Zur Schddinger-Gordon-Gleichung Von K . F . Novoba t zky

Inhalt subersich t Die relativistische Wellengleichung von Schrodinger und Gordon wird

nach der Methode der statistischen Gesamtheit behandelt. Es stellt sich heraus, daD sie als vollig einwandfreie relativistisch-spinlose ,,Ein-Teilchen wellenglei- chung" betrachtet werden kann, die ihren Sinn, im Gegensatz zur bestehenden Auffassung, nicht erst durch die zweite Quantelung erhiilt.

Die moderne Literatur der Quantentheorie stellt sich einheitlich auf den Standpunkt Borns , wonach die Aussagen der Theorie statistisch zu bewerten sind. Das Kennzeichen statistischer Theorien besteht nun darin, eine statistische Ge- samtheit zu definieren, um uber diese nach gewissen Regeln zu mitteln. Trotz des allgemeinen angenommenen statistischen Standpunktes findet man sondedmrer- weise kein Bestreben, die statistische Gesamtheit und ihre Eigenschaften zu er- mitteln. In einer kurzen Mitteilungl) machte ich einen Versuch in dieser Rich- tung. Dort wurde auch die spinlose relativistische Mechanik gestreift, jedoch unter der beschrankenden Annahme, daD die Ruhmasse des Teilchens sich wahrend der Bewegung nicht andere. Hier nun sol1 die Schrodinger-Gordon-Gleichung nach dem Muster von I in voller Allgemeinheit behandelt werden.

Den Ausgangspunkt bildet die relativistische Punktmechanik. Der Massen- punkt mit der Ruhmassenkonstanten m, und der Ladung e stehe unter der Ein- wirkung eines elektromagnetischen Feldes mit dem Viererpotential Qi. Dann lautet die H a m i l t o n - J a c o bische Bewegungsgleichung:

Die erste charakteristische Gleichung gibt die Vierergeschwindigkeit

C2

38, axi ist nach (1) erfullt. Elimination von - aus der ersten und zweiten charakteristi-

schen Gleichung fuhrt bekanntlich zur Bewegungsgleichung

1) Ann. Physik (6) 9, 406 (1951). In1 folgenden zitiert als I.

286 Annalen der PhysiL. 6. Folge. Band 11. 1953

Der Grundgedanke der zu schaffenden Statistik entspringt wie in I der Er- kenntnis, da13 die Wirkungsfunktion 8(zk) nach (2) ein Geschwindigkeitsfeld und dadurch die Bewegung einer unendlichen Punktmenge beschreibt, welch letztere man als statistische Gesamtheit wahlt. Schreibt man fur die stets positive Ruh- teilchendichte eo = A2, so verlangt das Verbleiben der Punktzahl das Bestehen der Kontinuitatsgleichung

A* sol1 die *4nzahl der Massenpunkte m, in der Einheit des Ruhvolumens bezeichnen. Die Gln. (1) und (3) folgen aus einem Variationsprinzip mit der Lagrange- Funktion

(4) 1 e 2 mcc21 . L = 2 A ' ~ {2*. 2 (z -7 @J + -5-1

Zu variieren sind A und S. Die Schwierigkeit, die beseitigt werden mulj, liegt darin, da13 die drei will-

kiirlichen Konstanten in der allgemeinen Losung von S die statistische Punkt- gesamtheit wesentlich beeinflussen. Die schone Bemerkung von Joos , wonach die Quantenmechanik die Mechanik ohne Integrationskonstanten sei, steht hier an der richtigen Stelle. Es gibt kaum einen anderen Ausweg, als dalj man fur A und S regulare Losungen fordert, die bekanntlich keine unbestimmten Konstanten enthalten. Ersichtlicherweise entspringt hier die Forderung der Regularitiit einer inneren Notwendigkeit und ist keine lose Zutat. Da aber die gewohnliche Mechanik die Regularitat von pa bei Bewegungen mit Umkehrpunkten ausschlieBt, mu8 eine Verallgemeinerung der Mechanik vorgenommen werden, die sehr ein- deutig durchgefuhrt werden kann. Nach dem Vorgang von I erhalt man fiir den relativistischen Fall die verallgemeinerte Lagrange -Funktion

Die daraus fliel3enden Eulerschen Gleichungen lauten

und die Kontinuitiitsgleichung (3). Bildet man aus A und S die komplexe Funktion

-ks y = A e a , (7)

so 1a.ssen sich die Hauptgleichungen (3) und (6) in der Schrodinger -Gordon- Gleichung

vereinigen. Der reelle Teil dieser Gleichung gibt (6), der imaginiire (3). Die rela- tivistische Wellengleichung (8) ist also den Gln. (6) und (3) vollkommen aqui- valent, sie beschreibt die Bewegung einer Punktmenge.

Aus dem vorhergehenden weiB man bereits, da13 nur regulare Losungen in Betracht kommen. Man hat weiter

A2 = y" y. (9)

K . F. Novobatzky: Zur Schriidinger-Gordon-Cleichung 287

Aus (7) folgt s = - l g - f w*

2 ; w Setzt man diesen Wert im Verein mit jenem von A2 aus (9) in die Kontinuitats- gleichung (3) ein, so folgt

und daraus ergeben sich die Komponenten des Viererstromes zu

Dies ist der aus der Quantenmechanik wohlbekannte Ausdruck. Wahrend aber dort seine Bedeutung als WahrscheinlichkeitsfluR axiomatisch festgelegt werden muD, folgt sie hier von selbst. sa gibt einfach die Punktmenge der Gesamtheit an, die pro see normal durch die Flacheneinheit flieRt. Je groBer diese Punktmenge ist, um so gro13er die statistische Wahrscheinlichkeit, einen hindurchstromenden Massenpunkt vorzufinden. Auf den Viererstrom sol1 im folgenden noch zuruck- gegriffen werden.

Vorerst moge gezeigt werden, daR die verallgemeinerte Jacobische G1. (6) eine durchaus klassisch-relativistische Bewegung der Punktgesamtheit beschreibt. Nach leichter Umformung hat man

Nun fuhre man die veranderliche Ruhmasse ein durch die Festsetzung

m,ZC2-52-- OA =m'2.

A '

Nach Division durch 2 mi lautet die Gleichung

Jetzt hat sie jene Form, nach der die erste charakteristische Gleichung eine Vierer- geschwindigkeit ergibt :

.). 2 - dt m;(ax, c , axj- 1 as u,=--- ---@.

(13) garantiert die Erfiillung der Bedingung 2 U: = - c2. Bezeichnet man die linke Seite von (13) fur einen Augenblick mit F , so schreibt sich die zweite charak- teristische Gleichung

aF - _-- a a s ar axi a x i *

as axj

--

In diese setzt man den Ausdruck von - , wie er aus (14) folgt, ein und bedenkt,

da13 xi in mi und @,. enthalten ist. Dann hat man

288

Links schreibt man fur -' den Ausdruck -'uk, rechts ist das erste Glied infolge

von (12) gleich -- - c . Man erhalt demnach die Bewegungsgleichung

Annaten der Physik. 6 . Folge. Band 11. 1953

a@. a@. dt Bxk

1 am; 2 ax,

E2 !JA Der Vergleich mit (2) zeigt, daB durch das Zusatzglied - - - ~ ___ in (6), das allein

von der Dichte abhangt, in der Bewegungsgleichung das Viererpotential m: c2 auf- tritt . Es moge Dichtepotential genannt werden.

Das Ergebnis 1aBt sich in der Feststellung zusammenfassen, daB die S c h r o - d i n g e r - Gor don-Gleichung die klassische Bewegung einer Punktgesamtheit be- schreibt gemal3 dem Gesetz : zeitliche h d e r u n g des Viererimpulses gleich bewegen- der Viererkraft. Nur diese Kraft selber andert sich, wie der Vergleich mit (2) zeigt, durch das Auftreten eines Dichtepotentials.

Die Wichtigkeit einer klassischen Bewegung liegt auf der Hand. Man konnte sonst die physikalischen GroBen der unklassischen Gesamtheit nicht einfach im klassischen Sinne interpretieren. Es ware z. B. ganz ratselhaft, welcher Ausdruck der unklassischen Bewegung als wirkliche kinetische Energie anzusprechen sei. Man ware d a m auch nieht sicher, ob die im stationairen Falle aus der Gleichung

- = - E entspringende GroBe E etwas mit der Energie im gewohnlichen Sinne at zu tun habe. In unserem Falle ergibt sich, wie eine leichte Rechnung zeigt

2m, A

as

eben das, was man erwarten muB. Der Umstand, daB der Ausdruck des Energie- Eigenwertes fur das H-Atom zu unrichtiger Feinstruktur fuhrt, ist also einzig dadurch bedingt, daB die Gleichung sich auf spinlose Teilchen bezieht. Selbst- verstandlich ist das nicht, wenn man bedenkt, da13 die Sommerfeldsche Ab- leitung auch keinen Spin beriicksichtigt.

Ganz nebenbei sei bemerkt, daB der Ubergang der konstanten Ruhmasse m, in die veranderliche m,' immer dann eintritt, wenn die Viererkraft vorgegeben ist, so daB die Viererarbeit nicht identisch verschwindet. 1st z. B. das Vierer- potential V(z,) gegeben, so ha t man die Bewegungsgleichungen

a av dm; aui aV oder u . - + m ~ - = - - - rn' u . = - - a t axi ' at at ax, Wird mit ui multipliziert, so folgt

V V und integriert m: = m, + - . Der Massenwert - des Viererpotentials ver-

groBert die Ruhmasse. Die Jacobische G1eichun.g dieses Problems ist $2 C2

Es muB noch kurz nachgewiesen werden, daB die G1. (3) auch jetzt, bei veranderlicher Ruhmasse, die Kont'inuitatsgleichung darstellt. Definiert man als

K . P. Novobatzky: Zur schrodinger-Gordon-Gleichung 289

Ruhdichte der Punktzahl die stets positive GroBe eo = A z - 5 , so folgt als Kon-

tinuitatsgleichung m0

d. h. die G1. (3). Dies besagt wieder die Erhaltung der Punktzahl und wenn jeder Massenpunkt mit der Ladung e behaftet ist, auch die Erhaltung der Ladung. Wohl aber nicht die der Masse, die im Sinne der GI. (12) veranderlich ist.

Nach den bisherigen Ableitungen ist man in der Lage, sich der Besprechung der Schrodinger-Gordon-Gleichung zuzuwenden. Man weiB, daB sie von D i r a c nicht anerkannt wird, weil sie in t von zweiter Ordnung ist. Man weiB auch, daB sie von P a u l i und WeiBkopf akzeptiert wird, allerdings mit einer von der gewohnlichen sehr abweichenden Interpretation. Den Stein des AnstoBes bildet die Formel (11). Aus ihr folgt fiir i = 4

Da die Gleichung in t oder x, von zweiter Ordnung ist, kann fur einen gegebenen

Zeitpunkt sowohl y wie !!! frei gewahlt werden und dadurch laBt sich sicherlich

erreichen, daB der Ausdruck rechts fur diesen Zeitpunkt negativ imaginar wird. Das gibt eine negative Dichte e, d. h. die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in der Umgebung eines vorgegebenen Ortes anzutreffen, wird negativ. Deshalb wird dem y die Fahigkeit abgesprochen, den Zustand eines Teilchens zu beschreiben. (Siehe z. B. das ausgezeichnete Lehrbuch von A. March, 1951, S. 177). Vom reinen y-Standpunkt aus laBt sich dagegen nichts einwenden. Man kann sich auch keine Rechenschaft dariiber ablegen, von wo die Absurditat eigentlich herstammt. Nach unserer Darstellung tritt die Sache klar zutage. Die y-Funktion beschreibt die Bewegung einer Punktgesamtheit, es hat also sowohl die Ruhdichte Po, als auch die Systemdichte e einen guten Sinn. Die zwei Grol3en hangen durch die Gleichung

3x4

zusammen. Da nun Po immer positiv ist, kann e nur dadurch negativ werden,

daB man f l - ca mit negativem Vorzeichen, oder anders ausgedriickt, u, nega-

tiv imaginar wahlt. Dann aber hat man eine ganze Menge von Absurditaten. Dann fallt die Systemlange eines MaBstabes von positiver Ruhlange negativ aus und ebenso die Systemzeitspanne einer positiven Ruhdauer. Man iibersieht jetzt, daB die Wurzeln des negativen e-Wertes nicht in physikalische Tiefen hinabreichen. Nolens volens mu13 man sich d a m bequemen, der GI. (8) den Satz beizufugen, dalS die Anfangswerte den Ausdruck (16) nicht negativ imaginslr machen diirfen. D a m ist alIes in Ordnung.

Es 1aDt sich auch auf andere Weise sehr eindringlich zeigen, da13 u,, oder nach (14)

V2

--- as @, positiv imaginslir sein niu13. Denn nur dann geht die relativistische a , c GI. (8) durch den Grenziibergang c + 00 in die unrelativistische Schrodinger-

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Gleichung uber. Die Moglichkeit dieses Uberganges mu13 unbedingt gefordert nerden. Aus (6) folgt

Annalen der Physik. 6. Folge. Band 11. 1953

oder

Man braucht nur bis zum zweiten Gliede zu entwickeln, denn die iibrigen ent- lialten c im Nenner und fallen beim Grenzubergang weg. Aus OA wird A A . Zu beachten ist noch, daR m, c2 = Eo die Ruheenergie bedeutet, die als gegebene GroBe keinem Grenziibergang unterworfen werden kann. Man hat demnach f u r C + o O

Der rechtsseitige Ausdruck mu13 mit positivem Vorzeichen auf der linken Seite stehen, um nach 1(9) die Schrodinger-Gleichung zu ergeben. Also ist das

obere Vorzeichen das richtige, auch in (17). - --04, d. h. u, mu13 positiv

imaginar sein. Zu bemerken ist noch, daR bei dem Grenziibergang auch die Kon- tinuitiitsgleichung (3) in die entsprechende I (10) iibergeht.

Aus (18) folgt noch etwas sehr Interessantes.' Man setze dem stationaren Fall

gemall -=-E und streiche e @ . Dann bedeutet E die kinetische Energie und

die Gleichung gibt mit unterem falschen Vorzeichen

a.9 e ax, c

a s at

Die kinetische Energie konnte also negativ sein wie bei Di rac . Der Unterschied ist aber, da13 bei D i r a c die negative kinetische Energie mit der stets positiven Dichte verkniipft ist, wahrend hier negative Energie nur bei negativer Dichte a.uftreten kann. Dies steht im Einklang mit dern Energieausdruck E = e @ 4-

m; c2 p:; V' - Die bekannte Interpretation, da13 e infolge des moglichen Doppelvorzeichens

nur eine elektrische Dichte bedeuten konne, ist sicher nicht stichhaltig. Der Massenpunkt braucht ja uberhaupt keine Ladung zu haben und statt des elektro- magnetischen Feldes kann man eine beliebige Massenwirkungskraft einfuhren. Sol1 die Schrodinger-Gordon-Gleichung dann einfach sinnlos werden '1 Nach den obigep Ausfiihrungen nicht. Auch darf die Gleichung nicht niit Zerstrahlung in Zusammenhang gebracht werden. Das laBt die Punktzahl-Kontinuitats- gleichung (3) nicht zu.

Ebenso wichtig, wie die Definition der statistischen Gesamtheit ist die der Mittelung. Es sol1 dariiber kurz gesprochen werden, auch wenn dabei vie1 Bekanntes

K . F. Novobatzky: Zur Schrodinger-G~don-Gleichung 291

unterlauft. Aus der Homogenitat und Linearitat der G1. (8) folgt sofort der Operatorenbegriff. Der Vergleich von (8) mit (1) zeigt die bekannte Entsprechung

Jeder Phasenfunktion F(x , p ) ist daher ein Operator Q zugeordnet. Es leuchtet unmittelbar ein, daD der klassische Mittelwert P = sFedVoder __- F = f F Q d V , wenn der Nenner auf 1 normiert wird, absolut nicht in Betracht kommen kann. Denn durch das Dichtepotential werden die gegebnen aul3eren Krafte so umge- andert, geradezu verfalscht, da13 der klassische Mittelwert total falsche Werte er- geben wiirde. Betrachte man z. B. eine Eigenfunktion des linearen Oscillators

- S e d V

- - f -Ent H , ist das n-te Hermitesche Polynom. Da der Faktor von e a reel1 ist, besteht X aus dem Ausdruck --En 1. Der Impuls px = -verschwindet, die statistische Ge- samtheit ist eine unbewegliche, starre Punktmenge, deren Dichte nach rechts und links exponentiell abfallt. Man sieht klar den EinfluB des Dichtepotentials, das das elastische Potential abdrosselt. Diese leblose Punktmenge sol1 die statistische Gesamtheit fur den schwingenden Oscillator abgeben. Die Mittelwerte von px, pz . . . pg nach der gewbhnlichen Weise: 2 = f AzpZ dx berechnet, wiirden sich samtlich zu Null ergeben, wahrend doch schon die unmittelbare Anschauung zeigt, da13 p z nicht Null sein kann. Die Mittelwertsbildung mu13 abgeandert werden. Das ,,wie" folgt eindeutig aus dem plausiblen Axiom, dal3, wenn Q den Operator von F bedeutet, keine anderen Werte von F geniessen werden konnen, als jene An, die der Eigenwert-Gleichung

as 3X

Q P ~ = J n P R (19)

entspringen. Die Bewegung der Punktgesamtheit besitzt den groDen Iorteil, da13 sie durch eine einzige Funktion y (x, y, z, t ) beschrieben werden kann. Wird nun y nach den pk entwickelt :

w = 2 pht (20)

so konnte man vielleicht im ersten Augenblick geneigt sein, uk als jenes Ma13 zu betrachten, mit dem die Gesamtheit p, in y vertreten ist. Da aber u, im allge- meinen komplexist,auflerdemnicht fur diea,,wohlaberfur die laklzgilt: 2 1, so wird man lu,l2 als jenes Ma13 betrachten. Mit p, ist natiirlich auch die Gro13e A, mit dem Gewicht lukj2 in y enthalten. Der Mittelwert der GroBe P in der y-Ge- samtheit wird demnach F = 2 A,. LaDt man auf (20) den Operator Ll ein- wirken, so ergibt sich Q y = 2 a, Ak pPR. Aus (20) folgt noch y* = 2 ut &. Multipliziert man die zwei letzten Gleichungen und integriert iiber den Konfi- gurationsraum, so erhalt man f y * Q y dV = 2 Iuv/21k = F, also den gesuchten Mittelwert. Hervorgehoben sei, daD die zu A, gehorige Eigenfunktion vk eine Ge- samtheit beschreibt, in der jeder einzelne Massenpunkt als Betrag der physikali- when GroDeP den nurnerischen Wert 2, aufweist. 1st pk z. B. Energieeigenfunktion, so besitzt jeder Punkt der Gesamtheit dieselbe Energie 1,.

-

292 Annalen der Physik. 6 . Fo1g.e. Band 11. 1953

Dieser kleine Abschnitt, der nichts Neues enthalt, wurde nur deshalb hierher- gesetzt, um zu zeigen, wie sich der statistischen Gesamtheit die Mittelwertsbildung organisch anschlieBen la&.

Das Dichtepotential, das die Bewegung radikal beeinflufit und die unklassische Bildung des Operatorenmittelwertes gleichen sich sozusagen gegenseitig aus und ergeben z. B. auf die starre Punktgesamtheit des Oscillators angewandt, die be- kannten zutreffenden Mittelwerte.

Ein sehr lehrreiches Beispiel dafiir, in welchem MaBe das Dichtepotential die Quantenmystik klassisch verstandlich macht, bietet die GI. I (9) . Fur den sta-

Sie besagt, daB die Energie E eines Teilchens der Gesamtheit keineswegs nur aus der kinetischen und der potentiellen Energie des au13eren Kraftfeldes besteht,

sondern auch aus dem Dichtepotential- - ~ AA . Man hat hier sofort die klassische

Erkllrung des Tunneleffektes. Es ist das Dichtepotential, das den Massenpunkt iiber die Schwefle hebt und verliindert, da13 die kinetische Energie negativ werde.

Zusammenfassend kann man feststellen, da13 die Methode der statistischen Ge- samtheit die Schrodinger- Gordon-Gleichung als korrekte spinlose ,,Ein-Teil- chen-Wellengleichung" charakterisiert. Allerdings unter der besprochenen, selbst- verstandlichen Anfangswert-Bedingung.

Fur die stationaren Eigenfunktionen gibt es allerdings keine Anfangswerte. D a m ist folgendes zu beachten. Die richtige relativistische Wellengleichung ist (17) mit oberem Vorzeichen im Verein mit der Kontinuitatsgleichung (3). Die S c h r o d i n g e r - Go r d o n - Gleichung ist keine einfache Zusammenfassung dieser zwei Gleichungen, sondern entMlt (17) in quadrierter, rationaler Form. Man mu13 also die Losungen der rationalen Gleichung in die irrationale (17) einsetzen,

e2 um uber ihre Giiltigkeit zu entscheiden. Z. B. fiihrt das Repulsionspotential 7 (Proton-Positron) im stationaren Falle zu negativer Dichte. Folgerung : fur dieses Potential gibt es keine stationaren Zustande.

I n diesem Sinne ist die S c h r o d i n g e r - G o r d o n - G l e i c h u n g die richtige Ein-Teilchen-Wellengleichung spinloser Partikeh. Sie hat auch ohiie Super- quantehng ihren guten Sinn.

2 m A

B u d a p e s t , Physikalisches Institut der Universitat.

(Bei der Redaktion eingegangen am 27. August 1952.)