Embed Size (px)
Citation preview
Die Theorie der mathematischen Die Theorie der mathematischen Billards und die mathematische Billards und die mathematische
Theorie des BillardsTheorie des Billards
Die Gesetze des Die Gesetze des BillardsBillards
Das Gesetz der elastischen Reflexion
90°
Das Gesetz des
elastischen Stoßes 6
6
Der Winkel des Fallens ist dem Winkel der Reflexion gleich
Bei dem nicht zentralen Stoß sind die Bahnen der Kugeln immer senkrecht
Die Beispiele der Die Beispiele der BillardsBillards
Die Theorie der mathematischen Billards (TMB) ist eine der jüngsten Richtungen der Mathematik (1970). Ihr Autor ist J. G. Sinaj – heutzutage Professor der Prinstonski Universität, der Enkel des Gründers der Russischen Schule der Differentialgeometrie W. F. Kagan
Das Billard im KreisDas Billard im Kreis
n
mπα 2=α
Kriteriale Gleichung
Am meisten studiert ist das Billard im Kreis
Das Billard in der Das Billard in der EllipseEllipse
constMFMF =+21
Über viele interessante Eigenschaften verfügt das Billard in der Ellipse
Die erste Die erste Billardeigenschaft der Billardeigenschaft der
EllipseEllipse
21nMFmMF ∠=∠
1F
2Fm
M
n
Wenn die Bahn der Kugel durch einen Fokus geht, verläuft sie auch durch den zweiten Fokus der Ellipse
Die scheinbare Die scheinbare SonneSonne
Der Beobachter auf der Erde
Die Sonne
Der elliptische Spiegel
Die scheinbare Sonne
Wenn sich die Sonne im Fokus des elliptischen Spiegels befindet, so wird der Beobachter von der Erde zwei Sonnen sehen: eine reale und eine scheinbare
Die Effekte der ersten Die Effekte der ersten Billardeigenschaft der EllipseBillardeigenschaft der Ellipse
М
АB
Die zweite Die zweite Billardeigenschaft der Billardeigenschaft der
EllipseEllipse
ε
Wenn die Bahn der Kugel durch den Fokus den geht, so werden die nachfolgenden Glieder der Bahn asymptotisch nach der großen Achse
der Ellipse streben
Die dritte Die dritte Billardeigenschaft der Billardeigenschaft der
EllipseEllipse
Kaustik
Die Bahnen der Kugeln in der Ellipse betreffen entweder die konfokale Ellipse, oder den konfokalen Hyperbel
Die Konstante der Die Konstante der KaustikKaustik
d
z
y
x
c
b
a
a + b + y + z = c + d + z + x = const
Die Aufgabe über die Die Aufgabe über die Beleuchtung des nicht Beleuchtung des nicht
konvexen Gebieteskonvexen Gebietes
Die Aufgabe über die Beleuchtung des nicht konvexen Gebietes ist TMB eng verbunden
Die HypotheseDie Hypothese :: jedes nicht jedes nicht konvexe Polygon kann man konvexe Polygon kann man
von einer willkürlichen von einer willkürlichen Quelle beleuchtenQuelle beleuchten
Der genaue Beweis dieser Hypothese ist noch nicht geschaffen
««Das TelefonDas Telefon»»
RohrRohr
Rohr
Gebiet
Hörermuschel
Grübchen
Um das Gebiet zu beleuchten, das aus 2N Telefone bestehet, wird 2N Lämpchen nicht genug
Das Gesetz der gleitenden Das Gesetz der gleitenden AnziehungAnziehung
Das Gebiet der
Anziehung
Das Gesetz der elastischen Reflexion wird mit dem Gesetz der gleitenden Anziehung ersetzt. Jedes Glied der Bahn der Kugel soll das
Gebiet der Anziehung betreffen
Kriteriale Gleichung Kriteriale Gleichung eines Dreieckes eines Dreieckes
( ) 22122
2 RRRd −=+
d
2R
21 RR −
S
Wenn im Billard des Kreises das Gebiet der Anziehung auch ein Kreis ist und existiert eine dreigliedrige geschlossene Bahn, so wird jede
andere Bahn auch dreigliedrig und geschlossen sein
Kriteriale Gleichung Kriteriale Gleichung eines Viereckes eines Viereckes
( ) ( ) 022 22
21
21
222
21
4 =−++− rrrdrrd
( ) ( ) 22
21
21
111
rdrdr=
−+
+
Die Zentren der Gebiete der Anziehung der dreigliedrigen und viergliedrigen Bahnen stimmen überein
Das Kriterium der Das Kriterium der Konzentrizität Konzentrizität
21
2212
2 RR
RRr
−=
constd =
11 rR =
Das Das ««goldenegoldene» » KriteriumKriterium der der KonzentrizitätKonzentrizität
√ Ф
Ф
Ф
Ф²1
1Ф²
1√ Ф
2rd =Wenn das Zentrum des Billards dem viergliedrigen Kreis der Anziehung
gehört, dann werden die Beziehungen der Radien „golden“
Die Aufgabe über zwei Die Aufgabe über zwei BehälterBehälter
0 11
7
Mit Hilfe der TMB werden die Aufgaben für das Umgießen anschaulich gelöst. Hier nehmen die Behälter 7 und 11 – Liter teil. Man muss zwei Liter abmessen. Das Wasser kann man aus dem großen Fass schöpfen. Das Wasser kann man auch in dieses Fass ausgießen.
Die geometrische Theorie Die geometrische Theorie des Visiersdes Visiers
Der Kreis des Visiers
R = 2r
r
R
Der Punkt des Visiers
А
Der Punkt A ist ein verbreiteter Fehler. Mit der seltenen Ausnahme kann sie kein Punkt des Visiers sein.
««FremdFremd» - «» - «EigenEigen»»
Die Punkte des Visiers
Das DoubleDas Double««FremdFremd» - «» - «EigenEigen»»
Der Punkt des Abprallers
Die scheinbare Kugel (Spiegelbild von Bord) und der Kreis des Visiers sind mit punktierter Linie dargestellt.
AbrikolAbrikol « «FremdFremd» - » -
««EigenEigen»»
KarambolKarambol « «FremdFremd» - » -
««EigenEigen»»
Die Meisterschaft im Billard Die Meisterschaft im Billard in Nigeriain Nigeria
