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Optische BistabilitätAndrea Sengebusch – Alexander Hause

07.06.2005

Inhalt

- Einführung

- Theoretische Grundlagen- Herleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen- Resonator

- dispersive Bistabilität

- absorptive Bistabilität- mit Resonator- ohne Resonator

- Potentialtopf-Beschreibung- Bonifacio-Lugiato-Modell- Critical Slowing Down

- Zusammenfassung

- Literaturangaben

Inhalt

Einführung

Grundlagentransversale

FeldgleichungResonator

dispersive BS

absorptive BSmit Resonator

ohne Resonator

Potentialtopf-ModellBonifacio-Lugiato

Critical Slowing Down

Zusammenfassung

Literaturangaben

Einführung

-Bistabiliät beschreibt ein System, das für ein definiertes Eingangssignal zwei mögliche Ausgangszustände einnehmen kann

-Diese sind abhängig von der Vorgeschichte des Systems

-Bistabilitäten treten auf unter zwei Voraussetzungen auf:

Nichtlineares MediumFeedback

Output

Input1 2

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Einführung

-Bei OB wird Licht durch ein nichtlineares optisches Medium geleitet

-Die Ausgangsintensität in Abhängigkeit der Eingangsintensität folgt einer Hysterese, die zwei stabile Zustände aufweist

-Diese Zustände können je nach Verlauf des Eingangssignals eingestellt werden

-Dies eröffnet die Möglichkeit, diese Systeme als optische Speicher bzw. Schalter o.ä. zu benutzen

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Theoretische GrundlagenHerleitung der transversalen Feldgleichung aus den Maxwell-Gleichungen

DH

BE

B

D

t

tc

1

0

0

PED

HB

4

1

4

c

Maxwell-Gleichungen

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

PEEEE

41-)()(

2

2

2

2

tc

Aufspaltung in longitudinalen und transversalen Anteil

zzTT ee

Ansatz der ebenen Welle Ausbreitung in z-Richtung

)(

)(

kztizzTT

kztizzTT

ePP

eEE

eeP

eeE


Wellen-Gleichung

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Einsetzen des Ansatzes und Durchführung der ausführbaren Ableitungenführt zu transversaler und longitudinaler Feldgleichung

Kopplung der Gleichungen durch den grad div-Term:

z

kztizTTzzzzTTz

Tkzti

zTzzTTT

kztizzzTTzzTT

kztizzzTT

kztizzTTzzTT

kztizzTT

eEkEikEikEE

eikEEE

eikEEE

eikEEE

eEE

eEE

e

e

ee

eeee

eeE

)(

)(

)(

)(

)(

)(

22

2

2

)(


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

gekoppelte Feldgleichungen:

TT

TTzTTT

PEtt

ic

Ekzz

ikEikz

E

421

2

22

2

2

22

22

zzTTzT PEtt

ic

Eikz

E 421 2

2

2

2

2

Longitudinaler Anteil

Transversaler Anteil


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Näherung:

- in erster Näherung ist der longitudinale Anteil der Felder zu vernachlässigen grad div = 0 Kopplung entfällt

210

4

1

4

t)(z,

)(

i

eP

etzEkzti

T

kztiT

EEP

eP

eE)(

)(,

= Hintergrund-DK0


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Resultierende Feldgleichung:

tziitc

tzikz

,, EE 210

2

2

21

Linearisierung bzgl. ergibt:

,,tz

02 0

21

0

tzii

z

c

t,E


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

c

nk bDispersionsrelation:

Einführung von Absorption und Brechungsindex:

121

22

2

0

21

0

10

21

0

0

21021

2

12

2

1

2

1

2

1

bbb

b

b

nn

nn

cnn

c

nnn

i

ininnn

Absorption relative Brechungsindexänderung

Materialgrößen:


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Transversale Feldgleichung:

02

tznin

c

zn

c

t bb

,E


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Der Resonator stellt die Rückkopplung dar.

Aufspaltung in vorwärts und rückwärts laufende Welle:

rückhin EEE

F P -R eso n a to r

R ,T R ,T

E e in E au s

E h in

E rü ck

L

Theoretische GrundlagenResonator

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Randbedingungen für den Resonator:

TLz

-LzLz

2

L-

2iexpRLz0z

2

L-

2iexp0zLz

0z0z

hin

aushin

effhin

effhin

ein

EE

EEE

EE

EE

EEE

aus

rück

rück

hin

rückhin RT

= Phasenverschiebung nach einem Umlauf

= effektiver Absorptionskoeffizient

sind aus der Feldgleichung zu bestimmen

eff


F P -R eso n a to r

R ,T R ,T

E e in E au s

E h in

E rü ck

L

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Transmission:

- Felder

- Intensitäten

2

L-

2i

2

L

2i effeff

expexp R

T

E

E

ein

aus

24 2

2

2

L

2

L

22

effeff

sinReRe

T

E

E

ein

aus

cossin

221 2


mit

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Zerlegen der Feldgleichung

Einsetzen und Aufspaltung in Real- und Imaginärteil

02

tznin

c

zn

c

t bb

,E

rückhinrückhin iEtz // exp, E


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben 0iEn

c

ni

2ztc

nrückhinrückhin

bb

// exp

0

iexpEnc

niiexpE

2

ziexpiEiexpE

z

tiexpE

c

niiexpE

tc

n

hin/rückhin/rückb

hin/rückhin/rück

hin/rückhin/rückhin/rückhin/rückhin/rück

hin/rückhin/rückhin/rückb

hin/rückhin/rückb

ωωΔωα

02

)(

rückhinb E

tc

n

z /

c

)(/

nn

tc

n

zb

rückhinb


Dies führt zu:

DGL für Amplitude und Phase:

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Lösung der DGL mit adiabatischer Elimination der Dynamik (Zeitableitungen = 0) d.h. Umlaufzeit im Resonator << Relaxationszeit der angeregten Zustände(„bad cavity limit“)

z

rückhinrückhin

rückhinrückhin

dzEzE

EEz

0

//

//

2

)z',('exp(0))(

2

)(

','c

)(

c

)(

0

/

/

zndzz

n

zz

rückhin

rückhin


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Einsetzen der Felder für z = L liefert die Konstanten der Transmission

Absorption und Brechungsindexänderung sind i.a. abhängig von der Ladungsträgerdichte N (HL: e-h-pair). Eine starke Diffusion verhindert eine räumliche N-Abhängigkeit und somitEine z-Abhängigkeit von und

)()(1

)z',(1

00

LL

eff dzL

dzL

''

)()(2 00

n

c

Ldzn

czndz

c

LL

'','

n


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Neben dem bisher betrachteten kann es auch zu intensitätsunabhängigen Phasenverschiebungen, wie z.B. Phasensprüngen an den Grenzflächen, kommen =

Transmission(Intensitäten)


)(4 2

2

2

LN),(

2

LN),(

22

NncL

ReRe

T

E

E

ein

aus

,sin

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Mittlere Intensität

mit ergibt sich eine zweite Bedingungsgleichung

für den Resonator

hinaus ITI

)1(

2I 222

RIIII

EEEE

hinrückhin

rückhinrückhin

rückhin

cosE

EEE

einein

ausaus I

I

R

T

I

II

R

TI

11

Transmission geht linear mit der mittleren Intensität, die Eingangsintensität bestimmt den Anstieg der Geraden.


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Intensitätsabhängigkeit des Brechungsindexes dominant

(Airy-Funktionen)

Ansatz: Absorption näherungsweise unabhängig von der Intensität

IRR

T

E

E

ein

aus

1022

22

41

sin1L

21 niInnIn b ,,

Aufspaltung der Phase in einen von der Intensität abhängigen und unabhängigen Teil

IIncn

L

b

101 )( ,

Dispersive BistabilitätFeedback: Resonator

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Phase ~ mittlere Intensität

Die Lösung lässt sich graphisch als Schnittpunkte der beiden Gleichungen für die Transmission bestimmen. Bereiche mit nur einem Schnittpunkt haben nur eine stabile Lösung, aber für Bereiche mit 2 oder 3 Schnittpunkten sind mehrere Zustände einnehmbar.


T

m2 1m2 IN T R AI~

1

0

INI

I

I

A

B

C

D

E

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


O U TI

INIII

INO U T II

A

C

D

E

B

Die Eingangs-Ausgangs-Intensitäts-Kurve weist drei Äste auf, jedoch sind nur der obere (BC) und untere (DA) stabil. Der mittlere stellt zwar auch stationäre Zustände dar, befindet sich aber nur im labilen Gleichgewicht, kleinste Abweichungen führen dazu, dass der obere oder untere Zustand eingenommen wird.

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

2

2

2

2

2

LIα

2

LIα

22

ein

aus

R1T2

LIα1

1

Iα2L

RRIα2L

1

T

eRe

T

E

Eτ

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Absorptive BistabilitätFeedback: Resonator

Intensitätsabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten dominant, System in Resonanz (keine Phasenverschiebung)

Abschwächung der Absorption

mit:

Das Material wird „durchsichtiger“ mit Erhöhung der Eingangsintensität,da durch die Absorption viele Ladungsträger angeregt sind und für weitere Absorption nicht mehr zur Verfügung stehen

sattI

II

1

0


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

sattI = Sättigungsintensität des Mediums

graphische Lösung

Schnittpunktlösung analog zur dispersiven Bistabilität


I

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

T INI


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

O U TI

INII

I

Absorptive Bistabilitätohne Resonator

Bei Halbleitern, deren Absorption mit der eingestrahlten Intensität steigt, ist kein Resonator bzw. äußeres Feedback von Nöten.

Es ist ein internes Feedback vorhanden.

Das Medium wird nur einmal durchlaufen.

Für die zunehmende Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte wird folgendes einfaches Modell gewählt:

NN

NNNNN

NN

NNN

High

LowHighLow

Low

2

2112

1

1

2sin

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


N

Low

High

1N 2N

N

Absorption in Abhängigkeit von der Ladungsträgerdichte

Die sprunghafte Änderung der Absorption folgt aus der Absenkung der Bandkante im HL. Auch für Energien kleiner als die Gap-Energie werden Ladungsträgerpaare erzeugt. Dadurch verringert sich die Bandlücke, bis die Photonenenergie gleich der Anregungsenergie der Excitonen ist. Es kommt zu einer starken Erhöhung der Ladungsträgerdichte und damit der Absorption.

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


NDI

NN

t

N

,

Intensität und Ladungsträgerdichte sind gekoppelt über dieBilanzgleichung der Ladungsträgerdichte:

Ansatz: stationär, räumlich homogenmonochromatische Einstrahlung

NNNt

N

,00

Dmit = Diffusionskoeffizient

= Relaxationszeit

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


Dies führt zu: N

NNII

NI

2I

1I

2N1N N

Graphische Darstellung

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


2N

1N

1I 2I I

IN

Invertierte Funktion N(I)

Die Dichte N(I) springt mit der Intensität, da der Teil der Kurve mit negativem Anstieg nicht stabil ist.

mit

IINN

folgt für die Absorption, dass auchdiese in Abh. von der Intensitätein Hystereseverhalten aufweist.

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

02

tznin

Ic

zn

c

t bb

,E

EEI *

0

tzIn

Ic

zn

c

tEEEE

bb

,**......*

Aus der Feldgleichung kann die Intensität bestimmt werden:

Es folgt die Intensitätsgleichung mit:


Bestimmung des Transmissionsverhaltens

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Allgemeine Lösung dieser partiellen DGL:

zItn

czhtzI

b

exp,

Für die Ausbreitung im Vakuum gilt:

ctzItzI ein ,

Analog gilt für das Medium:

zItn

czItzI

bein

exp,

Transmittierte Intensität:

LItn

cLItLItI

beinaus

exp,


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Mittlere Intensität:

L

bein zIt

n

czIdz

LI

0

1 exp

L

ein zIdzL

II

0

exp

Annahme: „dünnes Plättchen“ d.h. Pulslänge l >> Plättchendicke L

lbb

L c

nl

c

nL

LI

LIII ein

exp1


Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


Damit: I

LI

LIIIein

exp1

Das Hystereseverhalten der Absorption überträgt sich auf . IIein

O U TI

INI

INO U T II

LIII einaus exp

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


Graphische Lösung

LNI

I

ein

aus exp

Transmission

weiterhin

0NNN

Im einfachsten Fall besteht eine lineare Abhängigkeit von undNEinI

LNAwAIN Ein exp11

EinIw

N1

A ist dabei der absorbierte Anteil der Intensität.w ist dabei eine dimensionsbehaftete Proportionalitätskonstante

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


Graphische Lösung

T

1

0

II

B

C

INI

N

AD

O U TI

INI

INO U T II

Inhalt

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dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Mit y als Input- und x als Output-Parameter kann ein bistabiles System durch eine eindimensionale DGL beschrieben werden.

Wenn eine stetige Funktion für alle y ist, lässt sich das dynamische Verhalten des Systems durch die Bewegung eines Teilchens in einem Potential V veranschaulichen. Stabile Zustände des Systems werden durch die Extrema des Potentials bestimmt.

Potentialtopf-BeschreibungBonifacio-Lugiato-Modell

)( yxfdt

dx,

)( yxf ,

)()( yxfdxyxV ,,

Ein weiterer Zugang zur Bistabilität führt über die Potentialbeschreibung der Systemdynamik. Im Folgenden beschränken wir uns auf das Potential-Modell von Bonifacio und Lugiato.

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dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Bonifacio/Lugiato:

mean-field-Theorie für absorptive BS

2

2

1

20

1

2

x

Cxxy

dt

dxx

Cxyx

dt

dx

Typische Hysterese für C>4


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dispersive BS


ohne Resonator



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Literaturangaben

Output x Input y

Inp

ut

y

Ou

tput

x


22

2

12

1

1

2)(

xCxyx

x

CxyxdxyxVBL

ln

,

Output x

)( yxVBL , yy

yy yyy

yy

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ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

O U TI

INII

I

Potentialtopf-BeschreibungCritical Slowing Down (CSD)

CSD ist wohlbekannt für Phasenübergänge und beschreibt die Übergangsgeschwindigkeit zwischen den stabilen Zuständen in Abhängigkeit von der Entfernung vom kritischen Punkt.

DD = Response-Zeit, Zeit die benötigt wird um 1/e des Wertes des stabilen Zustandes zu erreichen

I einI

Für Input-Werte nahe eines Umschaltpunktes, zeigt das Potential ein Plateau langsame Dynamik, System braucht viel Zeit um stabilen Zustand zu erreichen (Divergenz genau am kritischen Punkt)

Mit wachsendem Input wird das Potential steiler und die Verzögerung wird kleiner.

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dispersive BS


ohne Resonator



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Experimentelle Beobachtung

Das CSD wurde u.a. Anfang der 80er Jahre von F.Mitschke et al. untersucht.

Experimenteller Aufbau

Als Mechanismus zur Erzeugung der Nichtlinearität wird transversales optisches Pumpen zwischen Zeeman-Niveaus eingesetzt. Das Experiment wurde durchgeführt mit einem Resonator, der mit Natrium-Atomen gefüllt war.

Inhalt

Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben


Experimentelle Beobachtung

Sprungverzögerungen bis in den ms-Bereich waren messbar.

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dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

Zusammenfassung

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dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben

-Es gibt bei der OB zwei stabile Zustände in Abhängigkeit von der Eingangsintensität und der Vorgeschichte des Systems

-die Ausgangsintensität folgt einer Hysterese

-OB benötigt zwei Voraussetzungen:

opt. nichtlineares MediumFeedback (intern oder Resonator)

-Es existieren je nach Art der Nichtlinearität zwei Formen der OB:

absorptive Bistabilitätdispersive Bistabilität

-Nutzungsmöglichkeiten: opt. Speicher, opt. Schalter

Literaturangaben

- H.Haug, S.Koch, Quantum Theory of the Optical and Electronic Properties of Semiconductors, World Sientific (1990)

- H.Gibbs, Optical Bistability: Controlling Light with Light, Academic Press (1985)

- C.F.Klingshirn, Semiconductor optics, Springer (1995)

- F.Mitschke, C.Boden, W.Lange and P.Mandel, exploring the dynamics of the unstable branch of bistable systems, optics communications vol.71 no. 6 (1989)

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Einführung



dispersive BS


ohne Resonator



Zusammenfassung

Literaturangaben