2.3 Theorie linearer Systeme - TU Dresden · 2.3.3 Faltungsintegral Einheitsimpuls (t): Antwort...

2.3 Theorie linearer Systeme

2.3.1 Grundsätzliche Methode

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

Definition: ElementarsignalUnter einem Elementarsignal versteht man eine Klasse von Zeitfunktionen,aus denen jeder beliebige Signalverlauf zusammensetzbar ist.

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

zerlegen

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

zerlegen

einzeln berechnen

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

zerlegen

einzeln berechnen

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen

?x y

Methode:Berechnung durch Zerlegen in einfach berechenbare Teile (Superposition)

x(t) = x1(t)+x2(t)+x3(t)+ ….. y(t) = y1(t)+y2(t)+y3(t)+ …..

x1(t)

x2(t)

x3(t) …..

y1(t)

y2(t)

y3(t)…..

zerlegen

einzeln berechnen

überlagern

2.3.2 Gültigkeitsvoraussetzungen

y(t-t)y(t)

y

t

t

Drei Forderungen an Elementarsignale:

1. Jedes „vernünftige“ Eingangssignal muss sich aus ihnen zusammensetzenlassen Für Rechteck-Impulse erfüllt

2. Sie müssen mathematisch einfach behandelbar sein Für Rechteck-Impulse erfüllt

3. Sie müssen experimentell leicht nachgebildet werden können Für Rechteck-Impulse erfüllt

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

Definition: KausalitätEin System wird kausal genannt, wenn jedes Ausgangssignal y(t) bis zu irgendeinem Zeitpunkt t1 ausschließlich vom Verlauf des zugehörigen Eingangssignals x(t) bis zu diesem Zeitpunkt abhängt

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

t

t

t

t

x1(t)

x2(t) f(x2(t))

f(x1(t))

Zeitinvarianz:

Drei Forderungen an die Systeme:

1. Kausalität in natürlichen Systemen immer erfüllt

2. ZeitinvarianzAlterung, Drift, innere Veränderungen müssen vernachlässigbar sein

3. Linearität Nichtlinearitäten müssen vernachlässigbar sein

SYSTEM

nichtlinear linearDas Superpositionsprinzip gilt nicht :

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) f( x1(t) + x2(t))

Es gilt das Superpositionsprinzip:

y1 = f( x1(t)) y2 = f( x2(t))

y = y1 + y2 = f( x1(t)) + f( x2(t))

y(t) = f( x1(t) + x2(t) )

Lineare Systeme werden durch

linerae Differentialgleichungen

mit konstanten Koeffizienten beschrieben

Wiederholung:

Beispiel statisches SystemEingabe-Peripherie (z.B. Tastatur)

Meß-Peripherie(z.B. Sensoren)

Stell-Peripherie(z.B. Aktoren)

Ausgabe-Peripherie (z.B. Bildschirm)

Rechner

Aöffnen

Zschließen

MElektromotor

100 %

0 %Schieber-position

Durchfluß

Strömungs-geschwindigkeit VS

Sensor(Fotozelle)

Lampe

Flügel-rad

Informations-Verarbeitung

I-Eingabe I-Ausgabe

I-Nutzung I-Gewinnung

VS / %

PS / %100

100

0

SYSTEMPS VS

Wiederholung:

statischeKennliniey=f(x)

Approxi-mations-fehler

?x y

Statisches Systemmodell dieser Maschine

Wiederholung:

Verhalten eines linearen Systems (Superposition)

t

t

t

t

t

t

x1(t)

x2(t)

x1(t) + x2(t) f(x1(t) + x2(t))

f(x2(t))

f(x1(t))

Wiederholung:

2.3.3 Faltungsintegral

Einheitsimpuls (t): Antwort g(t) auf den Einheitsimpuls

Höhe=1/ , Breite=Fläche=1

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

t

(t)

falls Breite gegen Null t 0

wird Höhe=1/ unendlich Einheitsimpuls entartet zum Dirac-Stoß (t),

t

(t)

t

g(t)

System(t) g(t)

t

(t)

normierter Einheitsimpuls (t): Antwort g(t)auf den normierten Impuls

Höhe=1 , Breite=Fläche=

für zeitinvariante Systeme gilt:

System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

WENN

t

g(t-)

t

(t-)

DANN

Sobald man den Eingangsimpulsum nach rechts verschiebt

für lineare Systeme giltaußerdem: System(t) g(t)

t

g(t)

t

(t)

t

x()g(t-)

t

x(t-)

UND

DANN

WENN

UND

x()g(t-)x(t-)

tt

Sobald man die Summe aller Signale bildet

tt

x(t-) x()g(t-)

Systemx(t) y(t)

tt

x(t-) x()g(t-)

x(t) ~ x()(t-)

mit f1() = x()(t-) für t=const

x(t) ~ f1()

~ Fläche unter f1() für 0

= f1()d

x(t) = x()(t-)d

y(t) ~ x()g(t-)

mit f2() = x()g(t-) für t=const

y(t) ~ f2()

~ Fläche unter f2() für 0

= f2()d

y(t) = x()g(t-)d

Funktionen von zwei Variablen: von t und . Hier interessiert aber nur der Wert bei einem t=const:

2.3.4 Stabilität

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: Schwingungen

Definition der Stabilität

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

harmlose Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-stabil

Bx

By

Systemx(t) y(t)

Kraft Brücke Weg

Kraft

x(t)

Weg

y(t)

Bx

By

?

gefährliche Reaktion (Zeitverhalten, Sprungantwort) einer Brücke: BIBO-instabil

Tacoma Narrows Bridge (Washington, 7. November 1940)