Fourier-Transformation

Transformationspaar eines (zeitlich unbegrenzten) Sinus-Signals

Fourier-Transformierte von u(t):

F(ω) ist komplex:

Amplitudenspektrum:

Phasenspektrum:

Inverse Fourier-Transformation:

Diskrete Fourier-Transformation

)()( Tthth += Periodische Funktion

( ) ( )( )∑∞

=

++=1

000 sincos

2)(

nnn tnbtnaath ωω Fourier-Entwicklung

Tπω 2

0 =

∫+

⋅=Tt

t

dtthT

a0

0

)(20

∫+

⋅⋅=Tt

tn dttnth

Ta

0

0

)cos()(20ω

∫+

⋅⋅=Tt

tn dttnth

Tb

0

0

)sin()(20ω

Fourier-Koeffizienten

mit:

Spektren-Darstellung

Zu jeder Frequenz des Spektrums gehört die Angabe der Amplituden von Cosinus- bzw. Sinus-Anteil. Diese Anteile entsprechen dem Real- bzw. Imaginärteil einer komplexen Zahl. Das (komplexe) Spektrum lässt sich also in ein (reelles) Spektrum der Realteile (Cosinus) und in ein (reelles) Spektrum der Imaginärteile (Sinus) aufspalten.

Das Spektrum lässt sich auch durch die Angabe von Betrag und Phase darstellen. Bei vielen Problemstellungen kommt es im Wesentlichen auf den Amplituden-Frequenzgang (Betrag) an, während der Phasen-Frequenzgang (Phase) eine untergeordnete Rolle spielt.

Lineare Regression

3 4 5 6 7 8 9 10 11 121

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Y

X

Messwerte Lineare Regression

Linear Regression:Y = A + B * X

Parameter Wert Error------------------------------------------------------------A -2,01423 0,0528B 1,00526 0,00662------------------------------------------------------------

R σ N------------------------------------------------------------0,99978 0,05408 12------------------------------------------------------------

Der Korrelationskoeffizient R ist eine Größe zur Kennzeichnung der Güte des unterstellten (linearen) Zusammenhangs zwischen den Wertepaaren xi und yi.

Fit„Fit“(nicht-lineare Kurvenanpassung) Verallgemeinerung der linearen Regression •basierend auf der Methode der kleinsten Quadrate

Gesucht wird eine angenäherte Funktion y*(c,t), deren Parameter c so anzupassen sind, dass die bestmögliche Anpassung an die diskreten Werte erreicht wird.

Polynom 2.Grades Polynom 6.Grades Polynom 9.Grades

Problem: Wahl der „Fit“-Funktion !

Signal-Grundformen

Signal-Parameter

Nichtperiodische Signale

Stochastische Signale

Signal-Arten

z.B. Spannung am Drucksensor

z.B. Gerät sendet nur Messwert,wenn dieser sich verändert hat

z.B. Periodische Aktualisierungeiner Balkenanzeige

z.B. Ausgang eines A/D Wandlers

Digitalisierung

• Von den normalerweise zeitkontinuierlichen Signalen am Eingang des Messgerätes werden zu bestimmten Zeiten Proben entnommen (Momentanwerte).

• Durch diese Abtastung geht die Information über den Signalverlauf zwischen den Abtastpunkten verloren.

• Das Signal liegt jetzt in zeitdiskreter Form vor und kann als Folge von Einzelwerten gespeichert und verarbeitet werden.

• Wegen der Umsetzung im A/D-Wandler (z.B. 12 oder 16 Bit) liegt das Signal jetzt in zeit-und wertdiskreter Form (z.B. 4096 oder 65536 mögliche Werte) vor (abgetastet undquantisiert).

• Der Vorgang der Abtastung heißt auch "Sampling".• Um etwas über die Kurvenform des erfassten Signals aussagen zu können, sollte man

genügend Abtastpunkte des interessierenden Details zur Verfügung haben.

Abtastung

A/D-WandlerQuantisierung

Analoges Signalzeitkontinuierlichwertkontinuierlich

Digitales Signalzeitdiskretwertdiskret

A/D-Wandlerz.B. 12 ... 16 Bit4096 ... 65536 Werte

Aufnehmer/Sensor

Vor- und Nachteile der digitalen Signalverarbeitung

Vorteile der digitalen Signalverarbeitung- Einsatz mikroelektronischer integrierter Komponenten- keine Probleme mit Temperatur- und Speisespannungsschwankungen- keine Einflüsse von Bauteiltoleranzen auf die Genauigkeit der gewünschten Funktion- hohe Genauigkeit, die sich durch Vergrößerung des Aufwandes “nahezu beliebig” erhöhen lässt- keine Abgleichvorgänge- exakte Reproduzierbarkeit, da Abarbeitung arithmetischer Operationen (Nachbildung mit Hard-, Software)- einfacher Anschluss an digitale Umwelt für komplexe Weiterverarbeitung- Flexibilität durch einfache Programm-Änderung bei Softwarerealisierung- keine Begrenzung des Dynamikbereiches durch Eigenrauschen der passiven und aktiven Bauelemente- teilweise sind Eigenschaften zu erzielen, die mit analogen Systemen nicht erreichbar sind

(z.B. streng lineare Phase bei Filtern)

Nachteile der digitalen Signalverarbeitung- Grenzen zu kleinen Amplituden und höheren Frequenzen hin (Prozessor- und algorithmusabhängig)- bei Verarbeitung analoger Signale mehrfache Wandlung erforderlich- Quantisierungs-, Rundungsrauschen durch begrenzte Wortlänge bei der Realisierung- weitere spezielle Effekte (z.B. Überlaufschwingungen, Grenzzyklen)

AbtastungFrage: Geht beim Abtasten Information verloren ?

Wann ist die Signalrekonstruktion exakt möglich ?

Signalfrequenz: = 1HzfS

Abtastperiode: T = 0.5s

Abtastfrequenz: = 1/T = 2HzfA

Abtastfrequenz: = 1/T = 2HzfA

Signalfrequenz: = 1.2HzfS

Abtastfrequenz: = 1/T = 2HzfA

Signalfrequenz: = 0.8HzfS

Abtastung nicht eindeutig !

Fazit: Enthält das abzutastende Signal Frequenzen, die größer (oder gleich) derhalben Abtastfrequenz sind, so ist der Zusammenhang zwischenAbtastwerten und dem kontinuierlichen Signal nicht eindeutig.

Ein Signal kann aus seinen Abtastwerten nur dann eindeutig rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz mehr als doppelt so groß wie die höchste

im Signal vorkommende Frequenz ist.

Lehrsatz mit der größten Bedeutung innerhalb der Instrumentierung !

Abtasttheorem(Nyquist/Shannon)

Experimenteller Beweis:Bereits eine Abtastfrequenz von 2.2Hz erlaubt die eindeutige Rekonstruktion einer 1Hz Sinusschwingung (blaue Linie überdeckt grüne Linie).

( )minmax*2 fff A −>SA ff *2> (allg. Form)

Mathematischer BeweisPeriodische Funktion:

Grundschwingung:

Annahme: keine Frequenzen größer als N*f1

(durch analoge Filterung), N=10

Exakte Beschreibung von h(t):

Folglich müssen wir noch 2N+1 (21) Koeffizienten bestimmen und benötigen dafür 21 unabhängige Gleichungen.

Wenn wir nun 21 mal in der Periode abtasten, erhalten wir 21 Gleichungen für h(tm) mit t = 0...20:

Sinnvollerweise sind die Abtastpunkte äquidistant:

Für die minimale Abtastfrequenz bei gegebener höchster Signalfrequenz erhalten wir:

AliasingBefund:Ist die Abtastfrequenz kleiner als die halbe Signalfrequenz (weniger als zwei Punkte pro Schwingung), gibt es immer eine Interpolation (Rekonstruktion) mit niedrigerer Frequenz als das Original. Dies wird als Aliasing-Effekt (Informationsverfremdung) bezeichnet. Die beiden möglichen Frequenzen scheinen an der Abtastfrequenz gespiegelt zu sein (Spiegelfrequenz).

Lösung:• Erhöhung der Abtastfrequenz über das Doppelte der im Signal vorkommenden Frequenzen. Dazu muss das Spektrum des Signals schon bekannt sein. Natürlich gibt es hier technische Grenzen (Abtastfrequenz und Speicherkapazität) !• Analoge Tiefpass-Filterung (oder auch Bandpass-Filterung) des Signals vor der Abtastung. Dazu ist ein Anti-Aliasing-Filter mit steiler Filterflanke erforderlich.

Zeitsignal

Spektrum

FourierTransformation

Signal von 4Hz erscheint an Abtastfrequenz von 7Hz gespiegelt bei 3HzAbtasttheorem verletzt (7Hz) Abtasttheorem erfüllt (10Hz)

Signalrekonstruktion

f = 8 *A

fS

(4-faches Oversampling)

Sägezahn

Dreieck

Rechteck

Daten-Eingabe

Daten-Ausgabe

FFT

Signal Generator

ArrayTeilung

Instrumentierung - Blockbild

Visual Studio .NET 2003 mit National Instruments Measurement StudioAliasing

Instrumentierung - Beispiel

SignalanpassungDie Messwerterfassung muss zur Vermeidung systematischer Fehler optimiert werden !!!

• analoge Signale durch Vorverstärkung an den Arbeitsbereich von A/D-Wandlern anpassenDer bei A/D-Wandlern prinzipiell nicht zu vermeidende Quantisierungsfehler wirkt sich vor allem bei kleinen Signalen stark aus.

• durch analoge Filter unerwünschte Störungen beseitigenStörungen in analogen Signalen sind Informationen, die ursächlich nichts mit der Messgröße zu tun haben. Sie entstehen durch

Rauschen von Sensoren und Verstärkern oder durch elektromagnetische Einwirkungen auf die Signalleitungen und können die Ergebnisse verfälschen. Oftmals helfen Filter, um vor der Digitalisierung die unerwünschten Anteile aus den Signalen zu beseitigen. Filter sind elektronische Sperren, die den Durchlaß von Signalen nach dem Frequenzbereich regeln. Zum Beispiel lässt ein Tiefpassfilter nur die Signalanteile passieren, deren Frequenz kleiner als die (wählbare) Grenzfrequenz des Filter ist, somit werden hochfrequente Störanteile im Signalstrom unterdrückt.

• die höchste im Signal enthaltene Frequenz begrenzen (Antialiasing-Filter)Bei der Abtastung eines analogen Signals gilt das Shannonsche Abtasttheorem: fa > 2* fg. Wird diese Bedingung nicht

eingehalten, kommt es zu Aliasing-Effekten (Überlappung), die bei Frequenzanalysen zu völlig falschen Ergebnissen führen. Diese Fehler sind nur vermeidbar, wenn man vor der Abtastung, also im analogen Bereich, die Shannonsche Bedingung durch den Einsatz von Antialiasing-Filtern (Tiefpaß) erfüllt.

• durch galvanische Trennung von Sensor und A/D-Wandler die Entstehung von Störspannungen vermeiden

Beim Zusammenschalten elektrischer Geräte kommt es zu Verbindungen über verschiedene Leitungen: Netzkabel (Spannungsversorgung) und Leitungen für die Signalübertragung. Dadurch entstehen oftmals Potentialunterschiede, die in den Signalen niederfrequente Störungen induzieren und die „Signalqualität“ erheblich beeinträchtigen. Abhilfe schafft hier die sogenannte galvanische Trennung. Die Signale werden optisch übertragen und damit ist zwischen Messeinrichtung und Rechnereingang eine isolierende Verbindung hergestellt.

(1) Welches Signal (bei gleicher Frequenz) benötigt die höchste Abtastfrequenz, wenn mit Hilfe der Abtastwerte das Originalsignal mit einem Fehler kleiner 5 % (mittlere quadratische Abweichung bezogen auf RMS) rekonstruiert werden soll ? Geben Sie die richtige Reihenfolge an.

A: Sinus, Sägezahn, Dreieck, RechteckB: Rechteck, Sägezahn, Dreieck, SinusC: Dreieck, Sägezahn, Sinus, Rechteck

(2) Gegeben ist eine ideale Rechteckschwingung der Frequenz 1Hz.Geben Sie die minimale Samplingrate an, die notwendig ist, um aus den Abtastwerten die Originalfunktion fehlerfrei wiederzugeben. Begründen Sie die Entscheidung !

A: 2 HzB: 10 HzC: 1kHzD: 1MHzE: ∞

Denkanstösse