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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
V9: Finite-Elemente-Methode
Teil 3: Numerische Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen
V9: Finite-Elemente-Methode -Grundlagen und Anwendungen
Inhalt:Das Verfahren der Finiten-Elemente (FEM)
Lösung von elliptischen Gleichungen mit der FEM 1D
Experiment:Lösung einer elliptischen Gleichung mit der FEM (in Vorbereitung)
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Das sollten Sie heute lernen
Wie löst man partielle Dglen numerisch Was ist die Finite Elemente Methode und wie wird sie zur Lösung
von Differenzialoperatoren angewandt Wie sind FE- Programme zur Lösung partieller
Differentialgleichungen aufgebaut
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Institut für Kernenergetikund Energiesysteme
Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Numerische Lösung von partiellen Dglen- prinzipielles Vorgehen
1. Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen und Maschen
2. Beschreibung der Gebiete mit gleichem Lösungsansatz durch Basisgebiete
3. Auswahl des Lösungsansatzes
- punktweise Darstellung
- Entwicklung nach bekannten Funktionen
- stochastisch
4. Diskretisierung der Operatoren
5. Aufstellung der Systemgleichungen
6. Lösung des linearisierten Gleichungssystems
7. Darstellung der Ergebnisse
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Numerische Lösung von partiellen Dglen- Das Finite Elemente-Verfahren
1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form (FiniteElemente), über die Differentialgleichung integriert werden kann
2. Maschen und Basisgebiete identisch - Lösungspunkte auf FE-Rand
3.
4. Integration so, daß am Rand Stetigkeitsbedingungen erfüllt
5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme, schwach diagonal-dominant
6. Lösen auf Basis konjugierter Gradienten-Verfahren oder direktes Lösen
7. Darstellung von Zuständen in Gebieten über Postprozessoren
j i d L mit Na nein alle fürn
jni i0 ) ( ) ( ) (
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Lagrange-Interpolation mit Galerkin-Wichtung
Folgende Festlegungen werden in der Regel verwendet:
Entwicklungsfunktionen Lagrange-Polynome Entwicklungskoeffizienten Werte der genäherten Funktion an Stützstellen (Knoten)
ii xya
• Wichtungsfunktionen sind mit Entwicklugnsfunktionen identisch (Galerkin-Wichtung).
• Ergebnis der Näherung
xyxyxy ii
n
i
0
• Verstümmelungsfehler
• Modifikation Aufspaltung des Näherungsgebietes in Teilgebiete mit separaten Annäherungen.
10 nx
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Wahlen der Entwicklungskoeffizienten
Folgende Wahlen sind besonders häufig:
,
,
,
,
dxxydx
da
dxxya
xxydx
da
xya
i
xi
ii
ii
i
d.h. Lösung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen die Lagrange-Funktionen
d.h. Steigung an einem Punkt. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel Hermitesche Funktionen.
d.h. mittlere Lösung im Gebiet. Dann sind die Basisfunktionen in der Regel problemabhängige Spezialfunktionen.
d.h. mittlere Steigung (häufig für ein Oberflächenelement definiert).
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
FEM - Vorbemerkungen
Ausgang sind integrale Formulierungen und im folgenden speziell das Galerkin-Verfahren.
Anders als bei den Lösungen nach Galerkin wird nicht versucht, spezielle, über das ganze Lösungsgebiet gültige und an das Problem angepasste Entwicklungsfunktionen zu finden. Stattdessen wird das Lösungsgebiet in nicht überlappende Gebiete zunächst beliebiger Gestalt, die sog. Finiten Elemente, unterteilt. In jedem Element wird die Lösung nach Funktionen entwickelt, die nur in diesem Element definiert sind und außerhalb verschwinden. Dadurch wird die Integralgleichung in eine Reihe von Teilintegralen zerlegt. Über Koppelungsbedingungen - Randbedingungen für die finiten Elemente - werden die Teillösungen zusammengesetzt. In der Regel gelten die Koppelungen über den ganzen Elementrand. Sie sind daher sehr stark.
Das Vorgehen wird wieder am Beispiel der Helmholtz-Gleichung erläutert.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Beschreibung des Lösungsgebietes
Beschreibung des Lösungsgebietes durch Zonen
Unterteilung der Maschen in Basisgebiete oder finite Elemente
Für das Beispiel werden eine Zone und zwei bzw. drei finite Elemente verwendet.
Wahl der Entwicklungsfunktionen.
Für das Beispiel wurde Lagrange-Funktion 1. Ordnung gewählt. Dann gilt im Element m
rxx
lx
mii
mi
m
2
1
~~
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Darstellung der Lösung
Für die gesamte Lösung gilt
Anmerkungen:
1. Es ist möglich, in verschiedenen Elementen verschiedene Ansätze zu wählen.
2. Wählt man die Knoten i so, dass je ein Knoten auf dem linken und auf dem rechten Rand eines Elements liegen und gilt
so gibt es keine Sprünge im Verlauf von
3. Durch die in 2) getroffene Knotenwahl ist die Zahl der Knoten der Elemente (lokale Knoten) kleiner als die Zahl der Knoten im System (globale Knoten).
xm
i
m
im i
m
m
~~ 2
1
me
mr
~1~
~
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Aufstellung der Residuengleichung -1
Bei Verwendung der Galerkin-Methode sind Wichtungs- und Entwicklungsfunktionen gleich und je nur im zugehörigen Element definiert.
Im Element m gilt:
Differentialgleichung
Zur Lösung sind Randbedingungen erforderlich.
Es gilt
l und r meinen linken und rechten Rand. m-1 und m+1 linkes und rechtes Nachbarelement.
02
2
2
mm Bdx
d
1
1
ml
mr
mr
ml
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Aufstellung der Residuengleichung -2
Der Beitrag zum Residuum, der durch die Wichtungsfunktion geleistet wird, ist dann
Wendet man die Regeln der partiellen Integration an, wird daraus
dxmi
i
mi
Bdx
dxx
mj
mj
R mr
ml
~22
2
1
0
1
0
21
0
~dxBdx
dx
d
dx
dxR m
i
m
j
m
i
m
j
m
i
m
ji
m
im
m
j
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Aufstellung der Residuengleichung -3
Das Residuum für das Gesamtsystem erhält man als Summe der Teilresiduen
Bei der Summe gilt: Der Randbeitrag am linken und rechten äußeren Rand
verschwindet wegen der Randbedingung. Wegen der Anschlussbedingung heben sich Beiträge innerer
Elemente gerade auf. Man erhält ein Gleichungssystem für die globalen
Entwicklungskoeffizienten (Lösungen an globalen Knoten).
0 j m
m
jRR
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Bestimmung der Elementintegrale
Die Versuchsfunktionen und ihre Ableitungen sind
Zur Durchführung der Integration über die Elemente transformieren wird die Elemente in das Einheitselement mit 0 x h. Dort lauten die Versuchsfunktionen
Dann gilt im Element
mx
mdx
d
mx
mdx
dm
xe
xxm
mx
xmr
xm
12
11
21
hh
xhh
xh
1
1
22
11
1
1
1
121
1
2
2
11
1
6
1
hjj
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Lösung 1: 2 Elemente
Lösung für 2 Elemente 3 globale Variablen h = 1
1~3
0~3
22
0~~
~~~~~~~
~~
2
2
22
31
223
12
212
111
2
1
2
1
φ
Bgenwert EiLösung:
φB systemGleichungs
φφRand
φφφφφφφriable Globale Va
mi
ξmi
φφm i
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Lösung 2: 3 Elemente
955.0
5.13
7.2
03
2
2
9
6
1
4
9
06
1
4
9
3
2
2
9
~~
3
243
~~
~~
~~
~~~~~~~~~~
321
2
2
2
1
3
2
2
2
3
2
2
2
2
34
1
3
2
23
1
2
2
12
1
11
3
1
3
1
BBB
BB
BB
fürLösung
genwert EiLösung:
systemGleichungs
riable Globale Va
mi
ξmi
φφ
hVariablenglobaleElementefürLösung
m i
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Vergleich der Ergebnisse zur Lösung
Analytisch FDM Galerkin FEM
~
2
12.467401
1.0
2.0
1.273
-
-
3.0
1.273
1
3
1
2
2
12.467401
22.206
0.87
0.87
1.0
3.0
0.955
0.955
2.46744
25.6
-
-
2.7
13.5
0.955
0.955
1
4
1
3
1
2
3
2
12.467401
22.206
120.8
0.707
1.0
0.707
22
2
22
0.75
1.06
0.75
2.467401
22.3
-
0.7071
1.0
0.7071
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Lösung der Helmholtz-Gleichung im Dreiecksgebiet
Weitere Potentiale der FEM zeigen wir an folgendem Problem:
Folgende Aufgaben sind zu lösen:
a) Diskretisierung des Lösungsgebietes
b) Generierung der Elementintegrale
c) Erzeugung der Systemmatrizen
d) Lösung des Gleichungssystems
e) Darstellung der Ergebnisse
0
0
02
2
2
2
2
4
B
x
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Diskretisierung des Lösungsgebietes
Zur Diskretisierung wird das Lösungsgebiet in Elemente unterteilt. Die Elemente werden durch folgende Daten charakterisiert:
- globale Nummern der lokalen Knoten (Element-Knoten-Liste)
- Koordination der Knoten (Knoten-Koordinaten-Liste)
- Typ des Elementes
- Material im Element
- Randdaten des Elements oder Randelemente.
Die Daten werden in Listen gehalten. Die Erzeugung und die Überprüfung dieser
Listen ist ein Problem, das zumindest nicht einfach lösbar ist. Es gibt zwei Grenzfälle:
a) Die Daten werden elementweise eingelesen, das ist immer möglich, aber sehr aufwendig.
b) Die Daten werden halbautomatisch generiert und durch kleine Korrekturen auf aktuelle Fälle angepasst. Dies ist vor allem für häufig wiederkehrende Netze interessant.
Zur Überprüfung der Listen müssen graphische Methoden verwendet werden. Bei dreidimensionalen Problemen ist jedoch auch dieses Vorgehen aufwendig.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Diskretisierung mit 6 Elementen
Für das Beispiel sollen nur Dreiecke mit einem Ansatz 1. Ordnung verwendet werden (Typ-Angabe entfällt). Außerdem sei das Gebiet homogen (Materialangabe entfällt). Wir verwenden 5 Elemente und 7 Knoten
Die Elementknotenliste lautet dann:
Die Knotenkoordinatenliste enthält 14 Einträge. Ihre Werte sind hier nicht von Bedeutung. Für die Elemente V und VI sind Randbedingungen je für die den lokalen Knoten 1 gegenüberliegende Seite vorzugeben.
IV 4
III
IIV
I
VI
1 2 5
63
7
643
342
763452
654321
IV
III
VIII
VI
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Bildung der Elementintegrale
Verwendet man im Element einen linearen Ansatz, so gilt:
Unter Verwendung von Lagrange-Polynomen für ein Dreieck wird daraus
wo die Lösungswerte an den Dreiecksecken (Knoten) sind. Die Bestimmung des und die Bildung der Integrale über die Elementfläche kann auf verschiedene Arten geschehen.
Dazu wird auf die Literatur bzw. Teil 1 der Vorlesung verwiesen.
~i
yaxaax
o
m
21
~
yxi
i i
m
,3
1
~~
yxi
,
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Erzeugung der Systemmatrix
1 2 3 4 5 6 7
1 I1 I1 I1
2 I2 +II1 + III1 I2 +III1 II1 +III3 II1
3 I3 + III2
+ IV1 + VI1
III3 + IV1 VI1 VI1
4 II3 + III2
+ IV2 + V1
II3 + V1 IV2 + V1
5 II2 + V2 V2
6 IV3 + V3
+ VI2 + VI2
7 VI3
Zur Erzeugung der Systemmatrix müssen alle lokalen Beiträge zu einem globalen Knoten und seinen Verknüpfungen zu Nachbarknoten aufsummiert werden. Im vorliegenden Fall erhalten wir folgende Matrixstruktur:
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Analyse und Lösung
Die Matrix enthält auf allen besetzten Positionen sowohl Beiträge vom Diffusionsterm als auch vom Absorptionsterm. Dadurch wird sie zum einen weniger empfindlich gegen Maschenvergrößerung, zum anderen aber auch weniger diagonaldominant, ihre Konditionszahl verschlechtert sich (sie wird größer). Die Struktur der Matrix ist unregelmäßig und kann nicht allgemein vorhergesagt werden.
Die Eigenschaften der Systemmatrix erfordern besondere Anstrengungen zur Lösung des Gleichungssystems. Sowohl direkte als auch iterative Verfahren finden Verwendung. Als direktes Verfahren ist das Cholesky-Verfahren verbreitet.
Unter den iterativen Verfahren haben sich konjugierte Gradienten-Verfahren bewährt.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -1(von Hans Möller,Spektrum der Wissenschaften , März 1997)
Die Entwicklungsabteilungen der Automobilindustrie müssen immer umfang-reichere Leistungen in sehr kurzer Zeit und unter erheblichem Kostendruck erbringen. In den letzten Jahren hat sich hierbei die numerische Simulation als unentbehrliches Hilfsmittel etabliert, denn sie liefert die geforderten Aussagen schnell und reproduzierbar, macht Modifikationen und Variantenuntersuchungen einfach und bietet fast unbegrenzte Analysemöglichkeiten. Zudem ist sie in der Regel sehr kostengünstig.
Ihre Bedeutung wird in Zukunft noch weiter zunehmen, denn die Berechnungs-methoden werden immer noch zügig weiterentwickelt, und ein Ende des Preisver-falls für Hardware ist nicht absehbar.
Berechnet werden heute routinemäßig unter anderem Bauteilsteifigkeiten und -festigkeiten, Schwingungen und akustische Eigenschaften, das Crashverhalten, die Aerodynamik, das Fahrverhalten, die Verbrennungsprozesse im Motor, die Wärmeleitung sowie Blechumformvorgänge. Die folgenden Beispiele für Finite-Elemente-Analysen stammen aus der Karosserieentwicklung bei Mercedes-Benz.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -2
Das links abgebildete Rechenmodell der Rohkarosserie des Mercedes SLK wird für Steifigkeitsuntersuchungen eingesetzt, beispielsweise um sicherzustellen, dass sich auch dann alle Türen und Klappen einwandfrei öffnen und schließen lassen, wenn das Fahrzeug auf extrem unebenem Untergrund steht. Es besteht aus ungefähr 107.000 Schalenelementen und hat etwa gleich viele Knoten; wie für Verformungsanalysen typisch, sind die Elemente von annähernd gleicher Größe.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -3
Weil die üblichen Belastungen nur kleine Geometrieänderungen hervorrufen (geometrische Linearität), das Material im linear elastischen Bereich bleibt (Materiallinearität) und dynamische Effekte keine Rolle spielen (Statik), spricht man von einer linear statischen Analyse. Rechts die berechnete verformte Struktur. Der Deutlichkeit zuliebe sind die lokalen Verschiebungen um den Faktor 30 überhöht dargestellt. Die Einfärbung kennzeichnet ihre Größe (ansteigend von hellblau nach rot).
Für Schwingungs- und Akustikanalysen wird ein anderes Modell verwendet (unten); es besteht aus etwa 105.000 Elementen und enthält sämtliche dynamisch relevanten Komponenten des Fahrzeugs wie die Karosserie mit Einbauten, Motor und Triebstrang, die Abgasanlage sowie das Fahrwerk mit der Lenkung und das Pedalwerk.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -4
Beispiel für eine dynamische Simulation ist eine Fahrt über eine schlechte Wegstrecke. Dabei werden die Radaufstandspunkte in unregelmäßiger Weise gehoben und gesenkt (rechts).
Andere untersuchte Anregungen sind Schwingungen von Motor und Triebstrang oder Unwuchten von Rädern und Antriebswellen. Die Simulation liefert als Ergebnis zum Beispiel Beschleunigungen am Lenkrad, die für den Fahrer spürbar sein können, oder - bei einer akustischen Analyse - den nach Frequenzen aufgeschlüsselten Schalldruck am Ohr des Fahrers (unten).
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -5
Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -6
Die Berechnung eines Aufpralls konfrontiert den Ingenieur mit fast allen Problemen, die eine strukturmechanische Simulation bieten kann. Geometrische Nichtlinerarität (große Geometrieänderungen) und Materialnichtlinearität (Fließen, Reißen) sind Teil eines hoch-dynamischen Vorgangs, bei dem nicht nur Trägheits- und Dämpfungseffekte zu berücksichtigen sind, sondern auch Unstetigkeiten in den Randbedingungen (sich öffnende und schließende Kontakte zwischen Flächen) sowie Gleit- und Reibeffekte.
Das Rechenmodell für die Frontalaufprallsimulation (wieder vom Mercedes SLK) besteht aus ungefähr 84.000 Elementen. Im vorderen Bereich, wo die größten Deformationen zu erwarten sind, ist die Diskretisierung im Interesse einer möglichst genauen Abbildung besonders fein. Bereiche, die ohnehin nicht oder kaum verformt werden, kann man zur Verringerung des Rechenaufwands gröber vernetzen.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -7
Ergebnis einer typischen Seitenaufprallsimulation mit etwa 80.000 Schalenele-menten. In diesem Fall ist die Seite des Aufpralls besonders fein elementiert. Eine Barriere mit deformierbarem Stoßkopf aus Aluminiumwaben rammt das Fahrzeug seitlich mit einer Geschwindigkeit von 61 Stundenkilometern. Nach 0,07 Sekunden ist der Deformationsvorgang beendet. Ein Höchstleistungsrechner wie die CRAY T90 benötigt für die Simulation eines Frontalaufpralls etwa 10 Stunden Rechenzeit (netto) bei etwa 400 bis 500 Millionen Rechenoperationen pro Sekunde. Dabei wird der gesamte Crashvorgang von etwa einer Zehntel-sekunde Dauer in rund 170.000 Zeitabschnitten zerlegt.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Finite Elemente in der Automobilentwicklung -8
Leistungsfähige Workstations setzen die Berechnungsergebnisse in realitätsnah schattierte Bilder um (rechts: Simulation eines Aufpralls mit 50 Stundenkilometern gegen eine ebene Wand). Bei Bedarf läßt sich auch ein kompletter Film des fiktiven Ereignisses erzeugen, der die Ergebnisinterpretation erheblich erleichtert. Je nach Bedarf kann man dabei beliebige Strukturteile ein- und ausblenden; so gewinnt man Einblicke, die ein Film von einem echten Crash niemals liefern könnte. Weitere Crash-Berechnungen befassen sich mit anderen Arten des Frontal-aufpralls, dem Heckaufprall, dem Überschlag, dem Zusammenstoß zweier Fahrzeuge in unterschiedlichen Konfigurationen sowie Schlittenversuchen zur Entwicklung von Rückhaltesystemen.
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Numerische Lösung von partiellen Dglen - Volumenverfahren
1. Zonen, Maschen und Basisgebiete sind Gebiete beliebiger Form, für die integrale Bilanzierung möglich ist
2. Statt Maschen und Baisisgebiete Komponenten
3. Mittleres Verhalten aus lokalen Bilanzen
4. Euler-Diskretisierung der Zeit
5. Unregelmäßig strukturierte Gleichungssysteme primär für die Zeitfortschaltung
6. Lösen analog iterativer Verfahren - Iteration als Zeitfortschaltung
7. Darstellung von Zuständen im System
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Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 02 Teil 3 : V9 FEM
Volumen(Komponenten)basiertes Modell eines Kreislaufs
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Diese Fragen sollten Sie beantworten können
Wie löst man partielle Dglen numerisch, geben Sie die wichtigsten Methoden und ihre Unterschiede an
Was ist die Finite Elemente Methode Geben Sie die Struktur der Matrix einer diskretisierten
Helmholtz Gleichung an. Wie unterscheiden sich die Matrizen bei Diskretisierung nach FDM und FEM
Wie sind Programme zur Lösung partieller Dglen nach der FEM aufgebaut