Physik für Pharmazeuten
und Biologen
MECHANIK I
Kinematik
Dynamik
Gleichförmige Bewegung
Beschleunigte Bewegung
Kräfte
MECHANIKBewegungslehre (Kinematik)
Mechanik I 1.1 Kinematik
• Kinematik beschreibt Ablauf einer Bewegung
� Bewegung definiert relativ zu
Bezugssystem � Koordinatensystem
� Ursprung O
� Ortsvektor zu Massepunkt ( )r tr
� Ortsvektor zu Massepunkt
zum Zeitpunkt t
( )r t
Einschub Vektorrechnung:
Addition Subtraktion skalare und vektorielle
Multiplikation
Mechanik I Geschwindigkeit
• Differenz der Ortsvektoren zu t1 und t2
• mittlere Geschwindigkeit: Ortsdifferenz / Zeitdifferenz
2 1( ) ( )r r t r t∆ = −r r r
2 1( ) ( )r t r trt t t
v−∆
∆ −= =r rr
• momentane Geschwindigkeit:
Grenzfall t2�t1
• Einheit
• geradlinige Bewegung: Richtung von ist konstant
• gleichförmige Bewegung: Größe von ist konstant
2 1t t tv ∆ −= =
2 1
2 12 1 2 1
( ) ( )
1( ) lim limr t r tr
t t tt t t t
v t−∆
∆ −→ →= =
r rr
[ ]
[ ][ ] l mt s
v = =vr
vr
Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe
Ein Vektor hat einen Betrag (Länge des Pfeils) und eine Richtung.
2 2
y
m
v v =
2
3
m
s
Die x- und y-Komponenten erhält man durch Projektion auf die Achsen
v v = vx
2 + vy2 = 9
m2
s2 + 4m2
s2 = 13m
svv
xs
mx 2=v
s
my 3=v
Mechanik I Beschleuningung
• Differenz der Geschwindigkeitsvektoren zu t1 und t2
• mittlere Beschleunigung: Geschwindigkeitsdiff./ Zeitdifferenz
2 1( ) ( )v v t v t∆ = −r r r
2 1
2 1
( ) ( )v t v tvt t t
a−∆
∆ −= =r rr
• momentane Beschleunigung:
Grenzfall t2�t1
• Einheit
• Tangentialbeschleunigung: Richtung der Geschwindigkeit wird geändert
• Normalbeschleunigung: nur ändert sich
2 1
2 1
2 12 1 2 1
( ) ( )
1( ) lim limv t v tv
t t tt t t t
a t−∆
∆ −→ →= =
r rr
2
[ ]
[ ][ ][ ] l mt t s
a = =
vr ( )v a
rr�
Vektor-Charakter der Beschleunigung
v[m/s]
r a = lim
t →0
∆r v
∆t= d
r v
dt
m
s2
Auch die Beschleunigung ist ein Vektor.
t[s]
∆t dt s
dt
da
v= unddt
ds=v2
2
dt
sda =⇒
Mechanik I einfache Bewegungen
• gleichförmig geradlinige Bewegung
(Tropfenwagen, nur eine Richtung
� nur skalar):
• gleichmässig beschleunigte Bewegung
- konstante Kraft bewirkt
0( )r t r vt= +
konstante Beschleunigung:
- v ändert sich linear mit der Zeit:
- r ändert sich quadratisch mit der Zeit:- bei einfachen Anfangswerten (r0=0, v0=0):
• freier Fall: Spezialfall der beschleunigten Bewegung (Fallschnüre)
Entsprechend Gravitationsgesetz (siehe später) erfährt jeder
Körper eine Beschleunigung von (Galileis Fallexperimente)
a F m=0( )v t v at= +
210 0 2
( )r t r v t at= + +
29,81 / Erdbeschleunigunga g m s= =
� Dartpfeil
212
, , 2v at r at v ar= = =
Wichtige Formeln: die gleichförmig beschleunigte Bewegung
[ ]2s
ma
t s[ ]
a
[ ]smv
a ( t ) = a
∫ ⋅=t
dtat )(v
t s[ ]v0
∫0
0)( vv +⋅= tat
002
2)( stt
ats +⋅+⋅= v
( )∫ +⋅=t
dttats0
0)( v
[ ]ms
t s[ ]s0
002
2)( stt
ats +⋅+⋅= v
Experiment: Fallender Körper im Schwerefeld (Fallschnur)
2
00
2)(
gilt ,0 ,0mit 2
ta
ts
gas
⋅=
===v
Mechanik I Addition von Geschwindigkeiten
• alle vektorielle Größen können addiert werden !
� Ort bekannt aus Mathematik. Aber auch Geschwindigkeit, Beschleunigung, ......
• Experiment: Kanonenwagen
� Geschwindigkeit von Wagen � Geschwindigkeit von Wagen und Kugeln addieren sich
• Bezugssystem:
� Laborsystem: Wagen bewegt sich, zusätzlich Kugel
� Wagen: Kugel bewegt sich
� Inertialsystem: nichtbeschleunigtes Bezugssystem
Mechanik IExperimentKanonenwagen
Gleichzeitig verlaufende Bewegungen überlagern sich ungestört und addieren sich geometrisch
v v
v v ges
Beispiel: Bewegung eines Boots
v v Fluß
v v Fluß
v v Boot
v v ges= v
v Fluß + v v Boot
v Fluß
v v Boot
Mechanik I 2 Versuche
Dartpfeil
Fallschnur
Mechanik I
Experiment:
Dartpfeil auf fallende Scheibe
g
g
Paradebeispiel: Der waagrechte Wurf
v0
a=g
h0
y
Wie weit entfernt landet der Ball ?Welches ist der Aufschlagwinkel ?
x
Galileo Galilei (1564-1642)
In der Natur vorkommende Geschwindigkeiten
sm/103 8⋅
sm/103 2⋅
sm/102 3⋅
Lichtgeschwindigkeit (im Vakuum) :
Schallgeschwindigkeit :
Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :
sm/101 6⋅
sm/102 3⋅Elektronen in der Fernsehröhre :
Wasserstoff bei T=300K (im Mittel) :
Schuss aus einer Gaspistole : ?
Mechanik I
Experiment:Messung der Geschossgeschwindigkeit
[Tafel]
Mechanik I
Anwendungsbeispiel: Neutronen-Flugzeit-Spektrometer
Auswahl / Analyse der Neutronen-Geschwindigkeit mit rotierenden
Schlitzen (chopper)
Bei 20 °C (= 293 K) ist vNeutron = 2200 m/s
am wahrscheinlichsten (Bolzmannverteilung)
Wasser-moderator
(D2O)
Anwendung beschleunigte Bewegung: Massenspektrometer
(time of flight) TOF Analysator
Beschleunigung : ( ) ]/[ 1010m
21410 smF
a el −≈=
Beschleunigung
freier Flug
Weg-Zeit Diagramm
t0 t1 t2 [µs]
s(t)
s1
s2
Matrix-assisted laser desorption/ionization (MALDI)
Quelle : Lottspeich
ϕ
b
r
Winkelmessungen
Das Bogenmaß
ϕ =b
r
Obwohl das Winkelmaß einheitenfrei ist, verwendet man die “Einheit” rad
Umrechnung Gradmaß in Bogenmaß:
°°=
3602
ϕπϕ
Für 360° (Vollkreis) gilt : ππϕπ 2 2
2 ===⇒=r
r
r
brb
z.B. 45° = 0.785 rad = 2 π / 8 rad
(Kreis-Umfang)
Kreisbewegung, Winkelgeschwindigkeit
x
y
ϕx = r ⋅ cosϕ
y = r ⋅sinϕ
Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.
v s =
r ⋅ cos(ϕ)
r ⋅sin(ϕ )
s
Während der Kreisbewegung wächst der Winkel gleichförmig mit der Zeit an.
ϕ (t) = ω ⋅t :ω
Tf
ππω 2 2 ==
f: Frequenz, Drehzahl (Einheit: 1/s oder Hz)T: Umlaufszeit, Periodendauer
Winkelgeschwindigkeit
Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
am⋅=F
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.
(actio=reactio)
am⋅=F
2112 FF −=
[N=kg·m/s2= 1 Newton]
m : „träge Masse“(für m=konstant)
dtvmd /)( ⋅=F(allgemein gültig)
Mechanik I Experiment actio = reactio
Schwere und träge Masse
Die Materie besitzt neben der Trägheitauch noch die Eigenschaft der Schwere.Aber : schwere und träge Masse sind identisch!
FGewicht = ms ⋅ gFGewicht = ms ⋅ g
FBeschl = mt ⋅ a
a =ms
mt
g = g
=1
„Äquivalenzprinzip“
Fundamentaler Zusammenhang zwischen Trägheit und Gravitation
v F = m ⋅
v a
Experimentelle Grundlage des Dynamischen Grundgesetzes
Masse [kg]
Beschleunigung[m/s2]
Newton (N) =[kg·m/s2]
Mechanik I 1.2 Dynamik
• Dynamik erklärt Ursache der Bewegung(sänderungen)
• Trägheit:
� Galilei: geradlinig gleichförmige Bewegung (ggB) bedarf
keiner Ursache � Galileisches Trägheitsprinzip
• Aktionsprinzip:• Aktionsprinzip:
� Newton: Kraft ist notwendig, um Körper aus ggB zu bringen,
verursacht Beschleunigung, verschiedene Körper werden
durch gleiche Kraft unterschiedlich beschleunigt.
• Einheit der Kraft:
F ma mr= =r r r&&
( )2[ ] [ ][ ] / NewtonF m a kg m s N= = =
Mechanik I Newtons Axiome
• Newton baute gesamte Mechanik auf drei Sätzen auf:
1) Trägheitsprinzip:Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig gleichförmig. (Ruhe ist Spezialfall mit )
2) Aktionsprinzip:Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse m
0v =rr
Wenn eine Kraft auf einen Körper mit der Masse mwirkt, beschleunigt sie ihn mit
3) Reaktionsprinzip:Wenn die Kraft , die auf einen Körper wirkt, von einem anderen Körper ausgeht, so wirkt auf diesen die entgegengesetzt gleiche Kraft
Fa rm
= =r
r r&&
Fr
Fr
F−r
Mechanik I Kräfte
• Gravitationskraft: Kraft zwischen Massen
� Gravitationsgesetz:
� Gravitationskonstante
• Gewichtskraft (Schwerkraft):
1 2
2
m m rF G
r r=
rr
( ) ( )1 2 1 1 2 2F F r r F r r F= − = − − = −
2
2
116,67 10 Nm
kgG
−≈• Gewichtskraft (Schwerkraft):
� m1=M=5.98 1024 kg Erdmasse
r=R=6 378 388 m Erdradius
� g hängt von h (Meereshöhe), bzw. geographischer Breite ab.
• Gravitationskraft verantwortlich für Bewegung der Planeten etc.
(Kepler), Gezeiten
22mit 9,81 /
GGMF m g g m s
R= = =
Mechanik I Kräfte
• Federkraft
� aus Beobachtung: rücktreibende Kraft Fel ist Auslenkung proportional
k....Federkonstanteel
F k x F= = −r rr
später:
Reibungskraft, Zentrifugalkraft, Zentripetalkraft, Auftrieb(skraft), innere Reibungskraft in Flüssigkeiten, Stömungswiderstand, Adhäsions- und Kohäsionskraft, Kräfte zwischen Ladungen und Strömen, ............
Mechanik I Zusammenfassung
• Kinematik
� Beschreibung der Bewegung
� Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung
• Dynamik
� Ursache der Bewegung
� Newtons Axiome
� Kräfte: Gravitationskraft, Federkraft
� einfache Bewegungen