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STATISIK
LV Nr.: 1852
WS 2005/06
13. Dezember 2005
2
Theorie
• Wahrscheinlichkeitsrechnung– Einführung, Begriffe, …– Zufallsvariable– Wahrscheinlichkeits- Vt.
• Kombinatorik
• Verteilungen– Diskrete Verteilungen– Stetige Verteilunge
3
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Betrachte Ereignisse die nicht deterministisch (vorherbestimmbar) sind, Ereignisse mit Zufallscharakter. – Bsp. Werfen eines idealen Würfels, Werfen
einer fairen Münze, … – Oder Ereignisse, die von so vielen
Einflussfaktoren abhängen, dass das Ergebnis nicht sicher bestimmt werden kann.
4
Wahrscheinlichkeitsrechung
Grundbegriffe:
• Zufallsexperiment: – Vorgang nach einer bestimmten Vorschrift
ausgeführt, beliebig oft wiederholbar, Ergebnis hängt vom Zufall ab, bei mehrmaligen Durchführung des Experiments beeinflussen die Ergebnisse einander nicht – unabhängig voneinander. (z.B. Münzwurf, Werfen eines Würfels, …)
5
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Elementarereignisse (Realisationen)– Zufallsexperiment: Reihe aller möglichen
elementarer Ereignisse {e1},…,{en}
• Ereignisraum S:– Menge der Elementarereignisse S={e1,…,en}
• Ereignis: – Jede beliebige Teilmenge des Ereignisraumes
(setzt sich aus einem od. mehreren Elementarereignissen zusammen)
6
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Vereinigung– Vereinigung von 2 Ereignissen A und B: AUB Menge
aller Elementarereignisse, die zu A oder B gehören
• Durchschnitt– Durchschnitt von 2 Ereignissen A und B: A∩B Menge
aller Elementarereignisse, die zu A und B gehören
• Disjunkte Ereignisse– 2 Ereignisse A und B schließen einander aus, A∩B=Ø
(Ø unmögliches Ereignis)
• Komplementärereignis – Menge aller Elementarereignisse des Ereignisraumes S,
die nicht in Ereignis A enthalten sind
A
7
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Rahmen eines Zufallsexperiments.
8
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Klassischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:
• Bsp. Urne mit 10 Kugeln (8 rot, 2 schwarz)– Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig
gezogene Kugel rot ist (Ereignis A)– Ereignisraum 10 mögl. Elementarereignisse, 8
günstige Fälle– W(A) = 8 / 10 = 0,8
Fälleichen gleichmöglaller Zahl
Fällegünstigen der ZahlW(A)
9
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:
• Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens von A
n
(A)hlim(A)flimW(A) n
nn
n
10
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff:
• Ereignissen werden „Wettchancen“ zugeordnet. Quote für A ist a:b, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeiten
ba
b)AW(und
ba
aW(A)
11
Wahrscheinlichkeitsrechung
• Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff:
• Definition von mathematischen Eigenschaften 1. 0 ≤ W(A) ≤ 1
2. W(S) = 1
3. A und B disjunkt: W(A U B) = W(A) + W(B)
12
Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Variable deren Wert vom Zufall abhängt (z.B. X, Y, Z)– Bsp. Zufallsexperiment: 2-maliges Werfen
einer Münze. Frage: Wie oft erscheint „Zahl“? Mögliche Werte: 0, 1, 2. Variable „Anzahl Zahl“ hängt vom Zufall ab – Zufallsvariable.
• Realisation (Ausprägung): Wert, den eine Zufallsvariable X annimmt (z.B. x, y, z). – Bsp. 2-maliges Werfen einer Münze, ZV X
„Anzahl Zahl“, Ausprägungen: x1=0, x2=1, x3=2.
13
Zufallsvariable
• Zufallsvariable: Funktion, die jedem Elementarereignis eine bestimmt reelle Zahl zuordnet, z.B. X(ej)=xi
• Definitionsbereich einer ZV: Ereignisraum S des zugrundeliegenden Zufallsexperiments.
• Wertebereich einer ZV: Menge der reellen Zahlen.
14
Zufallsvariable
• Diskrete Zufallsvariable: ZV mit endlich vielen oder abzählbar unendlich vielen Ausprägungen
• Stetige Zufallsvariable: können (zumindest in einem bestimmten Bereich der reellen Zahlen) jeden beliebigen Zahlenwert annehmen.
15
Wahrscheinlichkeit
• Diskrete Zufallsvariable:
• Wahrscheinlichkeit, mit der eine diskrete ZV X eine spezielle Ausprägung xi annimmt, W(X=xi): Summe der Wahrscheinlichkeiten derjenigen Elementarereignisse ej, denen Ausprägung xi zugeordnet ist:
ij x)X(e
ji ) W(e)xW(X
16
Wahrscheinlichkeitsfunktion
• Wahrscheinlichkeitsfunktion einer diskreten ZV: Funktion f(xi), die für jede Ausprägung der ZV (unterschiedliche Ausprägungen xi einer ZV X) die Wahrscheinlichkeit ihres Auftretens angibt: f(xi) = W(X=xi)
• Eigenschaften:– f(xi) ≥ 0 i=1,2,…
– Σi f(xi) = 1
17
Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer diskreten ZV: Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Es gilt:
• Treppenfunktion
xx
i
i
)f(xx)W(XF(x)
18
Verteilungsfunktion
• Verteilungsfunktion einer stetigen ZV (kann in einem bestimmten Intervall jeden beliebigen Wert annehmen): Funktion F(x), die die Wahrscheinlichkeit dafür angibt, dass die ZV X höchstens den Wert x annimmt. F(x) = W(X ≤ x)
• Stetige Funktion
19
Verteilungsfunktion
• Eigenschaften einer stetigen Vt-Funktion:1. 0 ≤ F(x) ≤ 1
2. F(x) ist monoton wachsend (d.h. für x1 < x2 gilt F(x1) ≤ F(x2)
3. lim x→-∞ F(x) = 0
4. lim x→∞ F(x) = 1
5. F(x) ist überall stetig
20
Wahrscheinlichkeitsdichte
• Wahrscheinlichkeitsdichte (Dichtefunktion) f(x) einer stetigen ZV: Ableitung der Verteilungsfunktion.
• Es gilt:
x
f(v)dvF(x)
f(x)F´(x)
21
Wahrscheinlichkeitsdichte
• Eigenschaften: 1. f(x) ≥ 0
2.
3. 4. W(X=x) = 05. W(a ≤ X ≤ b) = W(a < X < b)6. W(X ≤ a) = F(a)
W(X ≤ b) = F(b)
1f(x)dx
b
a
f(x)dxb)XW(a
W(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
22
Parameter
• Charakterisierung der Wahrscheinlichkeits-verteilung von Zufallsvariablen durch Parameter (Maßzahlen)
• Erwartungswert E(X) = Lageparameter (Entspricht dem arithm. Mittel)
• Varianz Var(X) = Streuungsparameter
23
Erwartungswert
• Diskrete ZV:
• Stetige ZV:
i
iii
ii )f(xx)xW(XxE(X)
f(x)dxxE(X)
24
Varianz
• Diskrete ZV:
• Stetige ZV:
• Standardabweichung:
i
i2
i )f(xE(X)xVar(X)
f(x)dxE(X)xVar(X) 2
Var(X)σX
25
Standardisierung
• Lineare Transformation: Y = a + bX
• Spezialfall Standardisierung: a = – E(X) / σX
b = 1 / σX
• Standardisierte Variable Z:
• Es gilt: E(Z) = 0 und Var(Z) = 1Xσ
E(X)XZ
26
Theoretische Verteilungen
• Bedeutung von theoretische Verteilungen
• Deskriptive Statistik: – Approximative funktionsmäßige Beschreibung
empirisch beobachteter Häufigkeitsverteilungen
• Mathematische Statistik: – Wahrscheinlichkeiten für Ergebnisse
bestimmter Zufallsexperimente
27
Kombinatorik
• Wie kann eine gegebene Anzahl von Elementen unterschiedlich angeordnet und zu Gruppen zusammengefasst werden?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Elemente anzuordnen? Anzahl der möglichen Permutationen?
• Wie viele Möglichkeiten gibt es, von n Elementen k auszuwählen? Anzahl der möglichen Kombinationen?
28
Kombinatorik
• Permutationen:
• n voneinander verschiedene Elemente:
n! = n·(n-1)·(n-2)·…·1 Permutationen
• Bsp.1: n=3, Elemente e1, e2, e3. Anzahl der möglichen Permutationen: 3! = 3·2·1 = 6 (e1, e2, e3) (e1, e3, e2) (e2, e1, e3) (e2, e3, e1) (e3, e1, e2) (e3, e2, e1)
• Bsp.2: n=10, Anzahl der möglichen Permutationen: 10! = 3 628 800
29
Kombinatorik
• n Elemente, wobei ni Elemente vom Typ i sind (r unterschiedliche Typen):
• Bsp.1: n=10, r=3 und n1=3, n2=5, n3=2, Anzahl der möglichen Permutationen:
!n...!n
n!
r1
252021206
3628800
2!!53!
10!
30
Kombinatorik
• Kombinationen:
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination ohne Wiederholung: jedes
Element kann nur einmal gewählt werden• Berücksichtigung der Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten:
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge:
Anzahl der Möglichkeiten:
k)!(n
n!
k)!(nk!
n!
k
n
31
Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge:
Möglichkeiten: (e1, e2) (e2, e1) (e1, e3) (e3, e1) (e2, e3) (e3, e2), also 3!/(3-2)! = 6 Möglichkeiten
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge: Möglichkeiten: (e1, e2), (e1, e3) (e2, e3), also 3!/(2!(3-2)!) = 3 Möglichkeiten
32
Kombinatorik
• Kombinationen ohne Wiederholung:
• Bsp.1: Lotto, Möglichkeiten aus 49 Zahlen 6 zu wählen (Reihenfolge unberücksichtigt)
• Bsp.2: Pferderennen, sind 8 Pferde am Start, gibt es für die Belegung der ersten 3 Plätze 8!/(8-3)! = 336 Möglichkeiten
816983136
49
33
Kombinatorik
• Aus n verschiedene Elemente sollen k Stück gewählt werden– Kombination mit Wiederholung: ein Element
kann auch mehrfach ausgewählt werden.• Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten: nk
• Keine Berücksichtigung der Reihenfolge
Anzahl der Möglichkeiten:
1)!(nk!
1)!k(n
k
1kn
34
Kombinatorik
• Kombination mit Wiederholung:
• n=3, k=2, Elemente e1, e2, e3. – Berücksichtigung der Reihenfolge,
Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e1), (e2, e3), (e3, e3), (e3, e1), (e3, e2), Anzahl der Möglichkeiten: nk = 3² = 9
– Keine Berücksichtigung der Reihenfolge, Möglichkeiten: (e1, e1), (e1, e2), (e1, e3), (e2, e2), (e2, e3), (e3, e3), Anzahl der Möglichkeiten: (3+2-1)! / (2!·(3-1)!) = 4! / (2!·2!) = 6
35
Kombinatorik
• Kombinationen mit Wiederholung:
• Bsp.1: Würfelt man viermal hintereinander, sind 64 = Abläufe möglich
• Bsp.2: Hat man vier verschiedene Sorten Süßigkeiten, gibt es 286 Möglichkeiten eine Tüte mit 10 Süßigkeiten zu füllen.
28610
1104
36
Theoretische Verteilungen• Diskrete Verteilungen
– Binomialverteilung– Hypergeometrische Verteilung– Poissonverteilung– ...
• Stetige Verteilungen– Gleichverteilung– Exponentialverteilung– Normalverteilung– Chi-Quadrat Verteilung– t-Verteilung (Studentverteilung)– F-Verteilung– ...
37
Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeiten für die Häufigkeit des Eintreffens bestimmter Ereignisse bei Bernoulli-Experimenten berechnen.
• Bernoulli-Experiment: Folge von Bernoulli-Versuchen. Urnenmodell mit Zurücklegen– Es gibt nur 2 mögliche Ausgänge: A und Ā– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A (θ)
und Ā (1- θ) sind konstant– Versuche sind voneinander unabhängig.
38
Binomialverteilung
• Bsp. Bernoulli-Experiment: – fünfmaliges Werfen einer Münze,
Zufallsvariable X „Anzahl der Zahlen“, Realisation x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
– Wahrscheinlichkeiten für Eintreten von A: W(X=x) = f(x) = ?
39
Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Realisation x: W(X=x) = f(x)
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung:
n0,1,...,xfür
sonst0
θ)(1θx
nθ)n,(x;f
xnx
B
40
Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass genau 2-mal Zahl geworfen wird: W(X=2)
0,31250,5)(10,52
5(2;5,0.5)f 252
B
41
Binomialverteilung
• Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X höchstens den Wert x annimmt: Verteilungsfunktion FB(x;n,θ)
xi n-i
Bi 0
nF (x;n,θ) θ (1 θ)
i
42
Binomialverteilung
• Bsp. Münzwurf (n=5), Wahrscheinlichkeit dass höchstens 2-mal Zahl geworfen wird: W(X 2)
2i 5-i
Bi 0
5F (2;5,0.5) 0,5 (1 0,5) 0,5
i
43
Binomialverteilung
• Erwartungswert der Binomialverteilung:
E(X) = n·θ
• Varianz der Binomialverteilung:
Var(X) = n·θ·(1-θ)
• Bsp. Münzwurf: – E(X) = 5·0,5 = 2,5– Var(X) = 5·0,5·(1-0,5) = 1,25
44
Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell Ziehen ohne Zurücklegen:– Urne mit N Kugeln (M schwarze, N-M weiße)– Zufallsstichprobe: ziehe n Kugeln ohne
Zurücklegen – Wahrscheinlichkeit, dass unter den n
gezogenen Kugeln genau x schwarze zu finden sind?
• Ziehen ohne Zurücklegen, keine Berücksichtigung der Reihenfolge.
45
Hypergeometrische Verteilung
• Urnenmodell: – Aus M schwarzen Kugeln genau x auswählen: Anzahl
der Kombinationen
– Aus N-M weißen Kugeln genau n-x auswählen: Anzahl der Kombinationen
– Jede mögl. Stpr. „x schwarze aus M“ kann mit jeder mögl. Stpr. „n-x weiße aus N-M“ kombiniert werden.
– Daher: Gesamtzahl der Möglichkeiten genau x schwarze zu ziehen:
– Gesamtzahl der Möglichkeiten aus N Kugeln n zu ziehen:
M
x
N-M
n-x
N
n
M N-M
x n-x
46
Hypergeometrische Verteilung
• Wahrscheinlichkeit genau n schwarz Kugeln zu ziehen:
• Wahrscheinlichkeitsfunktion der Hypergeometrischen Verteilung:
M N-M
x n-x
N
n
H
M N-M
x n-x
Nf (x;N,n,M)= für x=0,1,...,n
n
0 sonst
47
Hypergeometrische Verteilung
• Verteilungsfunktion: Summation der Einzelwahrscheinlichkeiten
• Liefert Wahrscheinlichkeit für „höchstens x schwarze Kugeln“
48
Hypergeometrische Verteilung
• Bsp. Sortiment von N=8 Dioden, es werden n=3 zufällig gezogen (ohne Zurücklegen), M=5 der Dioden sind defekt.
• Ges: Wahrscheinlichkeit, dass genau 2 (=x) der 3 gezogenen Dioden defekt sind.
M N-M 5 8-5
x n-x 2 3-2 10 3P(X=x)= = = =0,5357
N 8 56
n 3
49
Hypergeometrische Verteilung
• Erwartungswert:
E(X) = n · M/N
• Varianz
Var(X) = n · M/N · (N-M)/N · (N-n)/(n-1)
• Approximation durch Binomialverteilung: – Wenn N, M, N-M groß und n klein, Parameter
der Binomialverteilung: θ = M/N– Faustregel: Approximation, wenn n/N < 0,05
50
Poissonverteilung
• Verteilung seltener Ereignisse
• Große Zahl von Versuchen n, Wahrscheinlichkeit θ für Auftreten eines Ereignisses sehr klein
• Wahrscheinlichkeitsfunktion: x -μ
P
μ ef (x;μ)= für x=0,1,...x!
0sonst
51
Poissonverteilung
• Erwartungswert: E(X) = μ• Varianz: Var(X) = μ• Approximation der Binomialverteilung
durch die Poissonverteilung: – n groß und θ klein, Parameter μ = n·θ– Faustregel: n > 10 und θ < 0,05.
• Approximation der Hypergeometrischen Vt.– M/N = θ klein, N im Vergleich zu n groß,
Parameter μ = n · M/N – Faustregel: M/N < 0,05 und n/N < 0,05
52
Poissonverteilung
• Bsp. Wahrscheinlichkeit bei einer Prüfung von n=2000 Buchungen genau 3 (=x) Fehlbuchungen zu finden, Anteil der Fehlbuchungen: θ=0,001.
• Poissonverteilung: μ = n·θ = 2x -μ 3 -2μ e 2 e
W(X=x)= = =0,1804x! 3!
53
Gleichverteilung
• Diskrete Zufallsvariable:
• Jede der k möglichen Ausprägungen hat gleiche Wahrscheinlichkeit
P(X=xi) = 1/k (i=1,…,k)
• Bsp. Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augenzahl eines idealen Würfels:
P(X=xi) = 1/6 (i=1,…,6)
54
Gleichverteilung
• Stetige Zufallsvariable:
• Realisationen der stetigen Zufallsvariablen X liegen im Intervall [a;b]
• Dichtefunktion:
• P(x X x+Δx) = 1/(b-a) · Δx
G
1für a x b
f (x;a,b)= b-a0 sonst
55
GleichverteilungStetige Gleichverteilung
0
0,2
0 14
x
f(x
;a,b
)
a b
1/(b-a)
x x+Δx
P(xXx+Δx) = 1/(b-a) · Δx
56
Gleichverteilung
• Verteilungsfunktion (Integration der Dichte)
G
0 für x<a
x-aF (x;a,b)= für a x b
b-a1 für x>b
57
GleichverteilungStetige Gleichverteilung
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 14
x
F(x
;a,b
)
a b
58
Gleichverteilung
• Erwartungswert: E(X) = (a+b)/2
• Varianz: Var(X) = (b-a)² / 12
• Bsp. Wegzeit ist gleichverteilt im Intervall [30;40]. Ges. Wahrscheinlichkeit zw. 32 und 35 Min. zu benötigen.
P(32 X 35) = 1/(b-a) · Δx
= 1/(40-30) · (35-32) = 0,3
Durchschnittlich benötigte Zeit: E(X) = 35
59
Normalverteilung
• Wichtigste theoretische Verteilung:
• Normalverteilung: – stetige Verteilung – symmetrische Dichtefunktion– S-förmige Verteilungsfunktion– Erwartungswert: E(X) = µ– Varianz: Var(X) = σ²– Maximum der Dichte bei x=µ– Wendepunkte bei x=µσ
60
Normalverteilungen
• Normalverteilung:
• Dichtefunktion (für -∞<x<+∞ und σ>0) :
• Verteilungsfunktion:
2
σ
μx
2
1
2
2n e
2π
1)σμ,(x;f
dve2
1)σμ,(x;F
xσ
μv
2
1
2
2n
2
61
Normalverteilung
• Normalverteilungen mit unterschiedlichen Parametern
Normalverteilung
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
x
f(x
)
N(4,3) N(0,1) N(2,2)
62
Normalverteilung
• VerteilungsfunktionVerteilungsfunktion Normalverteilung
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
F(x
)
µµ-σ µ+σµ-2σ µ+2σµ-3σ µ+3σ
63
Normalverteilung
• Standardnormalverteilung:– Erwartungswert µ = 0– Varianz σ² = 1
• Dichtefunktion: 2z
2
1
n e2π
1(z;0,1)f
64
Normalverteilung
• StandardnormalverteilungStandardnormalverteilung
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
f(z)
68,27%95,45%
99,73%
WP WP
65
Normalverteilung
• Approximation durch Normalverteilung: Mit wachsendem n nähern sich viele theoretische Vt. der Normalverteilung
• Empirische Verteilungen lassen sich ebenfalls oft durch die N-Vt. annähern.
66
Normalverteilung
• Reproduktionseigenschaft (od. Additivitäts- eigenschaft) der Normal-Vt.
• Additionstheorem der Normalverteilung: – Die Summe (X) von n unabhängig normalverteilten
Zufallvariablen X1,…,Xn ist ebenfalls normalverteilt.
X = X1 + … + Xn – Der Erwartungswert von X ist die Summe der einzelnen
Erwartungswerte μ1,…,μn
E(X) = μ = μ1 + … + μn – Die Varianz von X ist die Summe der einzelnen
Varianzen σ1²,…σn
²
Var(X) = σ² = σ1² + … + σn
²
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