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K A P I T E L - I N T E G R A L R E C H N U N G
1 Grundlagen
Ist eine gegebene Funktion
heißt ���� STAMMFUNKTION
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.
1.1 Unbestimmte Integrale
Ist ���� ein Integral von
Integral von ����. Man nennt es das
INTEGRATIONSKONSTANTE
Um auszudrücken, dass zu der Funktion
� � � �������� heißt der INTEGRAND
die Integrationsvariable ist.
GRUNDINTEGRALE
Crash-Kurs Mathematik II
2011
Daniela Lukassen
Kapitel
Seite
N T E G R A L R E C H N U N G
Ist eine gegebene Funktion ���� die Ableitung einer Funktion ����, also
TAMMFUNKTION oder ein INTEGRAL von ����.
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation.
Unbestimmte Integrale
ein Integral von ���� und eine beliebige Konstante, so ist auch
Man nennt es das UNBESTIMMTE INTEGRAL
NTEGRATIONSKONSTANTE .
dass zu der Funktion � � ��� das Integral � � ���� �
· �� � ���� �
NTEGRAND , � die INTEGRATIONSVARIABLE �� gibt zu erkennen, dass
die Integrationsvariable ist.
Kapitel Integralrechnung
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, also ���� � ����, so
eine beliebige Konstante, so ist auch ���� � ein
NTEGRAL von ����. c heißt
� gehört, schreibt man
gibt zu erkennen, dass �
[Papula Band I, S. 419]
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2011
Daniela Lukassen
Kapitel Integralrechnung
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1.2 Integrationsregeln
1.2|1 KONSTANTER FAKTOR
bleibt beim Integrieren erhalten und darf vor das Integral gezogen werden.
1.2|2 SUMMEN UND D IFFERENZEN
von Funktionen dürfen gliedweise integriert werden.
1.2|3 PARTIELLE INTEGRATION
ist die Umkehrung der Produktregel. Nehme Funktionen, wie die Cosinus-, die Sinus- oder
auch die Exponentialfunktion immer als u-Funktion! Für die Logarithmus Funktion aber v!
1.2|4 SUBSTITUTION
Bei bestimmten Integralen müssen die Grenzen mit substituiert werden.
Berechnung eines Integrals mittels einer geeigneten Substitution:
1. Aufstellung der Substitutionsgleichungen
� � ����, ���� � ����, �� � ��
����
2. Durchführung der Integralsubstitution durch Einsetzen der Substitutionsgleichung in
das vorgegebene (unbestimmte) Integral � ���� ��:
� ������ � � ���� ��
Das neue Integral enthält nur noch die neue Variable � und deren Differential ��. Der
neue Integrand ist ����.
3. Integration (Berechnung des neuen Integrals) � ���� �� � ���
4. Rücksubstitution
� ���� �� � ��� � ������ � ����
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INTEGRALSUBSTITUTION
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Daniela Lukassen
Kapitel Integralrechnung
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NTEGRALSUBSTITUTION - ÜBERBLICK
Kapitel Integralrechnung
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[Papula Band I, S. 430]
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B EISPIELE SUBSTITUTION :
(Zu A) 1 ��2� − 3�� ��
� � 2� − 3 ���� � 2 ⇒ �� � 1
2 ��
� �� ∙ 12 �� = 1
2 � �� �� = 12 ∙ 1
7 �! + = 114 �! + = 1
14 �2� − 3�!
(Zu A) 2 � √4� + 5 ��
� = 4� + 5 ���� = 4 ⇒ �� = 1
4 ��
� √� ∙ 14 �� = 1
4 � √� �� = 14 � �% &⁄ �� = 1
4 ∙ 23 �( &⁄ + = 1
6 �& (⁄ +
= %� �4� + 5�( &⁄ +c
(Nutze sonst auch die Integraltafeln der Formelsammlungen!)
(Zu B) 3 � sin � cos � ��
� = sin � ���� = cos � ⇒ �� = 1
cos � ��
� � ∙ cos � ∙ 1cos � �� = � � �� = 1
2 ∙ �& + = 12 sin& � +
(Zu B) 4 � ln �� ��
� = ln � ���� = 1
� ⇒ �� = � ��
� �� ∙ � �� = � � �� = 1
2 ∙ �& + = 12 �ln ��& +
(Zu C) 5 � 2� − 3�& − 3� + 1 ��
� = �& − 3� + 1 ���� = 2� − 3 ⇒ �� = ��
2� − 3
� 2� − 3� ∙ ��
2� − 3 = � 1� �� = ln � + = ln��& − 3� + 1� +
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Kapitel Integralrechnung
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1.3 Das bestimmte Integral
Es sei ���� irgendein Integral von ����. Dann gibt das
bestimmte Integral den Inhalt der Fläche an, welche
zwischen der Kurve � = ����, der x-Achse und den
Geraden � = 0 und � = 1 liegt.
Beispiel 1.3 Bestimmen Sie den Flächeninhalt A, den die Kurve � = �( − 6�& − 4� + 24 mit der
x-Achse einschließt.
Lösung 1.3 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C34 Seite 181]
Nullstellen bestimmen!
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2 Anwendung der Integralrechnung
2.1 Berechnung von Rauminhalten von Rotationskörper n
Rotationskörper entstehen durch Drehung einer ebenen Kurve um eine in der Kurvenebene
liegende Achse. Zu ihnen gehören beispielsweise die Kugel, der Kreiskegel, der Zylinder
oder der Rotationsparaboloid.
Rotation einer Kurve um die x-Achse
Die über dem Intervall 0 ≤ � ≤ 1 gelegenen Kurve mit
der Funktionsgleichung � = ���� erzeuge bei Rotation
um die x-Achse einen Rotationskörper. Dieser wird
durch Schnitte senkrecht zur Drehachse in eine große
Anzahl n von Scheiben gleicher Dicke ∆� zerlegt.
Rotation einer Kurve um die x-Achse
4 = � �45
=
Rotation einer Kurve um die y-Achse
4� = � �45
=
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Beispiel 2.1 Das zwischen dem Kreis �& + �& = 16 und der Parabel � = %� �& gelegene
Flächenstück erzeugt bei Drehung um die y-Achse einen Rotationskörper. Wie groß
ist das R O T A T I O N S V O L U M E N Vy?
Lösung 2.1 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C40 Seite 186f]
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2.2 Berechnung der Bogenlänge einer Kurve
Beispiel 2.2 Berechnen Sie die B O G E N L Ä N G E der Kurve
� = %& �√� + 1 im Intervall 0 ≤ � ≤ 4. Lösen Sie
das anfallende Integral mit einer geeigneten
Methode.
Lösung 2.2 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C60 Seite 20]
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2.3 Mantelfläche (Oberfläche) eines Drehkörpers
Mantelfläche eines Körpers: Rotation um die x
Beispiel 2.3 Durch Drehung der Kurve
um die x-Achse wird ein Rotationskörper erzeugt.
Welche Mantelfläche M
Lösung 2.3
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Mantelfläche (Oberfläche) eines Drehkörpers
Mantelfläche eines Körpers: Rotation um die x-Achse im Bereich von a bis b
Durch Drehung der Kurve � = √1 � �&, 0 2 � 2 3
Achse wird ein Rotationskörper erzeugt.
Welche Mantelfläche Mx besitzt dieser Körper?
[Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4.
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Achse im Bereich von a bis b:
und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C44 Seite 189]
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2.4 Statisches Moment und Schwerpunkt ebener Fläche n
�7 = � ∙�89� �89
= :;8
�7 = � �∙�89� �89
= :<8
Beispiel 2.4 Man bestimme den Schwerpunkt eines
Rechteckes mit den Seiten g und h.
Lösung 2.4
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2.5 Schwerpunkt einer Fläche unter einer Kurve = = >�?�
�7 = :;8 = � ∙�∙� @
A� �∙� @
A , y ist die Funktion, x konstant
�7 = :<&8 = � �B∙� @
A&∙� �∙� @
A
Beispiel 2.6 Bestimmen Sie den Schwerpunkt S der Fläche zwischen der Kurve � = CCD B und
der x-Achse im Intervall −2 ≤ � ≤ 2.
Lösung 2.6 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C38 Seite 184]
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2.6 Schwerpunkt einer Fläche zwischen zwei Kurven
�7 = :;8 = � ∙��FG�B�∙� @
A� ��FG�B�∙� @
A
�7 = :<&8 = � ��FBG�BB�∙� @
A&∙� ��FG�B�∙� @
A
Beispiel 2.5 Berechnen Sie für das von den Parabeln � = �& − 4� und � = − %H �& + 2�
eingeschlossene F L Ä C H E N S T Ü C K A & den F L Ä C H E N S C H W E R P U N K T S.
Lösung 2.5
Schwerpunkt
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2.7 Flächenträgheitsmomente
Das Flächenträgheitsmoment ist ein Maß für die Steifigkeit eines ebenen Querschnitts auf
Biegung (im Zusammenhang mit dem Biegeproblem bei Balken und Trägern).
I = � �& ∙ �J8 axiales Trägheitsmoment bzgl. x-Achse
I� = � �& ∙ �J8 axiales Trägheitsmoment bzgl. y-Achse
Der Name „Flächenträgheitsmoment“ leitet sich vom „Trägheitsmoment“ eines Körpers ab.
Diese dem Flächenträgheitsmoment ähnliche Größe tritt in der Kinetik auf und beschreibt die
Trägheitswirkung einer Masse bei der Drehung.
Flächenträgheitsmoment einer Fläche zwischen der Kurve y=f(x) und der x-Achse
I = � �I 8= 1
3 � �(��K
L
I� = � �& ∙ �J8 = � �& ∙ � ∙ ��KL
2.7.1 Verschiebungssatz von Steiner
Ausgehend von der Schwere-Achse zu einer beliebigen parallelen Achse:
IM = IN + J ∙ 0&
Ausgehend von einer beliebigen Achse zur dazu parallelen Schwere-Achse
IN = IM − J ∙ 0&
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3 Numerische Integration
In vielen Fällen ist die Integration einer stetigen Funktion in geschlossener Form nicht
möglich oder aber vom Arbeits- und Rechenaufwand her nicht vertretbar. Aus diesem Grund
ist man auf Numerische Integrationstechniken angewiesen, welche ihrem Charakter nach
Näherungsverfahren darstellen.
3.1 Trapezregel
Das Intervall O0; 1Q ist in n gleich breite Abschnitte der Länge ℎ = KGLS zu teilen und nähert
man in jedem Teilintervall die Kurve durch die Sehne an, so erhält man als Näherungswert
für das gesuchte Integral I = � ������KL
V E R B E S S E R U N G S S C H R I T T
Man berechne ITBU (mit doppelter Schrittweite) und ITU dann erhält man einen verbesserten
Näherungswert durch:
Beispiel 3.1 Berechnen Sie das folgenden Integral näherungsweise nach der Trapezformel für n=6
Streifen: I = � VWX
Y &⁄Y C⁄ ��
Lösung 3.1 [Papula, Klausur- und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C32 Seite 179]
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3.2 Simpson-Regel
Das Intervall O0; 1Q wird in eine
geteilt. Als Näherungswert für das bestimmte Integral
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Man berechne INBU (mit doppelter Schrittweite) und
Näherungswert durch:
Beispiel 3.2: Bestimmen Sie mit der
Flächeninhalt A zwischen der Kurve
Achse. Führen Sie einen Verbesserungsschritt durch.
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wird in eine gerade Anzahl n gleich breiter Abschnitte der Länge
geteilt. Als Näherungswert für das bestimmte Integral I � � � ��K
L erhält man:
E R B E S S E R U N G S S C H R I T T
(mit doppelter Schrittweite) und INU; dann erhält man einen verbesserten
Bestimmen Sie mit der S I M P S O N - F O R M E L für n=8 einen Näherungswert für den
Flächeninhalt A zwischen der Kurve � � ln�1 � 5�(�, 0Achse. Führen Sie einen Verbesserungsschritt durch.
Kapitel Integralrechnung
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Anzahl n gleich breiter Abschnitte der Länge R �KGL
S
erhält man:
dann erhält man einen verbesserten
für n=8 einen Näherungswert für den
0 2 � 2 1,6 und der x-
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und Übungsaufgaben, 4. Auflage, C30 Seite 175f]
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4 Berechnung von Biege- & Momentenlinie aus den dif ferenziellen Beziehungen
In den folgenden Gleichungen bedeuten:
• E – Elastizitätsmodul (Materialkonstante)
• I – Flächenmoment des Balkenquerschnitts
Für ZI konstant gilt:
Lösung der Differentialgleichungen durch vierfache Integration
Belastungsverlauf
Querkraftlinie
Momentenlinie
Tangentielle Verdrehung
Biegelinie
Die vier Integrationskonstanten werden durch die Randbedingungen bestimmt:
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