D. Totaro & C. Spannagel

Dem Zufall auf der Spur…

Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013

D. Totaro & C. Spannagel

D. Totaro & C. Spannagel

Was haben diese Sachen gemeinsam?

Röntgenstrahlen

Klettverschluss

Mikrowelle

D. Totaro & C. Spannagel

Serendipität

…bezeichnet eine zufällige Beobachtung von etwas ursprünglich nicht Gesuchtem, das sich als neue und überraschende Entdeckung erweist.

Vgl.: http://de.wikipedia.org/wiki/Serendipit%C3%A4t, Bild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:CristobalColon.jpgBild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Penicillin_cures_gonorrhea.jpgBild by: Pavel Krok: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Post-It.jpg&filetimestamp=20051031161232 - CC-BY-SA

D. Totaro & C. Spannagel

Welche großen Zufälle haben Sie schon erlebt?

D. Totaro & C. Spannagel

„Auch der Zufall ist nicht unergründlich, er hat eine Regelmäßigkeit.“ (Navalis 1797)

Aber welche???

D. Totaro & C. Spannagel

Laplace und statistische WahrscheinlichkeitMehrstufige Zufallsexperimente

Übersicht

D. Totaro & C. SpannagelBild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gambling-ca-1800.jpg

Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung

D. Totaro & C. Spannagel

Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Untersuchung von Vorgängen mit zufälligen Ausgängen.

Eigenschaften eines Zufallsexperiments:

1. Alle möglichen Ergebnisse des Experiments sind vorab bekannt.2. Das Ergebnis eines einzelnen Experiments kann nicht vorhergesagt werden (Zufälligkeit).3. Das Experiment kann unter identischen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden.

Definition

http://de.wikipedia.org/wiki/Zufallsexperiment

D. Totaro & C. Spannagel

Ergebnismenge

Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SABild by Alborzagros: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:1_EURO_RE-15.jpeg CC-BY-SABild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SA

=

=

=

D. Totaro & C. Spannagel

Ereignisse

Ereignisse sind Teilmengen der Ergebnismenge.

Bsp.: Würfeln mit einem Würfel

E1 =

Ein sicheres Ereignis ist E = Ein unmögliches Ereignis ist E =

=

Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SA

D. Totaro & C. Spannagel

Laplace

Bild by: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pierre-Simon_Laplace.jpg

Wenn bei einem Zufallsexperiment alle Ergebnisse gleichberechtigt sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit P (E) für das

Ereignis E definiert durch

Anzahl der günstigen FälleAnzahl der möglichen Fälle

„Klassische Wahrscheinlichkeit“

D. Totaro & C. Spannagel

Berechnen der Wahrscheinlichkeiten für:…das Würfeln einer 6:

…das Würfeln einer 1 oder einer 6:P () = P ( P ( = + =

Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

16

D. Totaro & C. Spannagel

Alle Würfelergebnisse sind gleichwahrscheinlich.

Aber werden sie auch gleich häufig gewürfelt?

Alle Würfelergebnisse sind gleichwahrscheinlich.

Aber werden sie auch gleich häufig gewürfelt?

Gesetz der großen Zahlen

D. Totaro & C. Spannagel

Ein Laplace-Experiment ist ein Experiment, bei dem die Annahme der Gleichwahrscheinlichkeit sinnvoll ist.

Laplace-Experiment

Bild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SA

D. Totaro & C. Spannagel

Welches sind Laplace-Experimente?

Würfeln mit zwei Würfeln und Addition der Augenzahlen. =

Werfen einer Münze (Kopf oder Zahl) =

Werfen einer Reißzwecke und dem Betrachten: Liegt auf dem Kopf oder auf der Seite =

Bild by Gaz: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dice.jpg CC-BY-SABild by Alborzagros: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:1_EURO_RE-15.jpeg CC-BY-SABild by: Honina: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gl%C3%BCcksrad.PNG?uselang=de CC-BY-SABild by: Simon A. Eugster: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Thumbtacks_color.jpg&filetimestamp=20100622173445 CC-BY-SA

Drehen an diesem Glücksrad =

D. Totaro & C. Spannagel

Wie kann man die Wahrscheinlichkeit bei NICHT

Laplace- Experimenten berechnen?

D. Totaro & C. Spannagel

Liegt aufgrund einer Asymmetrie des Zufallsgenerators keiner Gleichverteilung vor, so kann man die relative Häufigkeit für das Ereignis A aus einer langen Versuchsreihe als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A wählen:

P(A)=

Statistische Wahrscheinlichkeit

1

2

Anzahl der Versuche mit dem Ereignis AGesamtzahl n der Versuche

D. Totaro & C. Spannagel

Übersicht

Laplace und statistische WahrscheinlichkeitMehrstufige Zufallsexperimente

D. Totaro & C. Spannagel

…ist eine Hintereinanderausführung von endlich vielen Zufallsexperimenten mit Ergebnismengen 2,… n.

Die Ergebnismenge des mehrstufigen Zufallsexperiments ist die Produktmenge:

= 2 … n

Ein mehrstufiges Zufallsexperiment

D. Totaro & C. Spannagel

BaumdiagrammIn einer Urne sind 10 Kugeln. Man zieht nacheinander zwei Kugeln ohne Zurücklegen.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für folgende Ergebnisse:

• Die erste Kugel ist blau.• Beide Kugeln haben die gleiche Farbe.• Die zweite Kugel ist rot oder weiß.• Die erste Kugel ist nicht weiß, und die zweite grün.