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Zufallsmatrizen

Simone Warzel

Zentrum Mathematik, TUM

9 Vorlesungen: Dez. 2017

I. Einleitung Historisches und 2 Beispiele

1 Mathematische Statistik (≥ 1930)

Datenmatrix N empirischer Messungen von je M Zufallsvariablen (ZV):

Y =

y11 . . . y1M...

...yN1 . . . yNM

Empirisches Mittel der k ten Variable: k = 1, . . . ,M

yk =1N

N∑j=1

yjk

Empirische Kovarianzmatrix: Q = (Qlk )l,k=1,...,M

Qlk =1N

N∑j=1

(yjl − y l) (yjk − yk )

i.e. Q =1N(Y − Y

)T (Y − Y

)

Historisches und 2 Beispiele

Paradebeispiel einer Verteilung:

Die Zeilen der M × N-Matrix X (= Y − Y ) seien unabhänging undnormalverteilt mit Mittelwert 0, d.h., die Warscheinlichkeitsdichte einesZeilenvektors ist von der Form:

p(x) =1

(2π)N/2(det Σ)1/2 exp(−1

2〈x,Σ−1x〉

).

wobei Σ eine positiv definite M ×M-Matrix ist. (Kovarianzmatrix)

Die M ×M-Matrix

Q =1N

X T X

nennt man dann eine Zufallsmatrix des Wishart Ensembles.

Historisches und 2 Beispiele

2 Kernphysik (Wigner, Dyson ≥ 1950)

Statistische Erklärung der (hohen) Energiezustände von großen Kernen

(Aus Metha’s Buch)

Beobachtung: Lokale Statistik der Energieniveaus, die zur selbenSymmetrieklasse (Spin, . . . ) gehören, sind identisch verteilt wie dieEigenwerten einer Zufallsmatrix in dieser Symmetrieklasse.

Historisches und 2 Beispiele

(Aus Metha’s Buch)

Historisches und 2 Beispiele

Die Einträge der reellen, symmetrischen N × N-Matrix X seien (bis auf dieSymmetrie) unabhänging und normalverteilt mit Mittelwert null, E (Xjk ) = 0,und Varianzen

E(

X 2jk

)=

1 für j < k ,

2 für j = k .

Dann nennt man die N × N-Matrix

H =1√N

X

eine Zufallsmatrix des Gaußschen Orthogonalen Ensembles (GOE).

Interessante Fragen und Größen

1 Verteilung der Eigenwerte (EW) auf einer globalen Skala?

Histogramm der EW einer 1000× 1000-GOE Matrix(geeignet skaliert)

Grenzverteilung für N →∞?

(vgl. Wigner’s Halbkreisgesetz - Kap. II)

2 Verteilung der Eigenwerte auf einer lokalen Skala?

Beispiel: Eigenwerte λ1 ≤ · · · ≤ λN einer GOE-MatrixGrenzverteilung der Eigenwertabstände von GOE für Energien im’Bulk’, z.B. für k ≈ N/2:

limN→∞

ddt

P (N(λk+1 − λk ) < t) = fGOE (t)

(vgl. Bild auf Folie 5 und Kap. III)

3 Verhalten der Eigenvektoren?

Lokalisierte vs. Delokalisierte Eigenvektoren.

Universalität

Auftreten eines makroskopischen Gesetzes, welches unabhänging von denmikroskopischen Details des (physikalischen) Systems ist.

Paradebeispiel:

Theorem (Zentraler Grenzwertsatz)

Seien X1, . . .XN unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen mitMittelwert µ ∈ R und Varianz σ2 ∈ (0,∞). Dann konvergiert

SN :=1√N σ

N∑j=1

(Xj − µ)

für N →∞ in Verteilung gegen eine Standard-Normalverteilung N (0, 1),d.h., für alle t ∈ R:

limN→∞

P (SN < t) =

∫ t

−∞e−ξ

2/2 dξ√2π

.

Allgemeineres Phänomen: Maßkonzentration (vgl. Kap. I)

Universalität

Unabhängigkeit von Details der Verteilung der Einträge – Beispiel:

Für reelle, symmetrische N × N-Matrizen H mit Einträgen, welche (bis aufSymmetrie) unabhängig, identisch verteilt sind, sind folgende Größen nichtvon den Details der Verteilung abhänging:

1 Empirische Eigenwertverteilung (Wigner 1955)

2 Verteilung des größten Eigenwerts (Soshnikov 1999)

3 Lokale Verteilung der Eigenwerte im ’Bulk’(Schlein, Erdös, Ramirez, Yau, Yin, Tao, Vu > 2008)

Systeme, die sich ’wie Zufallsmatizen verhalten’ – Standardvorgehen:

Gegeben ein Datensatz (ak ). Reskaliere Daten ak := α (ak − A) so, dass

E(Anzahl der ak pro Einheitsinterval

)= 1

Vergleiche diesen reskalierten Datensatz mit den analog reskaliertenEigenwerten einer Zufallsmatrix.

Universalität

1 Zahlentheorie: Riemannsche Zetafunktion

ζ(z) =∞∑

k=1

1k z =

∏p∈Primes

(1− p−z)−1

, Re z > 1

(mittels analytischer Fortsetzung auf Re z ≤ 1) und ihre nichttrivialenNullstellen z = 1

2 + iγk .

Numerische Evidenz für die Gleichheit derreskalierten Abstandsverteilung γk+1 − γkund der Eigenwertabständsverteilung vonGUE Matrizen.

Universalität

2 Quantenchaos: Energieeigenwerte eines freien Quantenteilchens ineinem Billiard: H = −∆ auf L2(B).

Numerische Evidenzfür GOE-Eigenwertstatistik.

Bohigas-Giannoni-Schmit conjecture

3 Kombinatorik und Statistische Mechanik: In einer Reihe vonkombinatorischen Problemen und Problemen aus der StatistischenMechanik tritt die Verteilung des größten Eigenwerts von GOE/GUE auf.

Beispiele: größte aufsteigende Teilfolge in zufälligen Permutationen,Wachstumsmodelle (Polynukleares Wachstum, Ising-Droplets, . . . )

Literatur

G.W. Anderson, A. Guionnet, O. Zeitouni,An Introduction to Random Matrices,Cambridge University Press 2010.

P. J. Forrester,Log-Gases and Random Matrices,Princeton University Press 2010.

M. L. Metha,Random Matrices (third edition),Elsevier 2004.

T. Tao,Topics in Random Matrix Theory,AMS 2012.

(+ Vorlesungsnotizen)