Stoch 1
Stochastik ganz kurz
ZufallsexperimentErgebnisseErgebnisraum (-menge) Ereignis
Beispiel diskretWürfelwurf
Beispiel stetigWassertemperatur
U
}6,4,2{},5,3,1{
}6,4,2{}6,5,3,1{
}5{]6:1[
{},}6,5{},5,3,1{
]6:1[}6,5,4,3,2,1{6,5,4,3,2,1
VU
disjunkt" r,unvereinba" Ø
är"komplement" ,\
oder"" ,und"" ,
Ø
,GU
UU
VUVU
Θ
]25,20[],10,0[]100,39()20,0[
]45,20[]39,25[
]100,0[
]39,20[],45,25[]100,0[
]100,0[
A
AWAW
AW
x
Stoch 2
Bsp. P{j} = 1/6, j=1,...,6, P{U} = 1/6+1/6+1/6=1/2; P{[a,b]}= (b-a)/100
P) , ,( Raum-W
disjunkt ,}P{ P 3.
1,)P( 2. , 0)P( 1. [0,1]:P Maß-W
allefür 3.
, 2. , 1.
Algebra"" Ereignisse
A
AA
AAAAA
A
ii
ii
i
iii
AAA
AA
AiA
AA
A
ΝΝ
ΝΝ
Stoch 3
.}P{}P{}|P{}|P{ :Bayes von Satz
}.P{}|P{}P{
:n W.der totale von Satz:0}P{ disjunkt, paarweise ,... Sei
3/11/21/6
}5,3,1P{}5{P
}5,3,1P{})5,3,1{}6,5{P(U}|P{V Bsp.
}}/P{P{}P{ W.Bedingte
1
21
UAAUUA
AAUU
AAAAA
UUVV|U
iii
ik
ii
iik
Stoch 4
1 5/6 1/2 1/6 }P{)( 3 2 1 0
}P{)( sfunktion Verteilung
1/6 1/3 1/3 1/6 }P{ 3 2 1 0
Verteilung1/3.1/61/6 P{4,5} )}2(P{ 2}P{
,]3:0[)( Wertmenge,3),(0,1,1,2,2 :2 div Augennzahl
,]6:1[ f, Würfelwur:diskret Beispiel,: Abbildung )(Gutartige
stetigoder diskret (ZV), iableZufallsvar
1
xXxFx
pxXxF
xXpx
XX
XWX
X
X
xy
yX
x
Stoch 5
Stoch 6
xxx
xf
xFdxdxf
dyyfxFSxf
xxxx
xF
WtttS
S
SS
x
ySSS
S
S
1für 010für 10für 0
)( :Beispiel
)(
,)()( : Vstetiger Z bei Dichte
1für 1
10für 0für 0
)(
],1,0[ , ,100/)( ],100,0[peratur WassertemRaum- W:stetig Beispiel,
Stoch 7
Stoch 8
/e /x
/e1 x
Stoch 9
dxxfbaXb
aX ]},[P{
Stoch 10
Seien X1,...,Xn IID, exponentiell verteilt. Dann istY = X1+...+Xn Erlang-n-verteilt; der Variationskoefizient ist 1/n.
Seien X1 und X2 unabhängig und exponentiell verteilt mit i. allg. unterschiedlichen Mittelwerten. Dann ist
pXpX
Y1 mit W. mit W.
2
1
hyperexponentiell verteilt; der Variationskoefizient ist 1.
Stoch 11
5.002/1|2/1
5.16/133/123/116/10Beispiele
...oder ]E[
]E[
)](E[ (EW) werteErwartungs
10
21
0
xdxx
dxxfxS
pxX
Xg
S
X
SWx
S
WxxX
S
X
Stoch 12
.0 falls / ent)-skoeffiziVariation(. bweichung)(Standarda Streuung
.Mittelwertden um Streuung diefür Maßein ,][E])[(E
Varianz Beispiel)](E[)](E[)]()(E[ lRechenrege
)()](E[
)()](E[
rAllgemeine
2
22222
YYY
SWx
Wxx
YY
YhbYgaYhbYga
dxxfxgSg
pxgXg
S
X
Stoch 13
Stoch 14
.5.0)(mit Wert kleinsteDer :Median 5.0 xFxx X
.5.0)(mit Wert kleinsteDer :Median 5.0 xFxx X
a-Quantil xa, 0< a <1:Der kleinste Wert xa mit F(xa) a
Stoch 15
1/21/210
}P{
1/61/332
1/31/610
}P{
},P{}P{
allgemein 1/3,2}P{ ,2/1}1P{ z.B. iten,heinlichkeRandwahrsc
1/6
(0,3)
1/6(1,2)
1/6
(0,2)
1/6(1,1)
1/6
(0,1)
1/6(1,0)
},P{
),(Verteilung Gemeinsame
306
215
204
113
102
011
2 div )( ,2 mod )( f, WürfelwurBeispiel
},P{),( (VF)sfunktion Verteilung. )),(),((toren Zufallsvek
,),(
,
,
,
zZz
yYy
zZxYyY
ZYzZyY
Wzy
zyx
xxZxxY
zZyYzyFxxZxY
yxWzx
ZY
ZY
ZY
Stoch 16
}.,P{),()],(E[:ZVektorendiskreten bei werteErwartungs
.61
21}0P{}1P{6/1}0,1P{
Beispiel}.P{}P{},P{
ZVektorendiskreten bei äquivalentoder
, gdw. unabhängigch stochastis ,
., ,,,für und für sfunktion Verteilung
,),(
,
,,
zZyYzygZYg
ZYZY
zZyYzZyY
zFyFzyFZY
zFzFyFyFlungenRandverteiZY
ZYWzy
ZYZY
ZYZZYY
Stoch 17
.unabhängig und wenn ,
],KOV[2
).korreliert positivoder nicht negativ, und (
1,1 ,],KOV[, zient)n(-skoeffiKorrelatio
nicht.gilt Umkehrungdie ;0],KOV[unabhängig und . und it von Abhängigke lineare diefür Maßein
,]E[)])(E[(],KOV[ Kovarianz.unabhängig und nur wenn ]E[]E[]E[
existent, immer wenn ]E[]E[]E[
22
222
ZY
ZY
ZY
ZYZYZY
ZYZYZYYZZYZY
ZYZYZYZYZY
ZY
ZYZY
ZY
ZYZY
Stoch 18.unabhängig und falls ]E[]E[]E[
usw., ],E[]E[]E[ ,]E[]E[
, ,]E[!
1
Eindeutig,
. ,]E[ :für Funktion Erzeugende
.}P{}P{}P{
er ZVunabhängig Faltung
12
22
1
0
0
,
YXzzz
XzdzdXz
dzdX
Wxzdzd
xp
zzpzW
yxZyYxZY
YXYX
XX
XX
x
x
x
x
xx
XX
WyxWy
ZY
Ν
Stoch 19
.,),()],(E[
nd.entspreche
,, vorneion wielungsfunktRandvertei
nd.entspreche ,, Randdichte
stetig. wo,,
,,,},P{
:orenufallsvektstetigen Z bei , Dichte Gemeinsame
,
,
,
,,
,,
,
dydzzyfzygZYg
zF
yFyF
zfdzzyfyf
zyFzy
zyf
dudvvufzyFzZyY
zyf
ZY
Z
ZYY
ZZYY
ZYZY
y z
ZYZY
ZY
Stoch 20
.unabhängig und wenn ]]E[E[]E[
existent, wenn ]E[)1(]E[
imaginär). ,],E[ (ähnlich,Funktion stischecharakterisonst
, ,für ]E[ erteTransformi-Stieltjes-Laplace
.unabhängig und wenn Faltung
.,F wenn
oder , gdw. unabhängigch stochastis und
)(
0
00
,
,
YXeee
eddX
We
We
ZYdyyxfyfxf
zFyFzy
zfyfzyfZY
YXYX
Xn
nnn
XX
XX
ZYZY
ZYZY
ZYZY
Stoch 21ngsmodell.Lagerhaltu im en Gesamtkost monatliche Beispiel
Wertmenge.diskreter undt licher Zeikontinuiermit
);( der WS,in Kunden den der warten Anzahl Beispieltmenge.licher Werkontinuier undZeit diskreter mit
iten;ankunftsze Zwischen unden Bedienzeit wobei,...,2,1 },0,max{
,0 einer WS,in en WartezeitBeispiel Zeit (stetiger)licher kontinuiermit }0 ),({
oder ,...}2,1,0{ Zeit,diskreter mit ,...,:aum Zustandsrdem
, tmengelichen Werkontinuieroder diskreten derselben mit nlsvariable von ZufalFamilie Eine :Prozeßcher Stochastis
11
1
0
21
i
ii
iiii
C
tQ
ASiASDD
DttX
XX
W
T
T
Stoch 22
n.Korrelatio bzw. Kovarianz und daher Hier eit.stetiger Zmit Ähnlich
. von unabhängig ,...,2,1,0 ,...,2,1 ],,KOV[ endlich, ,...,2,1
endlich, ,...,2,1 , :Zeitdiskreter mit ,..., Prozesscher Stochastis tationärerKovarianzs
,
,22
i
21
jj
jiijii
i
C
ijiXXCi
iXX
Stoch 23
Bedieners. des Auslastung dieist ]]/E[E[ AS
Stoch 24
Vereinfachte Lager-haltungsstrategie (s,S)
Stoch 25
Stochastische Prozesse, die sich bei einer Simulationergeben, sind sicher im allgemeinen nicht kovarianz-stationär, höchstens nach der Einschwingphase näherungsweise.
Stoch 26
Normalverteilung
Stoch 27
N(0,1) heißt Standard-Normalverteilung. Verteilungsfunktion aus Tabellen.
Chi_Quadrat-Verteilung
Tabellen. aussfunktion Verteilung raden.Freiheitsg mit verteilt -quadrat-chiist ...
verteilt,-N(0,1) IID ,...,22
12n
1
nXX
XX
n
n
Student´sche t-Verteilung
sind. unabhängig und undist verteilt -N(0,1) wobei
raden,Freiheitsgn mit verteilt -ist t /
2n
2n
XX
n
XTn
Stoch 28
Schätzer, Schätzfunktionen
Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe) mit endlichemErwartungswert und endlicher Varianz 2.Das Stichprobenmittel (sample mean)
n
XnX
n
ii
1)(
ist ein erwartungstreuer Schätzer für den Erwartungswert ,d.h.
)]([E nX
sogar wenn die ZV abhängig sind.
Stoch 29
Die Stichprobenvarianz
1
)]([)( 1
2
2
n
nXXnS
n
ii
ist ein erwartungstreuer Schätzer für die Varianz,
Das gilt aber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist
.)](E[ 22 nS
1
)/1(21)](E[
1
122
n
njnS
n
j j
Immerhin, wenn die Summe konvergiert, ist der Schätzerasymptotisch erwartungstreu (konsistent).
Stoch 30
Für die Varianz des Stichprobenmittels giltaber nur bei Unabhängigkeit der Xi, sonst ist
Die Varianz des Stichprobenmittels ist sehr wichtig für dieBeurteilung der statistischen Güte von Simulationsergebnissen,nämlich für Vertrauensintervalle.
.)/1(21
)](VAR[1
12
n
njnX
n
j j
Da es schwierig ist, die Korrelationen j zu schätzen, ist dieAnwendung dieser Formel nicht einfach.Abhilfe: Durch mehrere unabhängige Simulationsläufe(Replikationen) werden unabhängige Ergebnisse erzwungen.
,/)](VAR[ 2 nnX
Stoch 31
Schätzung der Korrelationen j für große Stichproben:
Da dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, muß n groß sein.
Stoch 32
Beispiel mit kleinem n:
Stoch 33
Vertrauensintervalle (VI) Seien X1,...,Xn IID ZV (mathematische Stichprobe), normalverteiltmit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz 2>0.
nznX /)( 22/1
ist ein Vertrauensintervall für den EW zum Niveau 1-, d.h.
1/)(/)(P 22/1
22/1 nznXnznX
Hier ergibt sich das (1- /2)-Quantilaus
2/1 z
,2/1)( 2/1 zist. eilungNormalvert-Standardder sfunktion Verteilung die wobei
Stoch 34
Stoch 35
Ist die Varianz 2 unbekannt, so ist das (1-)-Vertrauensintervall
nnStnX n /)()( 22/1,1
nnStnX n /)()( 22/1,1
Stoch 36
Ist die mathematische Stichprobe X1,...,Xn nicht normalverteilt,so gilt aber der zentrale Grenzwertsatz:
Satz Sei Fn(z) die Verteilungsfunktion der ZV
Damit gilt .mit )()( nzzFn
.//])([ 2 nnX
Unter diesen Umständen sind die oben angegebenen VI nurNäherungen, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist nur ungefähr1-.
Sind die X1,...,Xn nicht unabhängig, gelten die VI gar nicht.Dieser Fall wird mit besonderen Methoden behandelt.
Stoch 37
Ein Statistischer Test ist ein Verfahren zur Überprüfung einer (Null-)Hypothese H0 über die Verteilung einer ZV X.
Beispiele: - E[X]= 0, 0 gegeben.
- Die ZV X und Y sind unabhängig. - Die ZV X ist exponentiell verteilt mit Mittelwert .Ergebnis des Tests: „ H0 ist abzulehnen“ oder
„ Der Test ergibt keinen Grund, H0 abzulehnen“
Für die Durchführung wird eine Meßreihe x1,...,xn erhoben;
das ist eine Realisation einer mathematische Stichprobe X1,...,Xn,
(oder auch Zufallsvektoren, (x1,y1),...,(xn,yn), (X1,Y1),...,(Xn,Yn) ).
Stoch 38
Zu jedem Test gibt es eine Testfunktion (Testgröße) T=T(X1,..., Xn),
eine ZV mit bekannter Verteilung.Alle Meßreihen, für die die Nullhypothese H0 abgelehnt wird,
bilden den kritischen Bereich (Ablehnungsbereich) der Testfunktion K={T( x1,...,xn ) | H0 ist abzulehnen }.
Der Ablehnungsbereich K wird so gewählt, daß die W., daß T(X1,..., Xn) K, wenn H0 zutrifft, klein ist,
und daß sie durch beschränkt ist: P{T(X1,..., Xn) K} .
heißt Testniveau, 1- Sicherheitswahrscheinlichkeit. zum Beispiel 0.05, 0.01, 0.001 (5%, 1%, 1‰).
Stoch 39
Wenn die Nullhypothese H0 zutrifft, wird sie mit der kleinen W.
P{T(X1,..., Xn) K} abgelehnt. Folglich produziert der Test falsche Ergebnisse.
Diesen Fehler nennt man Fehler 1. Art. Er tritt mit einer W. von höchstens auf.
Es passiert aber auch, daß die Nullhypothese H0 nicht zutrifft, und der Test das Ergebnis „Es gibt keinen Grund, H0 abzulehnen“ hat. Dabei spricht man von einem Fehler 2. Art.
Stoch 40
Beispiel t-Test 1) Mathematische Stichprobe N(,2)-verteilt2) Nullhypothese H0 : = 0
3) Testfunktion
zutrifft. Henn verteilt wt/)(
)(),...,T(
01
20
1
n
nnnS
nXXX
2/1;11 t),...,T( :onTestfunktider Bereich Kritischer )4
nnXX
Letzteres ist das (1-/2) - Quantil der t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden.5) H0 wir verworfen, wenn mit der Meßreihe sonst wird nichts gegen H0 eingewendet
,t),...,T( 2/1;11 nnxx
Stoch 41
Beispiel Chi-Quadrat-UnabhängigkeitstestMathematische Stichprobe: (X1,Y1),..., (Xn,Yn).
Nullhypothese H0 : Die ZV X und Y sind unabhängig.
Testfunktion : Die Wertebereiche W(X) und W(Y) werden in disjunkte Intervalle zerlegt:
W(X)=I1I2... Ia, W(Y) =J 1 J 2... Jb.
Zählen, wie oft Xk in Ii liegt: Ni. Mal,
Yk in Jj: N. j Mal,
(Xk, Yk) in Ii Jj: Ni, j Mal, k=1,...,n.
2
1 1
,
11 )],(),...,,Q[(
a
i
b
j ji
jiji
nn
nN
nN
nN
nN
nN
YXYX
Stoch 42
Kritischer Bereich der Testfunktion:Q[(X1,Y1),..., (Xn,Yn)] > , wobei das (1- )-Quantil der Chi-Quadrat-
Verteilung mit (a-1)(b-1) Freiheitsgraden ist.Nullhypothese H0 ablehnen, wenn Q[(x1,y1),..., (xn,yn)] > für eine Meßreihe
(x1,y1),..., (xn,yn) ist.