I Acta hsdrochim. hydrobiol. I 1 I 1973 1 5 I 471-476 I

A. GNAUCK

Technische Universitlt Dresden, Sektion Wasserwesen, Bereich Hydrobiologie

Mathematische Probleme in der Wassergiitewirtschaft

Zusammenfassung: Die in der Vergangenheit entwickelten mathematischen Modelle zur Erfor- schung des Stoffumsatzes in Gewassern waren stets mit der Entdeckung und Erklilrung biochemi- scher GesetzmlDigkeiten verbunden. Ausgangspunkt dieser Entwicklung waren verschiedene Arbeiten zur Enzymkinetik. Die kontinuierliche Verbesserung dieser Modelle und Methoden fiihrte zur Anwendung systemtheoretischer Verfahren. Jedoch fehlt ein verallgemeinerungsflhiges Modell, da bei weitem noch nicht alle Beziehungen zwischen den Beschaffenheitsparametern bekannt sind.

Alle Bereiche der Wissenschaft werden in neuerer Zeit von einer gewissen Mathe- niatisierung erfaBt. In den traditioiiellen Anwendungsgebieten der Mathematik, z. B. der Physik, konnen viele Sachverhalte in Gestalt matheniatischer Ausdriicke formu- liert werden; dagegen gibt es andere Gebiete, in denen die Abstraktion noch nicht so weit fortgeschritten ist. Hierbei handelt es sich aber gerade um die am meisten mit der konkreten Wirklichkeit verbundenen Wissenschaftsbereiche und um jene Gebiete, in denen das Auffinden von Gesetzen wegen der Vielfalt der Erscheinungen und eines hohen Komplexitatsgrades besonders erschwert wird, wie etwa in vielen Bereichen der biologischen Wissenschaften. Durch eine entsprechende Datenauswertung konnen die fur eine bestimnite Untersuchung unwesentlichen Einflusse eliminiert werden, uni eine Systematisierung, eine Beschreibung und Erklarung der enipirischen Erschei- nungen zu erreichen und damit eine Hypothesenbildung und -priifung zu ernioglichen.

Die Wasserbeschaffenheit ist in fast allen ihren Kriterien starken zeitlichen Schwan- kungen unterworfen (z. B. Jahreszyklus, Tag-Nacht-Rhythmus, Temperaturschwan- kungen). Trotzdetn mu13 die Wasserbeschaffenheit als Ganzes erfal3t und beurteilt werden, wofiir eine Synthese aus den einzelnen MeBergebnissen der chemischen, phy- sikalischen, biologischen und bakteriologischen Untersuchungen notwendig ist. Diese Synthese erbringt gegenuber der bloBen Suninie aus einer Vielzahl von MeBergeb- nissen einen Gewinn hinsichtlich Aussagekraft und Ubersichtlichkeit der Daten, sie bedeutet aber auch einen Verlust an Information, da sie nur durch Abstraktion der in der Natur gegebenen Verhaltnisse nioglich ist.

Die Anwendung der Mathematik in der Wassergutewirtschaft hatte ihren Ursprung in der niathematischen Beschreibung biocheniischer GesetzmaBigkeiten.

1884 wurde die Tatsache bekannt, daO die Mikrophyten des Wassers die Fiihigkeit haben, den ini Wasser gelosten Sauerstoff fur ihre eigenen Stoffwechselprozesse zu verbrauchen und somit im Wasser ein Sauerstoffdefizit hervorrufen. Diese Erklarung in Verbindung init den bereits zehn Jahre friiher dargelegten Grundziigen der Enzym- kinetik bildete den Ausgangspunkt der Anwendung mathematischer Methoden zur

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Beschreibung der Wasserbeschaffenheit. Zahlreiche Veroffentlichungen beschaftigten sich niit der Reaktionskinetik und verschiedenen Aspekten der stochioinetrischen Forniel

k , k , E + X + E X - . E + P ,

E = Enzym s = Substrat ES = Enzyni-Sobstratverbindung P = Reaktionsprodukte k , , k?, k , = Gesrhwindigkeitskonstanten der Reaktionen.

Die bei gleichbleibenden Bedingungen konstante Geschwindigkeit V ist durch

gegeben:

V = maximale Geschwindigkeit bei holien Substratkonzentrationen [S] = Substratkonzentration K s = MIcHAELrs-Konstante.

Matheniatisch gesehen gilt :

V = k s . & ,

E = totale Enzymkonzentration

und - k 2 i k:,

k , . s -

K S ist von 181 wie auch von unabhangig, andert sich aber bei einer Verschiebung der aufieren Bedingungen. Die Gleichung (1) wurde zuerst von MICHAELIS und MENTEP; (1913) anf theoretischeni Wege erhalten, wobei angenolnmen wurde, daB die zweite Reaktion die geschwindigkeitsbestiinniende Stufe darstellt. Unter dieser Voraus-

setzung gilt k, > k,3 und K,, = k' k.I (Dissoziationskonstante der Enzym-Substrat-

verbindung). Diese Gleichung entsprach daniit auch einer 1902 esperiinentell gefunde- nen Gleichung.

1925 ist ein Bruch in dieser Entwicklung zu verzeichnen. PHELPS (1925) erkannte, da13 eines der wichtigsten Iiriterien der Wasserbeschaffenheit die Sauerstoffhilanz ist und stellte zusainiiieii niit STREETER ein empirisclies Gesetz fur den Abbau von WasserinliaItsstoffen und damit fur den biologischen Sanerstoffverbrauch auf. Sie heschrieben den Abbau organischer Substanz iui Gewasser als Reaktion erster Ord- nung :

Die Bestiinrnung des Biochemischen Sauerstoffbedarfs (BSB) gibt die Moglichkeit, auf Grund des Snuerstoffverbrauches die Versehniutzung eines GewBssers und damit die Wasserqualitat teilweise einzuschatzen.

Mathematische Probleme

Sei Lo die BSB-Anfangskonzentration, Z, der zur Zeit t abgebaute BSB.

dLt - _ - K,(L, - Lt) dt

niit k l = 0,434 R, und K , =

Anders dargestellt gilt fur den Abban einer Konzentration c :

ct = co ecg1t.

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Dann ist

(3)

(4)

( 5 ) Diese Gleichung erlangte unter dem Nainen STREETER-PHELPS-GkiChUng grofie Ver- breitung in der Wassergutewirtschaft (FAIR und GEYER 1958). Die Versuche zur Be- schreibung von Abbauvorgangen mit Reaktionsgleichungen 2. Ordnung schlugen meist fehl oder die Prozesse lieBen sich dainit nur teilweise beschreiben.

1932 begann eine neue Phase in der Entwicklung matheniatischer Methoden in der Wassergutewirtschaft. HALDANE (1932) vertrat die Ansicht, da13 das einmal gestorte Gleichgewicht iin Gewasser nicht niehr erreicht wird, sondern sich stets ein Quasi- gleichgewicht oder dynamisches Gleichgewicht einstellt, da die Gewasser als offene Systeme in1 Materieaustausch niit der Umwelt stehen (vgl. BERTALANFFY 1953 und 1968). Die Anwendung der Theorie des steady-state auf Stoffumsetzungen in1 Gewasser erhielt erst in jiingster Zeit wieder neuen Auftrieb, nachdeni MONOD (1942) auf das bestehende Enzymmodell zuruckgriff und es weiterentwickelte. Er verwendete dabei einen Gleichungstyp, der der STREETER-PHELPS-Gleichung fur iiionoinolekulare Reaktionen entspricht, also eine Gleichung voin hyperbolischen Typ, deren asym- ptotiscli verlaufender Ast einer nicht durch das Substrat liinitierten Wachstunisge- schwindigkeit entspricht. MONOD iibertrug die fur die Enzymkinetik bedeutsame MICHAELIS-MENTEN-Gleichung auf das Bakterienwachstuni :

S P = P*max ~

p = spezifische Wachstuinsgeschwindigkeit pUmaX = maximale spezifische Wachstnnisgeschwiiidigkeit S = Substratkonzentration

K,y = Satnrationskonstante; sie entspricht derjenigen Substratkonzentration, bei der ,u = -pnlax

Zuni Hauptanwendungsgebiet inatheiiiatischer Methoden wurde aber iininer iiiehr die Bilanzierung des Sauerstoffhaushaltes, bestehend aus deiii Verbrauch an gelostem Sauerstoff durch die Oxydationsvorgange auf der einen Seite und aus der Sauerstoff- anreicherung des Wassers aus der Luft oder durch Photosynthese der Pflanzen auf der anderen Seite. Fur ein Gewasser ist der Sauerstoffhaushalt von besonderer Bedeutung, da nur unter aeroben Bedingungen ein rascher von organischen Stoffen erfolgt. Die Xnderung des Sauerstoffgehaltes im Gewasser wird in Abhangigkeit voin Sattigungs- wert durch das Sauerstoffdefizit D dargestellt :

I<, + s

1 2 ist.

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bzw. D - Do e-gat = D 10-kat t - 0

DO = Sauerstoffdefizit zu Beginn der Untersuchung K2 = bzw. k2 = Wiederbeliiftungskonstante.

Als Gesamtbilanz ergibt sich

dD dL dD at at dt

-- - KI(L0 - Lt) - K2D = KIL - K 2 D = - + -, oder als LEIBNIzsche Differentialgleichung geschrieben

dD - + K,D = KIL. at

Durch Integration erhalt man schlieSlich

bzw.

Mit k, /k , = f (Selbstreinigungsbeiwert) erhalt man

(7)

(9)

Problematisch war die Ubertragbarkeit dieser Gleichungen auf die verschiedenen Gewiissertypen. MANCZAK (1963) versuchte diese Frage durch Korrelation der Sauer- stoffkomponenten und des Durchflusses zu klaren. Man erkannte aber bald, daB die strenge deterministische Betrachtungsweise (nur) Naherungslosungen erbrachte und neue Interpretationsfragen entstehen lieB. Der Koinplex aller sauerstoffliefernden und sauerstoffzehrenden Prozesse in1 Gewasser konnte durch die STREETER-PHELPS- Gleichung nicht erfaBt werden (vgl. v. TUMPLING 1971).

An dieser Stelle ist ein neuer Einsehnitt zu verzeichnen, der durch den Ubergang zu einer komplexen Betrachtungsweise von Wassermenge und Wassergute gekennzeich- net ist. Die Herausbildung dieses Aspektes bewirkte die Verwendung statistischer Methoden in der Wassergutewirtschaft, insbesondere Verfahren der Korrelations- und Regressionsanalyse. Die verwendeten Regressionsgleichungen hatten die Form

(13) a Q

y = a Q + b oder y = - + b ,

wobei die einzelnen Giiteparaineter als Funktion des Durchflusses dargestellt wurden. Besondere Verbreitung erfuhren diese Methoden durch die Auswertungen von zwei Elbebereisungen 1959 und 1965. MANCZAK (1967) entwickelte fur einen speziellen Giiteparaineter die Gleichung

Y = a ( & + PY + c ( Q + s)&+ + f, (14)

a, b, c, d, e = Schwebstoffkonzentrationen p , g, f = Konstanten.

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Mitte der sechziger Jahre trat nach der Euphorie uber die Regressionsmethode eine gewisse Erniichterung durch die ungeniigenden Ergebnisse ein. I n vielen Fallen er- hielt man keine besseren Beschreibungen der sich in Gewiisser abspielenden Prozesse als durch die STREETER-PHELPS-Gleichung. Die Mange1 der statistischen Methoden machten sich insbesondere bei den auszuarbeitenden Sanierungskonzeptionen bemerk- bar. Deshalb wurden von F'ROKOP und JOBSKY (1971) fur die Bestimmung von Sanie- rungsgebieten der Mulde und der Oberen Spree beide Wege - statistisch und deter- ininistisch - verwendet.

Neue Impulse gab es durch KAEDING und BRACHER (1968)) die die Grundlagen fur eine systemtheoretische Untersuchung der Elbe bei Dresden entwickelten. I n dieser Arbeit wurde auf die Zeitbezogenheit der Analysendaten naher eingegangen. Die Einbeziehung des Zeitfaktors bei der Beurteilung der Wasserbeschaffenheit ermog- lichte die Anwendung dynamiseh-statistischer Methoden und eroffnete neue Wege der Deutung und Interpretation von Analysenergebnissen. O'CONNOR (1969) veroffent- lichte eine Gleichung, die sowohl deterministische als auch stochastische Aspekte unter Hinzufiigung der Zeitvarianz der Giiteparameter beriicksichtigte :

A = Gewgsserquerschnitt c = Konzentration Q = Durchflull S = sinks and sources.

THOMANN (1963) entwickelte ein Modell, indem er ein FlieIJgewasser in mehrere Abschnitte unterteilte und das Verhalten der Beschaffenheitsparameter je Abschnitt durch Zeitreihenanalyse beschrieb. Diese Methode wurde von BRAUN (1971) uberpruft und entsprechend dem' Charakter unserer Fliisse anwendbar gemacht. Eine Aus- dehnung dieser Gedankengiinge auf Staugewiisser erfolgte durch UHLMANN und BENNDORF (1971) und auf Wasserbehandlungsanlagen durch KAEDING und HACKEN- BERGER (1971). An diesen Beispielen laljt sich die groBe Anwendungsbreite der zeit- reihenanalytischen Methoden erkennen. Gegenwartig wird versucht, durch Konstruk- tion geeigneter digitaler Filter bestimnite Frequenzen, die die MeBwerte beeinflussen, auszusondern, urn genauere und speziellere Informationen aus den Analysenergeb- nissen gewinnen zu konnen.

Systemtheoretisch gesehen handelt es sich bei den oben genannten Methoden stets um lineare Systeme. Genauer und der Wirklichkeit entsprechender ware die Verwen- dung nichtlinearer ,Systeme, deren Eigenschaften und KenngroBen sich durch einen linearen und einen Verzerrungsanteil beschreiben lassen. FaBt man ein Gewiisser als nichtlineares System auf, so lassen sich Abwassereinleitungen oder andere Storungen als Verzerrungsanteile der Eingangssignale des Systems interpretieren, die auf die linearen Anteile der Eingangssignale (Grundmodell des Gewiissers) wirken. Die Ver- Lnderung des Grundmodells wLre dann ein MaB fur die Wasserbeschaffenheit des betrachteten Gewkissers.

Die gegenwartig vorhandenen systemtheoretischen Kenntnisse bei der Modellierung des Stoffhaushaltes von Gewiissern reichen noch nicht aus, urn die anstehenden Pro- bleme zu bewiiltigen. Jedoch lassen die Beschiiftigurrg mit regelungstechnischen

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Methoden und kybernetischen Denkweisen in Verbindung niit hydrocheinisclien und hydrobiologischen Erkemitnissen Fortschritte bei der Beurteilung der Wasserbe- schaffenheit als Ganzes erwarten.

Literatur

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Mniauskripteingung: 29. 8. 1972.

Anschrift des Verfnssers:

Dip].-Math. Albrecht GNAUCK, DDR - 110 Berlin, LauterbachstraBe 3.