 15, 18}, gröÿtes und kleinstesElement existiert nicht.

(d) sup(A) = 360, inf(A) = 1

3.6.14 Lösung. zu Aufgabe 3.5.14

(a)∀x1, x2 ∈ R: (x1 ≤ x1) ∧ (x2 ≤ x2)→ (x1, x2) w (x1, x2)⇒ die Relation ist re�exiv

(x1, x2) w (y1, y2) ∧ (y1, y2) w (x1, x2)→ (x1 ≤ y1) ∧ (y2 ≤ x2) ∧ (y1 ≤ x1) ∧ (x2 ≤ y2)→ x1 = y1 ∧ x2 = y2→ (x1, x2) = (y1, y2)⇒ die Relation ist antisymmetrisch

(x1, x2) w (y1, y2) ∧ (y1, y2) w (z1, z2)→ (x1 ≤ y1) ∧ (y2 ≤ x2) ∧ (y1 ≤ z1) ∧ (z2 ≤ y2)→ (x1 ≤ z1) ∧ (z2 ≤ x2)→ (x1, x2) w (z1, z2)⇒ die Relation ist transitiv

⇒ die Relation ist eine Ordnungsrelation!

(b) (1,2) 6w (2,3), (2,3) 6w (1,2).

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Kapitel 4

Abbildungen

4.0.1 . Eine spezielle Relation ist die Abbildung. Auf Grund der Wichtigkeit für dengesamten Bereich der Mathematik, werden Abbildungen genauer betrachtet. Nach derDe�nition von Abbildungen (Abschnitt 4.1) werden Eigenschaften von Abbildungen(siehe Abschnitt 4.2) erläutert. Im Abschnitt 4.3 werden kurz Mengen von Abbildungenbetrachtet.

4.1 De�nition von Abbildungen

4.1.1 De�nition (Abbildung). Gleich die einfache De�nition einer Abbildung.

De�nition. Es seien X und Y zwei beliebige, nicht leere Mengen und f ⊆ X × Y eineVorschrift, die jedem Element von X genau ein Element aus Y zuordnet:

∀x ∈ X ∃1y ∈ Y : (x, y) ∈ f . (4.1)

Das Tripel (f,X, Y ) oder kurz f heiÿt Abbildung von X nach Y . Man schreibt dafürauch:

f : X → Y , x 7→ f(x) = y . (4.2)

Die Menge X heiÿt der De�nitionsbereich von f . Die Menge Y heiÿt der Wertebe-reich von f . Die Menge

f(X) := {y ∈ Y | ∃x ∈ X : f(x) = y} (4.3)

heiÿt Bild von f , und die Menge

graph(f) := {(x, f(x)) | x ∈ X} (4.4)

heiÿt Graph von f .

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4.1 De�nition von Abbildungen

X Y

f(X)

f

Abbildung 4.1: Abbildung

Auf Grund der Eigenschaft f ⊆ X × Y ist f eine Relation von X × Y . Die zusätzlicheEigenschaft ist eben, dass es für jedes Element von x ∈ X genau ein Element y ∈ Ygibt, so dass (x, y) ∈ f ist. Es wird zwischen der Abbildung f und dem Wert f(x)der Abbildung f an der Stelle x unterschieden. In der Abbildung 4.1 ist die Abbildunggra�sch dargestellt.

Das Bild von f ist eine Teilmenge von Y (f(X) ⊆ Y ), der Graph von f ist eine Teilmengedes kartesischen Produktes von X und Y (graph(f) ⊆ X × Y ).

4.1.2 De�nition (Gleichheit). Wann sind zwei Abbildung gleich?

De�nition. Zwei Abbildungen f : X → Y und g : X → Y heiÿen gleich, wennf(x) = g(x) für alle x ∈ X gilt.

f = g :⇔ ∀x ∈ X : f(x) = g(x) . (4.5)

Hierbei ist auch wichtig, dass die De�nitionsbereiche und die Wertebereiche identischsind.

4.1.3 Beispiel. Die Abbildung, die einer natürlichen Zahl n seinen Nachfolger zuordnet.

f : N→ N, n 7→ f(n) = n+ 1 (4.6)

f(N) = N\{1}

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Kapitel 4 Abbildungen

4.1.4 Beispiel. Die Abbildung, die jeder natürlichen Zahl sein Doppeltes zuordnet.

f : N→ N, n 7→ f(n) = 2n (4.7)

f(N) = {2, 4, 6, 8, . . .}

4.1.5 Beispiel. Die Abbildung, die jeder ganzen Zahl z seinen Nachfolger zuordnet.

f : Z→ Z, z 7→ f(z) = z + 1 (4.8)

f(Z) = Z

4.1.6 Beispiel. Die Abbildung, die einer geraden natürlichen Zahl den halben Wertzuordnet. Den ungeraden natürlichen Zahlen wird eine negative Zahl zugeordnet.

f : N→ Z, n 7→ f(n) :=

{n/2 falls n gerade

−(n− 1)/2 falls n ungerade .(4.9)

Es ist eine Abbildung von den natürlichen Zahlen in die Menge der ganzen Zahlen. Hierbeigibt es für jede ganze Zahl z eine natürliche Zahl n, so dass f(n) = z ist. Somit gilt hierf(N) = Z.

4.1.7 Beispiel. Die Abbildung, die jeder reellen Zahl das Quadrat der Zahl zuordnet.

f : R→ R, x 7→ f(x) = x2 (4.10)

Der Wertebereich sind die positiven reellen Zahlen, inklusive der 0, es gilt also f(R) = R+0 .

4.1.8 Beispiel.

f : R→ R, x 7→ f(x) =√x (4.11)

ist keine Abbildung, da nicht jedem x ∈ R genau ein Wert zugewiesen werden kann, dazum Einem die Wurzel von negativen Zahlen in R nicht de�niert ist, und zum Anderenfür positive Werte von x ∈ R die Wurzel zwei Lösungen hat, die positive und die negativeWurzel. Schränkt man die Vorschrift auf positive Werte ein f : R+

0 → R+0 , x 7→ f(x) =

+√x dann erhält man eine Abbildung, mit f(R+

0 ) = R+0

4.1.9 Beispiel. Es sei X eine Menge von Gütern, durch u : X → R, x 7→ u(x), wobeiu(x) der Nutzen des Gutes x darstellt, wird eine Abbildung de�niert.

4.1.10 Beispiel. Es sei M eine (endliche) Menge und P(M) die Potenzmenge von M ,dann wird durch

f : P(M)→ N0, T 7→ f(T ) := |T | (4.12)

eine Abbildung de�niert. Die Abbildung ordnet jeder Menge die Anzahl der Elementeder Menge zu.

4.1.11 De�nition (Bild, Urbild). Auch für Teilmengen A ⊆ X und B ⊆ Y könnenwir die Wirkung einer Abbildung f : X → Y betrachten.

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4.1 De�nition von Abbildungen

De�nition. Es sei f : X → Y eine Abbildung. Für A ⊆ X heiÿt die Menge

f(A) := {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f(x) = y} (4.13)

das Bild von A unter f . Für B ⊆ Y heiÿt die Menge

f−1(B) := {x ∈ X | f(x) ∈ B} (4.14)

das Urbild von B unter f . Für ein y ∈ Y setzen wir

f−1(y) := {x ∈ X | f(x) = y} = f−1({y}) (4.15)

In den beiden Abbildungen 4.2 und 4.3 sind die Beziehungen gra�sch dargestellt.

X

A

Y

f(A)

f

Abbildung 4.2: Bild

4.1.12 Bemerkung. Bei einer Abbildung f : X → Y und Teilmengen A ⊆ X undB ⊆ Y gilt für Bild und Urbild:

Bemerkung. Es sei f : X → Y eine Abbildung und A ⊆ X und B ⊆ Y , dann gelten(a) Die Menge A ⊆ X ist eine Teilmenge der Urbildmenge vom Bild von A:

A ⊆ f−1(f(A)) . (4.16)

(b) Das Bild vom Urbild einer Menge B ⊆ Y ist eine Teilmenge von B:

f(f−1(B)) ⊆ B . (4.17)

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Kapitel 4 Abbildungen

X

f−1(B)

Y

B

f

Abbildung 4.3: Urbild

Beweis:(a) Ist a ∈ A, dann ist f(a) ∈ f(A) auf Grund der De�nition von f(A). Damit ist a einElement der Menge, deren Bilder in f(A) sind. Diese Menge ist gemäÿ der De�nitiongleich dem Urbild von f(A) (a ∈ {x ∈ X | f(x) ∈ f(A)} = f−1(f(A))). Damit istA ⊆ f−1(f(A)) gezeigt.

a ∈ A→ f(a) ∈ f(A)→ a ∈ {x ∈ X | f(x) ∈ f(A)} = f−1(f(A))

⇒ A ⊆ f−1(f(A))

(b) Auf Grund der De�nitionen gelten f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} und damit auchf(f−1(B)) = {y ∈ Y | ∃a ∈ f−1(B) : f(a) = y}. Ist b ∈ f(f−1(B)), dann existiert eina ∈ f−1(B) mit f(a) = b. Da a ∈ f−1(b) ist, gilt somit b = f(a) ∈ B. Somit ist dieTeilmengenbeziehung f(f−1(B)) ⊆ B gezeigt.

b ∈ f(f−1(B))→ ∃a ∈ f−1(B) : f(a) = b→ b = f(a) ∈ B

⇒ f(f−1(B)) ⊆ B

4.1.13 Anmerkung. Die Umkehrungen gelten nicht, was man an nachfolgenden Bei-spielen sehen kann, so dass dies (in der Regel) keine Mengengleichheiten sind! Späterwird gezeigt, unter welchen Bedingungen die Mengengleichheit doch gilt.

4.1.14 Beispiel. Gegeben sei die Abbildung f : R → R, x 7→ f(x) = x2. Dann gilt fürA = {1}, f(A) = {1} und f−1(f(A)) = {1,−1}.

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4.1 De�nition von Abbildungen

4.1.15 Beispiel. Gegeben sei die Abbildung f : N → N, n 7→ f(n) = 2n. Dann gilt fürB := {1, 2}, f−1(B) = {1} und f(f−1(B)) = {2}

4.1.16 Bemerkung. Für Verknüpfungen von Mengen und Abbildungen können Regelnangegeben werden.

Bemerkung. Es seien f : X → Y eine Abbildung und A,B ⊆ X, dann gelten(a) Das Bild des Durchschnitts ist Teilmenge des Durchschnitts der Bilder

f(A ∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B) . (4.18)

(b) Das Bild der Vereinigung ist gleich dem Durchschnitt der Bilder.

f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) . (4.19)

Beweis: Übung. Wieso gilt bei (a) nicht die Gleichheit?

4.1.17 Bemerkung. Weiter gilt

Bemerkung. Es sei f : X → Y eine Abbildung, und A,B ⊆ Y , dann gelten(a) Das Urbild des Durchschnitts ist gleich dem Durchschnitt der Urbilder:

f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B) . (4.20)

(b) Das Urbild der Vereinigung ist gleich der Vereinigung der Urbilder:

f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B) . (4.21)

Beweis:

(a) Es sei x ∈ f−1(A ∩B), dann folgt daraus, dass f(x) ∈ A ∩B ist. Somit ist f(x) ∈ Aund f(x) ∈ B. Somit gilt x ∈ f−1(A) und x ∈ f−1(B) und damit x ∈ f−1(A) ∩ f−1(B).Auch die Umkehrung gilt. Also gilt die gegenseitige Teilmengenbeziehung und damit dieMengengleichheit.

x ∈ f−1(A ∩B)↔ f(x) ∈ A ∩B↔ f(x) ∈ A ∧ f(x) ∈ B↔ x ∈ f−1(A) ∧ x ∈ f−1(B)↔ x ∈ f−1(A) ∩ f−1(B).

Beweis Teil b) als Übung.

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Kapitel 4 Abbildungen

4.1.18 Anmerkung (Funktionen). Funktionen sind eine andere Bezeichnung für Ab-bildungen. In der Algebra spricht man meist von Abbildungen. In der Analysis (wenndie Mengen reelle oder komplexe Zahlen sind) spricht man meist von Funktionen.

4.2 Eigenschaften

4.2.1 De�nition (injektiv, surjektiv und bijektiv). Abbildung können bestimmteEigenschaften haben.

De�nition. Es sei f : X → Y eine Abbildung. Sie heiÿt injektiv oder eineindeutig,wenn für zwei unterschiedliche Elemente x1 und x2 von X die Bilder f(x1) und f(x2)unterschiedlich sind:

∀x1, x2 ∈ X : (f(x1) = f(x2))→ (x1 = x2) . (4.22)

Sie heiÿt surjektiv, falls es zu jedem Element y ∈ Y ein Element x ∈ X gibt, mitf(x) = y:

∀(y ∈ Y ) : ∃(x ∈ X) : f(x) = y . (4.23)

Sie heiÿt bijektiv, falls f injektiv und surjektiv ist.

4.2.2 Bemerkung. Ist die Abbildung injektiv, dann gibt es keine zwei Elemente in X,die auf das selbe Element in Y abgebildet werden. Ist die Abbildung surjektiv, dann gibtes zu jedem Element von Y mindestens ein Urbild in X. Damit gilt

Bemerkung. Es sei f : X → Y eine Abbildung. Es gelten

f injektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f−1(y)| ≤ 1 (4.24)

f surjektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f−1(y)| ≥ 1 (4.25)

f bijektiv :⇔ ∀y ∈ Y : |f−1(y)| = 1 (4.26)

Bei einer surjektiven Abbildung f : X → Y gilt dann f(X) = Y .

4.2.3 De�nition (Umkehrabbildung). Bei einer bijektiven Abbildung hat das Urbildjedes Elementes y ∈ Y genau ein Element. Das bedeutet, dass jedem von Y genau einElement aus X zugeordnet ist. Das ist die grundlegende Eigenschaft für eine Abbildung.

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4.2 Eigenschaften

De�nition. Es sei f : X → Y eine bijektive Abbildung, dann gibt es zu jedem y ∈ Ygenau ein x ∈ X mit f(x) = y und man schreibt f−1(y) = x. Die hierdurch de�nierteAbbildung f−1 : Y → X heiÿt Umkehrabbildung von f .

4.2.4 Beispiel.

f : N→ N, n 7→ f(n) = n+ 1 (4.27)

f ist injektiv, jedoch nicht surjektiv.

4.2.5 Beispiel.

f : N→ N, n 7→ f(n) = 2n (4.28)

f ist injektiv, jedoch nicht surjektiv.

4.2.6 Beispiel.

f : Z→ Z, z 7→ f(z) = z + 1 (4.29)

f ist injektiv und surjektiv.

4.2.7 Beispiel.

f : N→ Z, n 7→ f(n) :=

{n/2 falls n gerade

−(n− 1)/2 falls n ungerade .(4.30)

f ist injektiv und surjektiv, also bijektiv.

4.2.8 Beispiel.

f : R→ R, x 7→ f(x) = x2 (4.31)

Die Funktion f ist nicht injektiv, da beispielsweise f(1) = f(−1), jedoch 1 6= −1 gilt.Die Funktion f ist auch nicht surjektiv, da f(R) = R+

0 . Schränkt man die Abbildung aufR+0 ein, dann ist die Abbildung injektiv und surjektiv, also bijektiv.

4.2.9 Beispiel.

f : R+0 → R+

0 , x 7→ f(x) =√x (4.32)

Die Funktion f ist eine injektive und surjektive, also bijektive Abbildung.

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Kapitel 4 Abbildungen

4.2.10 Beispiel. Es seien Mi Mengen (i = 1, 2, . . . , n). Für jedes i = 1, 2, . . . , n sei dieAbbildungen

fi : M1 ×M2 × · · · ×Mn →Mi, (x1, x2, . . . , xn) 7→ xi (4.33)

de�niert. Die Abbildungen fi sind surjektiv. Die Abbildung fi heiÿt die i-te Projektion.

4.2.11 Beispiel. Es seien M eine Menge und A eine Äquivalenzrelation. Durch

k : M →M/A, x 7→ [x] (4.34)

wird eine Abbildung de�niert. Sie ist surjektiv. Sie heiÿt kanonische Abbildung.

4.2.12 Beispiel. Es sei M eine Menge und U ⊆M eine Teilmenge von M . Durch

ı : U →M,u 7→ ı(u) = u (4.35)

wird eine Abbildung de�niert. Die Abbildung ist injektiv. Sie heiÿt Inklusionsabbil-dung oder Einbettung von U in M . Beispiele dafür sind die Einbettungen von N in Z,Z in Q und Q in R.

4.2.13 De�nition (konstante Abbildung). Einige besondere Abbildungen seiennoch de�niert.

De�nition (konstante Abbildung). Es sei f : X → Y eine Abbildung. Sie heiÿtkonstant oder konstante Abbildung, falls alle Werte von X auf das selbe Elementvon Y abgebildet werden.

∀x1, x2 ∈ X : f(x1) = f(x2) (4.36)

4.2.14 De�nition (Einschränkung). Eine Abbildung kann auf einen Teil des De�ni-tionsbereiches eingeschränkt werden.

De�nition. Eine Abbildung g : U → Y heiÿt Einschränkung von f : X → Y , wennU eine Teilmenge von X ist und für alle Elemente x aus U f(x) = g(x) gilt.

U ⊆ X ∧ ∀x ∈ U : f(x) = g(x) . (4.37)

Man schreibt dann g = f/U .

4.2.15 De�nition (Fortsetzung). Ebenso wichtig ist es eine Abbildung über den ge-gebenen De�nitionsbereich fortzusetzen.

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4.2 Eigenschaften

De�nition. Eine Abbildung g : O → Y heiÿt Fortsetzung von f : X → Y , wenn Oeine Obermenge von X ist und g/X = f gilt.

X ⊆ O ∧ g/X = f (4.38)

4.2.16 Beispiel. Es sei die Abbildung f : R → R\{1}, x 7→ (x2 − 1)/(x − 1). DieAbbildung g : R→ R, x 7→ x+ 1 ist eine Fortsetzung von f .

4.2.17 De�nition (Identität). Eine einfache Abbildung einer Menge in sich selber.

De�nition. Es sei f : X → X eine Abbildung. Sie heiÿt Identität von X (idX), fallsjedes Element der Menge X auf sich selbst abgebildet wird:

∀x ∈ X : f(x) = x . (4.39)

4.2.18 Anmerkung. Eine Abbildung, deren De�nitionsbereich N, die Menge der na-türlichen Zahlen ist, heiÿt Folge. Im allgemeinen notiert man eine Folge in der Form(a1, a2, a3, . . .) oder {ai}i∈N.

4.2.19 Beispiel. Es sei f die Abbildung von N nach Z, die gegeben ist durch

f : N→ Z, z 7→ z + 1 (4.40)

Die Abbildung ist injektiv, aber nicht surjektiv. Der De�nitionsbereich kann jedoch soangepasst werden, dass die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist, also bijektiv.(De�nitionsbereich Z)

4.2.20 Beispiel. Es sei die Abbildung

f : N→ Z, n 7→ f(n) :=

{n/2 falls n gerade

−(n− 1)/2 falls n ungerade .(4.41)

Die Abbildung f ist bijektiv. Für den Nachweis müssen Fallunterscheidungen durchge-führt werden.

4.2.21 Bemerkung. In der Bemerkung 4.1.12 konnten nur die TeilmengenbeziehungenA ⊆ f−1(f(A)) und f(f−1(B)) beweisen werden. Nun wird gezeigt, unter welchen Be-dingungen sogar Mengengleichheit gilt.

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Kapitel 4 Abbildungen

Bemerkung. Es sei f : X → Y eine Abbildung, A ⊆ X und B ⊆ Y(a) Ist f injektiv, dann gilt auch f−1(f(A)) ⊆ A und somit f−1(f(A)) = A.(b) Ist f surjektiv, dann gilt auch B ⊆ f(f−1(B)) und somit B = f(f−1(B)).

Beweis:(a) Es sei a ∈ f−1(f(A)). Da f−1(f(A)) = {x ∈ X | f(x) ∈ f(A)} ist, gilt somitf(a) ∈ f(A). Da f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f(x) = y} ist, existiert ein x ∈ A mitf(x) = f(a). Da f injektiv ist, gilt x = a, also a ∈ A, da x ∈ A. Somit ist f−1(f(A)) ⊆ A.Zusammen mit Bemerkung 4.1.12 ergibt sich die Mengengleichheit.

a ∈ f−1(f(A)) = {x ∈ X | f(x) ∈ f(A)}→ f(a) ∈ f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A : f(x) = y}→ ∃x ∈ A : f(x) = f(a)→ x = a (da f injektiv)→ a ∈ A

⇒ f−1(f(A)) ⊆ A

(b) Es sei b ∈ B, dann existiert ein a ∈ X und f(a) = b ∈ B, da f surjektiv ist. Damitist a ∈ f−1(B) und somit b = f(a) ∈ f(f−1(B)). Also gilt B ⊆ f(f−1(B)). Zusammenmit Bemerkung 4.1.12 ergibt sich die Mengengleichheit.

b ∈ B→ ∃a ∈ X : f(a) = b ∈ B→ a ∈ f−1(B)→ b = f(a) ∈ f(f−1(B))

⇒ B ⊆ f(f−1(B))

4.2.22 De�nition (Komposition von Abbildungen). Zum Abschluss werden nochdie Verknüpfungen von Abbildungen betrachtet.

De�nition. Es seien f : V → W und g : X → Y Abbildungen mit f(V ) ⊆ X, so wirddurch (g ◦ f)(v) := g(f(v)) eine Abbildung g ◦ f : V → Y de�niert. Diese Abbildungheiÿt Komposition von f mit g.

Für die Umkehrabbildung der bijektiven Abbildung f : X → Y gilt f−1 ◦ f = idX undf ◦ f−1 = idY . Im Falle von X = Y spricht man auch von der inversen Abbildung.

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4.2 Eigenschaften

4.2.23 Beispiel. Es seien

f : R→ R+0 , x 7→ f(x) = x2 (4.42)

g : R+0 → R+

0 , x 7→ g(x) = +√x (4.43)

zwei Abbildungen. Die Abbildung f ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung gist bijektiv, mit der Umkehrabbildung

g−1 : R+0 → R+

0 , x 7→ g(x) = x2 . (4.44)

Es gilt f(R) = R+0 und g(R+

0 ) = R+0 . Die Abbildung

(g ◦ f) : R+0 → R+

0 , x 7→ |x| (4.45)

ist surjektiv, aber nicht injektiv. Die Abbildung

(f ◦ g) : R+0 → R+

0 , x 7→ x (4.46)

ist bijektiv, es gilt sogar, dass f ◦ g die Identität auf R+0 ist.

4.2.24 Beispiel. Es seien f : R→ R, x 7→ f(x) = x2 und g : R→ R, x 7→ g(x) = x− 1zwei Abbildungen, dann gelten

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = x2 − 1 und (4.47)

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x− 1) = (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 . (4.48)

4.2.25 Anmerkung. An diesem Beispiel sieht man, dass in der Regel die Kompositio-nen g ◦ f und f ◦ g nicht identisch sind, die Komposition von Abbildungen also nichtkommutativ ist.

Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, das heiÿt, es gilt für Abbildungen f :V →W , g : W → X und h : X → Y :

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f , (4.49)

da (h ◦ (g ◦ f))(v) = h((g ◦ f)(v)) = h(g(f(v))) = (h ◦ g)(f(v)) = ((h ◦ g) ◦ f)(v) gilt.

Ist f : X → Y eine Abbildung, so gelten idY ◦ f = f und f ◦ idX = f .

4.2.26 Beispiel. Es seien f und g zwei Abbildungen:

f : R3 → R2 : (x, y, z) 7→ (x, y + z) und (4.50)

g : R2 → R2 : (x, y) 7→ (x+ y, x− y) . (4.51)

(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Abbildung f injektiv und surjektiv ist.Wegen f((0, 0, 1)) = (0, 1) = f((0, 1, 0)) ist nicht injektiv.Ist (u, v) ∈ R2, so ist f((u, v, 0)) = (u, v) und somit ist die Abbildung f surjektiv.

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Kapitel 4 Abbildungen

i fi(1) fi(2)

1 1 12 1 23 1 34 2 15 2 26 2 37 3 18 3 29 3 3

Tabelle 4.1: Abbildungsvorschrift

(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die Abbildung g injektiv und surjektiv ist.Aus g((x1, y1)) = g((x2, y2)) folgt (x1+y1, x1−y1) = (x2+y2, x2−y2) und somit x1 = x2und y1 = y2. Also folgt (x1, y1) = (x2, y2), also ist g injektiv.Ist (u, v) ∈ R2, so ist g(((u+ v)/2, (u− v)/2)) = (u, v), also ist g surjektiv.

(c) Bilden Sie die Abbildung g ◦ f .Es gilt (g ◦ f)((x, y, z)) = g(f((x, y, z))) = g((x, y + z)) = (x+ y + z, x− y − z).

4.3 Mengen von Abbildungen

4.3.1 Anmerkung. In den vorherigen Abschnitten wurden jeweils eine Abbildung undderen Eigenschaften betrachtet. Jetzt werden Mengen von Abbildungen betrachtet. Dazujedoch zuerst ein kleines Beispiel.

4.3.2 Beispiel. Es sei M = 1, 2 und N = 1, 2, 3 zwei Mengen mit zwei beziehungsweisedrei Elementen. Wie viele Abbildungen f : M → N gibt es? Auf Grund der kleinenAnzahl von Elementen sind die Abbildungen leicht zu bestimmen. Für jede Abbildungist jeweils nur f(1) und f(2) anzugeben, um die Abbildung zu bestimmen. Dies wir inder Tabelle 4.1 aufgeführt. Es werden die verschiedenen Abbildungen

fi : M → N, x 7→ fi(x) . (4.52)

angegeben.

Das bedeutet, dass es neun verschiedene Abbildungen von M nach N gibt.

4.3.3 Anmerkung. Dies ist nur ein kleines Beispiel, so dass es noch übersichtlich ist.Sind M und N endliche Mengen mit m = |M | und n = |N | Elementen, dann gibt es nm

verschiedene Abbildungen.

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4.4 Aufgaben

Von den neun Abbildungen im obigen Beispiel ist keine Abbildung bijektiv. Dies scheitertbereits daran, dass M und N nicht gleichviele Elemente haben. Dies ist eine notwendige,jedoch keine hinreichende Bedingung. Wenn M und N zwei jeweils 3-elementige Mengensind, dann gibt es insgesamt 27 verschiedene Abbildungen. Von diesen Abbildungen sindjedoch nur sechs Abbildungen injektiv, surjektiv und bijektiv.

4.3.4 De�nition (Menge von Abbildungen). Jetzt wird eine Menge von Abbildun-gen de�niert.

De�nition. Es seien M und N zwei beliebige Mengen. Die Menge

Abb(M,N) := {f | f : M → N} (4.53)

heiÿt Menge der Abbildungen von M nach N . Ist M = N , so schreibet man kurzAbb(M) statt Abb(M,M) und sagt kurz Menge der Abbildungen von M.

Bij(M) := {f ∈ Abb(M) | f ist bijektiv } (4.54)

ist die Menge der bijektiven Abbildungen von M.

4.4 Aufgaben

4.4.1 Aufgabe. Es sei f : X → Y eine Abbildung, A ⊆ X und B ⊆ Y

(a) Zeigen Sie, dass A ⊆ f−1(f(A)) gilt.

(b) Ist f injektiv, dann gilt auch f−1(f(A)) ⊆ A und somit f−1(f(A)) = A.

(c) Zeigen Sie, dass f(f−1(B)) ⊆ B gilt.

(d) Ist f surjektiv, dann gilt auch B ⊆ f(f−1(B)) und somit B = f(f−1(B)).

4.4.2 Aufgabe. Es seien f : X → Y eine Abbildung und A,B ⊆ X. Zeigen Sie:

(a) f(A ∩B) ⊆ f(A) ∩ f(B)

(b) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B)

(c) In (a) kann nicht das Gleichheitszeichen gesetzt werden.

4.4.3 Aufgabe. Es sei f : X → Y eine Abbildung, und A,B ⊆ Y . Zeigen Sie:

(a) f−1(A ∩B) = f−1(A) ∩ f−1(B)

(b) f−1(A ∪B) = f−1(A) ∪ f−1(B)

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Kapitel 4 Abbildungen

4.4.4 Aufgabe. Es sei f die Abbildung von N nach Z, die gegeben ist durch

f : N→ Z, z 7→ z + 1

(a) Zeigen Sie, dass f injektiv ist.(b) Zeigen Sie, dass f nicht surjektiv ist.(c) Erweitern Sie den De�nitionsbereich oder schränken Sie den Wertebereich ein, so dassdie Abbildung bijektiv wird.

4.4.5 Aufgabe. Es seien f und g zwei Abbildungen und R+ := {x ∈ R | x > 0}. DieAbbildungen sind de�niert durch f : R+ → R+, x 7→ f(x) = 1/x und g : R+ → R+, x 7→2x.(a) Zeigen Sie, dass g eine bijektive Abbildung ist.(b) Zeigen Sie, dass f eine bijektive Abbildung ist.(c) Bestimmen Sie die Abbildung f ◦ g.(d) Bestimmen Sie die Abbildung g ◦ f .

4.4.6 Aufgabe. Es seien f und g zwei Abbildungen von R nach R mit den Vorschriftenf : R→ R, x 7→ f(x) = (x+ 1)2 und g : R→ R, x 7→ g(x) = (x− 1)3.(a) Bestimmen Sie, ob die Abbildungen injektiv sind.(b) Bestimmen Sie, ob die Abbildungen surjektiv sind.(c) Bilden Sie g ◦ f .(d) Bilden Sie f ◦ g.

4.4.7 Aufgabe. Es seien zwei Abbildungen f und g de�niert durch

f : R3 → R2, (x, y, z) 7→ (x+ y, y + z) (4.55)

g : R2 → R3, (x, y) 7→ (x, x+ y, y) . (4.56)

(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass f surjektiv / injektiv ist.(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass g surjektiv / injektiv ist.(c) Bestimmen Sie f ◦ g.(d) Bestimmen Sie g ◦ f .

4.4.8 Aufgabe. Es seien f und g zwei Abbildungen von R nach R mit den Vorschriften

f : R→ R, x 7→ f(x) = x3 und (4.57)

g : R→ R, x 7→ g(x) = x− 1 . (4.58)

(a) Beweisen oder widerlegen Sie, dass f surjektiv / injektiv ist. Wenn die Abbildung fbijektiv ist, dann bestimmen Sie die Umkehrabbildung.

(b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass g surjektiv / injektiv ist. Wenn die Abbildung gbijektiv ist, dann bestimmen Sie die Umkehrabbildung.

(c) Bestimmen Sie f ◦ g und g ◦ f .

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4.5 Lösungen

4.5 Lösungen

4.5.1 Lösung. zu Aufgabe 4.4.1(a) a ∈ A

→ f(a) ∈ f(A)→ a ∈ {x ∈ X|f(x) ∈ f(A)} = f−1(f(A))

⇒ A ⊆ f−1(f(A))

(b) a ∈ f−1(f(A)) = {x ∈ X|f(x) ∈ f(A)}→ f(a) ∈ f(A) = {y ∈ Y |∃x ∈ A : f(x) = y}→ ∃x ∈ A : f(x) = f(a)→ x = a (da f injektiv)→ a ∈ A

⇒ f−1(f(A)) ⊆ A

(c) Auf Grund der De�nitionen gelten f−1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} und damit auchf(f−1(B)) = {y ∈ Y | ∃a ∈ f−1(B) : f(a) = y}

b ∈ f(f−1(B))→ ∃a ∈ f−1(B) : f(a) = b→ b = f(a) ∈ B , da a ∈ f−1(B) = {x ∈ A | f(x) ∈ B}

⇒ f(f−1(B)) ⊆ B

(d) Es sei b ∈ B. f surjektiv ⇒ ∃a ∈ X : f(a) = b ∈ B ⇒ a ∈ f−1(B) ⇒ b = f(a) ∈f(f−1(B)).

4.5.2 Lösung. zu Aufgabe 4.4.2(a) y ∈ f(A ∩B)

⇒ ∃x ∈ A ∩B : f(x) = y⇒ ∃x ∈ A : f(x) = y ∧ ∃x ∈ B : f(x) = y⇒ y ∈ f(A) ∧ y ∈ f(B)⇒ y ∈ f(A) ∩ f(B)

(b) y ∈ f(A ∪B)⇔ ∃x ∈ A ∪B : f(x) = y⇔ ∃x1 ∈ A : f(x1) = y ∨ ∃x2 ∈ B : f(x2) = y⇔ y ∈ f(A) ∨ y ∈ f(B)⇔ y ∈ f(A) ∪ f(B)

(c) Es sei f : R → R, x 7→ x2 eine Abbildung und A = {1}, B = {−1}. Dann geltenA ∩B = ∅, f(A) = {1}, f(B) = {1} und somit f(A) ∩ f(B) = {1}.

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Kapitel 4 Abbildungen

4.5.3 Lösung. zu Aufgabe 4.4.3(a) x ∈ f−1(A ∩B)

⇔ f(x) ∈ A ∩B⇔ f(x) ∈ A ∧ f(x) ∈ B⇔ x ∈ f−1(A) ∧ x ∈ f−1(B)⇔ x ∈ f−1(A) ∩ f−1(B).

(b) x ∈ f−1(A ∪B)⇔ f(x) ∈ A ∪B⇔ f(x) ∈ A ∨ f(x) ∈ B⇔ x ∈ f−1(A) ∨ x ∈ f−1(B)⇔ x ∈ f−1(A) ∪ f−1(B).

4.5.4 Lösung. zu Aufgabe 4.4.4

(a) f(n) = f(m) ⇒ n+ 1 = m+ 1 ⇒ n = m ⇒ f ist injektiv.

(b) Die 1 hat kein Urbild in dieser Abbildung.

(c) Man wähle D = Z.

4.5.5 Lösung. zu Aufgabe 4.4.5

(a) Aus g(x1) = g(x2) folgt 2x1 = 2x2 und somit x1 = x2, also ist g injektiv. Es seiu ∈ R+, dann ist g(u/2) = u und somit ist g surjektiv. Da g injektiv und surjektiv ist,ist g auch bijektiv.

(b) Aus f(x1) = f(x2) folgt 1/x1 = 1/x2 und somit x1 = x2, also ist f injektiv. Es seiu ∈ R+, dann ist f(1/u) = u und somit ist f surjektiv. Da f injektiv und surjektiv ist,ist f auch bijektiv.

(c) Es ist (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 12x .

(d) Es ist (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(1/x) = 2x .

4.5.6 Lösung. zu Aufgabe 4.4.6

(a) Wegen f(−2) = 1 = f(0) ist f nicht injektiv. Wenn g(x1) = g(x2) gilt, dann folgtdaraus (x1 − 1)3 = (x2 − 1)3 und somit x1 − 1 = x2 − 1, also x1 = x2 und damit ist ginjektiv.

(b) Negative reelle Zahlen haben kein Urbild und der Abbildung f , daher ist f nichtsurjektiv. Es sei u ∈ R, dan gilt f( 3

√u+ 1) = u und somit ist f surjektiv.

(c) Es ist (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g((x+ 1)2) = ((x+ 1)2 − 1)3 = (x2 + 2x)3.

(d) Es ist (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f((x− 1)3) = ((x− 1)3 + 1)2 = (x3 − 3x2 + 3x)2

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4.5 Lösungen

4.5.7 Lösung. zu Aufgabe 4.4.7

(a) Es ist f(1, 0, 1) = (1, 1) = f(0, 1, 0), also ist f nicht injektiv. Es sei (u, v) ∈ R2, danngilt f(u, 0, v) = (u, v) und die Abbildung ist surjektiv, also ist f bijektiv.

(b) Wenn g(x1, y1) = g(x2, y2) gilt, dann folgt daraus (x1, x1 + y1, y1) = (x2, x2 + y2, y2).Daraus x1 = x2 und y1 = y2, also ist g injektiv. Das Element (0, 1, 0) ∈ R3 hat keinUrbild und somit ist g nicht surjektiv.

(c) Es ist (f ◦ g)(x, y) = f(g(x, y)) = f(x, x+ y, y) = (2x+ y, x+ 2y).

(d) Es ist (g ◦ f)(x, y, z) = g(f(x, y, z)) = g(x+ y, y + z) = g(x+ y, x+ 2y + z, y + z).

4.5.8 Lösung. zu Aufgabe 4.4.8

(a) Aus f(x1) = f(x2) folgt x31 = x32 und somit x1 = x2. Daher ist die Abbildung finjektiv. Sei y ∈ R. Mit x = 3

√y gilt f(x) = ( 3

√y)3 = y. Somit ist die Abbildung f

surjektiv und somit bijektiv. Die Umkehrabbildung von f ist f−1(x) = 3√x.

(b) Aus g(x1) = g(x2) folgt x1−1 = x2−1, also x1 = x2 und die Abbildung g ist injektiv.Für y ∈ R ist mit x = y+ 1 g(x) = y. Damit ist die Abbildung g surjektiv. Somit ist dieAbbildung g bijektiv. Die Umkehrabbildung von g ist g−1(x) = x+ 1.

(c) Es gelten

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x3) = x3 − 1 (4.59)

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x− 1) = (x− 1)3 = x3 − 3x2 + 3x− 1 . (4.60)

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Kapitel 5

Strukturen

5.0.1 . Algebraische Strukturen werden hier nur kurz einführt. Algebraische Struktu-ren sind Mengen mit Operationen auf den Elementen der Menge. Daher werden zuerst(Abschnitt 5.1) Verknüpfungen und Operationen de�niert und grundlegende Eigenschaf-ten von (zwei-stelligen) Verknüpfungen beschreiben. Danach werden verschiedene alge-braische Strukturen eingeführt: Gruppen (Abschnitt 5.2), Ringe und Körper (5.3),Moduln und Vektorräume (Abschnitt 5.4) und Verbände (Abschnitt 5.5). Die Dar-stellung ist nur sehr knapp. Im Wesentlichen werden nur die Begri�e eingeführt. Eineschöne und ausführliche Einführung kann bei Lau (Lau 2004b und Lau 2004a) gefundenwerden.

5.1 Verknüpfungen und Operationen

5.1.1 De�nition (Verknüpfungen). Als Vorbereitung werden Verknüpfungen vonElementen de�niert.

De�nition. Es seien A, B und M nicht-leere Mengen. Es sei ◦ eine Abbildung vonA×B nach M

◦ : A×B →M, (a, b) 7→ ◦(a, b) = a ◦ b . (5.1)

Wenn A = B = M gilt, dann nennt man die Abbildung eine innere Verknüpfungoder binäre Verknüpfung .Wenn A 6= B = M gilt, dann nennt man die Abbildung äuÿere Verknüpfung 1. Art.Wenn A = B 6= M gilt, dann nennt man die Abbildung äuÿere Verknüpfung 2. Art.

5.1.2 Beispiel (innere Verknüpfungen). Die bekannte Addition und Multiplikationbei M = N oder M = Z oder M = Q oder M = R ist ein Beispiel für eine innereVerknüpfung.Schnittmenge oder Vereinigung zweier Teilmengen einer gegebenen Menge N (M =P(N)) ist ebenso ein Beispiel für eine innere Verknüpfung.

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5.1 Verknüpfungen und Operationen

5.1.3 Beispiel (äuÿere Verknüpfungen 1. Art). Die Multiplikation eines Vektorsmit einer Zahl ist eine äuÿere Verknüpfung. (R× V → V )

5.1.4 Beispiel (äuÿere Verknüpfungen 2. Art). Das Skalarprodukt zweier reellerVektoren eines Raumes, das Ergebnis ist eine reelle Zahl. (V × V → R)

5.1.5 De�nition (Operation, De�nitionsbereich, Wertebereich). Operationensind eine Verallgemeinerung von Verknüpfungen.

De�nition. Es sei A eine nicht-leere Menge. Für n ∈ N0 sei ∅ ⊂ D ⊆ An. EineAbbildung

f : D → A, (a1, . . . , an) 7→ f(a1, . . . , an) (5.2)

mit n ≥ 0 heiÿt eine n-stellige Operation . Die Menge D heiÿt De�nitionsbereichvon f und wird auch mit D(f) bezeichnet.Die Menge W (f) = {f(a1, . . . , an) | (a1, . . . , an) ∈ D(f)} heiÿt der Wertebereich vonf .

Die 2-stelligen Operationen sind dabei die inneren oder binären Verknüpfungen.

5.1.6 Anmerkung. Für Verknüpfungen werden nun einige besondere Eigenschaftendargestellt. Dazu sei M eine nicht-leere Menge und ◦ eine innere Verknüpfung (2-stelligeOperation) auf M .

◦ : M ×M →M, (a, b) 7→ a ◦ b (5.3)

5.1.7 De�nition (Assoziativgesetz). Ist die Reihenfolge der Durchführung der Ver-knüpfungen beliebig.

De�nition. Die innere Verknüpfung ◦ heiÿt assoziativ, wenn das Assoziativgesetzgilt:

(Ass) ∀a, b, c ∈M : a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c . (5.4)

Das Assoziativgesetz besagt, dass es bei der Bearbeitung der Verknüpfungen nicht daraufankommt, welche Verknüpfung man zuerst ausführt. Dieses Assoziativgesetz, welches inder De�nition auf drei Elemente beschränkt ist, gilt auch für beliebig viele Elemente.Wenn ein Element a n-mal mit sich selbst verknüpft wird, dann schreibt man

a ◦ . . . ◦ a︸ ︷︷ ︸n−mal

= an . (5.5)

Addition und Multiplikation sind assoziativ, Subtraktion und Division nicht.

114 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 5 Strukturen

5.1.8 De�nition (Kommutativgesetz). Kann die Verknüpfung vertauscht werden?

De�nition. Die Verknüpfung ◦ heiÿt kommutativ, wenn das Kommutativgesetzgilt:

(Kom) ∀a, b ∈M : a ◦ b = b ◦ a . (5.6)

Bei einer kommutativen Verknüpfung können die Elemente vor der Verknüpfung ver-tauscht werden. Beispiele für kommutative Verknüpfungen sind die Addition und dieMultiplikation bei Zahlen (N,Z,Q,R,C). Nicht kommutativ ist dagegen die Subtraktionbei Zahlen, denn 1− 2 ist etwas anders als 2− 1.

Wenn eine additive Verknüpfung vorliegt, dann schreibt man für die Verknüpfung statt◦ auch einfach +. Bei einer multiplikativen Verknüpfung schreibt man · und lässt denPunkt manchmal weg, wenn es keine Verwechslungen geben kann.

5.1.9 De�nition (neutrales Element). Gibt es Elemente, die bei der Verknüpfungkeine Veränderung bewirken.

De�nition. Ein Element e ∈M heiÿt neutrales Element bezüglich ◦, falls

(Neu) ∀a ∈M : a ◦ e = a = e ◦ a (5.7)

gilt.

Falls die Verknüpfung kommutativ ist, dann reicht die Bedingung a ◦ e = a, ansonstennicht.

Bei einer additiven Verknüpfung heiÿt das neutrale Element auchNullelement, währendes bei einer multiplikativen Verknüpfung auch Einselement heiÿt.

5.1.10 Bemerkung. Das neutrale Element ist eindeutig bestimmt, wenn es existiert.

Bemerkung. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur. Wenn (M ; ◦) ein neutrales Ele-ment besitzt, dann ist dieses neutrale Element eindeutig bestimmt.

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5.1 Verknüpfungen und Operationen

Beweis Angenommen, das neutrale Element sei nicht eindeutig und es seien e1 und e2zwei beliebige neutrale Elemente. Es gilt dann, auf Grund der Eigenschaften der neutralenElemente:

e1 = e1 ◦ e2 = e2 . (5.8)

5.1.11 De�nition (inverses Element). Kann die Wirkung einer Verknüpfung rück-gängig gemacht werden.

De�nition. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur mit einem Einselement e. Gibt eszu einem Element a ∈M ein Element b ∈M mit

a ◦ b = e = b ◦ a , (5.9)

so heiÿt b inverses Element zu a. Für das inverse Element schreibt man auch kurza−1.

5.1.12 Bemerkung. Wenn es ein inverses Element existiert, dann ist es eindeutig.

Bemerkung. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur mit dem neutralen Element e.Wenn ein Element a ∈M ein inverses Element a−1 hat, so ist dieses Element eindeutigbestimmt.Es gilt darüber hinaus

(a−1)−1 = a . (5.10)

Beweis Es seien a−1 und a zwei verschiedene inverse Elemente von a, dann gilt

a = a ◦ e = a ◦ (a ◦ a−1) = (a ◦ a) ◦ a−1 = e ◦ a−1 = a−1 . (5.11)

Für Potenzen an ergänzt man die Festlegung durch a0 = e und a−n = (an)−1.

5.1.13 De�nition (Erzeugendensystem). Wie können die Elemente erzeugt werden.

De�nition. Es sei (M ; ◦) eine algebraische Struktur. Eine Menge E ⊆ M heiÿt einErzeugendensystem oder Basis von (M ; ◦), falls es zu jedem a ∈ M Elementeb1, . . . , bk ∈ E, k ≥ 1 gibt und

a = b1 ◦ . . . ◦ bk (5.12)

gilt.

116 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 5 Strukturen

5.1.14 Beispiel. Für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition (N,+) alsVerknüpfung ist E = {1} ein Erzeugendensystem.

5.1.15 Beispiel. Für die Menge der natürlichen Zahlen mit der Multiplikation als Ver-knüpfung (N; ·) ist die Menge der Primzahlen mit der 1 (P∪{1}) ein Erzeugendensystem.

5.1.16 Beispiel. Die bekannte Addition auf den Mengen N, Z, Q, R und C ist eineassoziative und kommutative Verknüpfung. Auÿer für N existiert jeweils ein neutralesElement, die 0. Bei den Mengen Z, Q, R und C existiert zu jedem Element ein inversesElement.

5.1.17 Beispiel. Die bekannte Multiplikation auf den Mengen N, Z, Q, R und C isteine assoziative und kommutative Verknüpfung. Das neutrale Element der Verknüpfungist jeweils die 1. Bei den Mengen Q, R und C existiert zu jedem Element, auÿer für dasneutrale Element der Addition 0, ein inverses Element.

5.1.18 Beispiel. Es sei M eine beliebige Menge. (P(M),∩) ist eine Menge mit einerassoziativen und kommutativen Verknüpfung. Die MengeM ist das neutrale Element derVerknüpfung. (P(M),∪) ist ebenso eine Menge mit einer assoziativen und kommutativenVerknüpfung. Die leere Menge ∅ ist das neutrale Element der Verknüpfung.

5.1.19 Beispiel. Es sei Zn die Menge der Restklassen modulo n. Die auf dieser Mengede�nierte Addition beziehungsweise Multiplikation sind assoziativ und kommutativ. Dasneutrale Element der Addition ist [0], das neutrale Element der Multiplikation ist [1]. Istn = p ∈ P so hat jedes Element, auÿer dem Nullelement, ein inverses Element. Ist n /∈ P,so haben nicht alle Elemente ein inverses Element. Es haben nur diejenigen Elemente xein Inverses, die relativ prim zu n ist, für die gilt, dass ggT (x, n) = 1 gilt.

5.1.20 Beispiel. Die ∧-Verknüpfung bei Aussagen ist eine assoziative und kommutativeVerknüpfung, mit dem neutralen Element true. Die ∨-Verknüpfung bei Aussagen ist eineassoziative und kommutative Verknüpfung mit neutralem Element false.

5.1.21 Beispiel. Die Addition auf der Menge der (n,m)-Matrizen über R ist eine asso-ziative und kommutative Verknüpfung mit dem neutralen Element der Null-Matrix. JedeMatrix hat ein inverses Element.

5.1.22 Beispiel. Die Multiplikation auf der Menge der (n, n)-Matrizen über R ist eineassoziative Verknüpfung mit der neutralen Element der Einheitsmatrix.

5.1.23 Beispiel. Auf der Menge Abb(X) der Abbildungen auf einer Menge X ist durchdie Verknüpfung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung de�niert. Sie ist (in derRegel) nicht kommutativ. Es existiert ein neutrales Element, die identische Abbildung.Die bijektiven Abbildungen haben eine inverse Abbildung, also ein inverses Elementbezüglich der Verknüpfung.

5.1.24 Beispiel. Es seiM die Menge der Gleitkommazahlen mit einer m-stelligen Man-tisse und einem e-stelligen Exponenten. Die Addition beziehungsweise die Multiplikationder Gleitkommazahlen ist eine Verknüpfung, die nicht assoziativ ist!

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5.2 Gruppen

5.2 Gruppen

5.2.1 De�nition (Halbgruppe, Monoid, Gruppe). Es gibt für Verknüpfungen viergrundlegende Eigenschaften: �assoziativ�, �kommutativ�, �Existenz neutrales Element�und �Existenz inverses Element�. Je nachdem, welche dieser Eigenschaften eine Verknüp-fung auf einer Menge besitzt, erhält diese Menge mit dieser Verknüpfung einen besonderenNamen.

De�nition. Es sei (X; ◦) eine nicht-leere Menge mit einer binären Operation.Die Menge (X; ◦) heiÿt Halbgruppe, wenn die binäre Operation assoziativ ist.Die Menge (X; ◦) heiÿt Monoid, wenn die binäre Operation assoziativ ist und es einneutrales Element e gibt. Das bedeutet, dass ein Monoid eine Halbgruppe ist, die einneutrales Element besitzt.Die Menge (X; ◦) heiÿt Gruppe, wenn die Verknüpfung assoziativ ist, es ein neutralesElement e gibt, und jedes Element ein inverses Element bezüglich der Verknüpfung be-sitzt. Das bedeutet, dass eine Gruppe ein Monoid ist, bei der jedes Element ein inversesElement besitzt.Eine Halbgruppe, ein Monoid oder eine Gruppe (X; ◦) heiÿen kommutativ, wenn diebinäre Operation kommutativ ist.

Die bereits oben aufgeführten Beispiele werden nochmals betrachtet:

5.2.2 Beispiel. (N; +) ist eine kommutative Halbgruppe. (N0; +) ist ein kommutativesMonoid.(Z; +), (Q; +), (R; +) und (C; +) sind kommutative Gruppen mit dem neutralen Element0.(N; ·), (Z; ·), (Q; ·), (R; ·) und (C; ·) sind kommutative Monoide mit dem neutralen Ele-ment 1.Die Mengen (Q\{0}; ·), (R\{0}; ·) und (C\{0}; ·) sind kommutative Gruppen.

5.2.3 Beispiel. Es sei M eine beliebige Menge. (P(M);∩) ist ein kommutatives Mono-id, mit dem neutralen Element M . (P(M);∪) ist ein kommutatives Monoid, mit demneutralen Element ∅.

5.2.4 Beispiel. (Zn; +) ist eine kommutative Gruppe, mit dem neutralen Element [0].(Zn\[0]; ·) ist ein kommutatives Monoid, mit neutralem Element [1]. Ist n ∈ P, dann ist(Zn\[0]; ·) sogar eine kommutative Gruppe.

5.2.5 Beispiel. Die Menge der (n,m)-Matrizen über R mit der Addition ist ein kom-mutatives Monoid, mit dem neutralen Element der Null-Matrix.

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Kapitel 5 Strukturen

5.2.6 Beispiel. Die Menge der (n, n)-Matrizen über R mit der Matrizenmultiplikationist ein Monoid, jedoch nicht kommutativ, mit der Einheitsmatrix als neutrales Element.Diejenigen Matrizen, deren Determinante ungleich 0 sind, sind invertierbar, haben alsoein inverses Element, eine inverse Matrix.

5.2.7 Beispiel. Die Menge Abb(X) der Abbildungen auf einer Menge X mit der Ver-knüpfung von Abbildungen ist ein Monoid, mit dem neutralen Element der Identität.Die Menge der bijektiven Abbildungen von X Bij(X) = {f ∈ Abb(X) | f ist bijektiv}ist eine Gruppe.

5.2.8 Beispiel. (Z[X]; +), die Menge der Polynome mit Koe�zienten aus Z ist einekommutative Gruppe. Die Addition ist dabei die komponentenweise Addition. Ebensosind (Q[X]; +), (R[X]; +) und (C[X]; +) additive Gruppen.

5.2.9 Beispiel. Es sei Σ ein Alphabet und Σ∗ die Menge der Wort über dem Alphabetinklusive dem leeren Wort. Mit der Verbindung der Worte als Verknüpfung ist die Mengeein Monoid.

5.3 Ringe und Körper

5.3.1 De�nition (Ring, Körper). Im ersten Abschnitt wurden Mengen mit einer in-neren Verknüpfung betrachtet, jetzt werden Mengen mit zwei inneren Verknüpfungenuntersucht.

De�nition. Eine Menge X mit zwei binären Operationen

+ : X ×X → X, (x, y) 7→ x+ y (5.13)

· : X ×X → X, (x, y) 7→ x · y (5.14)

heiÿt Ring (X; +, ·), wenn (X; +) eine kommutative Gruppe, (X; ·) eine Halbgruppe istund wenn für alle x, y, z ∈ X die Distributiv-Gesetze

x · (y + z) = (x · y) + (x · z) und (5.15)

(x+ y) · z = (x · z) + (y · z) (5.16)

gelten. Ist (X; ·) eine kommutative Halbgruppe, dann heiÿt der Ring kommutativ.Eine kommutativer Ring (X; +, ·) heiÿt Körper, wenn (X\{0}; ·) eine kommutativeGruppe ist, das heiÿt wenn jedes Element auÿer dem Nullelement ein inverses Elementbezüglich der Operation · besitzt. Das neutrale Element der kommutativen Gruppe (X; +)heiÿt Nullelement.Wenn (X; ·) ein neutrales Element hat, dann heiÿt dieses Element Einselement.

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5.3 Ringe und Körper

Mit X× wird die Menge der invertierbaren Elemente von (X; +, ·) bezüglich · bezeichnet.Ist X ein Körper, so gilt X× = X\{0}.

5.3.2 Beispiel. (Z; +, ·) ist ein kommutativer Ring. (Q; +, ·), (R; +, ·) und (C; +, ·) sindKörper. Das Nullelement ist jeweils 0, das Einselement ist jeweils 1.

5.3.3 Beispiel. (Zn; +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Nullelement [0] und Einsele-ment [1].

Durch [x] + [y] := [x + y] und [x] · [y] := [x · y] wird auf der Quotientenmenge Z/Rneine Addition und eine Multiplikation de�niert. Mit dieser Addition und Multiplikationbildet die Menge der Äquivalenzklassen einen Ring, den Restklassenring modulo nund wird mit Zn oder mit Z/nZ bezeichnet.

Ist n = p ∈ P eine Primzahl, dann ist Z/Rp mit der oben de�nierten Addition undMultiplikation ein Körper, ein Körper mit endlich vielen Elementen, er heiÿt der Rest-klassenkörper modulo p und wird mit Zp oder mit Fp bezeichnet.

5.3.4 Beispiel. Die Menge der (n, n)-Matrizen über R mit der Matrizenaddition und -multiplikation ist ein kommutativer Ring mit Nullelement (Nullmatrix) und Einselement(Einheitsmatrix). Die Matrizen, deren Determinante ungleich 0 sind, sind invertierbar.

5.3.5 Beispiel. (Z[X]; +, ·), die Menge der Polynome mit Koe�zienten aus Z ist einkommutativer Ring. Hierbei ist die Addition die komponentenweise Addition und dieMultiplikation die übliche Polynommultiplikation. Ebenso sind (Q[X]; +, ·), (R[X]; +, ·)und (C[X]; +, ·) sind kommutative Ringe, mit Nullelement 0 und Einselement 1.

5.3.6 Beispiel. Es seiM eine Menge, (P(M);∪,∩) ist ein kommutativer Ring mit Null-element ∅ und Einselement M .

5.3.7 Beispiel. Es sei A eine Menge von Aussagen (A;∨,∧) ist ein kommutativer Ringmit Nullelement false und Einselement true.

5.3.8 Anmerkung. Ist (X; +, ·) ein Ring, und ist 0 das neutrale Element bezüglich derAddition +, so gilt auf jeden Fall, dass wenn x = 0 oder y = 0 ist, dass dann auchx · y = 0 gilt. Gilt auch die Umkehrung, das heiÿt, dass aus x · y = 0 auch folgt, dassx = 0 oder y = 0 gilt, so heiÿt der Ring ein Integritätsring.

Beim Ring (Z4; +, ·) gilt die Umkehrung nicht, denn [2] · [2] = [0], obwohl keiner derFaktoren das Nullelement ist.

Einfache Beispiel für Integritätsringe (die keine Körper sind) sind die bekannten Mengen(Z; +, ·) und (Q[X]; +, ·). In Integritätsringen können Aussagen zur Zahlentheorie aufge-stellt werden. Eine Primfaktorzerlegung, wie in Z gibt es analog auch beispielsweise inQ[X].

5.3.9 Beispiel. Ist n ∈ N\P, also keine Primzahl, dann ist (Zn; +, ·) kein Körper,da nicht jedes Element ungleich dem Nullelement ein inverses Element bezüglich derMultiplikation besitzt.

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Kapitel 5 Strukturen

5.4 Moduln und Vektorräume

5.4.1 De�nition (Vektorraum). Eine Struktur mit einer inneren und einer äuÿerenVerknüpfung sind Vektorräume.

De�nition. Es seien (V ; +) eine kommutative Gruppe, (K; +, ·) ein Körper mit demEinselement 1 und ·K eine äuÿere Verknüpfung:

·K : K × V → V, (α, v) 7→ α ·K v (5.17)

mit den Eigenschaften ∀α, β ∈ K;∀v, w ∈ V gilt:

α ·K (v + w) = α ·K v + α ·K w , (5.18)

(α+ β) ·K v = α ·K v + β ·K v , (5.19)

(α · β) ·K v = α ·K (β ·K v) und (5.20)

1 ·K v = v . (5.21)

(V ; +,K, ·K) (oder kurz (V ; +)) heiÿt ein Vektorraum über dem Körper K.

Bei der skalaren Multiplikation wird der Index K meist weggelassen, da es keine Ver-wechslung geben kann.

5.4.2 Beispiel. (Rn; +) ist ein Vektorraum über dem Körper R für n ∈ N.

5.4.3 Beispiel. Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.

5.4.4 Beispiel. Die Menge der Polynome über einem Körper K bilden mit der be-kannten Addition und und der komponentenweisen Multiplikation der Polynome ist einVektorraum über K.

5.4.5 Anmerkung. Im Rahmen der linearen Algebra werden Vektorräume untersucht.Die Lösungen eines linearen Gleichungssystems bilden einen Vektorraum.

Wird statt einem Körper (K; +, ·) nur ein Ring (R;x, ·) zu Grunde gelegt, dann sprichtman von einem Modul.

5.5 Verbände

5.5.1 De�nition (Verband). Eine weitere Struktur mit zwei inneren Verknüpfungenist der Verband.

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5.7 Lösungen

De�nition. Es sei V eine nicht-leere Menge mit den zwei 2-stelligen Operationen t(Vereinigung) und u (Durchschnitt). (V,t,u) heiÿt ein Verband, wenn sowohl t alsauch u kommutativ und assoziativ sind. Darüber hinaus sind die Operationen idempo-tent und absorptiv, das heiÿt es gelten das Idempotenzgesetz

∀x ∈ V : x t x = x ∧ x u x = x (5.22)

und das Absorptionsgesetz

∀x, y ∈ V : x t (x u y) = x ∧ x u (x t y) = x . (5.23)

Das Idempotenzgesetz und das Absoprtionsgesetz gelten nicht für die bekannte Additionund Multiplikation auf den natürlichen, ganzen, rationalen oder reellen Zahlen, so dassdiese Mengen (mit diesen Operationen) keine Verbände sind.

5.5.2 Beispiel. Es sei A Aussagen und t die Konjunktion und u die Disjunktion, dannist (A,t,u) ein Verband.

5.5.3 Beispiel. Es sei V = N0 und a t b := kgv(a, b) und a u b := ggt(a, b). Dann ist(N0, kgV, ggT ) ein Verband.

5.5.4 Beispiel. Es sein M eine nicht-leere Menge. Die Menge (P(M),∪,∩) ist ein Ver-band.

5.5.5 Anmerkung. Dies sind nur einige kurze Anmerkungen zu Verbänden. Es gibtnoch viele Eigenschaften zu ergründen. Ein bedeutendes Beispiel für einen Verband istdie Boolesche Algebra, die jedoch nicht in diesem Kapitel genauer untersucht wird.

5.6 Aufgaben

Derzeit (noch) keine Aufgaben vorhanden.

5.7 Lösungen

Derzeit (noch) keine Aufgaben vorhanden.

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Kapitel 6

Boolesche Algebren

6.0.1 . In diesem Kapitel wird die algebraische Struktur Boolesche Algebra genaueruntersucht. Sie ist nach dem englischen Mathematiker und Logiker George Boole (1815- 1864) benannt. Zwei Beispiele von booleschen Algebren haben wir bereits kennen ge-lernt: die Aussagenlogik und die Mengenalgebra. Ein drittes Beispiel, die Schaltalgebrawerden wir in diesem Kapitel kennen lernen. Die Schaltalgebra hat dabei eine sehr groÿeÄhnlichkeit zur Aussagenlogik.

Betrachten wir zuerst genauer, was eine Boolesche Algebra ist (Abschnitt 6.1). DannwerdenNormalformen (Abschnitt 6.2) und ein Verfahren zurKonstruktion von Nor-malformen (Abschnitt 6.3) betrachtet. Dann werden KV-Diagramme erläutert (Ab-schnitt 6.4), die für kleine Umfänge eine alternative Möglichkeit ist, Normalformen zuerstellen. Abschlieÿend (Abschnitt 6.5) werden Schaltnetze einführend betrachtet.

6.1 Boolesche Algebra

6.1.1 Anmerkung. Aussagen und die Potenzmenge einer Menge haben viele Gemein-samkeiten, Ähnlichkeiten und Entsprechungen. Beide sind kommutative Ringe. Darüberhinaus gibt es weitere Eigenschaften, welche diese beiden kommutativen Ringe von an-deren kommutativen Ringen, zum Beispiel den ganzen Zahlen unterscheidet. Aussagenund Potenzmengen einer Menge sind Beispiele von Booleschen Algebren. Ein weiteresBeispiel für eine boolesche Algebra, ist die Schaltalgebra.

Es seiM eine Menge und P(M) die Potenzmenge dieser Menge. Auf dieser Potenzmengegibt es die 2-stelligen inneren Verknüpfungen ∩ und ∪. Die Konjunktion ∩, der Durch-schnitt von Mengen, und die Disjunktion ∪, die Vereinigung von Mengen, sind assoziativ,kommutativ und distributiv.

Für Aussagen gibt es die 2-stelligen inneren Verknüpfungen ∧ und ∨. Die Konjunktion(and-Verknüpfung) und Disjunktion (or-Verknüpfung) sind ebenfalls assoziativ, kommu-tativ und distributiv.

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6.1 Boolesche Algebra

Darüber hinaus gibt es ein neutrales Element der Konjunktion. Für die PotenzmengeP(M) ist es die Menge M selbst. Bei den Aussagen ist es die Tautologie true (im-mer wahr). Dieses neutrale Element der Konjunktion heiÿt Einselement. Auch für dieDisjunktion gibt es ein neutrales Element, das Nullelement heiÿt. Es ist für die Po-tenzmenge P(M) die leere Menge ∅. Bei den Aussagen ist es die Kontradiktion false(immer falsch).

Sind A und B Teilmengen vonM (A,B ⊆M), so gelten A∪(A∩B) = A und A∩(A∪B) =A. Entsprechendes gilt für Aussagen A ∨ (A ∧ B) = A und A ∧ (A ∨ B) = A. DieseEigenschaft heiÿt adjunktiv. Die ganzen Zahlen habe diese Eigenschaft nicht!

Darüber hinaus gibt es eine Negation. Bei der Potenzmenge P(M) ist dies die Komple-mentbildung. Für eine Teilmenge A ⊆M ist die Komplementmenge {M (A) die Negation.Bei Aussagen ist die Negation die not-Funktion. Die Negation ist involutiv, das heiÿt,es gilt das Involutionsgesetz. Dies bedeutet, dass die doppelte Verneinung wieder denUrsprung selbst ergibt:(Mengen) {M ({M (A)) = A und (Aussagen) ¬(¬(A)) = A.

Es gelten für eine Teilmenge A ⊆ M , dass A ∩ {M (A) = ∅ und A ∪ {M (A) = M gilt.Entsprechendes gilt auch für Aussagen A: A ∧ ¬A = false und A ∨ ¬A = true. DieNegation ist somit komplementär.

Weiter gelten die Regeln von de Morgan bei Mengen

{M (A ∪B) = {M (A) ∩ {M (B) (6.1)

{M (A ∩B) = {M (A) ∪ {M (B)

und bei Aussagen

¬(A ∧B) = ¬(A) ∨ ¬(B) (6.2)

¬(A ∨B) = ¬(A) ∧ ¬(B) .

Auch diese Eigenschaft haben die ganzen Zahlen nicht.

6.1.2 De�nition (Boolesche Algebra). Diese Eigenschaften werden nun zu einer De-�nition zusammen gefasst.

De�nition. Es sei V eine Menge, in der zwei 2-stellige innere Verknüpfungen ∧ (Kon-junktion) und ∨ (Disjunktion) und eine 1-stellige Negation ( ) de�niert sind. Die MengeV mit diesen Verknüpfungen heiÿt ein boolescher Verband oder boolesche Algebra,wenn gelten:(1) (V ;∧,∨) ist ein kommutativer Ring mit einem Nullement n bezüglich der Disjunk-tion ∨ und einem Einselement e bezüglich der Konjunktion ∧.(2) Die Regeln von de Morgan gelten, ∀a, b ∈ V :

a∨ b = a∧ b (6.3)

a∧ b = a∨ b .

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

(3) Die Verknüpfungen sind adjunktiv, ∀a, b ∈ V :

a∧(a∨ b) = a (6.4)

a∨(a∧ b) = a .

(4) Die Verknüpfungen sind involutiv, ∀a ∈ V :

a = a . (6.5)

(5) Die Verknüpfungen sind komplementär, ∀a ∈ V :

a∧ a = n (6.6)

a∨ a = e .

Abgekürzt schreibt man (V ;∧,∨, , n, e) für die Boolesche Algebra. Noch kürzer schreibtman manchmal auch nur (V ;∧,∨), wenn die anderen Elemente bekannt und klar sind.

Statt den Symbolen ∧, ∨ und werden oftmals auch die Symbole ⊗ für das BoolescheProdukt, die Konjunktion, ⊕ für die Boolesche Summe, die Disjunktion, und ∼ für dasBoolesche Komplement, die Negation verwendet. Das neutrale Element der des Boole-schen Produkts wird mit 1 bezeichnet, das neutrale Element der Booleschen Summe wirdmit 0 bezeichnet. Die Verwendung von (∩ und ∪) oder (∧ oder ∨) oder (u oder t) istmöglich. Die Verwendung orientiert sich teilweise an der konkreten Realisierung der Boo-leschen Algebra. Bei Mengen wird eher ∩ und ∪ verwendet. Bei Aussagen wird eher ∧und ∨ verwendet.

Die Gültigkeit der Regeln von de Morgan kann aus den anderen Eigenschaften gefolgertwerden, so dass diese Eigenschaft streng genommen nicht mit in die De�nition aufge-nommen werden muss. Dies wird hier nicht weiter ausgeführt.

6.1.3 Beispiel. Es sei M eine beliebige, nicht leere Menge. Die Potenzmenge(P(M);∩,∪, {M ,∅,M) ist eine Boolesche Algebra.

6.1.4 Beispiel. Es sei B = {w, f} die Menge der Wahrheitswerte wahr und falsch.Dann ist (B;∧,∨,¬, f, w) eine Boolesche Algebra. Für die Wahrheitswerte kann manstatt w, f auch wahr, falsch oder true, false oder t, f oder manchmal auch 1, 0schreiben, wobei die letzte Variante eher zur Schaltalgebra gehört.

6.1.5 Anmerkung. Für die Schaltalgebra wird zuerst die Menge B = {0, 1}, die Men-ge der Schaltkonstanten oder Boolesche Konstanten, betrachtet. Die Operationen in derSchaltalgebra entsprechen den Operationen der Aussagenlogik. Mit den Verknüpfungen(and-Verknüpfung, or-Verknüpfung und Negation) die so de�niert werden wie die logi-schen Funktionen bei der Aussagenlogik. Manchmal schreibt man statt 0 und 1 auch Ound L.

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6.2 Normalformen

Es sei B = {0, 1} die Menge der Schaltkonstanten oder boolschen Konstanten. Die Menge(B; and, or, not, 0, 1) ist eine boolesche Algebra, die Schaltalgebra.

Die Mengen wurden in Kapitel 2, die Aussagen in Kapitel 1 intensiv betrachtet. DieSchaltalgebra wird in diesem Kapitel genauer betrachtet.

6.1.6 Anmerkung. Es seien a1, . . . , an ∈ B eine Menge von Schaltvariablen oderbooleschen Variablen, welche nur die Werte aus B annehmen können. Eine Abbildung

f : Bn → B, (a1, . . . , an) 7→ f(a1, . . . , an) (6.7)

heiÿt eine Schaltfunktion. Die technische Realisierung einer Schaltfunktion heiÿt Schal-tung.

Die technische Realisierung der booleschen Konstanten entspricht einer o�enen Leitung(0) oder einen geschlossenen Leitung (1). Die Realisierung der and-Verknüpfung erfolgtdurch die Hintereinanderschaltung zweier Schalter, während die Realisierung der or-Verknüpfung durch die Parallelschaltung zweier Schaltungen dargestellt wird. Die Funk-tion Negation wird durch einen Schalter realisiert, der im Ruhezustand Strom durchlässtund wenn er geschaltet ist keinen Strom durchlässt.

6.2 Normalformen

6.2.1 Anmerkung. Wenn zwei zusammengesetzte Aussagen vorhanden sind, dann sollfestgestellt werden, ob die beiden Aussagen identisch sind. Bei zwei Gebilden aus Mengen,ist von Interesse, ob die jeweils resultierende Menge identisch sind. Bei zwei verschiedenenSchaltungen, ist dann von Bedeutung, ob sie die selbe Schaltfunktion realisieren. Dazuwerden zuerst Normalformen bestimmt.

Zur De�nition von Normalformen von booleschen Algebren werden oftmals Beispiele ausder Mengenalgebra oder der Aussagenlogik genommen, um es anschaulicher zu machen.

6.2.2 Anmerkung. Gegeben sei eine Grundmenge M und darin drei Teilmengen A, Bund C (siehe 6.1 Abbildung ).

Die gesamte Menge M ist zerlegt in acht disjunkte Teile, diese sind:

A ∩B ∩ C A ∩B ∩ C A ∩B ∩ C A ∩B ∩ CA ∩B ∩ C A ∩B ∩ C A ∩B ∩ C A ∩B ∩ C

Diese Terme heiÿen auch Min-Terme, da sie (für diese Konstellation) nicht weiter teil-bar sind. Diese Min-Terme sind n-stellige Konjunktionen, in der jede Menge oder derenNegation enthalten ist. Die einzelnen Min-Terme sind paarweise disjunktiv.

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

M

A

B

C

Abbildung 6.1: disjunkte Zerlegung

Jede beliebige Menge, die auf Grund einer Verknüpfung der Mengen A, B und C er-stellt wird, kann als Vereinigung von solchen Min-Termen dargestellt werden. So giltbeispielsweise

(A ∪B) ∩ C = (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C) . (6.8)

6.2.3 De�nition (disjunktive Normalform, konjunktive Normalform). DieseGrundstruktur wird jetzt allgemeiner für boolesche Algebren, für mehr als drei Basisva-riablen und nicht nur für Min-Terme, sondern auch für Max-Terme dargestellt.

De�nition. Es sei (V,∧,∨) eine Boolesche Algebra mit den Verknüpfungen Konjunk-tion (∧) und Disjunktion (∨). Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen heiÿtein Min-Term, wenn es eine n-stellige Konjunktion ist, bei der jede Variable oder de-ren Negation enthalten ist. Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen heiÿtdisjunktive Normalform , wenn es die Disjunktion von Min-Termen ist.

Eine Boolesche Funktion mit n Booleschen Variablen heiÿt ein Max-Term, wenn eseine n-stellige Disjunktion ist, bei der jede Variable oder deren Negation enthalten ist.Eine boolesche Funktion mit n booleschen Variablen heiÿt konjunktive Normalform, wenn es die Konjunktion von Max-Termen ist.

Jede beliebige boolesche Funktion von n Variablen kann in eine DNF oder in eine KNFgebracht werden kann.

6.2.4 Beispiel. Dazu ein kleines Beispiel mit zwei Variablen.

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6.3 Konstruktion der Normalformen

A B f(A,B)

1 1 11 0 00 1 10 0 0

Tabelle 6.1: Boolesche Funktion

Die Tabelle 6.1 zeigt eine boolesche Funktion f(A,B) über einer booleschen Algebra mitden zwei Variablen A und B. Hierbei steht �1� für W (wahr) oder �Element in der Menge�und �0� für F (falsch) oder �Element nicht in der Menge�.

Diese Funktion lässt sich als disjunktive und konjunktive Normalform darstellen. FürAussagen gilt:Disjunktive Normalform:

f(A,B) = (A ∧B) ∨ (¬A ∧B) (6.9)

Konjunktive Normalform:

f(A,B) = (¬A ∨B) ∧ (A ∨B) (6.10)

In der Mengenschreibweise:Disjunktive Normalform:

f(A,B) = (A ∩B) ∪ (A ∩B) (6.11)

Konjunktive Normalform:

f(A,B) = (A ∪B) ∩ (A ∪B) (6.12)

6.3 Konstruktion der Normalformen

6.3.1 Anmerkung. Die Konstruktion der DNF und der KNF, ausgehend von einerbooleschen Funktion und die Minimierung dieser Formen werden jetzt genauer betrachtet.

Ist f(x1, . . . , xn) eine boolesche Funktion mit n Variablen, so lässt sich die DNF kon-struktiv ermitteln.

6.3.2 Beispiel. Zuerst ein Beispiel mit den drei Variablen A, B und C (siehe Tabelle6.2). Es sei f(A,B,C) die Menge, der Element, die in keiner der Teilmengen A, B undC sind, oder diejenigen Element, die genau im Durchschnitt zweier Mengen sind, jedochnicht im Durchschnitt aller drei Mengen.

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

A B C f(A,B,C)

1 1 1 01 1 0 11 0 1 11 0 0 00 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Tabelle 6.2: Beispiel 3-stellige boolesche Funktion

Für jede mögliche Belegung von A, B oder C wird der Wert der Funktion f(A,B,C)angegeben. Dies wird in der Tabelle dargestellt. Hierbei steht 1 beziehungsweise 0 für�in der Menge enthalten� beziehungsweise �nicht in der Menge enthalten�. Für Aussagenwäre es entsprechend �wahr� oder �falsch�.

Nun wird die disjunktive Normalform bestimmt.

In der Wertetabelle (siehe 6.2) sind alle Möglichkeiten für die Variablen aufgeführt. Ausder Kombination der 0-1-Werte lassen sich die (in diesem Fall acht verschiedenen) Min-Terme bestimmen. Die Zeilen, in denen für f(A,B,C) eine 0 steht, können entferntwerden. (siehe Tabelle 6.3)

A B C f(A,B,C)1 1 0 11 0 1 10 1 1 10 0 0 1

Tabelle 6.3: Beispiel: Min-Terme

In den verbleibenden Zeilen wird eine 1 in den Spalte von A, B oder C durch A,B oderC direkt ersetzt, eine 0 wird durch die Negation A, B oder C ersetzt.

Die Elemente der Zeilen werden durch Konjunktion verbunden, das liefert die Min-Terme.Diese Min-Terme werden abschlieÿend durch die Disjunktion verbunden. Damit wurdedie disjunktive Normalform konstruktiv ermittelt.

Es ergibt sich somit

f(A,B,C) (6.13)

= (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C)

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6.3 Konstruktion der Normalformen

als die DNF der Funktion mit Mengen dargestellt und

(A ∧B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C) ∨ (A ∧B ∧ C) (6.14)

mittels Aussagen.

6.3.3 Anmerkung (Konstruktion der DNF). Ist f(X1, . . . , Xn) eine boolescheFunktion mit n Variablen, so lässt sich die disjunktive Normalform gemäÿ diesemVorgehen konstruktiv ermitteln:

Algorithmus zur Bestimmung der Disjunktive Normalform(1) Ermittle die Wertetabelle der Booleschen Funktion f(X1, . . . , Xn).(2) Eliminiere die Zeilen, für die der Wert der Funktion 0 ist.(3) Ersetze eine 1 in der Spalte von Xi durch die Variable Xi und eine 0 durch dieNegation von Xi, also Xi.(4) Verbinde die Teile der Zeilen durch Konjunktion - Erzeugung der Min-Terme.(5) Verbinde die Zeilen durch Disjunktion. - Erzeugung der DNF.

6.3.4 Anmerkung (Konstruktion der KNF). Die KNF kann analog ermittelt wer-den.

Algorithmus zur Bestimmung der Konjunktiven Normalform(1) Ermittle die Wertetabelle der Booleschen Funktion f(X1, . . . , Xn).(2) Eliminiere die Zeilen, für die der Wert der Funktion 1 ist.(3) Ersetze eine 1 in der Spalte von Xi durch die Negation der Variablen Xi, also durchXi und eine 0 durch Xi.(4) Verbinde die Teile der Zeilen durch Disjunktion - Erzeugung der Max-Terme.(5) Verbinde die Zeilen durch Konjunktion. - Erzeugung der KNF.

6.3.5 Anmerkung (Verfahren von Quine-McClusky). Die DNF und die KNFkönnen sehr umfangreich werden. Wie kann dies für die Auswertung e�ektiver darge-stellt werden?

Ausgehend von der disjunktiven Normalform oder auch von der konjunktiven Normal-form kann die Darstellung vereinfacht oder minimiert werden. Dazu wird das Verfahrenvon Quine-McClusky angewendet. Dieses Verfahren wurde vom amerikanischen LogikerWillard Van Orman Quine (1908-2000) entwickelt und vom amerikanischen InformatikerEdward J. McCluskey (*1929) verfeinert.

Das Grundprinzip ist, dass dabei stets zwei Terme zusammengefasst werden, wenn siesich nur in einem Punkt unterscheiden. Beispielsweise unterscheiden sich die Terme A∧Bund A∧B nur durch B beziehungsweise B. Bedingt durch die Regeln in einer BooleschenAlgebra (genauer gesagt auf Grund des Distributivgesetzes) ergibt sich:

(A∧B)∨(A∧B) = A∧(B ∨B) = A . (6.15)

Damit kann (A∧B)∨(A∧B) durch A ersetzt werden.

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

6.3.6 Anmerkung. Der Algorithmus von Quine-McCluskey zur Erzeugung einerMinimalform für die disjunktive Normalform hat die folgende Schrittfolge.

Algorithmus von Quine-McClusky, disjunktive Form(1) Ausgangspunkt ist die disjunktive Normalform der Booleschen Funktion. Es werdennur diejenigen Zeilen betrachtet, deren Funktionswert 1 ist. Dies ist die Tabelle zur Stufe0. Setze Stufe = 0.(2) Baue eine neue Tabelle für Zeilen auf (Stufe = Stufe + 1), die am Anfang noch leerist.(3) Betrachte alle Paare von Zeilen in der Tabelle (Stufe - 1). Wenn sich die zwei Zeilennur an einer Stelle unterscheiden, dann bilde eine neue Zeile, die alle Werte aus denbeiden Quellzeilen übernimmt. An der Stelle, an der sich die beiden Zeilen unterscheidenwird ein �−� gesetzt. Die beiden Quellzeilen werden abgehakt, als Zeichen dafür, dass siebereits verwendet wurden. Diese neue Zeile wird in die Tabelle (Stufe) eingetragen.(4) Lösche alle doppelte Zeilen in der Tabelle (Stufe).(5) Wenn die Tabelle (Stufe) mehr als eine Zeilen enthält, dann gehe zurück zu Schritt(2), ansonsten mit dem nächsten Schritt fortfahren.(6) Wandle alle nicht abgehakten Zeilen aus allen Tabelle in eine Konjunktion um, �1�durch die Variable ersetzen, �0� durch die Negation der Variablen und �-� weglassen,die Elemente der Zeile mit der Konjunktion verbinden. Alle Zeilen mit der Disjunktionverbinden.

6.3.7 Beispiel. Für das nachfolgende Beispiel wird die Wertetabelle (siehe 6.4 als Aus-gangsbasis hergezogen.

A B C f(A,B,C)

1 1 1 11 1 0 01 0 1 11 0 0 10 1 1 00 1 0 10 0 1 10 0 0 1

Tabelle 6.4: Quine-McCluskey Boolesche Funktion

In dieser Tabelle ist die boolesche Funktion f in Abhängigkeit der drei Variablen A, Bund C angegeben. Hierbei steht wieder 1 beziehungsweise 0 für �in der Menge enthalten�beziehungsweise �nicht in der Menge enthalten�. Für Aussagen wäre es entsprechend�wahr� oder �falsch�.

Ausgehend von der 0-1-Wertetabelle werden für diejenigen Zeilen, die sich nur an einerStelle unterscheiden, in dem die eine Zeile eine 0, die andere Zeile eine 1 hat, eine neue

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6.3 Konstruktion der Normalformen

Zeile A B C verwendet0a 1 1 1

0b 1 0 1√

0c 1 0 0√

0d 0 1 0√

0e 0 0 1√

0f 0 0 0√

Tabelle 6.5: Quine-McCluskey Stufe 0, disjunktive Normalform

Zeile in einer neuen Tabelle (siehe Tabelle 6.6) erstellt, die an dieser unterschiedlichenStelle einen Strich (−) hat. In der Ursprungstabelle (siehe Tabelle 6.5) erhält die Zeileeinen Haken (�verwendet�).

Stufe 1

Zeile entstand aus A B C verwendet1a 0a,0b 1 - 11b 0b,0c 1 0 -

1c 0b,0e - 0 1√

1d 0c,0f - 0 0√

1e 0d,0f 0 - 01f 0e,0f 0 0 -

Tabelle 6.6: Quine-McCluskey Stufe 1

Dieses Vorgehen setzt man fort. Beim nächsten Schritt (Stufe 2) werden wiederum dieZeilen (aus Stufe 1) miteinander verglichen. Wenn sie sich nur an einer Stelle unterschei-den, wobei diesmal als gleichen Zeichen neben der 0 und der 1 auch der Strich (−) zählt.Doppelte Zeilen werden dabei eliminiert (siehe Tabelle 6.7)

Zeile entstand aus A B C Haken2a 1b,1f - 0 -2b 1c,1d - 0 -

Tabelle 6.7: Quine-McCluskey Stufe 2

Die Zeilen 2a und 2b in der Stufe 2 (siehe Tabelle 6.7) sind identisch, somit kann einedavon gelöscht werden. Diejenigen Zeilen (über alle Stufen), die keinen Haken haben, sinddie Primteile der Darstellung. Die ursprüngliche Aussage in der disjunktiven Normalform

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

kann auch dargestellt werden durch

(A∧C) ∨ (A∧C)∨(B) (6.16)

(A ∩ C) ∪ (A ∩ C) ∪ (B) (6.17)

eine etwas einfachere Form der Darstellung, aber nicht mehr disjunkt.

Bei der Bestimmung der konjunktiven Normalform kann analog vorgegangen werden.Hier werden die Zeilen mit einer �1� in f(A,B,C) entfernt. Eine �1� wird durch dieNegation ersetzt, eine �0� durch das Element selbst. Anschlieÿend werden die Elementeder Zeilen durch Disjunktion verbunden, so dass Max-Terme entstehen, die abschlieÿenddurch Konjunktion verbunden werden.

A B f(A,B)1 1 11 0 00 1 00 0 1

Tabelle 6.8: Beispiel Max-Terme

In der Tabelle 6.8 ist ein Beispiel einer booleschen Funktion dargestellt. Die konjunktiveNormalform dieser Funktion ist (dargestellt mittels Aussagen)

f(A,B) = (A ∨B) ∧ (A ∨B) (6.18)

Hinweis: Im Schritt drei des Algorithmus wird gesagt, dass alle Paare von Zeilen betrach-tet werden sollen. Dies geht auch etwas kürzer. Dazu werden die Min-Terme in Klasseneingeteilt. Zwei Min-Terme gehören zur selben Klasse, wenn die Anzahl der negativenElemente gleich ist. Wenn es insgesamt n Terme gilt, dann gibt es (maximal) n−1 Klas-sen Ki. Dabei bezeichne i in Ki die Anzahl der negativen Elemente. In der ersten Stufesind dann nur die Terme aus benachbarten Klassen zu vergleichen. In späteren Rundenmüssen dann auch nur Zeilen aus benachbarten Klassen verglichen werden.

6.3.8 Beispiel (Einfaches Beispiel). Dazu ein Beispiel, welches aus Staab 2007 ent-nommen ist.

Gegeben sei die Boolesche Funktion f : B4 → B durch eine Wertetabelle siehe Tabelle6.9.

In diesem Beispiel gibt es acht Min-Terme. Diese können in fünf Klassen gemäÿ derAnzahl der negativen Elemente in den Min-Termen eingeteilt werden. Diese Klassenauf-teilung ist in der Tabelle 6.10 dargestellt.

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6.3 Konstruktion der Normalformen

A B C D f(A,B,C,D)0 0 0 0 10 0 1 1 10 1 1 1 11 0 0 0 11 0 0 1 11 1 0 0 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Tabelle 6.9: Beispiel mit vier Aussagen

Klasse Min-TermK0 A∧B ∧C ∧DK1 A∧B ∧C ∧D

A∧B ∧C ∧DK2 A∧B ∧C ∧D

A∧B ∧C ∧DA∧B ∧C ∧D

K3 A∧B ∧C ∧DK4 A∧B ∧C ∧D

Tabelle 6.10: Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 0

Klasse Min-TermK0/1 B ∧C ∧D

A∧B ∧DK1/2 A∧C ∧D

A∧C ∧DA∧B ∧C

K2/3 A∧B ∧CA∧C ∧D

K3/4 B ∧C ∧D

Tabelle 6.11: Beispiel mit vier Aussagen, Klassen, Stufe 1

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

Es müssen nur die Paare aus benachbarten Klassen getestet werden, da ansonsten dieUnterschiede bei mehr als bei einem Element sind. Daraus ergeben sich neue Klassen,die in der Tabelle 6.11 dargestellt sind.

In der nächsten Stufe müssen wiederum benachbarte Klassen verglichen werden, ob sicheine Verkürzung ergibt. Aus dem Vergleich der Klassen K1/2 und K2/3 ergibt sich nurnoch der Term A∧C. Damit ergibt sich die Disjunktive Normalform der BooleschenFunktion

f(A,B,C,D) =(A∧B ∧D)∨(B ∧C ∧D)∨(A∧C ∧D) (6.19)

∨(B ∧C ∧D)∨(A∧C) .

6.3.9 De�nition (Primimplikanten, wesentliche, unwesentliche). Können nochweitere Terme weggelassen werden?

De�nition. Die Terme, die beim Algorithmus von Quine-McClusky entstehen, die nichtmehr weiter vereinfacht, also durch Ausklammernung von Elementen, vereinfacht wer-den können, heiÿen Primimplikanten.

Ein Primimplikant, welches als einziges Primimplikant für das Erzeugen eines Min-Terms verantwortlich ist heiÿt wesentliches Primimplikant . Alle andere Primim-plikanten heiÿen unwesentliches Primimplikanten .

Wenn ein wesentliches Primimplikant weggelassen wird, dann ändert sich die BoolescheFunktion wesentlich.

6.3.10 Beispiel. Es besteht nun die Aufgabe, die wesentlichen Primimplikanten zu er-kennen. Dazu wird eine Matrix (siehe Tabelle 6.12) erstellt, in der die gefundenen Pri-mimplikanten aufgeführt werden (diese bilden die Zeilen) und die Min-Terme, welchedie Spalten bilden. Ein Kreuz bedeutet dabei, dass der Min-Term für das Entstehen desPrimimplikantes beteiligt war.

Wenn in einer Spalte nur ein Kreuz ist, dann ist das dazugehörige Primimplikant einwesentliches Primimplikant, da das Kreuz nur durch das entsprechende Primimplikanterzeugt werden kann, nicht durch ein anderes. Daher sind in diesem Beispiel die hinterendrei Primimplikanten wesentlich.

Die beiden ersten Primimplkanten in der Tabelle können für die ersten sieben Min-Termeweggelassen werden. Nur für den letzten Min-Term werden die Primimplikanten benö-tigt, aber nur eines von beiden, um eine minimale disjunktive Normalform zu erzeugen.Da beide Primimplikanten die gleiche Länge haben, ist es egal, welches man nimmt. An-sonsten würde man das kürzere Verwendung. Als minimale disjunktive Normalformenergeben sich daher

f(A,B,C,D) = (A∧C ∧D)∨(B ∧C ∧D)∨(A∧C)∨(A∧B ∧D) (6.20)

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6.3 Konstruktion der Normalformen

Min-Terme: A A A A A A A A

∧B ∧B ∧B ∧B ∧B ∧B ∧B ∧B∧C ∧C ∧C ∧C ∧C ∧C ∧C ∧C∧D ∧D ∧D ∧D ∧D ∧D ∧D ∧D

PrimimplikantA∧B ∧D X XB ∧C ∧D X XA∧C ∧D X XB ∧C ∧D X XA∧C X X X X

Tabelle 6.12: Beispiel mit vier Aussagen, Tabelle Min-Terme und Primimplikanten

oder

f(A,B,C,D) = (A∧C ∧D)∨(B ∧C ∧D)∨(A∧C)∨(B ∧C ∧D) (6.21)

6.3.11 Beispiel (Gröÿeres Beispiel). Hier ein etwas gröÿeres Beispiel, mit neun Va-riablen. In einem Betrieb werden verschiedene Produkte zusammen gebaut. Es gibt zweiverschiedene Gehäuse G1 und G2, drei verschiedene Baugruppen B1, B2 und B3 undvier verschiedene Zusatzkomponenten Z1, Z2, Z3 und Z4. Für den Zusammenbau gibtes verschiedene Regeln, die zu beachten sind:(1) Im Produkt ist genau ein Gehäuse enthalten.(2) Im Produkt ist genau eine Baugruppe enthalten. (3) Jede Zusatzkomponente kannentweder genau einmal eingebaut sein oder nicht.(4) In das Gehäuse G1 können nur die Baugruppen B1 oder B2 eingebaut werden.(5) In das Gehäuse G2 können nur die Baugruppen B2 oder B3 eingebaut werden.(6) Wenn die Baugruppe B2 eingebaut ist, jedoch nicht im Gehäuse G1, dann benötigtman die Zusatzkomponente Z2.(7) Wenn die Baugruppe B1 oder B3 eingebaut wurde, dann benötigt man auch dieZusatzkomponente Z1.(8) Wenn das Gehäuse G1 mit der Baugruppe B1 oder das Gehäuse G2 mit der Bau-gruppe B3 zusammengebaut wird, dann wird die Zusatzkomponente Z4 benötigt.(9) Wenn das Gehäuse G2 mit der Baugruppe B3 zusammen gebaut wird, dann darf dieZusatzkomponente Z2 nicht enthalten sein.

Diese Informationen können in logische Aussagen umgewandelt werden:

• (G1 ∨G2) ∧ ¬(G1 ∧G2) = G1∨G2

• (B1 ∨B2 ∨B3) ∧ ¬(B1 ∧B2) ∧ ¬(B1 ∧B3) ∧ ¬(B2 ∧B3)

• G1→ (B1 ∨B2)

• G2→ (B2 ∨B3)

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

• (G1 ∧ B2)→ Z2

• (B1 ∨B2)→ Z1

• ((G1 ∧B1) ∨ (G2 ∧B3)→ Z4

• (G2 ∧B3)→ Z2

Es gibt insgesamt neun verschiedene Objekte. Daher gibt es 29 = 512 verschiedene Mög-lichkeiten für die Belegung mit wahr (Objekt ist im Produkt) und falsch (Objekt istnicht im Produkt). Die DNF enthält diejenigen Zeilen, die baubar sind. Dies sind immer-hin noch 30 Zeilen. Diese 30 Zeilen sind damit der Ausgangspunkt des Algorithmus zurBestimmung der Minimalform, die Stufe 0. Die Bearbeitung des Algorithmus benötigtvier Stufen, um zu terminieren. Die Minimalform lautet:

(G1 ∧G2 ∧B1 ∧B2 ∧B3) (6.22)

∨(G1 ∧G2 ∧B1 ∧B2 ∧B3 ∧ Z1 ∧ Z4)

∨(G1 ∧G2 ∧B1 ∧B2 ∧B3 ∧ Z2)

∨(G1 ∧G2 ∧B1 ∧B2 ∧B3 ∧ Z1 ∧ Z2 ∧ Z4)

Diese Minimalform kann in einem Programm umgesetzt werden, um zu prüfen, ob eineKombination von Bauteilen baubar ist oder nicht. In der Realität gibt es weit mehrKomponenten und viel mehr Regeln.

6.4 KV-Diagramme

6.4.1 Anmerkung. Für wenige Variablen kann die Ermittlung der disjunktiven Nor-malform einfach gestaltet werden, dazu dient das Karnaugh-Veitch-Diagramm(KVD) . Es ist übersichtlich für zwei, drei oder vier Variablen. Es wurde von dem ameri-kanische Physiker und Informatiker Maurice Karnaugh (*1924) und dem amerikanischenInformatiker Edward W. Veitch (*1924) in den 1950er Jahren entwickelt wurde.

6.4.2 Beispiel. Zuerst wird ein Beispiel mit zwei Variablen betrachtet. Dazu wird eineBoolesche Funktion (Beispiel siehe Tabelle 6.13) umgewandelt in ein KVD (siehe Abbil-dung 6.2).

Auÿen stehen die beiden Variablen und deren mögliche Belegung. Innen werden die Funk-tionswerte notiert.

Hierbei werden nur die Funktionswerte 1 notiert. Leere Felder bedeuten Funktionswert0. Wenn zwei 1er in benachbarten Feldern stehen, dann kann daraus durch Ausklammerneine vereinfachte Form gefunden werden.

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6.4 KV-Diagramme

A B f(A,B)

0 0 00 1 11 0 01 1 1

Tabelle 6.13: Boolesche Funktion

f(A,B):

00

11

02

13

A

B

Abbildung 6.2: KV-Diagramm n = 2

6.4.3 Beispiel. Im zweiten Beispiel eines KVD mit zwei Variablen (siehe Abbildungen6.3) können zwei 2er-Blöcke identi�ziert werden.

f(A,B):

10

11

02

13

A

B

Abbildung 6.3: KV-Diagramm n = 2 a

Zum einen ist es die rechte Spalte (entspricht B) und die obere Zeile (entspricht A).Damit kann die DNF für diese Funktion sofort abgelesen werden, es ist A or B.

6.4.4 Beispiel (Drei Variablen). Für drei Variablen (siehe Abbildungen 6.4) ist dasKVD noch übersichtlich.

6.4.5 Beispiel (Vier Variablen). Auch bei vier Variablen ist das KVD noch über-sichtlich (siehe Abbildung 6.5).

6.4.6 Beispiel (Fünf Variablen). Bei fünf Variablen wird das KV-Diagramm langsamunübersichtlich.

Bei fünf Variablen wird es langsam unübersichtlich!

6.4.7 Anmerkung. Wichtig ist, dass sich zwischen benachbarten Feldern die Belegungnur an einer Stelle unterscheiden. Somit sind 2er-Blöcke vorhanden, wenn benachbarte

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

f(A,B,C):

0 1

2 3

45

67

A

B

C

Abbildung 6.4: KV-Diagramm n = 3

f(A,B,C,D):

0 1

2 3

45

67

8 9

10 11

1213

1415A

B

C

D

Abbildung 6.5: KV-Diagramm n = 4

f(A,B,C,D,E):

0 1

2 3

45

67

8 9

10 11

1213

1415

1617

1819

20 21

22 23

2425

2627

28 29

30 31

A

B

C

D

E E

Abbildung 6.6: KV-Diagramm n = 5

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6.4 KV-Diagramme

Felder eine 1 beinhalten. Gröÿere zusammenhängende Blöcke von Einsen können als 4er-Block oder als 8er-Block zusammengefasst werden und durch Ausklammerung gebildetwerden. 4e-Blöcke sind dabei Quadrate aus vier Elemente sein, wobei die Tabellen sobetrachtet werden, als wären die obere Zeile mit der unteren Zeile verbunden und als wäredie rechten Elemente mit den linken Elementen verbunden. Bei vier Variablen könnenauch die vier Eckpunkte gemeinsam einen 4er-Block bilden. Darüber hinaus können auchZeilen (und bei vier Variablen auch Spalten) einen 4er Block bilden.

Bei vier Variablen kann es auch 8er Blöcke geben. Dies sind dann zwei benachbarte Zeilenoder zwei benachbarte Spalten.

6.4.8 Beispiel. Für drei Variablen wird das Beispiel aus Tabelle 6.4 aufgenommen. Mitdiesem Beispiel wurde der Algorithmus von Quine-McClusky betrachtet. Zuerst wird dasKVD aufgebaut (siehe Abbildung 6.7).

f(A,B,C):

10

11

12

03

14

15

06

17

A

B

C

Abbildung 6.7: KV-Diagramm n = 3

Hier zeigt sich ein 4er-Block, bestehend aus den ersten Zeile. Dies entspricht dem TermB. Weiter gibt es 2er-Blöcke, die durch den 4er-Block noch nicht vollständig abgedecktsind. In der ersten Spalte, entspricht dem Term A∧C und in der dritten Spalte, entsprichtdem Term A ∧ C. Daraus ergibt sich als DNF der Ausdruck,

(A ∧ C) ∨ (A ∧ C) ∨B (6.23)

wie es auch mit dem Algorithmus von Quine-McClusky gefunden wurde.

6.4.9 Beispiel. Für vier Variablen wird das KVD in Abbildung 6.8 betrachtet.

Hier sind zwei 4er-Blöcke identi�zierbar. Die erste 4er-Block entspricht dem Term C∧D.Das Quadrat von Einsen in den letzten beiden Spalten ist ein weiterer 4er-Block, welcherdem Term A ∧D entspricht. Somit kann hier die DNF

(A ∧D) ∨ (C ∧D) (6.24)

abgelesen werden.

140 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

f(A,B,C,D):

00

11

02

03

04

15

06

07

08

19

010

111

012

113

014

115A

B

C

D

Abbildung 6.8: KV-Diagramm n = 4, Beispiel

6.5 Schaltnetze

6.5.1 De�nition (Gatter). Eine boolesche Funktion f : Bn → B ist eine Abbildungmit n Eingängen und einem Ausgang. An den Eingängen bedeutet �0� kein Strom, o�enund �1� Strom, geschlossen.

De�nition. Ein Gatter oder Schaltgatter ist eine technische Realisierung einer lo-gischen Schaltfunktion, welches Eingangssignale in Ausgangssignale umwandeln.

Wichtige Gatter habe spezielle Symbole, die im nachfolgenden aufgeführt sind. DieSchaltsymbole sind nach der internationalen Norm IEC 60617 genormt.

6.5.2 De�nition (NOT-Gatter).

Das NOT-Gatter (siehe Abbildung 6.9) repräsentiert die logische Operation not.

1

Abbildung 6.9: NOT-Gatter

Hier sind zwei Versionen hinterlegt, einmal mit und einmal ohne Kasten. Die Versionohne Kasten, stellt eine Negation dar, die noch öfters vorkommen wird.

6.5.3 De�nition (AND-Gatter).

Das AND-Gatter (siehe Abbildung 6.10) repräsentiert die logische Operation and.

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6.5 Schaltnetze

&

Abbildung 6.10: AND-Gatter

6.5.4 De�nition (OR-Gatter).

Das OR-Gatter (siehe Abbildung 6.11) repräsentiert die logische Operation or.

≥ 1

Abbildung 6.11: OR-Gatter

6.5.5 De�nition (NOR-Gatter).

Das NOR-Gatter (siehe Abbildung 6.12) repräsentiert die logische Operation nor. DieOperation nor entspricht der Operation not or. Dies ist in der Abbildung zu sehen. Nachdem Symbol für das OR−Gatter kommt das (kleine) Zeichen für die Negation.

≥ 1

Abbildung 6.12: NOR-Gatter

6.5.6 De�nition (NAND-Gatter).

Das NAND-Gatter (siehe Abbildung 6.13) repräsentiert die logische Operation nand.Die Operation nand entspricht der Operation not and und dies ist wiederum in derAbbildung zu sehen. Nach dem Symbol für ein AND−Gatter ist die Negation aufgeführt.

6.5.7 De�nition (XOR-Gatter).

Das XOR-Gatter (siehe Abbildung 6.14) repräsentiert die logische Operation xor.

6.5.8 Anmerkung (Halbaddierer). Die oben aufgeführten einfachen Gatter dienendem Aufbau von Schaltnetzen.

Als erstes wird ein Halbaddierer zusammen gestellt. Ein Halbaddierer addiert zwei Bit-Werte und gibt den Stellenwert und den Übertrag aus. Es gibt zwei Eingänge, die mit aund b bezeichnet werden. Hier kommt dann jeweils das Eingangssignal �Strom = 1� oder�kein Strom = 0� an. Es gibt zwei Ausgänge, der Stellenwert s und der Übertrag c.

Die Schalttabelle für den Halbaddierer ist in Tabelle 6.14 hinterlegt. Die Funktion f1(a, b)entspricht der xor-Funktion, die Funktion f2(a, b) entspricht der and-Funktion. Daher

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

&

Abbildung 6.13: NAND-Gatter

= 1

Abbildung 6.14: XOR-Gatter

kann der Halbaddierer mit einem AND-Gatter und einem XOR-Gatter erstellt werden(siehe Abbildung 6.15).

Werden andere Gatter, die zur Verfügung stehen, verwendet, dann sieht der Halbaddiererintern anders aus, die äuÿere Gestalt sieht identisch aus. Beispielsweise kann ein Halb-addierer alleine mit Hilfe von NAND − Gattern oder mit Hilfe von NOR − Gatternrealisiert werden. Wenn jetzt ein Halbaddierer verwendet wird, dann wird ein speziellesSymbol für den Halbaddierer (siehe Abbildung 6.16) verwendet.

6.5.9 Anmerkung (Volladdierer). Für die Addition von n-bit Zahlen, werden nebenden Stellen auch Überträge aus vorherigen Addition berücksichtigt. Somit gibt es fürjede Stelle drei Eingänge (die beiden Stellen der Eingabezahlen und der Übertrag ausder vorherigen Stelle) und zwei Ausgänge (der Stellenwert und der Übertrag zur nächstenStelle). Die Schalttabelle für einen Volladdierer ist in Tabelle 6.15 hinterlegt.

Ein Volladdierer kann mit Hilfe von zwei Halbaddierern und einem OR-Gatter realisiertwerden (siehe Abbildung 6.17).

Andere (auch kompaktere Möglichkeiten) der Umsetzung sind möglich. Hierzu werdenandere Gatter verwendet. Dies wird hier nicht genauer dargestellt. Ein Volladdierer wirdmit Hilfe eines Symbols dargestellt (siehe Abbildung 6.18). Ein Volladdierer hat dreiEingänge und zwei Ausgänge.

6.5.10 Anmerkung (n-Bit-Addierer). Ein n-Bit-Addierer kann nun aus (n − 1)-Volladdierern und einem Halbaddierer zusammen gebaut werden. Für die erste Stelle

a b s = f1(a, b) c = f2(a, b)

0 0 0 00 1 1 01 0 1 01 1 0 1

Tabelle 6.14: Schalttabelle Halbaddierer

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6.5 Schaltnetze

as

= 1

bc

&

Abbildung 6.15: Halbaddierer

a

b

s

cHA

Abbildung 6.16: Halbaddierer (Symbol)

a b c1 s = f1(a, b, c1) c2 = f2(a, b, c1)

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

Tabelle 6.15: Schalttabelle Volladdierer

b

a

HA

HA

≥ 1

c1

s

c

c

s

c2

Abbildung 6.17: Volladdierer

144 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

c1ab

s

c2V A

Abbildung 6.18: Volladdierer (Symbol)

wird der Halbaddierer verwendet (da gibt es noch keinen Übertrag). Wenn der Übertragvom letzten Volladdierer (die höchste Stelle) ungleich 0 ist, dann hat die n-Bit-Additioneinen Überlauf erzeugt.

Näher wird auf Schaltnetze nicht eingegangen.

6.6 Aufgaben

6.6.1 Aufgabe. Die boolesche Funktion f sei durch die folgende Wertetabelle gegeben:A B f(A,B)

1 1 11 0 10 1 00 0 1

(a) Veranschaulichen Sie sich die Funktion an Hand eines Mengendiagramms.

(b) Bestimmen Sie die disjunktive Normalform von f .

(c) Bestimmen Sie die konjunktive Normalform von f .

6.6.2 Aufgabe. Es seien A, B und C Teilmengen einer Menge M . Bestimmen Sie diedisjunktive Normalform von {M (A ∪B ∪ C) ∪ ({M (A) ∩B ∩ C).

6.6.3 Aufgabe. Die boolesche Funktion f sei durch die folgende Wertetabelle gegeben:A B C f(A,B,C)

1 1 1 11 1 0 11 0 1 01 0 0 10 1 1 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

(a) Veranschaulichen Sie sich die Funktion an Hand eines Mengendiagrammes.

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6.7 Lösungen

(b) Bestimmen Sie die disjunktive Normalform von f .

(c) Minimieren Sie die disjunktive Normalform von f .

(d) Bestimmen Sie die konjunktive Normalform von f .

(e) Minimieren Sie die konjunktive Normalform von f .

6.6.4 Aufgabe. Es seien A, B, C und D beliebige Aussagen. Eine boolesche Funk-tion f = f(A,B,C,D) ist gegeben durch die nachfolgende (zweigeteilte) Tabelle. Be-stimmen Sie die minimale Normalform nach dem Verfahren von Quine-McCluskey.A B C D f

1 1 1 1 01 1 1 0 11 1 0 1 11 1 0 0 11 0 1 1 01 0 1 0 01 0 0 1 01 0 0 0 0

A B C D f

0 1 1 1 00 1 1 0 00 1 0 1 10 1 0 0 10 0 1 1 10 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 0

6.7 Lösungen

6.7.1 Lösung. zu Aufgabe 6.6.1

(b) DNF: f(A,B) = (A⊗B)⊕ (A⊗ ∼ B)⊕ (∼ A⊗ ∼ B))

(c) KNF: f(A,B) = (A⊕ ∼ B)

6.7.2 Lösung. zu Aufgabe 6.6.2 Es gilt

A ∪B ∪ C ∪ (A ∩B ∩ C) = (A ∩B ∩ C) ∪ (A ∩B ∩ C) .

6.7.3 Lösung. zu Aufgabe 6.6.3

(b)DNF: f(A,B,C) = (A⊗B⊗C)⊕(A⊗B⊗ ∼ C)⊕(A⊗ ∼ B⊗ ∼ C)⊕(∼ A⊗B⊗C)⊕(∼A⊗ ∼ B⊗ ∼ C)

(c)Stufe 0 (disjunktive Normalform)Zeile A B C Haken0a 1 1 1

0b 1 1 0√

0c 1 0 0√

0d 0 1 1√

0e 0 0 0√

146 Version 8.1 18.02.2017

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Kapitel 6 Boolesche Algebren

Stufe 1Zeile entstand aus A B C Haken1a 0a,0b 1 1 -1b 0a,0d - 1 11c 0b,0c 1 - 01d 0c,0e - 0 0

f(A,B,C) = (A⊗B)⊕ (B ⊗ C)⊕ (A⊗ ∼ C)⊕ (∼ B⊗ ∼ C)

(d)KNF: f(A,B,C) = (∼ A⊕B⊕ ∼ C)⊗ (A⊕ ∼ B ⊕ C)⊗ (A⊕B⊕ ∼ C)

(e)Stufe 0 (konjunktive Normalform)Zeile A B C Haken0a 1 0 1

0b 0 1 00c 0 0 1

Stufe 1Zeile entstand aus A B C Haken1a 0a,0c - 0 1

f(A,B,C) = (B⊕ ∼ C)⊗ (A⊕ ∼ B ⊕ C)

6.7.4 Lösung. zu Aufgabe 6.6.4

Stufe 0Zeile entsteht aus A B C D Haken0a 1 1 1 0

0b 1 1 0 1√

0c 1 1 0 0√

0d 0 1 0 1√

0e 0 1 0 0√

0f 0 0 1 1

Stufe 1Zeile entsteht aus A B C D Haken1a 0a,0c 1 1 - 01b 0b,0c 1 1 0 -

1c 0b,0d - 1 0 1√

1d 0c,0e - 1 0 0√

1e 0d,0e 0 1 0 -√

Stufe 2Zeile entsteht aus A B C D Haken2a 1b,1e - 1 0 -2b 1c,1d - 1 0 - doppelt

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6.7 Lösungen

f(A,B,C,D) = (B ∧ ¬C) ∨ (A ∧B ∧ ¬D) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C ∧D)

Min-Terme: A A A ¬A ¬A ¬A∧B ∧B ∧B ∧B ∧B ∧¬B∧C ∧¬C ∧¬C ∧¬C ∧¬C ∧C

Primimplikant ∧¬D ∧D ∧¬D ∧D ∧¬D ∧DB ∧ ¬C X X X XA ∧B ∧ ¬D X X¬A ∧ ¬B ∧ C ∧D X

Alle Primimplikante sind wesentlich.

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Namensliste

Appel, Kenneth, 30

Boole, George, 123

Cantor, Georg, 41

Descartes, Renè, 58

Euklid, 12Euler, Leonhard, 46

Fermat, Pierre de, 12

Goldbach, Christian, 12Guthrie, Francis, 30

Haken, Kenneth, 30Hasse, Helmut, 81

Karnaugh, Maurice, 137

McCluskey, Edward J., 130Morgan, Augustus de, 26, 54, 55

Quine, Willard Van Orman, 130

Veitch, Edward W., 137Venn, John, 46

Wiles, Andrew, 12

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Abkürzungen

DNF - disjunktive Normalform, 127 KNF - konjunktive Normalform, 127KVD Karnaugh-Veitch-Diagramm, 137

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Index

∧, 22∨, 22∨, 22

Abbildung, 95Abbildung, inverse, 105Absorptionsgesetz, 122absorptiv, 122Abtrennungsregel, 27Adjunktion, 17adjunktiv, 124Algorithmus von Quine-McCluskey, 131AND-Gatter, 141and-Verknüpfung, 16antisymmetrisch, 74assoziativ, 114Assoziativgesetz, 25, 51, 114asymmetrisch, 74Aussage, 13Aussageform, 14

Basis, 116beschränkt, nach oben, 84beschränkt, nach unten, 84Beweis durch Widerspruch, 31Beweis, direkt, 30Beweis, indirekt, 30bijektiv, 101Bijunktion, 19Bild, 95, 98binäre Relation, 69binäre Verknüpfung, 113boolesche Algebra, 124booleschen Variable, 126boolescher Verband, 124

De�nitionsbereich, 95, 114

Di�erenz, 53Di�erenz, symmetrische, 54direkten Beweis, 30disjunkt, 50disjunkt, paarweise, 56disjunkte Zerlegung, 56Disjunktion, 17disjunktive Normalform, 127Distibutivgesetz, 51Distributivgesetz, 25Durchrechnen, vollständig, 30Durchschnitt, 49

echte Teilmenge, 45Einbettung, 103eineindeutig, 101Einschränkung, 103Einselement, 115, 119, 124Element, gröÿtes, 83Element, inverses, 116Element, kleinstes, 83Element, maximales, 83Element, minimales, 83Elemente, 41endliche Menge, 45Erzeugendensystem, 116Euler-Diagramm, 46

falsch, 13false, 13, 20Folge, 104Folgerung, 18Fortsetzung, 104

Gatter, 141Gatter, AND-, 141Gatter, NAND-, 142

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Index

Gatter, NOR-, 142Gatter, NOT-, 141Gatter, OR-, 142Gatter, XOR-, 142Gegenbeispiel, 30geordnet, linear, 81geordnet, total, 81geordnete 2-Tupel, 58geordnete Menge, 80gleich, 44, 69, 96Graph, 95Grenze, obere, 85Grenze, untere, 85Gruppe, 118gröÿtes Element, 83

Halbaddierer, 142Halbgruppe, 118Hasse-Diagramm, 81

id, 21idempotent, 122Idempotenzgesetz, 122Identität, 21, 104Implikation, 18indirekten Beweis, 30Induktion, vollständige, 31In�mum, 85injektiv, 101Inklusionsabbildung, 103innere Verknüpfung, 113Integritätsring, 120inverse Relation, 72inversen Abbildung, 105inverses Element, 116involutiv, 124irre�exiv, 74

Junktoren, 19

kanonische Abbildung, 103Karnaugh-Veitch-Diagramm, 137kartesische Produkt, 58, 59Kettenschlussregel, 28Klasseneinteilung, 56

kleinstes Element, 83kommutativ, 115, 118Kommutativgesetz, 25, 51, 115Komplement, 53komplementär, 124Komposition, 73, 105Konjunktion, 16konjunktive Normalform, 127konnex, 81konstant, 103konstante Abbildung, 103Kontradiktion, 24Kontrapositionssatz, 27Körper, 119

leere Menge, 45linear geordnet, 81

Max-Term, 127maximales Element, 83Menge, 41Menge der Abbildungen von M nach N ,

108Menge der Abbildungen von M, 108Menge der bijektiven Abbildungen von

M, 108Menge, endliche, 45Menge, geordnet, 80Menge, leere, 45Menge, streng geordnet, 80Menge, tgo, 80Menge, unendliche, 45Menge,teilweise geordnet, 80Mengendiagramm, 46Min-Term, 127Min-Terme, 126minimales Element, 83Modul, 121Monoid, 118Multimenge, 45

n-stellige Operation, 114nach oben beschränkt, 84nach unten beschränkt, 84

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Index

nand, 22NAND-Gatter, 142Negation, 16neutrales Element, 115nor, 22NOR-Gatter, 142NOT-Gatter, 141Nullelement, 115, 119, 124

obere Grenze, 85obere Schranke, 84Obermenge, 45oder-Verknüpfung, 17Operation, 114Operation, n-stellig, 114OR-Gatter, 142or-Verknüpfung, 17Ordnung, partielle, 80Ordnung, teilweise, 80Ordnungsdiagramm, 81Ordnungsrelation, 76, 80Ordnungsrelation, strenge, 80

Paarmenge, 59partielle Ordnung, 80Partition, 56poset, 80Potenzmenge, 48Primimplikant, 135Primimplikant, unwesentlich, 135Primimplikant, wesentliches, 135Projektion, 103Prädikat, 14Prädikatenlogik, 29Präferenzrelation, 76

Quine-McCluskey, Algorithmus von, 131Quotientenmenge, 79

re�exiv, 74Regeln von de Morgan, 26Relation, 69Relation auf, 73Relation, binär, 69Relation, inverse, 72

Repräsentant, 57, 79Repräsentantensystem, 79Restklassenkörper modulo p, 120Restklassenring modulo n, 120Ring, 119Ring, kommutativer, 119

Satz vom ausgeschlossenen Dritten, 24Satz vom Widerspruch, 24Satz von der doppelten Verneinung, 25Satz zum modus barbara, 28Satz zum modus ponens, 27Satz zum modus tollens, 27Schaltalgebra, 126Schaltfunktion, 126Schaltgatter, 141Schaltung, 126Schaltvariable, 126Schranke, untere, 84streng geordnete Menge, 80strenge Ordnungsrelation, 80Subjunktion, 18Supremum, 85surjektiv, 101symmetrisch, 74symmetrische Di�erenz, 54

Tautologie, 24Teilmenge, 45Teilmenge, echte, 45teilweise geordnete Menge, 80teilweise Ordnung, 80tgo Menge, 80total geordnet, 81transitiv, 75true, 13, 20Tupel, geordnetes 2-, 58

Umkehrabbildung, 102und-Verknüpfung, 16unendliche Menge, 45untere Grenze, 85untere Schranke, 84unwesentliches Primimplikant, 135

Version 8.1 18.02.2017 157

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Index

Urbild, 98

Variable, 14Vektorraum, 121Venn-Diagramm, 46verallgemeinerte Vereinigung, 51verallgemeinerten Durchschnitt, 50Verband, 122Vereinigung, 50Verknüpfung, 113Verknüpfung, and-, 16Verknüpfung, binäre, 113Verknüpfung, innere, 113Verknüpfung, oder-, 17Verknüpfung, or-, 17Verknüpfung, und-, 16Verknüpfung, äuÿere 1. Art, 113Verknüpfung, äuÿere 2. Art, 113Verknüpfungstafel, 15Volladdierer, 143vollständig, 75

vollständige Induktion, 31vollständiges Repräsentantensystem, 79

wahr, 13Wahrheitstafel, 15Wahrheitswert, 13Wertebereich, 95, 114wesentliches Primimplikant, 135

xor, 22XOR-Gatter, 142

Zerlegung, disjunkte, 56

Äquivalenz, 19Äquivalenzklasse, 77Äquivalenzklassen, 57Äquivalenzrelation, 76äquivalent, 57äuÿere Verknüpfung 1. Art, 113äuÿere Verknüpfung 2. Art, 113

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