Lösungsweg zu Aufgabe 7Lösungsweg zu Aufgabe 7

Theorieteil + dTheorieteil + der PEST Editor imProgrammsystem Feflow

Aufbau und Kalibrierung eines

Strömungsmodells für den stationären FallEine kurze Einführung in die PEST-Menustruktur als „Begleit-PPPräsentation“ für Lösungsweg Aufgabe 7

Modellierung von Hydrosystemen II WS 2003/04

Modellierung von Hydrosystemen II WS 2003/04

Zu Aufgabe 7Feflow-Anwender wird mit der über den IFM implementierten Parameterschätzer PEST die Lösung von inversen, grundwasserhydrologischen Problemen ermöglicht bzw. erleichtert. Das PEST-Modul benutzt die Indirekte Methode, bei der eine Zielfunktion minimiert wird. Die Minimierung erfolgt mit einem Gradientenverfahren nach Levenberg-Marquardt durch iterative Veränderungen der Modellparameter. Die Zielfunktion enthält die Summe der gewichteten Fehlerquadrate von den mit Feflow berechneten und den im Felde gemessenen Zustands-variablen. Eine typische Anwendung ist die Parameterschätzunghydraulische Leitfähigkeit mit PEST aus gemessenen Zustands-variablen, den gemessenen Grundwasserständen inBeobachtungsbrunnen (Kaiser 1998, Doherty et al. 1994). Dem zeit-variierenden Parameter wird ein Startwert vorgegeben, von dem ausdie Parameter mit Hilfe eines speziellen Algorithmus so lange variiert werden, bis ein Minimum im n-dimensionalen Parameterraum gefunden ist.

http://www.sspa.com/PEST/example.html

Anwendungsbeispiel für eine

nichtlineare Parameter-

schätzung im Zuge der

Kalibrierung eines Grund-

wasserströmungsmodells

mit Neubildung.

PEST [Parameter ESTimator]: Model-Independent Parameter Estimation

Entwickelt von DohertyDoherty, J. et. al. (1994): PEST - Model Independent Parameter Estimation.-Watermark Computing, Corinda, AustraliaDoherty, J. (1998): PEST User Manual

Methodik des nichtlinearen Parameterschätzers:

PEST benutzt die Indirekte Methode, bei der eine Zielfunktion minimiert wird.Diese Funktion enthält die Summe der gewichteten Fehlerquadratevon berechneten und gemessenen Zustandsvariablen. Das PEST-Modulassistiert bei der Dateninterpretation und der Modellkalibrierung.

Die Minimierung erfolgt mit einem Gradientenverfahren nach Levenberg-Maequardt durch iterative Veränderung der Modellparameter

Das Inverse Problem wird mit der Indirekten Methode (IM) gelöst,

wobei die IM auf die Interpretation der Modellgleichung zurückgreift.

Die Strömungsdifferentialgleichung z.B. wird dabei für die Piezometerhöhe

als abhängige Zustandsvariable gelöst. Allgemein prüft man, wie das Modell-

verhalten vom beobachteten Systemverhalten abweicht.

Ein Ergebnisfehlerkriterium quantifiziert die Größe der Abweichung (Summe der

gewichteten Fehlerquadrate).

Modell kalibriert, wenn durch iteratives Lösen der Modellgleichungen mit veränderten

Parametern die Zielfunktion ihr Minimum erreicht hat.

Mit der Maximum Likelihood-Methode wird der optimale Parametersatz durch

Maximierung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Zielfunktion gefunden (weitere

Erläuterungen: Niedermeyer 1998, Kuhlmann 1994)

Merke:

Als Minimierungsalgorithmen verwendet PEST ein Derivat aus der Klasse der

Gradientenverfahren:

Gauß-Newton Algorithmus mit Modifikationen von

Levenberg 1944 & Marquardt 1963

Der PEST-Algorithmus (mathematische Grundlagen)(weitere Informationen im User Manual von Doherty (1994) ;hier in Anlehnung an Kaiser (1998):

Modellform für das Direkte Problem:

Bei nichtlinearen Problemen ist die Parameterschätzung/-optimierung ein iterativer Prozesse. Zur Lösungdes Inversen Problems werden die Parameter variiert, bis die Zielfunktion minimal wird. Die N x N Gewichtsmatrix Q ist diagonal und die Residuen werden aus der Differenz zwischen berechneten und gemessenen Zuständen gebildet:

( )pMo

=

N Zustandsvariablen

M Modellparameter

rQr t =

Zielfunktion Residuen

Linearisierung mittels Taylor-Entwicklung (Parameteränderungsvektorund Jacobi-Matrix).

Im Gauß-Newton-Verfahren ist die neue Suchrichtung des k-ten Iterations-

schrittes (mit der Normalmatrix N): . Für ein lineares Modell ist das

Inverse Problem damit schon gelöst. Die Nichtlinearität erfordert die iterative Anwendung, umdie Zielfunktion zu minimieren!

Im Gradienten Verfahren wird die neue Suchrichtung aus dem steilsten Anstieg der

Zielfunktion bestimmt:

( ) rQJtp t1

N

QJJ −

=

rQ2Jg t −=∇=

Das Levenberg-Marquardt-Verfahren ist eine Kombination aus beiden.

Um eine optimale Wirkung zu erzielen, bildet man:

mit α (Marquardt Parameter: 0 ≤ α < ∞). Der Marquardt Parameter dreht den Suchvektor aus der Gauß-Newton-Richtung in die Richtung des steilsten Abstiegs. Für α = 0 erhält man das reine Gauß-Newton-Verfahren und für α → ∞ das Gradienten-Verfahren.

PEST benutzt eine vorteilhafte numerische Konditionierung der o.g. Gleichung, die mit der N x N Matrix S skaliert wird. Sie enthält nur Diagonalelemente.Damit wird in PEST das folgende Gleichungssystem mit den Diagonalelementen Aii = 1

und den Nichtdiagonalelementen Aii < 1 gelöst:

Der Levenberg-Marquardt-Parameter ist durch das größte Element gegeben:

( ) rQJIQJJp t1t ⋅+= −

( )[ ] ( ) rQJSSSQJSJSpS t1

A

tt1

⋅⋅+=−−

( )iitSSmax ≡

In einem Iterationsschritt k wird zunächst das Gleichungssystem füreinige Levenberg-Marquardt´s gelöst und die Wirkung auf die Ziel-Funktion getestet.Mit der günstigsten Suchrichtung wird ein neuer Parametervektor für den nächsten Iterations-

schritt k+1 gebildet: . Dabei ist β ein passend gewählter Dämpfungsfaktor,

Um das Überschießen des Minimums zu verhindern.Der Übergang von k-ten zum k+1-ten Schritt bildet den Kern des Minimierungsalgorithmus.

Ablauf einer PEST-Optimierung in drei Einheiten:1. Initialisierung: Rechenlauf mit den Startparametern, berechnet Startwert der Zielfunktion.

2. Jacobi-Schleife: Aufbau der Jacobi-Matrix J mit mindestens M Rechenläufen, pro Lauf wird

die Änderung aller Zustandsvariablen in Abhängigkeit von einem Parameter berechnet.

3. Marquardt-Iteration: 3.1 berechnet φ0 mit λ0

3.2 berechnet φ1 mit λ0 = αλ0; 0 < α < 1

3.3 wiederholt Schritt 3.2 bis ein Abbruchkriterium der Marquardt-Iteration

erfüllt ist

3.4 testet mit dem neuen Parametervektor die Abbruchkriterien der

gesamten Optimierung, beendet ggf. die Optimierung und geht zu 3.5

3.5 startet neuen Optimierungsschritt und geht zu 2.

kk1k ppp

+=+

Parameter 2

Parameter 1

Parameter Startwert

Isolinien der Zielfunktion im Zwei-Parameter-Raum

Auffinden des Minimumsbei einer erfolgreichenOptimierung.

Diagramm zeigt, wie derimplementierte Minimierungs-algorithmus bei einer erfolg-reichen Optimierung zumMinimum der Zielfunktionführt!

„knowledge constrains“

33rdrd Kind Boundary Condition (Cauchy Type)Kind Boundary Condition (Cauchy Type)

h

d

Γ3 Ω

infiltrating

Γ4h

d Γ3Ω

e xfil trati ng

Γ4

h)(hq ref −⋅=

d

k f≈

AqQ ⋅=Aq2Q ⋅⋅=

href: reference hydraulic head at the bc

Φ: transfer rate (material condition)

at a model border

inside the model domain

33rdrd Kind Boundary Condition (Cauchy Type) riverKind Boundary Condition (Cauchy Type) river--groundwater groundwater system (flow only)system (flow only)

1.1. Eingabe der Flusswasserstände zur Definition der PotentialverhälEingabe der Flusswasserstände zur Definition der Potentialverhältnisse. Dietnisse. DieGrundwasserstände werden als Anfangsbedingung eingegeben bGrundwasserstände werden als Anfangsbedingung eingegeben bzw. währendzw. währendder Strömungssimulation ermittelt.der Strömungssimulation ermittelt.Vorgehen:Vorgehen:Flow Data Flow Data --> Flow boundaries > Flow boundaries --> Transfer (3> Transfer (3rdrd Kind) Kind) --> Werte für Wasserstände > Werte für Wasserstände eingeben in müNN.eingeben in müNN.

2.2. Leakage Koeffizient eingeben.Leakage Koeffizient eingeben.Vorgehen:Vorgehen:Flow Data Flow Data --> Flow materials > Flow materials --> Transfer rate in/out > Transfer rate in/out --> Wert für Leakage > Wert für Leakage Koeffizient eingeben in 1.00EKoeffizient eingeben in 1.00E--4 d4 d--11 (Wert setzt sich zusammen aus Durch(Wert setzt sich zusammen aus Durch--lässigkeit und Mächtigkeit der Kolmationsschicht). lässigkeit und Mächtigkeit der Kolmationsschicht). Wichtig:Wichtig: Transfer rate (ExfiltrationsTransfer rate (Exfiltrations--/Infiltrationsrate) ist richtungsabhängig/Infiltrationsrate) ist richtungsabhängig

unterschiedlich, so dass Grundwasserexfiltrationsunterschiedlich, so dass Grundwasserexfiltrations-- ≠≠ Uferfiltrationsrate!Uferfiltrationsrate!

3.3. Die Parametrisierung der Kolmationsschicht ist kompliziert (SediDie Parametrisierung der Kolmationsschicht ist kompliziert (Sedimentproben)!mentproben)!Eingehende Beschreibungen der vielen Aspekte der KolmationsentstEingehende Beschreibungen der vielen Aspekte der Kolmationsentstehungehungkönnen bei Geldner (1981), Schälchli (1993) und Blaschke (2002) können bei Geldner (1981), Schälchli (1993) und Blaschke (2002) entent--nommen werden. In einem Flusslauf wechseln sich Exfiltrationsnommen werden. In einem Flusslauf wechseln sich Exfiltrations-- und und Infiltrationsgebiete häufig ab.Infiltrationsgebiete häufig ab.

PEST - Supporting Sites and Related Links

Environmental Modeling Systems, Inc. (EMS-I) provides software, support, training, a and consulting servicesfor water resources modeling using the Groundwater Modeling System (GMS), Surface-water Modeling System(SMS), and Watershed Modeling System (WMS) software. These state-of-the-art graphical user interfaces forenvironmental and water resource modeling are developed at Brigham Young University's EnvironmentalModeling Research Laboratory (EMRL). GMS-Tour: http://www.ems-i.com/gmshelp/Introduction/Quick_Tour/Introduction.htm

UNCERT, a geostatistical uncertainty analysis package applied to groundwater flow and contaminant transportmodeling. Includes some visualization capabilities. Developed by William L. Wingle, Eileen P. Poeter and SeanA. McKenna.http://uncert.mines.edu/

WASY Institute for Water Resources Planning and Systems Research LTD are the developers of the comprehensive finite-element, groundwater and transport model, FEFLOW. The latest version of FEFLOW includes a PEST interface.

The USEPA Center for Exposure Assessment Modeling (CEAM), was established in 1987 to meet the scientific and technical exposure assessment needs for the USEPA and state environmental resource management agencies. CEAM provides proven predictive exposure assessment techniques for aquatic, terrestrial, and multimedia pathways. CEAM also provides a source for public domain groundwater, surface water and vadose zone modeling software. http://www.epa.gov/ceampubl/

The International Ground Water Modeling Center is an internationally oriented information, education and research center for ground-water modeling.

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P E S T - M e n u s t r u k t u rPEST Problem PEST ParameterEditor Editor

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Steuerparameter für den Algorithmus

Auswahl des zu optimierenden Parameters

... mit Hinweis aufräumliche Zuweisungder PEST-Parameterzone

... Anzeige der erfolgten Eingabe

Die Zuweisungsmethode basiert auf stückweise konstanten Gebieten

P E S T - M e n u s t r u k t u r

Spezifizierung der sogenannten Steuerparameter für dieOptimierung und statistische Analyse.Starten mit Einstellung Default

Auswahl der Steuerparameter für Lambda iteration, Parameter variationDerivative method switch, Termination criteria

Optimierungsstatistik

Über den PEST Parameter Editor erfolgt die Zuweisung derParameter, die optimiert werden sollen, in Listen und ebensoeine räumliche Zuweisung (Zonierung mit entsprechendem Polygonfile), Einteilung der Parametergruppen und Zuweisungder Steuerungsparameter für die Parametergruppen

Importieren der gemessenen Zustandsvariablen in Listen (Tripletfile) sowie räumliche punktweise Zuweisung der Zustandsvariablen.

P E S T - M e n u s t r u k t u rPEST ProblemEditor

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Die P E S T - Control Parameter zur Definition des Optimierungsproblems:

Lambda iteration:

Initial Lambda (RLAMBDA1)Diese Variable ist der „Anfangs-“Marquardt Lambda“-Wert, während der Optimierungwird dieser Parameter in der Regel kleiner, er liegt als Anfangswert zwischen 1 bis 10.

Lambda adjustment factor (RLAMFAC)

Sufficient new/old Phi ratio per optimization itera tion (PHIRATSUF)

Limiting relative Phi reduction between Lambdas (PH IREDLAM)

Maximum trial Lambdas per iteration (NUMLAM)

s. PEST-Manual,Section 2