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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
Bildbasierte Losung vonPartiellen Differentialgleichungenmit Composite Finite Elements
Vortrag im Diplomandenseminar 2010 / 2011
Sebastian Westerheide
sebastian.westerheide@uni-muenster.de
31.01.2011
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
Ubersicht
1 EinleitungMotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
2 Diskretisierung mit CFEsGrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
3 Implementierung und numerische ErgebnisseImplementierungNumerische Ergebnisse
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
MotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
Motivation (1/3)
Motivation:
Die mathematische Modellierung und Simulation vielerphysikalischer Prozesse basiert auf dem Losen von partiellenDifferentialgleichungen (PDEs)
Zunehmende Popularitat von Anwendungen aus dem Bereichder Biologie und Medizin
z.B. makroskopische Simulationen, die Radiologen undChirurgen mit Informationen zur Behandlungsplanungversorgen
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
MotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
Motivation (2/3)
Dabei:
Gewinnung des Rechengebiets haufig durch bildgebendeVerfahren
Typische Vorgehensweise:CT
Segmentierung
Simulation
Die untersuchten Objekte enthalten oftmals eine große Anzahlan geometrischen Details
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
MotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
Motivation (3/3)
Diese mussen auch in makroskopischen Simulationenberucksichtigt werden, da das Auflosen der Mikroskalazu verlasslicheren Ergebnissen fuhrt
=⇒ Das Rechengebiet besitzt haufig eine extremkomplexe Form
Also benotigt: Verfahren zur numerischen Losung von PDEs aufpotentiell komplizierten Gebieten beliebiger Dimension, die durchsegmentierte Bilddaten gegeben sind.
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
MotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
Ansatze fur ein numerisches Losungsverfahren (1/2)
Ansatz 1:
Grundsatzlich ist die Finite Elemente Methode (FEM) eingeeignetes Verfahren
In Verbindung mit einem auf Bilddaten zugeschnittenenGittergenerator
Aber: Klassische FEM basiert auf einem Gitter, welches dasRechengebiet in einfache geometrische Objekte zerlegt
Problem:
Auflosung des Randes ⇒ extrem feine Gitter beiRechengebieten mit einer komplexen Form
=⇒:
Hohe Anzahl von FreiheitsgradenDiskretisierung auf einer rein groben Skala nicht moglich
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
MotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
Ansatze fur ein numerisches Losungsverfahren (2/2)
Ansatz 2:
Konstruktion von FE-Raumen unter Benutzung eines von derGeometrie unabhangigen Gitters
Dazu: Konstruiere Basisfunktionen so, dass sie zum Rand desRechengebiets passen und gegebene Randbedingungen erfullen
Wir wollen uns mit sogenannten Composite Finite Elements(CFEs) bzw. CFE-Raumen beschaftigen
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Ubersicht
1 EinleitungMotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
2 Diskretisierung mit CFEsGrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
3 Implementierung und numerische ErgebnisseImplementierungNumerische Ergebnisse
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Modellproblem
Als Modellproblem betrachten wir dieDifferentialgleichung
−∇ · (A∇u) + cu = f in Ω,
zusammen mit der Randbedingung
u = gD auf ΓD,
(A∇u) · n = gN auf ΓN .
A : Ω→ Rd×d
c : Ω→ R
f : Ω→ R
gD : ΓD → R
gN : ΓN → R
Ω ⊂ Rd beschranktes Gebiet mit Lipschitz-Rand ∂Ω, d ∈ N∂Ω = ΓD ∪ ΓN
∃a0 ∈ R+ mit A(x)− a0I positiv definit ∀x ∈ Ω
c > 0 zur Vereinfachung der Darstellung
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Schwache Losung
Die Bestimmung einer schwachen Losung fuhrt zu einemVariationsproblem: Finde ein u ∈ X, so dass
B(u, v) = `(v) ∀v ∈ X
Mit einer Bilinearform B : X ×X → R und einem linearenFunktional ` : X → R, welches von der Randbedingungabhangt
Je nach Randbedingung:
X = H1(Ω) oder X = H10 (Ω) :=
v ∈ H1(Ω) | v|ΓD
= 0
Existenz und Eindeutigkeit nach dem Lax-Milgram Lemma
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Numerische Approximation
Grundlage fur eine numerische Approximation der Losungdieses Variationsproblems bildet die Galerkin-Methode
Wahle einen endlichdimensionalen Unterraum Xh ⊂ X undbetrachte das zugeordnete diskrete Variationsproblem:Finde ein uh ∈ Xh, so dass
B(uh, vh) = `(vh) ∀vh ∈ Xh (1)
Existenz und Eindeutigkeit nach dem Lax-Milgram Lemma
Wahl einer Basis von Xh ⇒ (1) kann aquivalent als LGSaufgefasst werden
Zu konstruieren: endlichdim. Unterraume von H1(Ω) und H10 (Ω)
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
CFEs und CFE-Raume (1/2)
Idee [Hackbusch und Sauter, 1995]:
Wahle ein Gitter T , welches das Rechengebiet lediglichuberdecken braucht
Zerlege den in Ω enthaltenen Teil jedes Gitterelements K ∈ Tin viele feinere geometrische Objekte
Weise den feineren geometrischen Objekten klassische FiniteElemente zu
Setze diese unter geeigneten Nebenbedingungen zu einemComposite Finite Element auf K zusammen
Fuge die CFEs wie bei der klassischen FEM global zu einemRaum zusammen (→ CFE-Raum)
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
CFEs und CFE-Raume (2/2)
Hier:
CFE-Raume basierend auf simplizialen Gittern und CFEs, dieaus simplizialen Lagrange Elementen zusammengesetzt werden
Vorgestellter Konstruktionsprozess:
CFE-Raume ursprunglich als Grundlage eines schnellen Loserskonzipiert
Basierend auf der Vergroberung von Finite Elemente Raumen
Konstruktionsprozess wird eine Hierarchie von immer feinerwerdenden Gittern liefern (→ CFE-Triangulierungen)und eine zugehorige Kette von CFE-Raumen aufsteigenderDimensionalitat
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Erzeugung von CFE-Triangulierungen
Wir generieren eine Sequenz T0, . . . , Tlmax von immer feinerwerdenden Gittern mit Gebieten Ω0 ⊃ . . . ⊃ Ωlmax im Rd.
Tlmax wird die Grundlage fur das Zusammensetzen derklassischen FE liefern ⇒ es muss gelten: Ωlmax = Ω
H10 (Ω)⇒ Tlmax muss zudem ΓD ⊂ ∂Ω auflosen
Sei ein polygonal berandetes Rechengebiet Ω gegeben, z.B.
Erzeugung in drei Schritten
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Schritt 1: Referenz-Triangulierungen
Verfeinerung eines initialen Gitters, welches Ω uberdeckt, sodass jedes Gitterelement vollstandig in Gitterelemente auf dernachst feineren Ebene zerfallt
Naturliche Hierarchie durch Ineinanderschachtellung
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Schritt 2: Zwischen-Triangulierungen
Anpassung an den Rand ∂Ω durch Verschiebung randnaherEckknoten auf den Rand
Logische Hierarchie wird geerbt
Ω polygonal berandet, Verfeinerung in Schritt 1 fein genug⇒ feinste Zwischen-Triangulierung besitzt geeignetes Tlmax
als Teilmenge
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Schritt 3: CFE-Triangulierungen
Entfernen aller Gitterelemente, die nicht zur Konstruktionder CFE-Raume benotigt werden (→ Ω0 ⊃ . . . ⊃ Ωlmax)
Logische Hierarchie wird geerbt
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Konstruktion von CFE-Raumen (1/4)
Definieren nun eine Kette von zugehorigen CFE-RaumenSCFE
0 ⊂ . . . ⊂ SCFElmax
Gemeinsames Framework fur H1(Ω) und H10 (Ω)
Sei l ∈ 0, . . . , lmax fixiert und k ∈ N ein fixierterPolynomgrad
Notation (klassische Raume simplizialer Lagrange Elemente):
Sl :=v ∈ C0(Ωl) | v|K ∈ Pk(K) ∀K ∈ Tl
SCFEl kann als eine Anpassung des Raumes Sl an das
Rechengebiet Ω interpretiert werden
H10 (Ω) ⇒ zudem eine Anpassung an Null-Randwerte auf
ΓD ⊂ ∂Ω
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Konstruktion von CFE-Raumen (2/4)
l = lmax:
Hochstens Anpassung an Null-Randwerte notig, da Ωlmax = Ω
SCFElmax
:= Slmax oder SCFElmax
:= Slmax ∩H10 (Ω)
l < lmax:
Anpassung mit einem linearen Operator Ilmax,l : Sl → SCFElmax
(→ Prolongationsoperator)
Dieser setzt fur jedes vl ∈ Sl eine angepasste Funktionvlmax ∈ SCFE
lmaxzusammen
Linearitat ⇒ die entstehenden Funktionen bilden einenUnterraum von SCFE
lmax
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Konstruktion von CFE-Raumen (3/4)
Definition (CFE-Raume)
Fur l < lmax definieren wir
SCFEl := im(Ilmax,l) = v ∈ C0(Ω) | ∃vl ∈ Sl : v = Ilmax,l[vl]
wobei Ilmax,l : Sl → SCFElmax
in Abhangigkeit von der gewunschtenApproximationseigenschaft gewahlt wird.
Ilmax,l kann auf die Definition von linearen 1-Schritt-Operatoren Im+1,m : Sm → Sm+1, m ∈ l, . . . , lmax − 1zuruckgefuhrt werden:
Ilmax,l := Ilmax,lmax−1 Ilmax−1,lmax−2 · · · Il+1,l
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GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Konstruktion von CFE-Raumen (4/4)
1-Schritt-Operator Im+1,m : Sm → Sm+1 H1(Ω)
Werte ein vm ∈ Sm in den Lagrange Punkten von Sm+1 aus undinterpoliere stuckweise polynomiell in Sm+1
1-Schritt-Operator Im+1,m : Sm → Sm+1 H10 (Ω)
Analog. Passe die Werte jedoch in der Nahe des Dirichlet-RandesΓD ⊂ ∂Ω derart an, dass auf ΓD Null-Randwerte entstehen
SlIl+1,l−→ Sl+1
Il+2,l+1−→ Sl+2 −→ . . . −→ Slmax
(∩H1
0 (Ω))
Ωl ⊃ Ωl+1 ⊃ Ωl+2 ⊃ . . . ⊃ Ωlmax = Ω
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Basisfunktionen
ϕlii=1,...,nl
Knotenbasis von Sl
=⇒ Ilmax,l[ϕli]i=1,...,nl
kanonische Basis von SCFEl
Freiheitsgrade liegen in den Lagrange Punkten von Sl(⇒ auch außerhalb von Ω)
H1(Ω), Polynomgrad k = 1:
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Basisfunktionen - Zusammensetzung
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Approximationvermogen
Die so konstruierten CFE-Raume SCFE0 , . . . , SCFE
lmaxubernehmen das
Approximationsvermogen der klassischen Raume S0, . . . , Slmax :
hl := maxK∈Tl diam(K) Gitterweite von TlDann existiert eine von hl unabhangiges C > 0, so dassfur jedes v ∈ Hk+1(Ω) bzw. jedes v ∈ H1
0 (Ω) ∩Hk+1(Ω)ein vl ∈ SCFE
l existiert mit
‖v − vl‖Hm(Ω) ≤ Chk+1−ml |v|Hk+1(Ω), m ∈ 0, 1
Beweis (Ω ⊂ R2, Polynomgrad k = 1):
H1(Ω): [Hackbusch und Sauter, 1995]H1
0 (Ω): [Sauter, 1997]
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Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Assemblierung
Galerkin-Methode mit SCFEl samt kanonischer Basis
Ilmax,l[ϕli]i=1,...,nl
liefert LGS:
KlUl = Fl
(Kl)ij := B(Ilmax,l[ϕlj ], Ilmax,l[ϕ
li]), (Fl)i := `(Ilmax,l[ϕ
li])
l = lmax: assembliere elementweise, wie bei simplizialenLagrange Elementen ublich
l < lmax: direkte Assemblierung — Strategie? Quadratur?
Losung: Assembliere fur l′ = lmax und benutze schrittweisedas Produkt (→ Galerkin-Produkt)
Km = (Pm+1,m)TKm+1Pm+1,m
Fm = (Pm+1,m)TFm+1
m = lmax − 1, . . . , l
Pm+1,m darstellende Matrix von Im+1,m
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Lokalisierung (1/3)
Situation:
Nur Diskretisierung fur ein festes l < lmax gewunscht
Nachteil bisher: LGS fur l = lmax muss assembliert werden
Beobachtung: Fernab von ∂Ω bildet Ilmax,l identisch ab(→ Ineinanderschatellung der Referenz-Triangulierungen)
Lokalisierung:
Generiere statt Tl+1, . . . , Tlmax
Randbereichs-Triangulierungen T locl+1, . . . , T loc
lmax
Wahle Teilmengen T locl+1, . . . , T loc
lmaxund Teilmenge Tl ⊂ Tl mit:
Tl ∪lmax⋃
m=l+1
T locm
ist eine (nicht-konforme) Triangulierung von Ω
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Lokalisierung (2/3)
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
GrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
Lokalisierung (3/3)
Lokalisierung (Fortsetzung):
Die Funktionen in SCFEl konnen dann uber das
Zusammensetzen von simplizialen Lagrange Elementen auf dernicht-konformen Triangulierung von Ω dargestellt werden
Konstruktion von SCFEl
durch lokale 1-Schritt-Prolongationsoperatoren
Ermoglicht:
Schnelle Assemblierung durch lokale Galerkin-Produkte
Speichereffizienter Gittergenerator
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Ubersicht
1 EinleitungMotivationAnsatze fur ein numerisches Losungsverfahren
2 Diskretisierung mit CFEsGrundlagenKonstruktion von CFE-RaumenAssemblierung, Lokalisierung
3 Implementierung und numerische ErgebnisseImplementierungNumerische Ergebnisse
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Implementierung
Implementierung in C++, basierend auf dune-core, dune-femund dune-subgrid (ca. 6500 Zeilen Code):
Problemschnittstelle, kapselt das Modellproblem
Modellproblem fur den aufwandigeren Fall c = 0
Gittergenerator fur CFE-Triangulierungen(Lokalisierung moglich)
AluGrid (Referenz-Triangulierungen), GeometryGrid(Zwischen-Triangulierungen), SubGrid (CFE-Triangulierungen)
Familie von linearen Operatoren (Prolongationsoperatoren,Verknupfter Operator, Adjungierter Operator fur dasGalerkin-Produkt, . . .)
Algorithmus-Klasse mit drei Diskretisierungsmodi(klassische FEM, CFE, CFE mit Lokalisierung)
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (1/4)
−∆u = f in Ω,
u = gD auf ΓD = ∂Ω.
f und gD durch exakte Losung vorgegeben:
u(x) :=
d∏i=1
sin(2πxi)
Ω = Kugel in [0, 1]d mit Aussparung
d = 2
Erst k = 1, dann k = 2
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (1/4)
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (1/4)
k = 1:
l hl size CPU-time L2-error EOC H1-error EOC
0 0.424264 30 26.7549 0.30164 — 4.64485 —1 0.212132 98 28.5757 0.11055 1.44813 2.4414 0.9279272 0.106066 320 31.0443 0.0300921 1.87724 1.14962 1.086553 0.0534015 1204 33.3669 0.00617673 2.30752 0.480956 1.269864 0.026885 4629 39.658 0.0015517 2.01296 0.232293 1.060485 0.0136267 17950 84.2672 0.00038807 2.03951 0.114381 1.042576 0.00701445 70842 130.201 9.70511e-05 2.08709 0.0571176 1.045737 0.00371958 281705 273.402 2.43664e-05 2.17861 0.0285588 1.092678 0.00207055 1.12232e+06 585.962 6.21781e-06 2.3315 0.0142859 1.18247
Wir sehen: Theoretische Konvergenzordnung experimentell bestatigt
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (1/4)
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (1/4)
k = 2:
l hl size CPU-time L2-error EOC H1-error EOC
0 0.424264 30 27.5888 0.0702578 — 1.62389 —1 0.212132 98 79.7119 0.00765644 3.19791 0.355109 2.193122 0.106066 320 77.5402 0.000997681 2.94002 0.096342 1.882033 0.0534015 1204 311.802 0.000111473 3.19378 0.0217315 2.170054 0.026885 4629 955.536 1.27089e-05 3.16417 0.00524056 2.072555 0.0136267 17950 2235.61 1.5749e-06 3.07285 0.00129421 2.058076 0.00701445 70842 5801.75 1.97479e-07 3.12671 0.000323882 2.086077 0.00371958 281705 12253.5 2.47687e-08 3.27265 8.10292e-05 2.184198 0.00207055 1.12232e+06 19326.1 3.33147e-09 3.42468 2.13428e-05 2.2774
Wir sehen: Theoretische Konvergenzordnung experimentell bestatigt
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (2/4)
−∆u = f in Ω,
∇u · n = gN auf ΓN = ∂Ω.
f und gD durch exakte Losung vorgegeben:
u(x) := 4
d∑i=1
(xi − 0.5)2 − 1
Ω = Kugel in [0, 1]d mit kleinen Lochern
d = 2
k = 1
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (2/4)
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (2/4)
k = 1:
l hl size CPU-time L2-error EOC H1-error EOC
0 0.424264 30 97.4322 0.125698 — 0.748371 —1 0.212132 98 105.007 0.0278702 2.17316 0.41001 0.8680932 0.106066 320 114.388 0.0042994 2.69651 0.209402 0.9693823 0.0534015 1206 129.733 0.000794572 2.46046 0.106377 0.9869454 0.026885 4656 191.945 0.000160159 2.33383 0.0534542 1.002765 0.0136599 18288 420.567 7.78649e-05 1.06512 0.0267956 1.019926 0.00704207 72238 1116.14 2.11697e-05 1.9657 0.0134071 1.045117 0.00400001 286832 4191.69 4.99169e-06 2.55442 0.00671126 1.223468 0.00236311 1.1319e+06 9816.43 1.15054e-06 2.78832 0.00336364 1.312449 0.00152264 4.49369e+06 11863.9 4.85162e-07 1.9646 0.00168469 1.57313
Wir sehen: Theoretische Konvergenzordnung (im Großen und Ganzen) experimentell bestatigt
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (3/4)
−∆u = 0 in Ω,
u = 0 auf Γ1D,
u(x) = 5 + 4 · x2 auf Γ2D.
Ω = Kreis in [0, 1]2 mit 13”Kuhlstaben“ (→ Γ1
D)
d = 2
k = 1
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Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (3/4)
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (3/4)
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Numerische Ergebnisse (4/4)
d = 3: . . . moglich, hier ein erstes Ergebnis:
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EinleitungDiskretisierung mit CFEs
Implementierung und numerische Ergebnisse
ImplementierungNumerische ErgebnisseEnde
Ende
Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!
Gibt es irgendwelche Fragen?
Sebastian Westerheide Bildbasierte Losung von PDEs mit Composite F. Elements
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