Wurzelgesetze
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Wurzeln
âðð
Die Wurzel einer Zahl a ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen wieder a
ergibt.
Die 2-te Wurzel nennt man auch Quadratwurzel, dabei lÀsst man die 2 (als Wurzel-
exponent) ÃŒblicherweise weg, dann spricht man einfacher nur noch von der Wurzel:
âðð
= âð
Beispiel: â100 Gesucht ist die Wurzel aus der 100
Ergebnis: Die Wurzel aus 100 ist die 10, weil 10 mal 10 = 100 ergibt.
Was du auch wissen musst:
Das Quadrat-Wurzelziehen (âð22) ist das Gegenteil des Quadrierens.
Das Wurzelziehen ( âann) ist das Gegenteil des Potenzierens (an)
Wurzelziehen heiÃt auch âradizierenâ
Wurzelziehen geht zum Beispiel mit Probieren.
Negative Zahlen haben keine Wurzeln. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist
positiv: âð mit a ⥠0 (der Radikand muss positiv sein)
Negative Zahlen gelten nicht als Wurzeln. Aber eine Wurzel kann ein negatives
Vorzeichen haben. Ein negatives Vorzeichen heiÃt so viel wie âmultipliziere mit
minus einsâ: â âð = (â1)âð
Viele Wurzeln sind irrationale Zahlen, also Zahlen die man nicht durch einen Bruch
ausdrÃŒcken kann: ð, â2 ðð¡ð.
âðð
Ist der Wurzelexponent eine 3, dann ist die Kubikwurzel gesucht,
man sagt auch: âdie dritte Wurzel aus aâ.
âðð
Ist der Wurzelexponent eine 4, sagt man âdie vierte Wurzel ausâ usw.
âðð
FÃŒr beliebige Zahlen sagt man âdie n-te Wurzel ausâ
âðð = a Ist der Wurzelexponent eine 1 heiÃt das so viel wie a
11 = a1 = a
Da die Wurzel einer Zahl auch als Potenz geschrieben werden kann,
folgt, dass der Wurzelexponent nicht null sein darf, da man durch null
nicht teilen darf.
âðð =(âð)ð = a Quadratwurzel und eine Quadratzahl unter/ÃŒber der Wurzel heben
sich gegenseitig auf, ebenso heben sich die dritte Wurzel aus a³
durch die dritte Potenz von a auf (âð33= a) etc.
Radikand oder auch Basis
Wurzelexponent
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Wurzelgesetze: Rechenregeln
1) Wurzeln multiplizieren:
Zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden multipliziert, indem man die
Radikanden multipliziert und daraus die Wurzel zieht (alles unter eine Wurzel
schreiben), dabei bleibt der der Wurzelexponent unverÀndert:
âðð
â âðð
= âð â ðð
bei Quadratwurzeln: âð â âð = âð â ð
Bsp.: â2 â â8 = â2 â 8 = â16 = 4
Anstatt zwei Zahlen unter eine gemeinsame Wurzel zu ziehen, wie oben gezeigt, kann
man Produkte auch trennen: Die Wurzel des Produkts kannst du in das Produkt zweier
Wurzeln umwandeln
âð â ð = âð â âð
Bsp.: â3 â 9 = â3 â â9 = â3 â 3 = 3â3
â2304 = â36 â â64 = 6 â 8 = 48
Multiplikation einer ganzen Zahl und einer Wurzel: Bei der Multiplikation einer Zahl mit
einer Wurzel wird oft das Multiplikationszeichen-Zeichen weggelassen.
Bsp.: 3 â â5 = 3â5
Aufgaben:
â2 â â8 = â10 â â10 =
â54 â â1,5 = â500 â â1,25 =
â1
5 â â125 = â
1
25 â â625 =
â70 â â2,8 = â64 â â4 =
â16 â 16 = â16 â 4 =
â169 â 196 = â1,44 â 6,25 =
â0,16 â 144 = â3
25 â
27
16 =
â9
25 â 0,09 = â â
45
36 â
5
9 =
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2) Wurzeln dividieren:
Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten werden dividiert, indem man die Radikanden
dividiert und dann die Wurzel zieht, dabei bleibt der Wurzelexponent gleich
âð
ð
âðð = â
ð
ð
ð bei Quadratwurzeln:
âð
âð= â
ð
ð
Bsp.: â4
â25=
2
5 oder:
â75
â3 = â75
3= â25 = 5
Wurzeln aus Bruch:
Auch bei der Division kann man den Bruch trennen: Die Wurzel eines Bruchs kann man in
den Quotienten zweier Wurzeln umwandeln:
âð
ð=
âð
âð
Bsp.: â 9
16=
â9
â16=
3
4
oder: â3
25=
â3
â25=
â3
5=
1
5 â3
Aufgaben:
â64 ⶠ16 = â225 ⶠ9 =
â196 ⶠ49 = â36 ⶠâ2,25 =
â64
â25=
â144
â49=
â196
â625= â0,64
â0,36=
â0,8
â20=
â32
â200=
â9
â144=
â720
â5=
â0,09
â1,44=
â1,21
â1,69=
â0,0009
â14400=
â0,81
â0,0625=
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3) Wurzel addieren und subtrahieren
Wurzeln können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie den gleichen
Exponenten und den gleichen Radikanden haben.
Wurzeln werden addiert (subtrahiert) indem man den Faktor vor der Wurzel addiert (bzw.
subtrahiert):
ð¥ âð ð
+ ðŠ âðð
= (ð¥ + ðŠ) âðð
ð¥ âð ð
â ðŠ âðð
= (ð¥ â ðŠ) âðð
Addition: 3 â8 3
+ 4 â83
= (3 + 4)â83
= 7â83
= 7 â 2 = 14
4â8 + ð¥ â â8 = â8(4 + ð¥)
Subtraktion: 7 â8 3
â 4 â83
= (7 â 4)â83
= 3â83
= 3 â 2 = 6
4â8 â ð â â8 = â8(4 â ð)
Aufgaben:
âð 4
+ 3 âð4
= 4â33
+ 5â33
=
13â75
â 5â75
= 8â64
+ â64
=
4â19 + ð¥ â â19ð = 4
5â5 +
3
10â â5 =
4) Wurzeln ausklammern
Wie beim Ausklammern von Zahlentermen oder Variablentermen kann man auch
Wurzelterme zusammenfassen oder ausklammern:
Bsp.: 3â â2 + 17â2 â 19â2 + 3â2 = 4â2
(3 + 17 - 19 +3)â2 = 4â2
Solche Umformungen helfen dabei, Terme zu vereinfachen. Meist ergeben sich
vorteilhafte Möglichkeiten zu kÌrzen.
Aufgaben:
aâ5 - bâ5 + ðâ5 = 6â12 - 1
2â5 =
2âð³ +3âð³ = 4ââ13+ð¥â13
(4+ð¥) =
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5) Teilweise die Wurzel ziehen:
Um den Radikand möglichst klein zu machen, zieht man die Wurzel teilweise. Dazu
spaltet man den Radikanden in ein Produkt auf. Aus den einzelnen Faktoren dieses
Produktes kann man dann die Wurzel ziehen:
Beispiele:
â9ð = â9 â âð = 3âð
â27 = â9 â 3 = â9 â â3 = 3â3
Aufgaben:
â45ð² = â6
â54=
3â3 = 3ðâ5 =
1
4 â5 =
â845
â5=
6) Vor-Faktor unter die Wurzel bringen:
Manchmal lassen sich WurzelausdrÃŒcke dadurch vereinfachen, dass man den Vorfaktor
unter die Wurzel zieht. Bei Quadratwurzeln wird dazu der Vorfaktor quadriert und als
Faktor unter die Wurzel geschrieben:
ð¥ âð ð
= âð¥ððð
oder: ð¥ â âð = âð¥2ð
Bsp.: 2â5 = â22 â 5 = â4 â 5 = â20
Den Vorfaktor unter die Wurzel bringen ist die Gegenoperation zum âteilweise die Wurzel
ziehenâ.
Aufgaben:
2â3 = 6â3 =
3â2 = 10â9 =
3â2
3= 2â2
3=
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7) Nenner rational machen: (Beseitigen eine Wurzel aus dem Nenner)
a) Steht im Nenner ein Produkt mit einer Wurzel als Faktor, dann erweiterst Du den
Bruch mit dieser Wurzel:
Bsp.: 1
âð=
âð
âðââð =
âð
(âð2
)=
âð
ð=
1
ðâð
1
5ââ2=
1ââ2
5ââ2ââ2=
â2
5â2=
â2
10=
1
10â2 = 0,1â2
b) Steht im Nenner eine Summe oder Differenz mit einer Wurzel, dann erweiterst Du
den Bruch unter Anwendung der binomischen Formeln:
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 1. Binomischen Formel
1
âð+ð=
1â(âð+ð)
(âð+ð)â(âð+ð) = =
âð+ð
â(ð+ð)(ð+ð) =
âð+ð
â(ð+ð)2 =
âð+ð
ð+ð
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 2. Binomischen Formel
1
âðâð=
âðâð
âðâðââðâð =
âðâð
(âðâð)2=
âðâð
ðâð=
1
ðâðâð â ð
Beispiel: Erweiterung mit Hilfe der 3. Binomischen Formel
1
1+âð=
1â (1ââð)
(1+ âð)â(1â âð)=
1ââð
(1²+(âð2
) =
1ââð
1+ð
Aufgaben:
5
â5=
â2
â3=
âðâð
âð+ð=
5
3ââ2=
âð
â5+ð=
1
1+âð=
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Zusatzaufgaben ab der Klasse 9:
8) Wurzel als Potenz
Wurzeln lassen sich auch als Potenz schreiben:
âðð
= ð1
ð und âððð = ð
ðð
oder: â3 = 312 (man darf auch schreiben 30,5)
Bsp.: â49 = 4912
Aufgaben:
â23
= 1000,2 =
â644
= â325
9) Wurzel aus Potenz:
Steht im Exponent einer Zahl ein Bruch, dann kann man diese Zahl auch als Wurzel einer
Potenz schreiben:
ððð = âððð
Bsp.: 523 = â523
= â253
(siehe auch Potenzgesetze)
Aufgaben:
41
2 = 161
4 =
252
3 = 23
2 =
Wurzel und Potenz kÃŒrzen:
Eine Wurzel wird mit einem Exponenten potenziert, indem der Radikand mit dem
Exponenten potenziert wird:
(â43
)6
= â463= 4
36 = 4
12 = â4 = 2
Aufgaben:
â593 = â763
=
â1084=
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10) Wurzel aus Wurzel:
Die Wurzel wird aus einer Wurzel gezogen (oder eine Wurzel wird radiziert), indem die
Wurzelexponenten multipliziert werden, und die Basis gleich bleibt:
Bsp.: â âððð
= âððâð
= ðð
ðâð (a hoch eins durch m mal n)
ââ16 = â162â2
= â164
â168
= â162â4
= â â1642
= â22
â â409632
= â40966
= â466= 4
Aufgaben:
ââ625 =
ââ6423
=
ââ7292
=
Zusammenfassung Wurzelgesetze:
Rechenoperation Voraussetzung Rechengesetz
Wurzeln multiplizieren gleicher Wurzelexponent âðð
â âðð
= âð â ðð
Wurzeln dividieren
Wurzel aus Bruch gleicher Wurzelexponent
âðð
âðð = â
ð
ð
ð
âð
ð=
âð
âð
Wurzeln addieren gleicher Radikand,
gleicher Wurzelexponent ð¥ âð
ð+ ðŠ âð
ð= (ð¥ + ðŠ) âð
ð
Wurzeln subtrahieren gleicher Radikand,
gleicher Wurzelexponent ð¥ âð
ðâ ðŠ âð
ð= (ð¥ â ðŠ) âð
ð
Wurzel aus Potenz ððð = âððð
Wurzel aus Wurzel â âððð
= âððâð
= ðð
ðâð
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Gemischte Aufgaben:
1) â2 â â18 = â3 â â27 =
2) â7 â â28 = 14 â12 â â27 =
3) 4
5â5 +
3
10â â5 = â
9ð4
ð3 =
4) â2ð¥ â â32ð¥ = â3
ð¥â â
ð3
6â â3ð¥ =
5) 11â7 = â2,5
â10=
6) â0,5 â â18 = â160 â â3,6 =
7) â10,5 â â12,5 = â3 + â3 =
8) Nenner rational machen: âð
7+â5=
9) â2ð4
ð6 = â1,8 â â5 =
10) â0,7 â â2,8 = (â54
)12
=
11) â6,48 â â200 = â50
â32=
12) 2
â8=
â108
â12=
13) â432
â3=
14) 12â4 â â4 =
15) â480 â â0,3 =
16) â48
â147=
â5
â405=
17) â338
â32=
â80
â5 =
18) 4â3 + 0,5â3 = 5â9 + 2
3â9 =
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19) 10â273
â 5â273
= 2
â5=
20) â45ð² = â163
=
21) Teilweise Wurzel ziehen: â75 = â98 =
22) âð¥
121 = â
8ð¥
ð³ =
23) â700 = â98 =
24) â81ð3
ð¥3 = â
13ð²
ð²ð³ =
25) Vorfaktor unter die Wurzel ziehen: 2aâð
2=
26) â50 =
27) 2
3â2= 6â7 â 4â7 =
28) 15â16 + 2
5â16 = 5â3
4â 2â3
4=
29) â3
â3ââ5=
30) â2
â3+â2=
31) â2ââ3
â2+â3=
32) 2â5+â2
â5ââ2=
33) â5+â7
â5ââ7=
34) â7ââ5
â7+â5=
35) â5ââ7
2â7+3â5=
36) (ð + ð)1
2 (ð + ð)2
3 + (ð + ð)1
2 - (ð + ð)2
3 =
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Lösungen:
1. Wurzeln multiplizieren:
â2 â â8 = â2 â 8 = â16 = 4 â10 â â10 = â100 = 10
â54 â â1,5 = â81 = 9 â500 â â1,25 = â625 = 25
â1
5 â â125 = â25 = 5 â
1
25 â â625 = â25 = 5
â70 â â2,8 = â196 = 14 â64 â â4 = 8 â 2 = 16
â16 â 16 = â16 â â16 = 4 â 4 = 16 â16 â 4 = â16 â â4 = 4 â 2 = 8
â169 â 196 = â169 â â196 = 13 â 14 = 182 â1,44 â 6,25 = 1,2 2,5 = 3
â0,16 â 144 = â0,16 â â144 = 0,4 12 = 4,8 â3
25 â
27
16 = â
81
400 =
9
20
â9
25 â 0,09 = â
9
25 â â0,09 =
3
5â 0,3 = 0,18 â
45
36 â
5
9 = â
225
342 =
15
18 =
5
6
2. Wurzeln dividieren:
â64 ⶠ16 =â4 = 2 â225 ⶠ9 = â25 = 5 oder â225
9=
â225
â9 =
15
3 = 5
â196 ⶠ49 =â4 = 2 â36 ⶠâ2,25 = 6 : 1,5 = 4
â64
â25=
8
5
â144
â49=
12
7
â196
â625=
14
25
â0,64
â0,36=
0,8
0,6 = 11
3
â0,8
â20=
â0,8
â0,8â25=
1
â25 =
1
5
â32
â200=
â8
â50=
â4
â25=
2
5 = 0,4
â9
â144=
3
12=
1
4
â720
â5=
â5â144
â5 =
â5ââ144
â5 =12
â0,09
â1,44=
0,3
1,2=
1
4
â1,21
â1,69=
1,2
1,3
â0,0009
â14400=
0,03
120=
1
400
â0,81
â0,0625=
0,9
0,25= 3,6
3. Wurzeln addieren und subtrahieren:
âð 4
+ 3 âð4
= (1 + 3) âð4
= 4âð4
4 â33
+ 5 â33
= (4 + 5) â33
= 9â33
13â75
â 5â75
= (13 â 5)â75
= 8â75
8 â64
+ â64
= (8 + 1) â64
= 9â64
4â19 + ð¥ â â19ð = 4â19 + ð¥â19 â âð = (4 + ð¥âð)â19
4
5â5 +
3
10â â5 = (
4
5+
3
10) â5 =
11
10â5 = 1,1â5
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4. Wurzeln ausklammern:
aâ5 - bâ5 + ðâ5 = (ð â ð + ð)â5 6â12 - 1
2â5 = (6 â
1
2) â12 = 5,5â12
2âð³ +3âð³ = (2 + 3)ðâð 4ââ13+ð¥â13
(4+ð¥) =
(4+ð¥)ââ13
(4+ð¥) =â13
5. Teilweise die Wurzel ziehen:
â45ð² = â9 â 5 = â9 â â5 â âð² = 3ðâ5 â6
â54=
â6
â6â9=
1
â9=
1
3
3â3 = â9 â â3 = â27 3ðâ5 = â9 â âð2 â â5 = â45ð²
1
4 â5 = â 1
16 â5 = â
5
16
â845
â5=
â5â169
â5 =
â5ââ169
â5 =13
6. Vorfaktor unter die Wurzel ziehen:
2â3 =â4 â 3 = â12 6â3 =â6 â 3 = â18
3â2 = â9 â 2 = â18 10â9 = â100 â 9 = â900
3â2
3= â9â2
3= â
18
3 = â6 2â2
3= â4â2
3= â
8
3
7. Nenner rational machen:
5
â5=
5â â5
â5ââ5=
5ââ5
5 = â5
â2
â3=
â2â â3
â3ââ3=
â2â3
3=
1
3â6
âðâð
âð+ð=
(âðâð)â(âð+ð)
(âð+ð)â(âð+ð) = =
âðâð â âð+ð
â(ð+ð)(ð+ð) =
â(ðâð)(ð+ð)
â(ð+ð)2 =
âð²âð²
ð+ð
5
3ââ2=
5â(3+â2)
(3ââ2)â(3+â2)=
15+5â2
9â2=
15+5â2
7
âð
â5+ð=
âðâ â5+ð
â5+ðââ5+ð=
âð(5+ð)
â(5+ð)² =
âð²+5ð
5+ð
1
1+âð=
1â (1ââð)
(1+ âð)â(1â âð)=
1ââð
(1²+(âð2
) =
1ââð
1+ð
8. Wurzel als Potenz:
â23
= 213 1000,2 = 100
15 = â100
5
â644
= 6414 â32
5 = 32
15 = 2
9. Wurzel aus Potenz:
41
2 = â4 161
4 = â164
= 2
252
3 = â2523= â625
3 =â5 â 5 â 5 â 5
3= 5â5
3 2
3
2 = â232 = â8 = â2 â 4 = 2â2
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Wurzel und Potenz kÃŒrzen:
â593 =â(53)33
=53 = 125 â763 =â(72)33
=72 = 49
â1084=â(102)44
= 10² = 100
10. Wurzel aus Wurzel:
ââ625 = â6252â2
= â6254
= 5 ââ6423
= â643â2
= â646
=2
ââ7292
= â7293â2
= â7296
= â366 = 3
Gemischte Aufgaben:
1) â2 â â18 = â2 â 18 = â36 = 6 â3 â â27 = â3 â 27 = â81 = 9
2) â7 â â28 = â7 â 28 = â196 = 14 â12 â â27 = â12 â 27 = â324 = 18
3) 4
5â5 +
3
10â â5 = (
4
5+
3
10) â5 =
11
10â5 = 1,1â5â
ð¥
64= âð¥
8 â
9ð4
ð3 =3ð²
ðâð
4) â2ð¥ â â32ð¥ = â2 â 32ð¥Â² = â64ð¥Â² = 8x â3
ð¥â â
ð3
6â â3ð¥ = â
3âð2â3ð¥
ðð¥= â
9ð2
ð=
3ð
âð
5) 11â7 =â121 â 7 = â847 â2,5
â10=
â2,5
â4â2,5 =
1
â4=
1
2
6) â0,5 â â18 = â0,5 â 18 = 3 â160 â â3,6 = â160 â 3,6 = â576 = 24
7) â10,5 â â12,5 = â0,5 â 12,5 = â6,25 = 2,5 â3 + â3 = 2â3
8) Nenner rational machen: âð
7+â5=
âðâ â5âð
(7+ â5)â(7â â5)=
âð(5+ð)
(7²+(â52
) =
âð²+5ð
49+5
9) â2ð4
ð6 =ð²â2
ð3 â1,8 â â5 = â1,8 â 5 =3
10) â0,7 â â2,8 = â0,7 2,8 =â1,96 = 1,4 ( â54
)12
= 53 = 125
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11) â6,48 â â200 = â6,48 200 = â1296 = 36 â50
â32=
â25
â16==
5
4= 1
1
4
12) 2
â8=
2â â8
â8ââ8=
2ââ8
8 =
â8
4
â108
â12=
â12â9â
â12= 3
13) â432
â3=
â3â144
â3 =
â3ââ144
â3 =12 oder â432
3=â144 = 12
14) 12â4 â â4 = (12-1)â4 =11â 2 = 22 â8155= 83
15) â480 â â0,3 = â480 â 0,3 = â144 = 12 â3
16=
â3
4
16) â48
â147= â
48
147= â
16
49=
4
7
â5
â405= â
5
405= â
1
81=
1
9
17) â338
â32= â
338
32= â
169
16=
13
4= 3
1
4
â80
â5 =
â5â16
â5 =
â5ââ16
â5 =4 oder â80
5=â16 = 4
18) 4â3 + 0,5â3 = 4,5â3 5â9 + 2
3â9 = 5
2
3 â9 = 5
2
3â 3 = 17
19) 10â273
â 5â273
= 5â273
=5â3 =15 2
â5=
2â â5
â5ââ5=
2ââ5
5=
2
5â5
20) â45ð² = â9 â 5 â ð² = â9 â â5 â âð² = 3ðâ5 â163
=â2 â 83
= 2â23
21) Teilweise Wurzel ziehen: â75 = â3 â 25 = 5â3 â98 = â2 â 49 = 7â2
22) âð¥
121 =
âð¥
11 â
8ð¥
ð³ = â
2â4ð¥
ð²=
2
ðâ2ð¥
23) â700 = â4 â 175 = 2â7 â 25 = 10â7 â98 = â2 â 49 = 7â2
24) â81ð3
ð¥3 =
9ð
ð¥â
ð
ð¥ â
13ð²
ð²ð³ =
ð
ððâ
13
ð
25) Vorfaktor unter die Wurzel ziehen: 2aâð
2= â
4ð²âð
2 =â2ð³
26) â50 = â2 â 25 = 5â2
27) 2
3â2=
2â â2
3â2ââ2=
2ââ2
3â2=
1
3â2 6â7 â 4â7 = (6 - 4)â7 = 2â7
Wurzelgesetze
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28) 15â16 + 2
5â16 = 5,4 â16 = 5,4 â 4 = 21,6 5â3
4â 2â3
4= 3â3
4
29) â3
â3ââ5=
â3(â3+â5)
(â3ââ5)(â3+â5)=
â9+â15
3â5=
3+â15
â2= â
3
2â15
30) â2
â3+â2=
â2(â3ââ2)
(â3+â2)(â3ââ2)=
â2(â3ââ2)
3â2 =
â6ââ4)
1 = â6 â â4 = â6 â 2
31) â2ââ3
â2+â3=
(â2ââ3)(â2ââ3)
(â2+â3)(â2ââ3)=
2â2â3â2+9
2â3=
11â2â6
â1= â(11 â â6)
32) 2â5+â2
â5ââ2=
(2â5+â2)(â5+â2)
(â5ââ2)(â5+â2)=
2â5ââ5+2â5â2+â5â2+2
3=
10+3â10+2
3=
12+3â10
3=
4+â10
1= 4 + â10
33) â5+â7
â5ââ7=
(â5+â7)2
(â5ââ7)(â5+â7)=
5+2â5â7+7
5â7=
12+2â35
â2=
6+â35
â1= â(6 + â35)
34) â7ââ5
â7+â5=
(â7ââ5)2
(â7ââ5)(â7+â5)=
7â2â5â7+5
7â5=
12â2â35
2=
6ââ35
1= 6 â â35
35) â5ââ7
2â7+3â5=
(â5ââ7)â(2â7â3â5)
(2â7+3â5)â(2â7â3â5)=
2â35â15â14+3â35
4â7â9â5=
â29+5â35
â17
36) (ð + ð)1
2 (ð + ð)2
3 + (ð + ð)1
2 - (ð + ð)2
3 = 2(ð + ð)1
2