View
222
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Weitere Beispiele
Ideale AbtastungJetzt sind wir in der Lage, die Abtastung formal zu
fassen und zu beschreiben:
Gegeben:
• kontinuierliche Bildfunktion
• Diracfeld
� � � � � � � � ���
( , ) ( , )= − −=−∞
∞
=−∞
∞
∑∑ δ ∆ ∆
� � �( , )0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
23
4
0
10
20
30
40
50
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
12
34
56
7
R1
R2
R3
R4
R5
0
0 ,1
0,2
0 ,3
0,4
0,5
0 ,6
0,7
0,8
0,9
1
Ideale Abtastung
• Wir definieren als abgetastetes Bild:
� � � � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � � � � �
� � � � � ������ � � � � � � � � �
�
� �
� �
= ⋅
= ⋅ − −
= ⋅ − −
= = = =
=−∞
∞
=−∞
∞
∑∑
∑∑
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ,
,
,
δ
δ
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆0
Ideale Abtastung������������������ ������� ��������������� �
�� �������������� ������� ����� ���������� �������� ����
� � � � � � �� = ⋅( , ) ( , )
� � � � � �
� � � � � �
�
� �
����� � � ��� �
( , ) ( , ) ( , )
( , ),
/ /
= ⊗
= − −=−∞
∞
∑∑= =
∆ ∆ ∆ ∆
∆ ∆ ∆ ∆
4 2
2 2
ππ π
Veranschaulichung der idealen Abtastung
x
y
∆y
∆x
u
v
bubv
� � ( , )� � �( , )
� � V( , )
u
v
∆∆
��
= 2π
∆∆
�
= 2π
Veranschaulichung der idealen Abtastung
x
y
∆�
∆�
Veranschaulichung der idealen Rekonstruktion
x
y
∆�
∆�
f(x,y) kann durch einen idealen Tiefpaß mit
� � � ���� �
��� �� � �� ��� � �
( , ) ( , )=
< < − < < −
∆ ∆
∆ ∆
ξη
ξ η
rekonstruiert werden.
�X
∆�v
u
�Y
∆
Abtasttheorem (1)
Ein bandbegrenztes Bild f(x,y), das orthogonal mit Abtastintervallen abgetastet wird, kann fehlerfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenzen größer als die Nyquist-Frequenzen sind.
∆ ∆� �,
12
12
∆ ∆�� �
� �� � � = > = >,
mit
� � �� ( , ) , ,ξ η ξ η= > >0
� �X Y,
� V V,
Abtasttheorem (2)
Ein diskretes Bild läßt sich mit Hilfe eines (idealen) Tiefpasses mit der Übertragungsfunktion
rekonstruieren, so daß dieses mit dem ursprünglichen Signal identisch ist. Das rekonstruierte Bild ist dann
� � � � ��� � � ��
� � � ��� � �
� � � � � � �
��
� �
��
( , ) ( , )
( , ) sinc( ) sinc( )
=
< < − < < −=
∆ ∆
∆ ∆∆ ∆
ξη
ξ ηξ η
� � �G( , )
� � � � � � � �
��
�
��
�
��
�
��
�QP
( , ) ( , )sin( )
( )
sin( )
( )=
−
−
−
−=−∞
∞
=−∞
∞
∑∑ ∆ ∆ ∆
∆
∆
∆
π
π
π
π
sinc-Funktion-1D
�����
�
����
���
����
�
����
� ��
�( )
sin=
π 2π 3π 4π−π−2π
2D-SINC -Die ideale Rekonstruktionsfunktion
-6,2
83
-4,7
12
-3,1
42
-1,5
71
0,00
0
1,57
1
3,14
2
4,71
2
6,28
3
7,85
4
9,42
5
10,9
96
12,5
66
0,000
1,571
3,142
4,712
6,283
7,854
9,425
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,9-1
0,8-0,9
0,7-0,8
0,6-0,7
0,5-0,6
0,4-0,5
0,3-0,4
0,2-0,3
0,1-0,2
0-0,1
-0,1-0
-0,2--0,1
-0,3--0,2
� � ��
��
�( , )
sin sin= ⋅
2D-SINC -Die ideale Rekonstruktionsfunktion
-6,2
83
-4,7
12
-3,1
42
-1,5
71
0,00
0
1,57
1
3,14
2
4,71
2
6,28
3
7,85
4
9,42
5
10,9
96
12,5
66
0,000
1,571
3,142
4,712
6,283
7,854
9,425
-0,3
-0,2
-0,1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0,9-1
0,8-0,9
0,7-0,8
0,6-0,7
0,5-0,6
0,4-0,5
0,3-0,4
0,2-0,3
0,1-0,2
0-0,1
-0,1-0
-0,2--0,1
-0,3--0,2
� � ��
��
�( , )
sin sin= ⋅
Reale Abtastung und Rekonstruktion
Die Forderungen des Abtasttheorems sind in realen Systemen nicht zu erfüllen. Im einzelnen:
● Bandbegrenzung: Reale Bildvorlagen sind nicht bandbegrenzt Aliasing (1.Art)
● ideale Abtastung (mit Diracimpuls): Reale Abtasterhaben endliche Apertur Unschärfe
● ideale Rekonstruktion (mit sinc-FunktionReale): nur Approximationen möglich Aliasing (2.Art)
Ursachen - Effekte -Maßnahmen
Aliasing 1. Art im 2D
x
y
∆�
∆�
ALIASING
Aliasing 1. Art - Ursachen und Artefakte
• Ursache: Unterabtastung, Überlappung der Spektren
• Durch nachträgliche Filterung nicht korrigierbar!
• Artefakte:– Moirees
– Perlschnüre
– Aufblitzen (Szintilation) nur in Bewegtbildern
Aliasing 1. Art - Maßnahmen
• Bandbegrenzung des abzutastenden Bildes durch z.B.– optische Unschärfe
• einfach, adhoc einsetzbar
• wenig effektiv, weil Filterflanken nicht steil genug
• erfordert Abtastraten deutlich über Nyquistfrequenz
• deutlich sichtbare Unschärfe
– endliche Abtastapertur • hat Tiefpaßwirkung (siehe nachfolgend)
– beim Rendering (Behandlung später)
Reale Bildrekonstruktion - Anzeige• Ideale Rekonstruktion mit sinc-Funktion
nicht realisierbar
• praktische Lösungen:– Rechteckausgaben (zero-order hold)– Artifakte:
• Treppenstufen Aliasing 2. Art• Ameisenkrabbeln (ant crawling) nur im Bewegtbild
– in der Praxis auf CRT teilweise gemildert durch:• horizontal: Tiefpaßwirkung des Videoverstärkers
• vertikal: Gaußfunktion des Elektronenstrahls
• hochfrequentes “Rauschen” durch Lochrastermaske
– auf LCDs deutlich sichtbar!
Das Hauptproblem: Ortsaliasing
• Antialising beim Rendering -Die Ortsabtastung bei der Bildgenerierung
• Übersicht zu den Verfahren
• Bewertungen
• Ein Spezialproblem - Bildüberlagerung
Einordnung:Rendering, Bildbearbeitung, Abtastung
DigitalesBild
Digital-video
Graphik Animation
statischeModelle
dynamischeModelle
Reiz
Rendering
AbtastungBildbearbeitung
Abtastung mit endlicher Apertur
Apertur: kleines Fenster im Ortsbereich, innerhalb dessen ein Abtastwert durch gewichtete Summation beiträgt.
Beispiele:– CCD Chip: nahezu rechteckförmig– Röhre: Gausfunktion
bei Aufnahme von Realbildern aus energetischen Gründen unvermeidbar
Analyse und Folgerungen
endliche Apertur hat Tiefpaßwirkung– Röhre: Gaußfunktion relativ gut– CCD: Rechteck (sinc!) nicht harmlos!
Apertura(x,y) H(u,v)
f(x,y) f’’(x,y) fd(x,y)
s(x,y) (Diracfeld)
� � � � � � � � � �������
� � � � � �
’( , ) ( , ) ( , ) ( )
’( , ) ( , ) ( , )
= ⊗= ⋅
Was für ein Filter (shape)?Region of Support?
• Idealer Tiefpaß wäre sinc-Funktion
• Pixelbreite sei x, dann Nyquist Frequenz 1/2x
• Sync-Funktion 1. Nullstelle 1Pixel Abstand also 2Pixel breit
• Approximationen:– Box
– Dreieck � Bartlett
– Gauß
Übersicht Rekonstruktion1
∆[
−∆[2
∆[2
10.
1
∆[10.
10.
2∆[
1
∆[10.
2 0ξ[
2σ
∆[∆[
4 0ξ[
4 0ξ[
( )sinc 1
x0sinc 2
y0
ξξ
ξξ
sinc 1
x0sinc 2
y0
ξξ
ξξ
2
H
− +
2 2 2
12
22π σ ξ ξ
( )rect 1
x0rect 2
y0
ξξ
ξξ
1
2 2
2
2 2
πσσ
H
[
−
1
∆ ∆[
WUL
[
[
1
∆ ∆[
UHFW
[
[
1
∆ ∆[
[
[
sin c
Veranschaulichung des nicht bandbegrenzten Abtastens
Maßnahmen beim Rendering
• Area-Sampling (endliche Apertur)– unweighted (Rechteck, wie beim CCD-Chip)
• Catmull [CATM 78]
– verbessert: A-Buffer (Pixelsubmasken)• Carpenter [CARP 84]
– weighted (welche Funktionen)• Abram, Westover, Whitted [ABRA 85]
• Supersampling und Digitale Filterung
Unweighted Area Sampling:Probleme
Weighted Area Samplingohne overlap
A-Buffer Algorithmus
A
B
=
=
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
BetrachteterBereich
=
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1
0 0 0 0 0 0 1 1
xor xor
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
=
A-Buffer AlgorithmusPro und Cons
• Pro: Geringerer Aufwand als Catmull
• Con: Kein Einfluß auf Nachbarpixel
Box-Filter (Rechteck) ist schlechter Tiefpaß
Weighted Area Sampling with Overlap
Weighted Area Sampling with Overlap nach [ABRA 85]
A B C
D E F
G H I
Supersampling: die diskrete Variante des Area Samplings
DigitalesBild
Graphik
n x m
n x m
pn x pm
Dig. Filter
Tiefpaß
Beispiele für Filterdesign
• Bartlett-Fenster: Dreieck– Gaus-Fenster
– Hanning-Fenster: Cosinusquadrat
– Kaiser-Bessel-Fenster
Beispiele für Filterkerne
1 2 3 4 3 2 12 4 6 8 6 4 23 6 9 12 9 6 34 8 12 16 12 8 43 6 9 12 9 6 32 4 6 8 6 4 21 2 3 4 3 2 1
1 4 8 10 8 4 1 4 12 25 29 25 12 4 8 25 49 58 49 25 8
10 29 58 67 58 29 10 8 25 49 58 49 25 8 4 12 25 29 25 12 4 1 4 8 10 8 4 1
7x7 Bartlett Filter 7x7 Gauss Filter
1 2 3 2 12 4 6 4 23 6 9 6 32 4 6 4 21 2 3 2 1
5x5 Bartlett Filter 3x3 Bartlett Filter
1 2 12 4 21 2 1
Weitere Möglichkeiten beim Filterdesign
• Tschebyscheff-Approximation:– füllt vorgegebenes Toleranzschema optimal aus
– konstante Welligkeit im Durchlaß- und Sperrbereich
– Achtung: die berechneten Koeffizienten müssen genau genug realisiert werden
– bei 8/9 Bit Wortlänge gehen Vorteile gegenüber Kaiser-Bessel verloren
SupersamplingPro und Cons
• Con: Löst das Aliasing-Problem 1. Art nur unvollständig: ������������ d.h. es gilt
• Artefakte sind durch nachträgliche Filterung nicht vollständig korrigierbar! aber
• Daumenregel: 4-faches Oversamplingliefert zufriedenstellende Ergebnisse bei scharfen Konturen Texturen können noch Probleme bereiten
Weitere Tricks
• “leichtes” Rauschen kann Effekte noch weiter reduzieren
• Achtung: nur subjektive Wirkung:
lediglich (für den Menschen) weniger störend
• vorsichtig einsetzen!
Bildüberlagerung������������ !!!����!����!���!"���
• Idee: die aufwendigen Operationen des Renderingwerden “offline” ausgeführt:“precomputed”
• Ergebnis wird “nur noch” zusammengesetzt • richtig gemacht lassen sich Bildteile selektiv
löschen und einschreiben • relativ einfache Operation nötig (s.u.)
Unterstützung durch Harrdwaremöglich
Einführung α-Channel
Pixel ist weder rot noch grünBeispiel: 70% grün, 30% rotBeim Rendering wird Überdeckungsinformation(coverage) generiert: ������������ ������������������� z.B. (0,1,0,0.7)
Überlagerung von Bildern
no overlap total overlap proportional overlap
α -Wert liefert keine geometrischen Angaben
Annahmen: (1) proportional overlap gilt !!!,(2) Gleichverteilung für Geometrie
dann gemeinsame Überdeckung = α Α α Β
30%
50%
Flächengrößen und mögliche Farben
���� ��� ������� �������
w eder-noch (1-α A) (1-α B) 0
nur A α A(1-α B) 0,A
nur B α B(1-α A) 0,B
beide α A α B0,A ,B
Potentielle Überlagerungsmöglichkeiten (1)
Es sei:Result. Farbe cComp und Coverage α Comp :
cComp = FA cA + FB cB
α Comp = FA α A + FB α B
FA, FB : Anteil des Pixels aus Bild A bzw. B
Quadrupel: Farben für die Fälle(weder A noch B, A, B, beide)
Potentielle Überlagerungsmöglichkeiten (2)
operation quadrup le diagram F A F B
clear (0, 0 , 0 , 0) 0 0
A (0, A , 0, A) 1 0
B (0 , 0 , B , B ) 0 1
A over B (0, A , B , A ) 1 1-α A
B over A (0, A , B , B ) 1-α B 1
A in B (0, 0 , 0 , A ) α B 0
B in A (0 , 0 , 0 , B ) 0 α A
A held out by B (0, A , 0, 0 ) 1-α B 0
B held out by A (0 , 0, B , 0) 0 1-α A
A atop B (0, 0 , B , A ) α B 1-α A
B atop B (0, A , 0, B ) 1-α B α A
A xor B (0, A , B , 0 ) 1-α B 1-α A
Weitere Funktionsmöglichkeiten mit dem α-Channel
• darken
• fade
• opaque
• fade (A,t) plus fade (B, 1-t)
Weitere hier nicht behandelte Probleme
• Wie gewinnt man α-Wert, wenn die Ausgangsbilder dies nicht haben:
siehe Fiskin-Barsky [FISH 84]
Zusammenfassung
• Supersampling (trotz der bekannten Nachteile) ist oft günstigste Alternative Auswahl geeigneter Filter nötig, ggf. Designvorgaben/Richtlinien ermitteln
• Compositing mit α-Channel ist geeignetes Update-Verfahren
• ggf. HW-Unterstützung realisieren
Recommended