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Kolloquium 10 Seite 1/4
Prof. Dr. Eleni ChatziProfessur für Strukturmechanik
Institut für Baustatik und KonstruktionD-BAUG
BAUSTATIK II KOLLOQUIUM 10
Thema: Stabilität, Theorie II. Ordnung
Aufgabe 1
Gegeben: System (𝐿, 𝐸𝐼 = konstant, 𝐸𝐴 → ∞, 𝐸𝐴 → ∞), Einwirkung F
Gesucht: Knickkraft Fcr für 𝐸𝐼 = 0; 𝐸𝐼 → ∞; 𝐸𝐼 = 𝐸𝐼 /4
Der Rahmen lässt sich zu einem Einzelstab AC reduzieren, wenn die Biegesteifigkeit der Riegel BC und CD als äquivalente Drehfeder im Punkt C eingeführt wird.
Die Federsteifigkeit 𝑘 kann anhand der entsprechenden Stabsteifigkeiten berechnet werden.
Beitrag BC (Stabendmomente aus Vorlesung 2)
𝑘 , = 3𝐸𝐼 /𝐿
Beitrag CD (Stabendmomente aus Vorlesung 2)
𝑘 , = 4𝐸𝐼 /𝐿
Kolloquium 10 Seite 2/4
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Somit ist die Federsteifigkeit 𝑘 :
𝑘 =3𝐸𝐼
𝐿+
4𝐸𝐼
𝐿=
3𝐸𝐼
𝐿/2+
4𝐸𝐼
𝐿=
10𝐸𝐼
𝐿
Die Knickkraft wird mit der allgemeinen Differentialgleichung 𝐸𝐼 𝑤 − 𝑁𝑤 = 𝑞, und entsprechend der angegebenen kinematischen Randbedingungen hergeleitet. Falls 𝑁 > 0 ist der Stab unter Zug belastet. In unserem Fall hier ist 𝑁 < 0 und der Stab ist unter Druck. Damit ändert sich die zu lösende Differentialgleichung zu 𝐸𝐼 𝑤 + 𝑁𝑤 = 𝑞. Da q = 0, entspricht die homogene Lösung auch der allgemeinen Lösung.
Die homogene Lösung ist in der Form:
𝑤 (𝑥) = 𝑤 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) + 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥) gegeben, wo 𝜆 = .
Wenn die Koordinaten von Punkt A als 𝑥 = 0 und Punkt C als 𝑥 = 𝐿 definiert sind, lassen sich die folgenden Konstanten, unter Berücksichtigung der kinematischen Randbedingungen am Punkt A sowie am Punkt C und der Federkonstante, bestimmen.
𝑤(𝑥) = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) + 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥)
𝑤 (𝑥) = 𝐶 − 𝜆𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥) + 𝜆𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥)
𝑤 (𝑥) = −𝜆 𝐶 ∙ cos(𝜆𝑥) − 𝜆 𝐶 ∙ sin(𝜆𝑥)
Fall 1: 𝑬𝑰𝑹 = 𝟎
𝑤(0) = 0 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 0 + 𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 0) + 𝐶 ∙ sin(𝜆 ∙ 0) (Ia)
𝑤 (0) = 0 = 𝐶 − 𝜆𝐶 ∙ sin(𝜆 ∙ 0) + 𝜆𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 0) (IIa)
𝑤(𝐿) = 0 = 𝐶 + 𝐶 ∙ 𝐿 + 𝐶 ∙ cos(𝜆 ∙ 𝐿) + 𝐶 ∙ sin (𝜆 ∙ 𝐿) (IIIa)
𝑤 (𝐿) = 0 = −𝜆 𝐶 ∙ cos(𝜆 ⋅ 𝐿) − 𝜆 𝐶 ∙ sin (𝜆 ⋅ 𝐿) (IVa)
Das durch Gleichungen Ia-IVa entstandene Gleichungssystem kann somit in Matrizenformat geschrieben werden.
1 00 1
1 00 𝜆
1 𝐿0 0
cos(𝜆 ∙ 𝐿) sin(𝜆 ∙ 𝐿)
−𝜆 ∙ cos(𝜆 ⋅ 𝐿) −𝜆 ∙ sin(𝜆 ⋅ 𝐿)
𝐶𝐶𝐶𝐶
=
0000
(Va)
Das Gleichungssystems hat eine nicht-triviale Lösung wenn
det(𝑨) = 0 wodurch (VIa)
1 0
0 1
A
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𝜆 (sin(𝜆𝐿) − 𝜆𝐿cos(𝜆𝐿)) = 0 und
tan(𝜆𝐿) = 𝜆𝐿 → 𝜆 ≈𝜋
0.7𝐿
Die kritische Länge ist daher 𝑙 = ≈ 0.7𝐿 und somit ist die Knickkraft:
𝐹 = 𝐸𝐼𝜋
𝐿≈ 𝐸𝐼
2𝜋
𝐿.
Fall 2: 𝑬𝑰𝑹 → ∞
w(0) = 0 = C + C ∙ 0 + C ∙ cos(λ ∙ 0) + C ∙ sin(λ ∙ 0) (Ib)
w (0) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ 0) + λC ∙ cos(λ ∙ 0) (IIb)
w(L) = 0 = C + C ∙ L + C ∙ cos(λ ∙ L) + C ∙ sin(λ ∙ L) (IIIb)
w (L) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ L) + λC ∙ cos(λ ∙ L) (IVb)
Das durch Gleichungen Ib-IVb entstandene Gleichungssystem kann somit in Matrizenformat geschrieben werden.
1 00 1
1 00 λ
1 L0 1
cos(λ ∙ L) sin(λ ∙ L)
−λ ⋅ sin (λ ∙ L) λ ⋅ cos(λ ⋅ L)
CCCC
=
0000
(Vb)
Die Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems erfolgt durch
det(𝑨) = 0 wodurch
𝜆[2 − 2 cos(𝜆𝐿) − 𝜆𝐿 sin(𝜆𝐿)] = 0, wobei durch Doppelwinkelfunktionen der Trigonometrie
cos(𝜆𝐿) − 1 = −2 sin & sin(𝜆𝐿) = 2 sin cos Doppelwinkelfunktion
Die Gleichung wird durch die trigonometrische Gleichungen in (VIIb) ergänzt.
sin𝜆𝐿
2
𝜆𝐿
2cos
𝜆𝐿
2− sin
𝜆𝐿
2= 0
Die Lösung von sin = 0 führt zu
𝜆𝐿
2= 𝑛𝜋 → 𝜆 =
𝑛𝜋
0.5𝐿
(VIb)
(VIIb)
Für 𝑛 = 1 ist die kritische Länge 𝑙 = = 0.5𝐿, und somit ist die Knickkraft:
1 0
0 1
A
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𝐹 = 𝐸𝐼𝜋
𝐿= 𝐸𝐼
4𝜋
𝐿.
Fall 3: 𝑬𝑰𝑹 =𝑬𝑰𝑺
𝟒
w(0) = 0 = C + C ∙ 0 + C ∙ cos(λ ∙ 0) + C ∙ sin(λ ∙ 0)
𝐂𝟏 = −𝐂𝟑
(Ic)
w (0) = 0 = C − λC ∙ sin(λ ∙ 0) + λC ∙ cos(λ ∙ 0)
𝐂𝟐 = −𝛌𝐂𝟒
(IIc)
w(L) = 0 = C + C ∙ L + C ∙ cos(λ ∙ L) + C ∙ sin(λ ∙ L)
𝐂𝟒 = 𝐂𝟑 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬(𝛌𝐋)
𝐬𝐢𝐧(𝛌𝐋) − 𝛌𝐋
(IIIc)
M(L) = k w , wo M = −EI w′′ und k =
EI λ C ∙ cos(λL) + λ C ∙ sin(λL) = k (C − λC ∙ sin(λL) + λC ∙ cos(λL))
10EI
EI2 − 2 cos(λL) − λL sin(λL) = λL (λL cos(λL) − sin(λL))
(IVc)
(Vc)
Für 𝐸𝐼 = kann die Gleichung (Vc) wie folgt geschrieben werden:
5
22 − 2 cos(λL) − λL sin(λL) − λL λL cos(λL) − sin(λL) = 0
Die Lösung für 𝜆 ergibt 𝜆 =.
, und somit ist die kritische Länge 𝜆 =.
→ 𝐿 = 0.6147𝐿
Daraus folgt die Knickkraft 𝐹 = 𝐸𝐼 = 2.6463 ⋅ 𝐸𝐼
Die zwei ersten Fälle können auch mit Einsetzung der entsprechenden Riegelsteifigkeiten in Gleichung (Vc) berechnet werden.
1 0
1 0
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