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1. 1. Splineglättung 1.1 Motivation 1.2 Notation 1.3 Splineglättung 1.4 Kriging-Ansatz 1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und Splineglättung übereinstimmen 2. Räumliche Whittaker-Glättung – eine Anwendung in der Prämienberechnung. 2. 1.1 Motivation - PowerPoint PPT Presentation
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• 1. Splineglättung 1.1 Motivation
1.2 Notation1.3 Splineglättung1.4 Kriging-Ansatz1.5 Spezialfall, bei dem Kriging und
Splineglättung übereinstimmen• 2. Räumliche Whittaker-Glättung – eine
Anwendung in der Prämienberechnung
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1.1 Motivation
• Daten können Messfehler enthalten• Lösung der Spline-Interpolation ist unbrauchbar
Spline-Interpolation Splineglättung
• Merkmale der Splineglättung• Keine genaue Interpolation• Anforderung an die Interpolationsfunktion f: Die Abweichungen zwischen
den Funktionswerten und den beobachteten Werten dürfen an den Messstellen „nicht zu groß“ von werden.
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1.2 Notation
• D Rd sei das Beobachtungsfenster• f(x), x D Funktion • xα (=1,...,n) Messstellen in D
• zα=f(xα)+ α gemessenen Werte an den Stellen x (=1,...,n)
• Sei α ein Messfehler (=1,...,n), der folgende Eigenschaften hat:• E(α) = 0;
• Cov(α,) = E(α) = Sα
• Var(α) = Sαα Const,
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1.3 Splineglättung
• Ziel: Die Funktion f(x) mit einer glatten Funktion f*(x) zu approximieren, die folgende Voraussetzung erfüllt:• der folgende Ausdruck wird minimiert:
• Wobei J(f*) die Krümmung der Spline-Interpolation darstellt.
• Die Splineglättung ist somit eine Mischung aus Spline-Interpolation und der Methode der kleinsten Quadrate.
0)(p *)(])(*[2
1
fpJzxf
n
5
• Dabei steuert p das Verhältnis zwischen Glätte der Funktion und der Übereinstimmung mit den Messwerten an den Messstellen.
• Der Parameter p bestimmt also den Einfluss des Spline-Interpolanten und des MKQ-Schätzers auf die Lösung des Spline-Glättungs-Verfahrens:– p 0: Die Lösung ist annähernd ein MKQ-Schätzer
(insbesondere p = 0 MKQ-Schätzer)– Mit wachsendem p nähert sich die Lösung der des Spline-
Interpolationsverfahrens.
• In R²: dxdyfJ y
fyxf
xf
2*2*2*2
22
2
2 2*)(
6
• Lösung (Matheron, Wahba)
• Wobei: K(h)=|h|²log|h|, • Basisfunktionen,z.B.: L=2, für x = (x1,x2)
• Problem des Splineglättungsverfahrens: Bestimmung des Parameters p
Llxfb
zxfcpxxKb
xfcxxKbxf
n
l
n L
lll
n L
lll
,...,0 0)(
n1,..., )())((
)()()(*
1
1 0
1 0
2 ,1 ,0 ,1
)(2
1
lxlxl
xfl
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1.4 Kriging-Ansatz• Man kann die formale Äquivalenz mit dem Modell des intrinsischen
Kriging k-ter Ordnung in leicht modifizierter Form auf die Spline-Glättung anwenden;
• Wir betrachten nun das Zufallsfeld Z(x) und zerlegen es in ein intrinsisches Feld k-ter Ordnung Y(x) und einen zufälligen Fehler (x)
Z(x) = Y(x) + (x) x D
• z(x1),...,z(xn): Gemessenen Werte an den Stellen x1,..., xn • Sei K(h)=Cov(Y(x),Y(x+h)) (h Rd, x,x+h D) die Kovarianz des
Zufalls-Feldes Y(x)• Sei S(h)=Cov((x),(x+h)) (h Rd, x,x+h D) die Kovarianz des
zufälligen Fehlers (x)
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• Der zufällige Fehler (x) genügt dabei folgenden Bedingungen:
• Das Zufallsfeld und der zufällige Fehler sind unkorreliert:
Cov(Y(x), (x)) = 0 x D
• Der Fehler hat den Erwartungswert Null:
E((x)) = 0 x D
• Die Kovarianz des Fehlers hat somit folgende Form:
S(h) = E((x)(x+h)) x,x+h D, h Rd
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• Ziel ist es, anhand der Messwerte z(x1),...,z(xn) das Zufallsfeld Y(x) durch intrinsisches Cokriging zu schätzen.
• Schätzer:
• Falls folgend Bedingungen erfüllt sind:• {} ist zulässig, falls gilt:
setze 0 = -1, fl(x0)=fl(x):
• h Rd:
))()(()()(*1 1
n n
xxYxZxY
n
l
n
ll
xf
xfxf
0
1
0)(
)()(
n
l
n
lhxfxf
00 0)( 0)(
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• Lösung durch duales Kriging:
• Wobei im R2 z.B.: fl(x) = (x1)k1(x2)k2,
k1+k2 k; x = (x1,x2) D R²(im Fall k=2: 1, x1, x2, (x1)², x1 x2,(x2)² )
,...,0 0)(
,...,1 )()]()((
)()()(
1
1 0
01
*
n
l
n L
lll
L
lll
n
Llxfb
nzxfcxxSxxKb
xfcxxKbxY
n nn
SxYxYExYxYE1 11
22 min)]()([)]()(*[
11
1.5 Spezialfall: Übereinstimmung der Cokriging- Lösung und des Splineglättungsverfahrens
• Sei nun x R², L=2, k=1;• Und wählt man im dualen Kriging für die Kovarianz von Y(x):
• Und für die Kovarianz von (x):
„Weißes Rauschen“
hhbhKS
log)( 2
0h 0h 0
)(0c
hS
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• So erkennt man, wenn man die beiden Schätzer Y*(x) und f*(x) vergleicht,
dass die beiden Lösungen übereinstimmen, falls p=c0/bs
n
xbxbb
zxcxccbcxxxxbb
xcxccxxxxbbxY
n
xbxbb
zxcxccpxxxxb
xcxccxxxxbxf
nnn
n
S
S
n
S
nnn
n
n
,...,1
0 , 0 , 0
log
log)(
,...,1
0 ,0 ,0
log
log)(*
1
2
1
1
1
1
2
2
1
10
02
2
2
1
101
2*
1
2
1
1
1
1
2
2
1
10
2
1
2
2
1
10
2
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