EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Platonische KörperArchimedische Körper - Catalanische Körper
Agnes Seiler
Institut für Angewandte Geometrie
15.12.2017
Matheseminar JKU Young Scientists
EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Definitionen
Polygon Ein Polygon ist ein (geschlossenes) Vieleck,das ausschließlich von geraden Linien be-grenzt ist.
Polyeder Ein Polyeder ist ein Körper, der von Poly-gonen begrenzt ist.
konvex Ein Polyeder ist konvex, wenn es die Ver-bindungsstrecke je zweier in ihm enthaltenerPunkte auch enthält.
regulär Ein Polyeder heißt regulär, wenn alle seineSeitenflächen zueinander kongruente, regel-mäßige Vielecke sind und in jeder Eckegenau gleich viele Seiten zusammen stoßen.
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EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Motivation: Hexaeder / Würfel
Der Würfel ist ein konvexes, reguläresPolyeder, d.h.
alle seine Seitenflächen sindzueinander kongruente Vielecke(Quadrate) undin allen Ecken stoßen genau gleichviele Seitenflächen zusammen.
Gibt es weitere Körper mit diesenEigenschaften?
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EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Motivation: Hexaeder / Würfel
alle seine Seitenflächen sindzueinander kongruente Vielecke(Quadrate) undin allen Ecken stoßen genau gleichviele Seitenflächen zusammen.
Gibt es weitere Körper mit diesenEigenschaften?Ja, die platonischen Körper.
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EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Motivation: Hexaeder / Würfel
Seitenflächen: QuadrateAnzahl Seitenflächen: 6Anzahl Ecken: 8Anzahl Kanten pro Ecke: 3
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Tetraeder
Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 4Anzahl Ecken: 4Anzahl Kanten pro Ecke: 3
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Oktaeder
Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 8Anzahl Ecken: 6Anzahl Kanten pro Ecke: 4
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Dodekaeder
Seitenflächen: regelmäßige Fünfecke(→ Pentagondodekaeder)Anzahl Seitenflächen: 12Anzahl Ecken: 20Anzahl Kanten pro Ecke: 3
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Ikosaeder
Seitenflächen: gleichseitige DreieckeAnzahl Seitenflächen: 20Anzahl Ecken: 12Anzahl Kanten pro Ecke: 5
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EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Geschichtliches
Pythagoreer (6. Jhd. v. Chr.):Tetraeder, Hexaeder, DodekaederTheaitetos von Athen (4. Jhd. v.Chr.):Oktaeder, IkosaederPlaton (Timaios, 360 v. Chr.):4 Elemente und HimmelsätherEuklid (3. Jhd v. Chr.):Beweis, dass es genau fünfkonvexe reguläre Polyeder gibt
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Keplers Weltmodell
Mysterium cosmographicum (1596): Abstände der damalsbekannten sechs Planeten Merkur - Saturn
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Gibt es weitere konvexe, reguläre Polyeder?
Nein.SatzEs gibt genau fünf konvexe reguläre Polyeder. Dies sind dasTetraeder, das Hexaeder, das Oktaeder, das Dodekaeder und dasIkosaeder.
Anmerkung: "Es gibt genau fünf..." bedeutet, dasses mindestens fünf derartige Polyeder gibt undes höchstens fünf derartige Polyeder gibt.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis
Wir müssen die Existenz von mindestens und höchstens fünfderartigen Polyedern zeigen. Weil wir fünf derartige Polyeder(hoffentlich) gerade gebaut haben, beschränken wir uns darauf zuzeigen, dass es höchstens fünf konvexe, reguläre Polyeder gibt.
Es gibt (mindestens) zwei Möglichkeiten, diese Aussage zubeweisen:
Verwendung der InnenwinkelsummeVerwendung des Eulersches Polyedersatzes.
Beide Beweise sind äquivalent.
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (1): Innenwinkelsumme
Eine Ecke entsteht nur dann, wenn sich mindestens drei Flächentreffen. Die Summe aller Innenwinkel der angrenzenden Flächen inder Ecke muss kleiner sein als 360 Grad. → Warum?
Bei mehr als 360 Grad ist keine Eckenbildung in einemkonvexen Polyeder mehr möglich.Bei genau 360 Grad liegen die benachbarten Polyeder in einerEbene.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (1): Innenwinkelsumme
Eine Ecke entsteht nur dann, wenn sich mindestens drei Flächentreffen. Die Summe aller Innenwinkel der angrenzenden Flächen inder Ecke muss kleiner sein als 360 Grad. → Warum?
Bei mehr als 360 Grad ist keine Eckenbildung in einemkonvexen Polyeder mehr möglich.Bei genau 360 Grad liegen die benachbarten Polyeder in einerEbene.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (1) : Innenwinkelsumme
Aufgrund ihrer Innenwinkel (IW) sind folgende regelmäßigePolygone als Grundformen möglich:
Innenwinkelsumme beiIW 3 Flächen 4 Flächen 5 Flächen 6 Flächen
Dreieck 60 180 240 300 360Quadrat 90 270 360 zu großFünfeck 108 324 zu großSechseck 120 360 zu groß
Daher kann es keine weiteren konvexen, regulären Polyeder geben.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (2): Eulerscher Polyedersatz
Satz (Eulerscher Polyedersatz)Für ein konvexes Polyeder mit e Ecken, k Kanten und f Flächengilt
e − k + f = 2.
Anwendung auf unser Problem: Wir setzenn: Anzahl der Ecken pro Seitenfläche, n ≥ 3m: Anzahl der Flächen, die in einer Ecke des Polyederszusammenstoßen, m ≥ 3
Die Notationen e, k und f übernehmen wir.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (2): Eulerscher PolyedersatzDann gilt
f · n = 2 · k → Warum?e ·m = 2 · k → Warum?
Daraus erhalten wirf = 2k
ne = 2k
mDas setzen wir in die Eulersche Polyederformel e − k + f = 2 ein:
2km − k + 2k
n = 2.
Das ist äquivalent zu1m + 1
n = 12 + 1
k >12 .
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Beweis (2): Eulerscher Polyedersatz
Jetzt prüfen wir, für welche Paare von n, m ≥ 3 die Relation1m + 1
n > 12 erfüllt ist.
n = 3 n = 4 n = 5 n = 6m = 3 1
3 + 13 = 2
3Tetraeder
13 + 1
4 = 712
Hexaeder13 + 1
5 = 815
Dodekaeder13 + 1
6 = 12
m = 4 14 + 1
3 = 712
Oktaeder14 + 1
4 = 12
14 + 1
5 = 920
14 + 1
6 = 512
m = 5 15 + 1
3 = 815
Ikosaeder15 + 1
4 = 920
15 + 1
5 = 25
15 + 1
6 = 1130
m = 6 16 + 1
3 = 12
16 + 1
4 = 512
16 + 1
5 = 1130
16 + 1
6 = 13
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
...außerhalb der Mathematik: Glücksspiel
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
...außerhalb der Mathematik: Natur
Anordnung der Wasserstoffatome unter bestimmtenVoraussetzungen - Tetraederorganische Kohlenwasserstoffmoleküle (→ platonischeKohlenwasserstoffmoleküle)
Kristalle (Rotkupfererz, Flußspat, Magnetit) - Tetraeder,Hexaeder, OktaederQuasikristalle - Dodekaeder, IkosaederStrukturformen von kleinen Nanoteilchen - Ikosaeder
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
...außerhalb der Mathematik: Natur
Kalkskelette der Strahlentierchen(Radiolarien), einzellige Lebewesen
Vorkommen: im Meer undMeeresboden
rechts: Zeichnung von Ernst Haeckel(1834–1919)
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
...außerhalb der Mathematik: Natur
Proteinkapsid von Viren -Ikosaeder
Hülle aus Proteinen, die zumSchutz der Viren-DNSausgebildet wird
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
...außerhalb der Mathematik: Management
Kanten = MitarbeiterKnoten = Themen
Ein Thema wird von denMitarbeitern bearbeitet,deren Kanten sich imzugehörigen Knotentreffen.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Dualität
Allgemein:
Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.
Für platonische Körper:
Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr
Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Dualität
Allgemein:
Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.
Für platonische Körper:
Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr
Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Dualität
Allgemein:
Der Dualkörper zueinem konvexenPolyeder wirdkonstruiert, indemman die MittelpunktebenachbarterSeitenflächen durchKanten verbindet.Dann füllt man dieFlächen, die dadurchentstehen.
Für platonische Körper:
Bildet man denDualkörper desDualkörpers, erhältman den (eventuellverkleinerten)Ursprungskörper.blablaplatzmehrplatzundmehruuuundmehr
Hexaeder undOktaeder sindzueinander dual.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Dualität
Duale PaareHexaeder OktaederOktaeder HexaederTetraeder TetraederDodekaeder IkosaederIkosaeder Dodekaeder
⇒ Der Dualkörper einesplatonischen Körpers ist einplatonischer Körper.
Weitere Eigenschaften (allgemein):
Das duale Polyeder hat so vieleEcken wie das AusgangspolyederFlächen.Das duale Polyeder hat so vieleFlächen wie dasAusgangspolyeder Ecken.Das duale und dasAusgangspolyeder haben gleichviele Kanten.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Größtmögliche Symmetrie
Für platonische Körper gilt: Zu einem beliebigen Paar von Ecken(Seitenflächen, Kanten) a, b gibt es eine Abbildung, die a auf babbildet. Das bedeutet anschaulich:
Wenn man das Polyeder in einer Ausgangsposition fixiert undsich zwei Ecken (Seitenflächen, Kanten) a und b merkt,dann kann man den Körper auf eine bestimmte Art drehen,sodass
a jetzt dort liegt, wo vorher b lagund man die neue Position des Körpers nicht von derAusgangsposition unterscheiden kann.
Das heißt Flächen, Kanten und Ecken eines platonischen Körperssind ununterscheidbar.
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn
wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?
verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken
→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?
unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen
→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn
wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?
verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken
→ Archimedische Körper
wir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?
unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen
→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn
wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?
verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken
→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?
unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen
→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder
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EinleitungPlatonische Körper
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschwächung der größtmöglichen SymmetrieWas passiert, wenn
wir auf die Ununterscheidbarkeit der Flächen und Kantenverzichten?
verschiedene (gleichmäßige) Polygone als SeitenflächenmöglichEcken nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität der Ecken
→ Archimedische Körperwir auf die Ununterscheidbarkeit der Ecken und Kantenverzichten?
unterschiedlich viele kongruente Seitenflächen stoßen in einerEcke zusammenFlächen nach wie vor ununterscheidbar → Uniformität derFlächen
→ Catalanische Körper→ Halbreguläre Polyeder
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Archmedische Körper
Archimedes, 287 - 212 v. Chr., hat die halbregulären Polyeder alserster untersucht.
DefinitionEin konvexes Polyeder, dessen Flächen verschiedene regelmäßigePolygone sind und dessen Ecken uniform sind, heißt archimedischerKörper.
Beispiel: Fußball12 Fünf- und 20 SechseckeIn jeder Ecke stoßen zweiSechsecke und ein Fünfeckzusammen.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Wie erzeugt man einen archimedischen Körper?
AbstumpfungWenn man bei einem platonischen Körper die Ecken soabschneidet, dass die Schnittflächen regelmäßige Polygoneergeben und die restlichen Seitenflächen ebenfalls regelmäßigePolygone bilden, erzeugt man einen archimedischen Körper.Alle 13 archimedischen Körper können auf diese Weise erzeugtwerden.Wenn ein archimedischer Körper durch Abstumpfen aus einemplatonischen Körper erzeugt werden kann, dann kann er auchaus dem dazu dualen platonischen Körper durch Abstumpfenerzeugt werden.
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Abstumpfung
Würfel, abges-tumpfter Würfelund Kuboktaeder
Oktaeder und Ok-taederstumpf
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Wie erzeugt man einen Fußball?
Ein Fußball entspricht einem abgestumpften Ikosaeder.
Wie kann man die Anzahl der Fünf- und Sechsecke bestimmen?
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Anzahl der Fünf- und Sechsecke
Die Sechsecke sind die zurechtgeschnittenenUrsprungsflächen, also gibt es 20 von ihnen.Die Fünfecke entstehen aus den Ecken des Ikosaeders.→ Wie viele Ecken hat ein Ikosaeder?
Die 20 Dreiecke haben zusammen 60 Ecken.In dieser Zählweise wird jede Ecke fünffach gezählt, weil ineiner Ecke des Ikosaeders fünf Dreiecksecken zusammenstoßen.Daher hat ein Ikosaeder 60
5 = 12 Ecken und der Fußball enthältsomit 12 Fünfecke.
Wie kann man die verschiedenen Seitenflächen zählen, wenn mannicht weiß, durch welchen platonischen Körper der gegebeneKörper erzeugt wurde?
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Erinnerung: Wenn maneinen archimedischenKörper aus einemplatonischen Körpererzeugen kann, dannkann man ihn auch ausdem dualen platonischenKörper erzeugen.
Die TransformationWürfel → Kuboktaeder→ Oktaeder kann manauch rückwärts lesen.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Übersicht über die archimedischen Körper
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Abschließende Bermerkungen
Für die vorige Abbildung gilt:Grüne Box: Erzeugung durch "einfaches" Abstumpfen derEcken des UrsprungskörpersRote Box: Nach dem Abschneiden der Ecken entstehenRechtecke, die noch zu Quadraten skaliert werden müssenBlaue Box: Entstehen, indem man im ersten Schritt dieKanten des Ursprungskörpers abflachtGelbe Box: Entstehen durch Drehen und Verkleinern einerSeitenfläche des Ursprungskörpers. EntstehendeZwischenräume werden mit Dreiecken gefüllt.
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschließende Bemerkungen
Offene Fragen:Warum gibt es keine archimedischen Körper mit mehr als dreiverschiedenen Seitenflächen?
→ Innenwinkelsumme
Gibt es keine anderen Körper, deren Seitenflächengleichmäßige Vielecke und deren Ecken kongruent sind?
→ Prismen und Antiprismen
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SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Abschließende Bemerkungen
Offene Fragen:Warum gibt es keine archimedischen Körper mit mehr als dreiverschiedenen Seitenflächen?→ Innenwinkelsumme
Gibt es keine anderen Körper, deren Seitenflächengleichmäßige Vielecke und deren Ecken kongruent sind?→ Prismen und Antiprismen
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EinleitungPlatonische Körper
Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Und wann kommen endlich die catalanischen Körper?Erinnerung:
Archimedische Körper → Uniformität der EckenCatalanische Körper → Uniformität der Flächen
Die catalanischen Körper sind die dualen Polyeder zu denarchimedischen Körpern.Eugène Charles Catalan, 1814 - 1894, Belgien
Eigenschaften:Die Seitenflächen der catalanischen Körper sind nichtregelmäßige Vielecke.Es gibt verschiedene Arten von Ecken, d.h. es stoßenunterschiedlich viele Seitenflächen in verschiedenen Eckenzusammen.
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Übersicht über die catalanischen Körper
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Existenz regulärer PolyederDualität
SymmetrieeigenschaftenHalbreguläre Polyeder
Zusammenfassung
Wir haben platonische Körper untersucht und gezeigt, dass eskeine weiteren konvexen, regulären Polyeder gibt. Wir haben dasKonzept der Dualität kennen gelernt. In diesem Zusammenhanghaben wir festgestellt, dass der duale Körper eines platonischenKörpers wieder ein platonischer Körper ist.Wir haben aus den platonischen die archimedischen Körperhergeleitet und genauer untersucht. Die Dualität konnten wirnutzen, um so die catalanischen Körper zu erzeugen. Sowohl mitHilfe der Dualität als auch durch Untersuchen desAbstumpfungsvorgangs konnten wir Aussagen über so erzeugteKörper treffen.
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