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1
Hagen-Rubens RelationZusammenhang zwischen der optischen Reflexion und der
elektrischen Leitfähigkeit
Im IR Bereich ( < 1013 s-1): /
222
222
2
2
1
2
2
1n
22
n
212
112:klein1
12
41
12
412
1
1
1
1
2
2222
22
22
222
nnnn
knn
n
knn
nknn
n
n
n
n
R
R
021
R
Metalle mit guter elektrischer Leitfähigkeit haben große Reflexion im IR Bereich (klein )
2
Hagen-Rubens: aus der Lösung der Maxwell Gleichungen ( = n) für kleine Frequenzen
Drude: freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Elektronentheorie für Metalle), bestimmt die Farbe der Werkstoffe
Lorentz: stark gebundene Elektronen (klassische Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
3
Freie Elektronen (klassische Drude Theorie der elektrischen Leitfähigkeit)
Elektronengas im Material
M
NN A
Anzahl der Atome/Elektronen in den Alkali- Metallen pro m3
NA … Avogadro-Konstante
… DichteM … Masse
eEvdt
dvm
eEdt
dvmF
Freie Elektronen …
Wechselwirkung mit dem Kristallgitter …
v … Driftgeschwindigkeit
m … Masse des Elektrons
E … elektrisches Feld
… Dämpfung
4
Freie Elektronen (klassische Drude Theorie der elektrischen Leitfähigkeit)
t
v
vF
m
eEv
eE
mv
tmv
eEvv
eEvv
eE
dt
dvm
eEvdt
dv
eEvdt
dvm
F
F
FF
F
F
exp1
0
… Bewegungsgleichung
… Limit-Fall
… Lösung der Bewegungsgleichung
… Zeit zwischen zwei Zusammenstößen
… Fermi-Geschwindigkeit
EevNj FF
m
eNF 2
5
Freie Elektronen ohne Dämpfung (klassische Theorie)
Anregung der Elektronen durch elektromagnetische Welle (Licht): tiEE exp0
tieEeEdt
xdm exp02
2
Bewegungsgleichung:
Man sucht die Lösung in der Form: tixx exp0
220
20
04 m
eE
m
eEx
Dipolmoment eines Elektrons: xeD
Gesamtpolarisation: xeNP
N … Anzahl der freiern Elektronen (Anzahl der Elektronen an der Fermi Fläche)
6
Freie Elektronen ohne Dämpfung (klassische Theorie)
Dielektrische Konstante:E
P 41
2
2
1mNe
n
22
2
141 nm
Ne
E
exN
7
Freie Elektronen ohne Dämpfung (klassische Theorie)
11
11
nn
nnR
Reflexion: Reflektierend Transparent
2
2
1m
Nen f
Nf … Anzahl der freien Elektronen im cm³
8
Die Plasma Frequenz
m
Ne
m
Ne
m
Nen
ff
f
2
212
1
2
2
2
1
1
Gute Übereinstimmung mit dem Experiment für Alkali-Metalle
9
Freie Elektronen ohne Dämpfung
10
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
Anregung der Elektronen durch elektromagnetische Welle (Licht): tiEE exp0
tieEeEdt
dx
dt
xdm exp02
2
Bewegungsgleichung:
02
2
dt
xdKonstante Geschwindigkeit der Elektronen:
Bewegungsgleichung:
t
v
vF
eEF v
Die Driftgeschwindigkeit:f
F eN
jv
Das Ohmsche Gesetz: Ej 0
Die Dämpfung:0
2
fNe
11
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
Man sucht die Lösung in der Form: tixx exp0
2
0
20
0
miNe
eEx
f
Dipolmoment eines Elektrons: xeD
Gesamtpolarisation: xeNP
tieEeEdt
dxNe
dt
xdm f
exp0
0
2
2
2
Bewegungsgleichung:
20
0 meE
x
Komplexe Amplitude der Schwingungen
12
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
Gesamtpolarisation:
em
ieN
EeNP
f
f2
0
2
2
02
2
0 2
11
14141
eN
mi
eN
mi
E
P
ff
Dielektrische Konstante:
22
21
22
21
20
21
2
0
21
21
21
2
0
21
2
112
2
1
2
11
ii
iim
eN f
13
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
222
2
212
122
22
2
21
22
2
221
21
22
22
22
21222
2:Im;1:Re
112
nkkn
i
i
i
iinkknn
Der Brechungsindex:
0
21
2
221 2
;
m
eN f
14
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
22
2
221
21
1
in
0
21
2
221
2
m
eN f
1 … Plasma Frequenz
2 … Dampffrequenz
15
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
1
22
2
212
222
2
2122
1 2;1
nkkn
16
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
11
11
nn
nnR
Reflexion:
Reflektierend Transparent
Absorption
17
Freie Elektronen mit Dämpfung (klassische Drude Theorie)
Absorption des Lichtes in einem schmalen Frequenzband (im Absorptionsband), experimentell beobachtet für Metalle und Nichtmetalle
18
Stark gebundene Elektronen(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
Elektron – quasi-elastisch gebunden zum Atom – harmonischer Oszillator mit Eigenfrequenz und Dämpfung
19
Stark gebundene Elektronen(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
tieEeEkxdt
dx
dt
xdm exp02
2
Bewegungsgleichung:
m … Masse des Elektrons, ´ … Dämpfung, k … Federkonstante (Bindung zum Kern)
Man sucht die Lösung in der Form: tixx exp0
0
2
020
0
22
00
220
020
0
0
a
a
Ne
m
kmk
iNe
m
eE
im
eE
imk
eEx
Drude Theorie
20
Stark gebundene Elektronen(Elektronentheorie für dielektrische Materialien)
Gesamtpolarisation: xeNP
im
ENeP a
220
2
21
4141
220
22
220
2
im
Nen
im
Ne
E
P
a
a
Dielektrische Konstante:
Brechungsindex:
0 … Eigenfrequenz der Elektronen
… Dämpfung (Elektrische Leitfähigkeit, Emission der Photonen)
22222
022
2
222222
022
220
2
14
2;
4
41
m
Ne
m
mNe aa
21
Modell der stark gebundenen ElektronenDielektrische Konstante
Eigenfrequenz
22
Modell der stark gebundenen ElektronenBrechungsindex
Eigenfrequenz
23
Modell der stark gebundenen ElektronenReflexion
Eigenfrequenz
24
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
Eigenfrequenz
2gebunden
2freigesamt
gebundenfreigesamt
nnn
25
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
IR Absorption (Reflexion)
Absorption des sichtbaren Lichtes
26
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
27
DispersionskurveAnhängigkeit der Polarisierbarkeit (der dielektrischen Konstante) von der Frequenz (Wellenlänge)
Langsame permanente Dipole
Wechselwirkung zwischen Ionen
Wechselwirkung zwischen Elektronen und Atomkernen
28
Optische AbsorptionLeitungselektronen
Hauptsächlich in Metallen vorhanden
Ionenkristalle und Isolatoren sind in der Regel durchsichtig
Gitterschwingungen
Absorption im IR Bereich – kleine Eigenfrequenz der Gitterschwingungen
Die IR und die Raman Spektroskopie – Untersuchung der Gitterdynamik
Innere Elektronen
Wechselwirkung zwischen e und Atomkern
Hohe Eigenfrequenz
Absorption und Emission der Strahlung im Röntgenbereich (selektive Filter, Fluoreszenzanalyse)
29
Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen in der Festkörperphysik
Raman Prozess
Photon , k
Phonon , K
Kkk
Photon ´, k´
IR Absorption mit zwei Phononen
Photon
Phonon
Phonon
Photon – LichtquantumPhonon – „Elementarteilchen“ für Gitterschwingungen
Elektronen-spektroskopie mit Röntgenstrahlung
XPS
Röntgenphoton
Photoelektron
30
Wechselwirkung zwischen Elementarteilchen in der Festkörperphysik
Thomson Prozess
Photon
Photon
Kkk
Elastische Streuung – Röntgenbeugung, Neutronenbeugung, Elektronenbeugung
Compton Prozess
Photon
Photon
Kkk
Nichtelastische Streuung – Röntgenstrahlung, Neutronen
Phonon
Emission der charakteristischen
Röntgenstrahlung + Absorption
Röntgenphoton
Steigerung der Elektronenenergie
…
Röntgenphoton
kk
31
Spezialfälle
Hohe Frequenz
Real (n) < 1, Real (n) 1, Imag (n) 0
Geringe Reflexion, hohe Absorption
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
10-3
10-2
10-1
100
Ref
lect
ivity
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.010
-4
10-3
10-2
10-1
TER
Pe
netr
atio
n d
ep
th (m
)
Glancing angle (o2)
Beispiel: Gold (CuK)
= 1.5418 10-10 m
= 4.2558 10-5
= 4.5875 10-6
112
1
12
12
11
0
2
2
in
fiffr
n
rn
ee
e
Röntgenstrahlung
32
Spezialfälle
Schwache Dämpfung
222220
22
2
222222
022
220
2
14
2;
4
41
m
Ne
m
mNe aa
220
2
1 10
m
Ne a
aNe
2
2022
;00
33
Mehrere Oszillatoren
Mehrere Elektronen pro Atom, jeweils mit einer Dämpfung und Eigenfrequenz.
0 0i, i
i ii
iiia
i ii
iia
m
fNenk
m
fmNekn
222220
22
22
222220
22
220222
1
422
441
i i
iiia
i i
ia
f
m
Nenk
f
m
Nenkn
2220
22
2
2
220
2222
1
22
1
Schwache Dämpfung
34
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
i ii
iiia
i ii
iia
m
fNe
m
fmNe
222220
22
222
2
212
2
222220
22
2202
22
2
21
1
42
441
35
Freie Elektronen mit Dämpfung und Gebundene Elektronen mit Dämpfung und Eigenfrequenz
2gebunden
2freigesamt
gebundenfreigesamt
nnn
36
Quantenmechanische Beschreibung der optischen Eigenschaften
Bandübergänge
Direkt IndirekthE
PhononPhoton
PhononPhoton
PhononPhonon
PhotonPhoton
2
22
kk
k
p
h
pk
Phonon = Gitterschwingung
37
Polarisierbarkeit
Tk
pN
B
pm
31
2
0
Polarisierbarkeit der Moleküle:
Vereinfachte Dispersionskurve: „langsame“ permanente Dipole können nicht schnell umpolarisiert werden – Abnahme der dielektrischen Konstante
… Suszeptibilität … Dielektrische Konstante0 … Dielektrische Konstante vom Vakuum
Nm … Anzahldichte der Moleküle
… PolarisierbarkeitkB … Boltzmannsche Konstante
T … Temperatur
38
Piezo- und Pyroelektrizität
Polarisation ohne äußere elektrische Felder
Änderung der Länge des Kristalls
Polarisation der Dipolmomente
Oberflächenladung des Kristalls
FdkQ
Q … hervorgerufene Oberflächenladungk … Materialkonstante … Länge des Kristallsd … Dicke des KristallsF … Kraft
Externe Spannung am Kristall
Polarisation der Dipolmomente
Änderung der Länge des Kristalls
Änderung der Temperatur des Kristalls
Änderung der Länge des Kristalls (Temperaturausdehnung)
Polarisation der Dipolmomente
Oberflächenladung des Kristalls
39
PiezoelektrizitätMechanische Belastung
Mechanische Belastung
Mechanische Belastung
Mechanische Belastung
40
FerroelektrizitätSpontane Polarisation (Anordnung) der Dipolmomente ohne
äußeres elektrisches Feld
Spontane Polarisation
Dielektrisches Material
EEP
E
P
44
1
41
Ferroelektrisches Material
sPEEP
44
1
41
Ferroelektrische Kristalle
Atomlagen (Wyckoff):Ca: 1a (0,0,0)Ti: 1b (½,½,½)O: 3c (0,½,½)
Perowskitstruktur
o a
b
c
Ferroelektrische Materialien mit der Perowskitstruktur:SrTiO3, BaTiO3, PbTiO3, KNbO3, LiTaO3, LiNbO3
Die Ferroelektrizität ist mit bestimmter Kristallstruktur verbunden
42
Ferroelektrische Domänen
Die gesamte Polarisation eines Kristalls mit ferroelektrischen Domänen ist kleiner als ohne Domänen – das Gefüge des Kristalls spielt eine wichtige Rolle.
43
Ferroelektrische Domänen im BaTiO3 Einkristall
Die Gesamtpolarisation des Kristalls steigt mit der externen Spannung
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