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02/07/2004 13:31 Teilchen & Wellen SS 2004 Denninger Harmonischer Oszillator 1
8.2. Der harmonische Oszillator, quantenmechanischQuantenmechanische Behandlung
Klassisch: Rückstellkraft für ein Teilchen der Masse m sei ∝ zur Auslenkung x:
F = -D⋅xD
x
m Bewegungsgleichung: xDxm ⋅−=
Potentielle Energie: ∫ ⋅=⋅x
xDxdxD0
2
21~)~(
Kinetische Energie:m
pxm22
22 =
Lösungsansatz: x(t) = x0·cos(ωt)
-m·ω2x0·cos(ωt) = -D·x0·cos(ωt) mD=ω
Dies ist die klassische Schwingungs-Kreisfrequenz.
Potentielle Energie am Punkt ±x0: 2
00 21)( DxxV =±
-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.60.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
harmonicpotential.opj
V(x) = D/2*x2
V(x)
x
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Kinetische Energie: )sin()()(v 0 txtxt ω⋅ω==
Die höchste kinetische Energie ist bei x=0,2
02max
0max 2v xmEx kin ω=⇒⋅ω=
Nun ist ω2=D/m ⇒ )( 02
0max
2
1 xVDxEkin ±==
Gesamtenergie: )(cos)(sin)(sin 220
220
2220
2
21
221
2tDxtxm
DmDxtxmE ω⋅+ω⋅=+ωω⋅=
20
2220 2
1))(cos)((sin21 DxttDx =ω+ω⋅=
•Die Gesamtenergie ist also eine Konstante der Bewegung!
•Jede Gesamtenergie E, d.h. jeder Wert von x0 ist erlaubt!
20
2
21 xmE ⋅ω=
Quantenmechanisch:
Schrödinger-Gleichung: )()()(2 2
22xExxVdx
dm ψ⋅=ψ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅−
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harmonicpot03.opj
V(x)
x
[ ] )()()(2 2
22xxVExdx
dm ψ⋅−=ψ−
221)( xDxV ⋅= )()( 2
22
2
212 xEDxmx
dxd ψ⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅=ψ
Versuch einer numerischen Lösung auf dem Computer:
dxxdx
xEDxmdxd
)()(
)(2)( 2
21
2
ψ=ψ′
ψ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅=ψ′=ψ ′′
)(2)(
)()()()()()(
22 2
1 xEDxmx
dxxxdxxdxxxdxx
ψ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅=ψ ′′
⋅ψ ′′+ψ′=+ψ′⋅ψ′+ψ=+ψ
0.0 0.2 0.4 0.60.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
harm onicpot02.opj
V(x)
x
EDx −2
21
Gesamtenergie E
x x+dx)(xψ′ψ(x)
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Rechenvorschrift:
i) Man hat ψ(x) und ψ´(x) an der Stelle x
ii) Man berechnet :
iii) Man berechnet:
iv) Man berechnet:
Jetzt hat man die Werte ψ(x+∆x) und ψ´(x+∆x) und wiederholt die Vorschrift.
)(2)( 22 2
1 xEDxmx ψ⋅⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅=ψ ′′
xxxxx ∆⋅ψ ′′+ψ′=∆+ψ′ )()()(
xxxxx ∆⋅ψ′+ψ=∆+ψ )()()(
Ausgehend von ψ(0), ψ´(0) kann man also in diskreten Schritten ∆x die gesamte Wellenfunktion berechnen.
Es gibt zwei Arten von Lösungen unterschiedlicher Symmetrie:
1) Symmetrische Lösungen: ψg(-x) = ψg(x)
2) Antisymmetrische Lösungen: ψu(-x) = -ψu(x)
Für die Ableitungen gilt:
1) ψg´(-x) = -ψg´(x) ⇒ψg´(0) = 0
2) ψu´(-x) = ψu´(x) ⇒ ψu´(0) ≠ 0
⇒ψu(0) = 0
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Man startet also mit z.B.:
1) ψg(0) = 1 , ψg´(0) = 0
und errechnet die Wellenfunktion für alle x ≠ 0 für beliebige Energie E
2) ψu(0) = 0 , ψu´(0) = 1/∆x
Für beliebig gewählte Werte von E steigt |ψ(x)| für x → ±∞ exponentiell an!
Diese Lösungen sind nicht normierbar! Und damit für gebundene Teilchen nicht akzeptabel!
Nur für bestimmte Werte von E gehen die Lösungen |ψ(x)| → 0 für x → ±∞ .
Diese speziellen Lösungen lassen sich normieren, ihre Aufenthaltswahrscheinlichkeitist endlich. Nur diese Lösungen sind akzeptable Lösungen für das quantenmechanische Problem.
Im Hinblick auf die Anwendungen in der Atomphysik interessieren uns hier vor allem die Lösungen für E < 0, also für gebundene Teilchen.
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eV2337.1e =ω
n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =
Grundzustand n = 0
E0 = 0.61691 eV
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eV2337.1e =ω
n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =
Anregungszustand n = 1
E1 = 1.85056 eV
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Anregungszustand n = 2
E2 = 3.08421 eV
n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =
eV2337.1e =ω
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Anregungszustand n = 13
E13 = 16.65495 eV
n12( ) 0,1, 2,3,...,E n nω= ⋅ + =
eV2337.1e =ω
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eV2337.1e =ω
E
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
n = 6
n = 7
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Gerade Ungerade Theorie
0.61691 0.61685
1.85056 1.85055
3.08421 3.08425
4.3179 4.31795
5.55156 5.55165
6.78535 6.78535
8.0189 8.01905
9.25275 9.25275
10.4862 10.4864
11.72015 11.7201
„Experimentell“ („Computational Physics“) wurden folgende Eigenwerte bestimmt: Es gilt: = 1.8743·1015 1/s
mD
=ω
eV2337.1e =ω
Man hat eine ausgezeichnete Übereinstimmung zwischen den numerisch bestimmten Werten und den Werten aus der analytischen Lösung.
In den meisten interessanten Fällen ist die Schrödinger-Gleichung nur numerisch lösbar. Die Vergleiche mit den analytischen Lösungen (sofern diese bekannt sind) dienen also dazu, die Genauigkeit der numerischen Lösungen abzuschätzen.
ω⋅+= )(:Erwartet 2/1nEn
D = 3.2 J/m2
Berechnet mit dem Applet ‚harmony.java‘
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Lösung der eindimensionalen Schrödinger-GleichungC-Programm Segment:#define NPUNKTE 1000
#define NINT 100
int i,j;
double x,deltx,xanf,xend,PSI,DPSI;
...
PSI = 1.0;
DPSI = 0.0; /* für gerade Lösungen */
deltx = (xend-xanf)/(double)(NPUNKTE-1)/(double)(NINT-1);
x = 0.0;
for(i=0;i<NPUNKTE;i++)
{
for(j=0;j<NINT;j++)
{ DPSI = DPSI + 2*m/(hbar*hbar)*(V(x)-E)*PSI*deltx; /* Neue Ableitung */
PSI = PSI + DPSI*deltx; /* Neue Wellenfunktion */
x = x +deltx;
}
psiwert[i] = PSI; /* Wert an der Stelle xi */
}
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8.3 Der Potentialtopf (Quantum well)8.3.1 Der Quantentopf mit unendlich hohen Wänden
+L/2-L/2 x
)()()(2 )(2
22xxVExdx
dm Ψ⋅−=Ψ−
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Gerade Lösungen Ungerade Lösungen
22
2222
)12(22
)cos()(
+⋅π⋅=⋅=
⋅⋅=ψ
nLmkmE
xkAx
ngn
nngn
22
2222
)2(22
)(sin)(
nLmkmE
xkBx
nun
nnun
⋅π⋅=⋅=
⋅⋅=ψ
Die Energieeigenwerte steigen quadratisch mit einer ganzen Zahl n = 0,1,2,3,... an.
Im quantumwell mit unendlich hohen Wänden gibt es abzählbar unendlich viele Energieeigenzustände.
Die Wellenfunktionen ψng(x) und ψnu(x) sind reell. Es sind stehende Wellen.
Der Impuls dieser Eigenzustände ist Null, d.h. das eingesperrte Teilchen bewegt sich mit keiner Vorzugsrichtung. Es ist stationär.
Dynamische Zustände (mit Bewegung) ergeben sich durch die kohärente Überlagerung mehrerer dieser Energieeigenzustände (kommt später).
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-2 -1 0 1 2-2
0
2
4
6
8
10
12
7.14452 eV
9.7696 eV
4.6632 eV
quantumwellneu.opj
1.18635 eV
2.65190 eV
0.29765 eV
Quantumwell10 eV tief1 nm breit
Ener
gie
(eV)
Abstand x (nm)
Quantumwell mit endlich hohen Wänden, numerische Lösung
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