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Dimension und Multiplizität von D-Moduln

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Page 1: Dimension und Multiplizität von D-Moduln

Dimension und Multiplizitat

Heinrich Hartmann

Juni 2006

Generalvorraussetzungen. Im gesamten Vortrag bezeichne k einen Korper der Charakteristik0.Es sei k[x1, . . . , xn] der Polynomring und An(k) = k <x1, . . . , xn, ∂1, . . . , ∂n > die Weil Algebrain n Variablen mit der kanonischen Filtration Ti = k <xα∂β | |α|+ |β| ≤ i>

Definition 1. Eine graduierte k-Algebra ist ein Ring S zusammen mit einer Zerlegung S =⊕∞i=0 Si als (additive) ablsche Gruppe, mit:

∀ s ∈ Si, t ∈ Sj st ∈ Si+j

Eine graduierter Modul uber S ist ein S-Modul M zusammen mit einer Zerlegung M =⊕∞

i=0 Mi

als ablsche Gruppe, mit:∀ s ∈ Si, m ∈ Mj sm ∈ Si+j

Beispiel 2. k[x1, . . . , xn] =⊕∞

i=0 k < xν | |ν| = i > ist ein graduierte k-Algebra.

Satz 3. Sei M =⊕∞

i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Dann existiert einPolynom P ∈ Q[X] so, dass

i∑j=0

dimk(Mj) = P (i)

fur alle i >> 0.

Beweis. Induktion nach n, der Anzahl der Variablen xi. Sei n = 0. Nach Vorraussetzung ist M einendlich dimensionaler k-Vektorraum. Also konnen nur endlich viele Mi unglich 0 sein. Es ist damit

i∑j=0

dimk(Mj) = dimk M

fur alle i >> 0.Sei die Behauptung fur endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln bereits gezeigt. Sei nun M =

⊕∞i=0 Mi

ein endlicher k[x1, . . . , xn]-Modul. Setze K := ker(xn· : M → M) ⊂ M und N := M/xnM .Sowohl K als auch N sind endliche k[x1, . . . , xn]-Moduln und da sie von xn annulliert werden, sindsie bereits endliche k[x1, . . . , xn−1]-Moduln. Da xn homogen (vom Grad 1) tragen sie außerdemeine naturliuche Graduierung: K =

⊕∞i=0(Mi ∩ K) =:

⊕∞i=0 Ki und N =

⊕∞i=0(Mi/xnMi−1) =:⊕∞

i=0 Ni. Damit ist die Induktionsverraussetzung fur N und K erfullt. Seien nun P,Q ∈ Q[X]Polynome mit

∑ij=0 dimk(Kj) = P (i) und

∑ij=0 dimk(Nj) = Q(i) fur alle i >> 0. Damit ist auch

dimk Ki = P (i) − P (i − 1) =: p(i) und dimk Ni = Q(i) − Q(i − 1) =: q(i) fur große i durch einPolynom gegeben.Wir haben fur i ∈ N0 exakte Sequenzen:

0 → Ki → Mi → xnMi → 0

0 → xnMi → Mi+1 → Ni+1 → 0

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Also gilt: dimk Mi = dimk Ki + dimk xnMi und dimk Mi+1 = dimk xnMi + dimk Ni+1. Subtrahiertman die beiden Gleichungen so erhalt man: dimk Mi+1−dimk Mi = dimk Ni+1−dimk Ki = p(i+1)−q(i) =: h(i) mit einem Polynom h ∈ Q[X]. Nach dem nachsten Lemma ist nun das diskrete IntegralH(j) =

∑i−1j=0 h(j) = dimk Mi von h wieder ein rationales Polynom womit der Satz bewiesen ist.

Lemma 4. (vgl. Hartshorne Algebraic Geometry, S.49) Ein numerisches Polynom ist ein PolynomP ∈ Q[X] mit der Eigenschaft, dass P (n) ∈ Z fur große n ∈ N.

1. Ist P ein solches, dann gibt es ganze Zahlen c0, . . . , cr sodass:

P (X) = c0

(X

r

)+ c1

(X

r − 1

)+ · · ·+ cr (1)

Insbesondere ist P (n) ∈ Z fur alle n ∈ Z.

2. Ist f : Z → Z eine beliebige Funktion, deren Differenzfunktion ∆f := f(n + 1) − f(n) einnumerisches Polynom Q(n) ist. So ist auch f selbst ein numerisches Polynom P (n) fur großen.

Beweis. zu 1. Mit Induktion nach dem Grad von P . Fur grad Null ist die Behauptung trivial. Da(xr

)= xr/r! + . . . konnen wir P auf jeden Fall in der obigen Form schreiben, falls wir ci aus Q

wahlen. Betrachten wir nun ∆P (x) = P (x + 1)− P (x), so erhalten wir mit ∆(xr

)=

(x

r−1

):

∆P = c0

(x

r − 1

)+ c1

(x

r − 2

)+ · · ·+ cr (2)

Dies ist nun ein numerisches Polynom vom Grad r − 1, nach Induktionsvorraussetzung sind alsoc0, . . . , cr−1 ∈ Z. Doch nun folgt sofort cr ∈ Z, da P (n) ganzzahlig wird fur große n.zu 2. Schreibe Q wie in (1), dann setze

P = c0

(x

r + 1

)+ c1

(x

r

)+ · · ·+ cr

(x

1

)(3)

Nun ist ∆P = Q, und damit ∆(f − P )(n) = 0 fur große n. Also ist (f − P ) eine Konstante cr+1

fur große n und es gilt f = P + cr+1.

Definition 5. Sei M =⊕∞

i=0 Mi eine endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul. Das PolynomP = adX

d + · · · + a0 aus dem letzten Satz heißt Hilbertpolynom von M. Wir sagen Grad(P ) =:d(M) ist die Dimension und die ganze Zahl(!) d! ad =: e(M) die Multiplizitat von M .

Bemerkung 6. Aus dem Beweis des Satzes folgt, dass d(M) ≤ n der Anzahl der Variablen xi.

Korollar 7. Sei Γ eine gute Filtration eines (endlichen) An(k)-Linksmoduls M . Dann existiert einPolynom P ∈ Q[X] mit dimk Γi = P (i) fur große i.

Beweis. grΓ(M) ist ein endlicher graduierter k[x1, . . . , xn]-Modul und da grΓ(M) ∼= M als k-Vektorraum folgt die Behauptung.

Wir wollen nun Dimension und Multiplizitat fur einen endlichen An(k)-Modul definieren. Dazumussen wir sicherstellen, dass Grad und Leitkoeffizient von P nicht von der gewahlten Filtrationabhangen.

Lemma 8. Seien Γ,Γ′ zweit gute Filtrationen eines An(k)-Linksmoduls M . Dann gibt es eine Zahlb ∈ N0 mit Γ′i−b ⊂ Γi ⊂ Γ′i+b.

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Beweis. Es reicht Γi ⊂ Γ′i+b fur ein geeignetes b ∈ N0 zu zeigen. Da Γ eine gute Filtration istgibt es eine Zahl a ∈ N so, dass grΓ(M) von Γ(0) ⊕ · · · ⊕ Γ(a) als gr(An(k))-Modul erzeugt wird.Wahlt man nun m ∈ Γi \ Γi−1 fur i ≥ a so ist γ(m) ∈ T (i)Γ(0) + · · · + T (i − a)Γ(a) (wobeiγ : Γi → Γ(i) = Γi/Γi−1 die kanonische Projektion bezeichnet). Setzen wir nun

Ri := TiΓ0 + · · ·+ Ti−aΓa

so gilt demnach Γi ⊂ Ri + Γi−1 fur alle i ≥ a. (Wahle ein Urbild m′ von γ(m) in Ri, dann istγ(m−m′) = 0 und m unterscheidet sich von m′ durch ein Element von Ker(γ) = Γi−1)Da fur j ≤ i : Rj ⊂ Ri und Γa = Ra folgt induktiv sogar: ∀ i ≥ a : Γi ⊂ Ri.Betrachte nun (Γ′i ∩ Γa)i ist eine aufsteigende Folge von Unterraumen des endlich dimensionalenk-Vektorraums Γa und da

⋃Γ′i = M gibt es eine Zahl b ∈ N mit Γa ⊂ Γ′b. Ist nun 0 ≤ j ≤ a und

i ≥ a so istTa−jΓj ⊂ Ta−jΓa ⊂ Ta−jΓ′b ⊂ Γ′a+b

und damit Γi ⊂ Ri ⊂ Γ′a+b fur alle i ≥ a. Zusammengefasst gilt also fur i < a:

Γi ⊂ Γa ⊂ Ra ⊂ Γ′b ⊂ Γ′a+b

was das Lemma beweist.

Definition 9. Sei M ein endlicher An(k)-Linksmodul. Wahle eine gute Filtration Γ. Nach Korollar7ist dimk Γi fur große i durch ein Polynom PΓ(X) = adX

d + · · ·+a0 gegeben, dessen Grad und Leit-koeffizient nach Lemma 8 nicht von der gewahlten Filtration abhangen. Setze also die Dimensiond(M) := d und die Multiplizitat e(M) := d! a0.

Satz 10. Sei 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 eine exakte Sequenz endlicher An(k)-Linksmoduln. Danngilt: d(M) = max{d(M ′), d(M ′′)} und falls d(M) = d(M ′) = d(M ′′) so ist e(M) = e(M ′) + e(M)′′.

Beweis. Sei Γ eine gute Filtration von M . Γ induziert vermoge Γ′i := Γi ∩ M ′ und Γ′′i := Γi/Γ′iFiltrationen auf M ′ bzw. M ′′. Insbesondere ist 0 → Γ′i → Γi → Γ′′i → 0 eine exakte Seqenz vonendlichen k-Vektorraumen und somit dimk Γi = dimk Γ′i + dimk Γ′′i . Es reicht also zu zeigen, dassΓ′ und Γ′′ gute Filtrationen sind. Denn dann folgen aus P = P ′ + P ′′ die Behaupteten Relationender Grade und Leitkoeffizienten.Betrachte dazu 0 → grΓ′(M ′) → grΓ(M) → grΓ′′(M ′′) → 0. Diese exakte Sequenz von gr(An(k))-Moduln ist exakt, nach Definition von Γ′ und Γ′′. Da Γ gute Filtration folgt grΓ(M) endlich und dagr(An(k)) noethersch sind auch grΓ′(M ′) und grΓ′′(M ′′) endliche gr(An(k))-Moduln. Das ist aberaquivalent zu Γ′,Γ′′ gut, was zu zeigen war.

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