D. Totaro & C. Spannagel

Mengen

Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013

D. Totaro & C. Spannagel

D. Totaro & C. Spannagel

Menge

Photo by Stephan Kulla (derivate work), CC-BY 3.0 http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Veranschaulichung_einer_Menge.svg&filetimestamp=20110302234450

D. Totaro & C. Spannagel

Menge

Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.(Georg Cantor, 1895)

Beispiel: A={1,2,3}

D. Totaro & C. Spannagel

Beispiele für Mengen

• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum

• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit

D. Totaro & C. Spannagel

Gleichheit und Teilmengenbeziehung

• Mengengleichheit: • Teilmengenbeziehung:• Echte Teilmenge:

D. Totaro & C. Spannagel

• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum

• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit

Gleichheit und TeilmengenbeziehungMengengleichheit: Teilmengenbeziehung:Echte Teilmenge:

D. Totaro & C. Spannagel

Mengenoperationen

Schnitt

M N

𝑀∩𝑁

Vereinigung

M N

𝑀∪𝑁

Differenz

𝑀 ¿M N

D. Totaro & C. Spannagel

• A={1,2,3} B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={} D={☼} E={3} F={1,3}• H= I=• J={20, 21, 22, 23, …} K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit

Mengenoperationen

Schnitt

M N

𝑀∩𝑁

Vereinigung

M N

𝑀∪𝑁

Differenz

𝑀 ¿M N

D. Totaro & C. Spannagel

Zeigen Sie mit Venn-Diagrammen:

𝐴∪ (𝐵∩𝐶)=( 𝐴∪𝐵)∩(𝐴∪𝐶)

( 𝐴∪𝐵 )∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶 )

C ¿ (𝐴∪𝐵¿)=(𝐶 ¿)∩(𝐶 ¿)

𝐴∪ ( 𝐴∩𝐵 )=𝐴

D. Totaro & C. Spannagel

Mächtigkeit von Mengen

• Mächtigkeit von M: |M|

• Beispiele: • A={a,b,c,d}, |A|=4• B={3}, |B|=1

D. Totaro & C. Spannagel

• A={1,2,3}• B={a,b,C,x,z,3,s,d}• C={}• D={☼} E={3} F={1,3}• G=Die Menge aller Personen jetzt in diesem Raum

• H=• I=• J={20, 21, 22, 23, …} • K={1, 2, 4, 8, …}• L=es gibt ein mit

Mächtigkeit von Mengen

D. Totaro & C. Spannagel

Mit der Unendlichkeit holenwir uns jedoch jede Menge

Probleme ins Haus…

D. Totaro & C. Spannagel

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 10

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

…

Die natürlichen Zahlen

D. Totaro & C. Spannagel

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 10

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

…

Wie viele Quadratzahlen gibt es?

D. Totaro & C. Spannagel

Angenommen, wir können nicht zählen…

D. Totaro & C. Spannagel

„Jeder wohl definierten Menge kommt… eine bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn sie sich gegenseitig eindeutig, Element für Element, einander zuordnen lassen.“

Angenommen, wir können nicht zählen…

D. Totaro & C. Spannagel

Quadratzahlen und nat. Zahlen

11 14 19 16 25 36 49 64 81 …

21 22 23 24 25 26 27 28 29 …

D. Totaro & C. Spannagel

1 2 3 4 50-1-2-3-4-512 34 56 78 910 11……

ℕℤ

……

Ganze Zahlen und natürliche Zahlen

D. Totaro & C. Spannagel

0 112

14

38

1146734537282454738 ℚ

Aber es gibt mehr Bruchzahlen… oder?

D. Totaro & C. Spannagel

12

13

14

15

11

22

23

24

25

21

32

33

34

35

31

42

43

44

45

41

1

2

3 54

1

2

3

4

5 52

53

54

55

51

Nö.

D. Totaro & C. Spannagel

„… als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat.“(Henri Poincaré; 1854-1912)

„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können." (David Hilbert; 1862-1943)

Georg Cantor (1845-1918)

D. Totaro & C. Spannagel

1 2 3 4 5 6 7 8

…

Hilberts Hotel

D. Totaro & C. Spannagel

1 2 3 4 5 6 7 8

…

Hilberts Hotel: Bus mit unendlichvielen Personen kommt…

D. Totaro & C. Spannagel

Hilberts Hotel: Unendlich viele Busse mit jeweils unendlich vielen Personen kommen…

1 2 3 4 5 6 7 8

…