20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 +... + 100 100 + 99 + 98 +... + 1 101 + 101...

20. Reihen

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

1 + 2 + 3 + ... + 100

100 + 99 + 98 + ... + 1

101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

= 5050

Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn

- (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q

= 1 - qn+1

1 + q + q2 + ... + qn =

Schach: 264 - 1 = 21019 Reiskörner

Erdoberfläche: 51018 cm2

1 + q + q2 + ... = für IqI < 1

unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

q1q1 1n

q11

...16

1

8

1

4

1

2

1

1

1)

2

1(

0

n

n

1/2

1/2 + 1/4 = 3/4

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1

unendlich viele Zahlen

endliches Ergebnis

Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q

qn

1

1

Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q

qn

1

1

(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn

Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = q

qn

1

1

(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 - qn

s = q1

1 für IqI < 1

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9

1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3

1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4

0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...)

= 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999

Alle periodischen Dezimalzahlen

Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen

Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch.

2, e, , ln2

Sei 2 = p/q, teilerfremd

2q2 = p2

p ist gerade

q ist gerade

?...81

71

61

51

41

31

21

11

0...16

1,

8

1,

4

1,

2

1,

1

1

2161

81

41

21

11

...

0...,51

,41

,31

,21

,11

Nicole von Oresme (1323 - 1382)

Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen:43 = 64 = 82 8 = 43/2

1 + 1/2 + (1/3 + 1/4)+ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16)+ (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32)+ ...

unendlich viele Zahlenunendliches Ergebnis

Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?

klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1

n1

k

1

k

1n

k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28

S = 100 k = 1043

....)81

71

61

51

()41

31

()21

(11

Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,um die Summe S = 100 zu erreichen?

klg3,2elg/klgkln1lnklndxx1

n1

k

1

k

1n

k = 1000 S 7 k = 106 S 14 k = 109 S 21 k = 1012 S 28

?...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

S = 100 k = 1043

bei 106 Additionen in der Sekunde werden 1037 Sekunden gebraucht. Das Alter des Universums beträgt ca. 1017 s.

100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.

Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten,entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916)

3,23...10

1

9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

14,22

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

1 2 31

…nn

a a a a

eine Reihe

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

1 2 31

…nn

a a a a

eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe.

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

1 2 31

…nn

a a a a

eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme

1 2 31

…k

k n kn

s a a a a a

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

1 2 31

…nn

a a a a

eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme

1 2 31

…k

k n kn

s a a a a a

Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent.

(sk) s

Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

1 2 31

…nn

a a a a

eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partial-summe oder Teilsumme

1 2 31

…k

k n kn

s a a a a a

Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert oder Summe s der Reihe

1 1

lim limk

k n nk k

n n

s a a s

(sk) s

Ist 1

nn

a

konvergent, so gilt lim n

na

= 0.

Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.

Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist 1

1

n n

divergent.

Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern

1nna konvergiert (sk) = (

k

nna

1) ist beschränkt.

Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0.

Konvergiert

1nnb , dann konvergiert auch

1nna .

Quotientenkriterium: Für n und 0 < q < 1 gelten

n

a

a 1 ≤ q, dann

konvergiert

1nna . Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss.

Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

Man bestimme eine konvergente Majorante für

a)

132

1

n nnn

b)

12 3ln3

1

nnn

Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Sei (an) eine monoton

fallende Nullfolge. Dann konvergiert

1

1)1(n

nn a .

Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert

...4

1

3

1

2

11

1)1(

1

1

n

n

n

Definition.

1nna heißt absolut konvergent, wenn ||

1

nna konvergiert.

Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert.

1nna konvergiert absolut

1nna konvergiert unbedingt.

2ln...8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

2ln2

1...

8

1

6

1

4

1

2

1

2ln2

3...

4

1

7

1

5

1

2

1

3

1

1

1

Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt:

halbiert

und addiert

Es sind aber dieselben Glieder!

Satz: Eine absolut konvergente Reihe läßt sich beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente Umordnung.

1 - 12 +

13 -

14 + -... = ln2

712 < s <

56

(1 + 13 -

12 ) + (

15 +

17 -

14 ) + (

19 +

111 -

16 ) + (

113 +

115 -

18 ) +...

5/6 + 13/140 + + > 5/6 Man kann diese Reihe auch so umordnen, daß immer erst dann ein negatives Glied (-1/k) eingeschaltet wird, wenn die Summe der p direkt davor stehenden positiven Glieder größer als 2/k ist. Divergenz