6 Differential- und Integralrechnung x g · 6 Differential- und Integralrechnung U. Jarecki, Berlin 6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen 6.1.1 Grundbegriffe Urbild-

cosj¼ n01n0

2 ¼A1A2þB1B2þC1C2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

A21þB2

1þC21

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiA2

2þB22þC2

2

p

5.2.6 Koordinatentransformationen

Parallelverschiebung (Bild 19). Sie ist gekennzeichnet durcheinen Verschiebungsvektor u, durch den das Koordinatensy-stem ðO;e1;e2;e3Þ in das Koordinatensystem ðO0;e1;e2;e3Þ�bergef�hrt wird. F�r einen Punkt P des Raums gilt dann

OP�!¼OO0

��!þO0P��!

mit dem Verschiebungsvektor u ¼OO0��!

.

F�r OP�!¼ xe1þ ye2þ ze3;OO0

��!¼ ae1þ be2þ ce3;O

0P��!¼

x0e1 þ y0e2þ z0e3 hat die Parallelverschiebung die Koordina-tendarstellung

ðx;y; zÞ ¼ ðx0;y0; z0Þþ ða;b;cÞ ¼ ðx0 þ a;y0 þ b; z0 þ cÞ:

Drehung (Bild 20). Durch sie wird das KoordinatensystemðO;e1;e2;e3Þ in ðO;e01;e

02;e03) �bergef�hrt. F�r die orthonor-

mierten Basisvektoren e01;e02;e03; die in dieser Reihenfolge po-

sitiv orientiert sind, gelten die Gleichungen

e01 ¼ cosa1e1þ cosb1e2þ cosg1e3;



wobei cosai ¼ e0ie1; cosbi ¼ e0ie2; cosgi ¼ e0ie3 (i=1, 2, 3)

die Richtungskosinusse von e0i sind (auf Bild 20 sind nur dieWinkel a1;b1;g1 angegeben, die der Basisvektor e01 mit denBasisvektoren e1;e2;e3 des Ausgangssystems einschließt).F�r einen beliebigen Raumpunkt P gilt dann

OP�!¼ r¼ x0e01þ y0e02þ z0e03 ¼ xe1þ ye2þ ze3:

Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit e01;e02;e03 liefert

die Transformationsgleichungen f�r eine Drehung.

x0 ¼ cosa1xþ cosb1yþ cosg1z;

y0 ¼ cosa2xþ cosb2yþ cosg2z;

z0 ¼ cosa3xþ cosb3yþ cosg3z;

x0

y0

z0

0B@

1CA¼

cosa1 cosb1 cosg1

cosa2 cosb2 cosg2

cosa3 cosb3 cosg3

0B@

1CA

x

y

z

0B@

1CA¼ A

x

y

z

0B@

1CA:

Da die Basisvektoren e01;e02;e03 orthonormiert sind, gilt die

Matrizengleichung AAT ¼E bzw. AT ¼ A�1; wobei AT dietransponierte und A�1 die inverse Matrix von A ist (s.A3.2.4). Matrizen mit dieser Eigenschaft heißen orthogonal.Da außerdem die Basisvektoren e01;e

02;e03 positiv orientiert

sind, gilt DetA¼ jAj ¼ 1. Matrizen A mit den EigenschaftenAAT ¼E und jAj ¼ 1 heißen „eigentlich orthogonal“. Damitist jede Drehung durch eine eigentlich orthogonale Matrixcharakterisiert.

6 Differential- und Integralrechnung

U. Jarecki, Berlin

6.1 Reellwertige Funktionen einer reellenVariablen

6.1.1 Grundbegriffe

Urbild- und Bildmenge. Ist D eine Teilmenge der reellenZahlen, D�R, und ist jedem x2D genau eine reelle Zahly2R zugeordnet, dann ist auf D eine reellwertige Funktion fdefiniert, symbolisch ausgedr�ckt

f : D!R oder¼ f ðxÞ f�r x 2D:

D heißt Definitions-, Argument- oder Urbildmenge von f. Dasdem Argument oder Urbild x2D zugeordnete Elementy=f(x) heißt Bild von x oder Funktionswert f(x). Die MengeB(f) aller Bilder f(x) heißt Bildmenge:

Bðf Þ ¼ ff ðxÞjx 2Dg ¼ fyjy¼ f ðxÞ f�r x 2Dg:

Graph der Funktion f, in Zeichen [f], ist die Menge aller ge-ordneten Paare (x, f(x)):

½f � ¼ fðx; f ðxÞÞjx 2Dg ¼ fðx;yÞjy¼ f ðxÞ f�r x 2Dg:Die geometrische Darstellung der geordneten Zahlenpaare (x,f(x)) als Punkte in einem kartesischen Koordinatensystemgibt das graphische Bild von f wieder. Zwei Funktionen f undg heißen gleich, in Zeichen f=g, wenn sie die gleiche Defini-tionsmenge D haben und f(x)=g(x) f�r alle x2 D. Funktio-nen k�nnen durch Zahlengleichungen mit zwei Variablen xund y, Wertetabellen, ihr graphisches Bild oder dergleichenerkl�rt sein.

Beispiel 1: y=1/x (Bild 1 a). – Diese Funktion ist explizit durch eineGleichung erkl�rt mit D=R«0} und B( f )=R«0}.

Beispiel 2: Fðx;yÞ ¼ x2 þ y2 � 1¼ 0 und y ^ 0. – Diese Funktion(Bild 1 b) ist implizit durch eine Gleichung und explizit durch eineUngleichung erkl�rt. Sie ist mit der Funktion gleich, die explizit durchdie Gleichung y¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2p

erkl�rt ist. D=[– 1, 1], B( f )=[0, 1].

Beispiel 3: y¼ x2 f�r 0 % x % 1�xþ 2 f�r 1< x % 2:

�– Die Funktion (Bild 1 c)

ist explizit durch zwei Gleichungen erkl�rt. D=[0, 2], B(f)=[0, 1].

Beispiel 4: y=0, wenn x eine rationale Zahl ist, und y=1, wenn xeine irrationale Zahl ist. – Diese Funktion, die auch Dirichlet-Funkti-on heißt, ist durch eine mit Worten ausgedr�ckte Zuordnungsvor-schrift erkl�rt. D=R, B(f)={0, 1}. Das graphische Bild der Funktionist nicht darstellbar.

A 50 Mathematik – 6 Differential- und Integralrechnung

A

Bild 19. ParallelverschiebungBild 20. Drehung

Beschr�nktheit. Eine Funktion f auf D heißt beschr�nkt,wenn es eine untere und eine obere Schranke m und M gibt,so daß m% f(x)% M f�r alle x2D. Untere Grenze von f istdie gr�ßte untere Schranke, und obere Grenze von f ist diekleinste obere Schranke.

Beispiel 1: Die Funktion y¼ sinx f�r x2R ist beschr�nkt und hat dieobere Grenze 1 und die untere Grenze -1.

Beispiel 2. Die Funktion y=1/x f�r x>0 ist nicht beschr�nkt, da siekeine obere Schranke besitzt. Sie ist aber nach unten beschr�nkt undhat die untere Grenze 0.

Eine Funktion f heißt gerade bzw. ungerade, wennf (–x)=f(x) bzw. f (–x)=–f (x). So ist die Funktiony¼ f ðxÞ ¼ x2 f�r x2R gerade und y¼ f ðxÞ ¼ x3 f�r x2R un-gerade.

Periodizit�t. Die Funktion f auf D heißt periodisch mit derPeriode l, wenn f(x+l)=f(x) f�r alle x2 D. So ist die Funk-tion y¼ tanx periodisch mit der Periode p.

Monotonie. Gilt f�r eine Funktion f auf D f�r alle x1 2D undx2 2D : Wenn x1 < x2, so f ðx1Þ% f ðx2Þ bzw. wenn x1 < x2,so f ðx2Þ% f ðx1Þ, dann heißt sie monoton steigend bzw. fal-lend. Gilt statt „ %“ die Relation „<“, so ist die Monotoniestreng.

Eindeutigkeit. Die Funktion f auf D heißt umkehrbar eindeu-tig oder eineindeutig, wenn f�r alle x1;x1 2D gilt: Wennx1 6¼ x2 , so f ðx1Þ 6¼ f ðx2Þ oder wenn f ðx1Þ ¼ f ðx2Þ, so x1 ¼ x2.Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar eindeutig.

Umkehrbarkeit. Ist f eine umkehrbar eindeutige Funktionauf D, so hat jedes Element y2B(f) genau ein Urbild x2D.Inverse Funktion oder Umkehrfunktion von f ist dann diejenigeFunktion, die jedem Bild y=f(x) sein Urbild x zuordnet. Siehat das Symbol f�1, und es gilt die �quivalenz y=f(x) genaudann, wenn x¼ f�1ðyÞ: f ist auch inverse Funktion von f�1 .

Werden – wie �blich – die Argumente mit x und die Bildermit y bezeichnet, dann lautet die Darstellung f�r die inverseFunktion y¼ f�1ðxÞ, wobei x2 B(f) und y2D. Durch denTausch der Variablen x und y geht das Paar (x, y) aus [ f ] indas Paar (y, x) �ber. Dies bedeutet, daß das graphische Bildvon f�1 aus dem graphischen Bild von f durch Spiegelung ander Geraden y=x hervorgeht (Bild 2).

6.1.2 Grundfunktionen

Potenzfunktionen

Die Potenzfunktion y¼ xa ist im allgemeinen Fall nur f�r po-sitive Argumente x erkl�rt.a nichtnegative ganze Zahl. y¼ xn ðn¼ 0;1;2 . . .Þ ist f�r allereellen Argumente x erkl�rt, wobei x0 � 1. Sie ist f�r alle ge-raden Exponenten eine gerade und f�r alle ungeraden Expo-nenten eine ungerade Funktion. Ihre Bilder sind Parabeln(Bild 3 a) durch den Punkt (1,1).

I6.1 Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen A 51

A

Bild 1. Funktion mit zwei Variablen. a y=1/ x; b y¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2p

; c y¼ x2 0 % x % 1�xþ 2 1 % x % 2

�

Bild 2. Inverse Funktion

Bild 3. Potenzfunktionen. a y¼ xn ; n¼ 0;1;2 . . . ; b y¼ x�n ; n¼ 1;2;3 . . . ; c y¼ffiffiffixnp¼ x1=n ; n¼ 2;3;4 . . . ; d y¼ 1=

ffiffiffixnp¼ x�1=n ; n¼ 2;3;4 . . . ; e Neil-

sche Parabel y2 ¼ x3

a negative ganze Zahl. y¼ x�n ðn¼ 1;2;3 . . .Þ ist f�r alleArgumente x 6¼0 erkl�rt. Sie ist f�r gerades n eine gerade undf�r ungerades n eine ungerade Funktion. Ihre Bilder sind Hy-perbeln (Bild 3 b) durch den Punkt (1,1).a rationale Zahl. y¼ x1=n ¼

ffiffiffixnpðn¼ 2;3;4 . . .Þ ist f�r alle

Argumente x ^0 erkl�rt. Sie heißt auch Wurzelfunktion undist Inverse von y¼ xn f�r x ^ 0. Ihr Bild ist eine Halbparabeldurch den Punkt (1,1). Sie kann f�r gerades bzw. ungerades ndurch die Funktion y¼�

ffiffiffixnp

mit x ^0 bzw. y¼�ffiffiffiffiffiffi�xnp

mitx %0 zu einer Vollparabel mit der Gleichung yn ¼ x erg�nztwerden. Im Bild 3 c sind die erg�nzenden Halbparabeln getri-chelt.

Funktion y¼ x�1=n ¼ 1=ffiffiffixnp; n¼ 2;3;4 . . . . Sie ist f�r alle Ar-

gumente x>0 erkl�rt. Sie ist die inverse Funktion vony¼ x�n mit x>0. Ihr Bild ist eine Halbhyperbel durch denPunkt (1, 1). Sie kann f�r gerades bzw. ungerades n durch dieFunktion y¼�x�1=n mit x>0 bzw. y¼�ð�xÞ�1=n mit x<0zu einer Vollhyperbel y�n ¼ x erg�nzt werden. Im Bild 3 dsind die erg�nzenden Halbhyperbeln gestrichelt.

Funktion y¼ x3=2 ¼ xffiffiffixp

(Bild 3 e). Sie ist f�r x ^0 erkl�rt.Ihr Bild ist der positive Ast p der Neilschen Parabel y2 ¼ x3,deren negativer Ast nBild von y¼�x3=2 ¼�x

ffiffiffixp

mit x>0ist.

Exponential- und Logarithmusfunktion (Bild 4)

Exponentialfunktion. Definitionsgleichung: y¼ expðxÞ ¼ ex:DðexpÞ ¼ ð�1;1Þ¼R; BðexpÞ ¼ ð0;1Þ¼Rþ (s. Anh.A10 Tab. 6).

Logarithmusfunktion. Definitionsgleichung: y¼ lnx:DðlnÞ ¼ ð0;1Þ¼Rþ; BðlnÞ ¼ ð�1;1Þ¼R.Beide Funktionen sind streng monoton wachsend und zuein-ander invers.

Hyperbel- und Areafunktionen sowie trigonometrischeund zyklometrische (arcus-)Funktionen (s. A4.2)

Hilfsfunktionen (Bild 5 a–c), die h�ufig benutzt werden,sind

aÞ y¼ jxj ¼x f�r x ^ 0

� x f�r x % 0;

�

bÞ y¼ sgnðxÞ ¼1 f�r x> 0

0 f�r x¼ 0 und

�1 f�r x< 0;

8><>:

cÞ y¼ ½x� ¼ n 2Z; wenn n % x< nþ 1:

6.1.3 Einteilung der Funktionen

Algebraische Funktionen

Eine Funktion y=f(x) heißt algebraisch, wenn sie eine L�-sung der Gleichung

PnðxÞyn þPn�1ðxÞyn�1þ . . .þP1ðxÞyþP0ðxÞ ¼ 0

ist, wobei die Ausdr�cke PiðxÞ ði¼ 0;1;2; . . . ; nÞ Polynomein x sind. So ist die Funktion y¼ x�

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2x� 1p

algebraisch, dasie eine L�sung der Gleichung y2� 2xyþ x2� 2xþ 1¼ 0 ist.Sonderf�lle von algebraischen Funktionen sind:

ganzrationale Funktionen oder Polynome n-ten Grades

y¼ PnðxÞ a0 6¼ 0

¼ a0xnþ a1xn�1þ a2xn�2þ . . .þ an�1xþ an

gebrochenrationale Funktionen

y¼QmðxÞPnðxÞ

¼ b0xmþ b1xm�1þ b2xm�2þ . . .þ bm�1xþ bm

a0xnþ a1xn�1þ a2xn�2þ . . .þ an�1xþ an:

F�r m^n heißen sie unecht, f�r m<n echt gebrochen.Algebraische Funktionen, die nicht rational sind heißen irra-tional (z.B. y¼

ffiffiffixp

).

Transzendente Funktionen

Sie sind nicht algebraisch. Zu ihnen geh�ren beispielsweisedie trigonometrischen Funktionen (s. A 4.2).

6.1.4 Grenzwert und Stetigkeit

Grundbegriffe. Es werden die Umgebungs-Definitionen ein-gef�hrt.

U�d ðaÞ ¼ fx j a� d<;x % ag ¼ ða� d;a�; links bzw:

Uþd ðaÞ ¼ fx j a % x< aþ dg ¼ ½a;aþ dÞ rechtsseitige

UdðaÞ ¼ fx j jx� aj¼ fx j a� d< x< aþ dg von a

¼ ða� d;aþ dÞUMð1Þ ¼ fx jM < xg ¼ ðM;1Þ; Umgebung

UMð�1Þ¼ fx j x<�Mg ¼ ð�1;�MÞ von�1

Hierbei bedeuten d und M beliebige positive Zahlen. Wird dieZahl a bei der (links-, rechtsseitigen) Umgebung von a ausge-schlossen, so heißt die Restmenge gelochte oder punktierte(links-, rechtsseitige) Umgebung von a.

Grenzwert. Der Definitionsbereich D der Funktion f besitzeeinen H�ufungswert x0 , der auch uneigentlich sein kann. Eine


A

Bild 4. Exponential- und Logarithmusfunktion

Bild 5. Hilfsfunktionen. a y=x; b y¼ sgnðxÞ ; c y=[x]

Zahl g heißt (links-, rechtsseitiger) Grenzwert der Funktion fauf D f�r x gegen x0 ðx! x0Þ, wenn es zu jeder Umgebung Vvon g eine (links-, rechtsseitige) Umgebung U von x0 gibt, sodaß f (x)2V f�r alle x2U und x 6¼ x0: g kann hierbei auch 1oder -1 sein und heißt dann uneigentlicher Grenzwert. Ist gder Grenzwert schlechthin oder der links- bzw. rechtsseitigeGrenzwert, so wird symbolisch geschrieben

limx!x0

f ðxÞ ¼ g; limx!x0�0

f ðxÞ ¼ g¼ f ðx0� 0Þ;

limx!x0þ0

f ðxÞ ¼ g¼ f ðx0þ 0Þ:

Beispiel 1: Die Funktion f ðxÞ ¼ ðx2 � 1Þ=ðxþ 1Þ auf D=R\ {–1} hatwegen ðx2 � 1Þ=ðxþ 1Þ ¼ x� 1 (x 6¼– 1) den Grenzwert – 2 f�r x!– 1, d.h. lim

x!�1f ðxÞ ¼�2.

Beispiel 2: Die Signum-Funktion (Bild 5 b)

sgnðxÞ ¼1 f�r x> 00 f�r x¼ 0�1 f�r x< 0

8<: hat f�r x!0 keinen Grenzwert. Es existie-

ren aber die einseitigen Grenzwerte

limx!þ0

sgnðxÞ ¼ 1¼ sgnðþ0Þ und limx!�0

sgnðxÞ ¼�1¼ sgnð�0Þ:

Beispiel 3: Die Tangens-Funktion f ðxÞ ¼ tanx auf ð�p=2;p=2Þ hat inden Randpunkten des Intervalls die einseitigen uneigentlichen Grenz-werte

limx!p=2�0

tanx¼1¼ tanðp=2� 0Þ bzw:

limx!�p=2þ0

tanx¼�1¼ tanð�p=2þ 0Þ:

Beispiel 4: Die auf R definierte Funktion f ðxÞ ¼ e�1=x f�r x 6¼ 00 f�r x¼ 0

�

hat f�r x!0 keinen Grenzwert, den rechtsseitigen Grenzwertlim

x!þ0f ðxÞ ¼ 0 und den linksseitigen uneigentlichen Grenzwert

limx!�0

f ðxÞ ¼1. F�r x!1 und x! -1 existiert der Grenzwert

limx!�1

f ðxÞ ¼ 1.

Grenzwerts�tze („lim“ steht f�r „ limx!x0

“). Existieren die

Grenzwerte lim f ðxÞ ¼ a und limgðxÞ ¼ b, dann gilt

limaf ðxÞ ¼ a lim f ðxÞ ¼ aa;

limðf ðxÞ� gðxÞÞ ¼ lim f ðxÞ� limgðxÞ ¼ a� b;

limðf ðxÞ � gðxÞÞ ¼ lim f ðxÞ � limgðxÞ ¼ ab;

limf ðxÞgðxÞ ¼

lim f ðxÞlimgðxÞ ¼

a

b; ðb 6¼ 0Þ:

Die S�tze gelten auch f�r einseitige Grenzwerte und f�rx!�1 .

Stetigkeit. Die Funktion f auf D heißt in x0 2D oder an derStelle x0 2D (links-, rechtsseitig) stetig, wenn gilt: Zu jederUmgebung V von f ðx0Þ gibt es eine (links-, rechtsseitige)Umgebung U von x0, so daß f(x)2V f�r alle x2U oder: Esgibt zu jedem e>0 ein d>0, so daß jf ðxÞ� f ðx0Þj< e f�r allex mit jx� x0j< d. Die Funktion f auf D ist in x0 2D genaudann stetig, wenn lim

x!x0

f ðxÞ ¼ f ðx0Þ: f heißt stetig auf D, wenn

f an jeder Stelle x2D stetig ist.

6.1.5 Ableitung einer Funktion

Differenzenquotient. Er ist erkl�rt f�r die Funktion f auf Ddurch

f ðxÞ� f ðx0Þx� x0

¼ f ðx0þDxÞ� f ðx0ÞDx

¼ Df ðx0ÞDx

mit x;x0 2D und Dx¼ x� x0 6¼ 0.

Differenzierbarkeit. Die Funktion f heißt in x0 2D differen-zierbar, wenn der Differenzenquotient f�r x! x0 bzw. f�rDx! 0 einen Grenzwert (Bild 6), in Zeichen f 0ðx0Þ; besitzt.

limx!x0


¼ limDx!0

f ðx0þDxÞ� f ðx0ÞDx

¼ limDx!0

Df ðx0ÞDx

¼ f 0ðx0Þ

f 0ðx0Þ heißt die Ableitung der Funktion f in x0. F�r das Ablei-tungssymbol f 0 sind auch die Zeichen df=dx oder Df �blich.

Beispiel: f ðxÞ ¼ 3x2 þ 2: – Der Differenzenquotient lautet mitx¼ x0 þDx


¼ 3x2 � 3x20

x� x0¼ 3ðx� x0Þðxþ x0Þ

x� x0¼ 3ðxþ x0Þ

¼ 3ð2x0 þDxÞ; x 6¼ x0; Dx 6¼ 0:

Ableitung von f in x0 ist

f 0ðx0Þ ¼Df ðx0Þ ¼df

dxðx0Þ ¼ lim

x!x0

3ðxþ x0Þ

¼ limDx!0

3ð2x0 þDxÞ ¼ 6x0 :

Eine Funktion f heißt auf D differenzierbar, wenn sie an jederStelle x2D eine Ableitung f 0ðxÞ besitzt. Die dann auf D er-kl�rte Funktion f 0 wird als abgeleitete Funktion oder kurz alsAbleitung von f bezeichnet. Ableitungen der Grundfunktionens. Tab. 1.

Ableitungsregeln. Sind die Funktionen f und g auf D in x2D differenzierbar, dann gilt

ðaf ðxÞÞ0 ¼ af 0ðxÞ; a 2R;

ðf ðxÞþ gðxÞÞ0 ¼ f 0ðxÞþ g0ðxÞ;ðf ðxÞ � gðxÞÞ0 ¼ f 0ðxÞ � gðxÞþ f ðxÞ � g0ðxÞ;

f ðxÞgðxÞ

� �0¼ f 0ðxÞ � gðxÞ� f ðxÞ � g0ðxÞ

g2ðxÞ ; gðxÞ 6¼ 0:

Beispiele:

dð2x3 � 3xþ 1Þ=dx¼ 6x2 � 3;

dðx lnxÞ=dx¼ ln xþ 1;

ddx

sinh x

cosh x

� �¼ cosh2 x� sinh2 x

cosh2 x¼ 1

cosh2 x:

Kettenregel. Ist die Funktion f in x und die Funktion g inz=f(x) differenzierbar, so ist die zusammengesetzte Funktiong f in x differenzierbar, und es gilt

ðgðf ðxÞÞÞ0 ¼ g0ðzÞ � f 0ðxÞ mit z¼ f ðxÞ:

Beispiel: gðf ðxÞÞ ¼ lncosx; x 2 ð�p=2;p=2Þ: – z¼ f ðxÞ ¼ cos x,

gðzÞ ¼ ln z; g0ðzÞ ¼ 1=z; f 0 ðxÞ ¼� sin x:

dðlncosxÞ=dx¼ ð1=cosxÞ � ð� sinxÞ ¼� tanx:


A

Bild 6. Geometrische Deutung der Ableitung

Logarithmische Ableitung. Nach der Kettenregel gilt f�r dieAbleitung der zusammengesetzten Funktion y¼ ln f ðxÞ mitf(x)>0

ðln f ðxÞÞ0 ¼ f 0ðxÞ=f ðxÞ oder f 0ðxÞ ¼ ðln f ðxÞÞ0 � f ðxÞ:

Beispiel: f ðxÞ ¼ ð2x� 1Þffiffiffixp=ðxþ 1Þ,

ln f ðxÞ ¼ lnð2x� 1Þþ ð1=2Þ ln x� lnðxþ 1Þ:

f 0ðxÞ ¼ 22x� 1

þ 12x� 1

xþ 1

� �ð2x� 1Þ

ffiffiffixp

xþ 1:

Ableitung inverser Funktionen. Ist f eine auf D stetige,streng monotone und in x2D differenzierbare Funktion mitf 0ðxÞ 6¼ 0, dann ist die inverse Funktion f�1 in y=f(x) diffe-renzierbar, und es gilt

f�10ðyÞ ¼ 1=f 0ðxÞ mit x¼ f�1ðyÞ:

Beispiel: y¼ f ðxÞ ¼ sinx;x 2 ð�p=2;p=2Þ;x¼ f�1ðyÞ ¼ arcsiny:

f 0ðxÞ ¼ cosx¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� y2

p. Damit ist

f�10 ðyÞ ¼ dðarcsinyÞ=dy¼ 1=f 0ðxÞ ¼ 1=cosx¼ 1=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� y2

p:

Ableitungen h�herer Ordnung. Die n-te Ableitung einerFunktion f auf D ist die 1. Ableitung der Ableitung (n-1)-terOrdnung.

f ðnÞ ¼ dnf

dxn ¼Dnf ðn¼ 0;1;2 . . .Þ

Die Ableitung nullter Ordnung ist dabei die Funktion f. Die 1.bis 3. Ableitung wird mit f 0; f 00 bzw. f 000 gekennzeichnet.

Beispiel: f ð0ÞðxÞ ¼ f ðxÞ ¼ x4 þ 3x2 � x: – f 0ðxÞ ¼ 4x3 þ 6x� 1,

f 00ðxÞ ¼ 12x2 þ 6; f 000ðxÞ ¼ 24x; f ð4ÞðxÞ ¼ 24;

f ðnÞðxÞ ¼ 0 f�r n ^ 5:

Formel von Leibniz:

ðf ðxÞ � gðxÞÞðnÞ ¼Xn

k¼0

n

k

� �f ðn�kÞðxÞ � gðkÞðxÞ:

6.1.6 Differentiale

Funktionsdifferential. Ist die Funktion f auf D in x2D diffe-renzierbar und Dx¼ h der Zuwachs des Arguments, dann istf 0ðxÞ �Dx¼ f 0ðxÞ � h¼ df ðxÞ das Funktionsdifferential. WegenDx¼ h¼ dx f�r f(x)=x gilt df ðxÞ ¼ f 0ðxÞdx, so daßf 0ðxÞ ¼ df ðxÞ=dx wird, wobei f 0ðxÞ ¼ df ðxÞ=dx Differential-quotient heißt. Bei einer in x differenzierbaren Funktion f giltf�r den Funktionszuwachs

Df ðxÞ ¼ df ðxÞþ hðx;DxÞ �Dx mit limDx!0

hðx;DxÞ ¼ 0:

Beispiel 1: f ðxÞ ¼ 1þ sinx: –

df ðxÞ ¼ dð1þ sinxÞ ¼ ð1þ sinxÞ0dx¼ cosx dx:

Insbesondere ergibt sich hieraus f�r das Funktionsdifferential in p=3mit dem Argumentzuwachs 0,5 der Wert cosp=3 � 0;5¼ 0;25.

Beispiel 2. F�r das Differential einer zusammengesetzten Funktionh=g f mit h(x)=g(f(x)) ergibt sich

dhðxÞ ¼ dðgðf ðxÞÞÞ ¼ g0 ðf ðxÞÞ � f 0ðxÞdx¼ g0 ðf ðxÞÞdf ðxÞ:

F�r hinreichend kleine Dx¼ h gilt die N�herungsformel

Df ðdxÞ � df ðxÞ oder f ðxþDxÞ� f ðxÞ � f 0ðxÞDx:

Beispiel: N�herungsformel f�r eh bei kleinem h. – Es istDex ¼ exþh � eh und dex ¼ exh. F�r | h |<<1 gilt exþh � eh � exh odereh � 1þ h mit x=0. F�r h¼�0;012 ergibt sich hierause�0;012 � 1� 0;012¼ 0;988 (Tabellenwert e�0;012 ¼ 0;98807).

Differentiale h�herer Ordnung. F�r eine Funktion f auf D,die in x2 D n-mal differenzierbar ist, ist das Differential n-ter Ordnung dnf ðxÞ in x mit dem Argumentzuwachs dx erkl�rtdurch

dnf ðxÞ ¼ f ðnÞðxÞdxn:

Beispiel: y¼ f ðxÞ ¼ xn ; x2R und n2N. –

dkxn ¼nðn� 1Þðn� 2Þ . . . ðn� kþ 1Þdxn�kdxk 1 % k < nn!dxn k¼ n0 k> n:

8<:

Hieraus ergibt sich f�r y¼ x3, x=2, dx¼ 0;5

y0 ¼ 3x2 ; dy¼ 12 � 0;5¼ 6; y00 ¼ 6x; d2y¼ 12 � 0;52 ¼ 3;

y000 ¼ 6; d3y¼ 6 � 0;53 ¼ 0;75; yðnÞ ¼ 0; dny¼ 0 f�r n ^ 4:

6.1.7 S�tze �ber differenzierbare Funktionen

Satz von Rolle (Bild 7). Ist f eine auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] stetige und auf dem offenen Intervall (a, b)differenzierbare Funktion mit f(a)= f(b), dann gibt es eineStelle c2 (a, b) mit f 0ðcÞ ¼ 0.Mittelwertsatz (Bild 8). Ist f eine auf dem abgeschlossenenIntervall [a, b] stetige und auf dem offenen Intervall (a, b)


ATabelle 1. Ableitungen der Grundfunktionen

Bild 7. Satz von Rolle Bild 8. Mittelwertsatz

differenzierbare Funktion, dann gibt es ein c2 (a, b) oder einJ2 (0, 1), so daß

f 0ðcÞ ¼ f 0ðaþ Jðb� aÞÞ ¼ f ðbÞ� f ðaÞb� a

ist. Hieraus folgt: Ist die Ableitung der auf (a, b) differenzier-baren Funktionen f �berall Null, dann ist f auf (a, b) eine kon-stante Funktion. Besitzen die auf (a, b) differenzierbarenFunktionen f und g die gleiche Ableitung, dann unterscheidensie sich auf (a, b) h�chstens durch eine additive Konstante.

Beispiel: Die beiden Funktionen f ðxÞ ¼ arcsin x und gðxÞ ¼�arccos x

haben auf (�1, 1) die gleiche Ableitung f 0ðxÞ ¼ g0ðxÞ ¼ 1=ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2p

.– Wegen f ðxÞ� gðxÞ ¼ arcsinxþ arccosx¼ p=2 unterscheiden sichbeide Funktionen auf (�1, 1) durch die additive Konstante p=2.

Verallgemeinerter Mittelwertsatz. Sind f und g auf [ a, b]stetige und auf (a, b) differenzierbare Funktionen und istg0ðxÞ 6¼ 0 f�r x2 (a, b), dann gibt es ein c2 (a, b) oder einJ2 (0, 1), so daß gilt

f 0ðcÞg0ðcÞ ¼

f 0ðaþ Jðb� aÞÞg0ðaþ Jðb� aÞÞ ¼

f ðbÞ� f ðaÞgðbÞ� gðaÞ :

Taylorsche Formel. Ist f in der Umgebung Udðx0Þ ¼ ðx0 � d;x0þ dÞ (n+1)-mal differenzierbar, dann gibt es zu jedem hmit x0þ h 2Udðx0Þ eine solche Zahl J2 (0, 1), so daß

f ðx0þ hÞ ¼f ðx0Þþf 0ðx0Þ

1!hþ f 00ðx0Þ

2!h2þ . . .

þ f ðnÞðx0Þn!

hnþRnðx0;hÞ;

gilt, wobei

Rnðx0;hÞ ¼f ðnþ1Þðx0 þJhÞðnþ 1Þ! hnþ1:

Diese Gleichung heißt Taylorsche Formel mit dem Restglied(von Lagrange) Rnðx0;hÞ.Mit der Substitution x0þ h¼ x lautet die Taylorsche Formel

f ðxÞ ¼f ðx0Þþf 0ðx0Þ

1!ðx� x0Þþ

f 00ðx0Þ2!ðx� x0Þ2þ . . .

þ f ðnÞðx0Þn!

ðx� x0ÞnþRnðx0;xÞ;

wobei Rnðx0;xÞ ¼ f ðnþ1Þðx0þJðx�x0ÞÞðnþ1Þ! ðx� x0Þnþ1 .

Formel von Maclaurin. F�r x0 ¼ 0 ergibt sich

f ðxÞ ¼f ð0Þþ f 0ð0Þ1!

xþ f 00ð0Þ2!

x2þ . . .

þ f ðnÞð0Þn!

xnþ f ðnþ1ÞðJxÞðnþ 1Þ! xnþ1

mit 0<J<1.

Mit der Taylor und Maclaurin-Formel (s. Tab. 2) k�nnenFunktionen durch Polynome approximiert werden, wobei dasRestglied eine globale Absch�tzung des Fehlers f�r die Um-gebung Udðx0Þ erm�glicht.

Beispiel 1: f ðxÞ ¼ sinx. – Die k-te Ableitung der Sinus-Funktion lau-tet sinðkÞðxÞ ¼ sinðxþ k �p=2Þ. Hieraus ergibt sich f�r x=0

sinðkÞð0Þ ¼ sinðk �p=2Þ ¼0 f�r k¼ 0;2;4 . . .1 f�r k¼ 1;5;9 . . .�1 f�r k¼ 3;7;11 . . . :

8<:

Damit ergibt sich aus der Maclaurin-Formel f�r die Sinus-Funktiondie Darstellung:

sinx¼ x� x3

3!þ x5

5!� . . .þRn mit

Rn ¼sinðJxþðnþ 1Þp=2Þ

ðnþ 1Þ! xnþ1:

Beispiel 2: Die Zahl e soll mit einer Genauigkeit von 10�5 bestimmtwerden. – F�r x=1 ergibt sich aus der Maclaurin-Formel f�r die exp-Funktion e¼ 1þ 1

1!þ 12!þ . . .þ 1

n!þRn mit Rn ¼ expðJÞðnþ1Þ! ;0< J< 1, oder

0< e�Xn

k¼0

1k!¼ Rn ¼

expðJÞðnþ 1Þ!<

eðnþ 1Þ!<

3ðnþ 1Þ!.

F�r n=8 ist 3ðnþ1Þ!¼ 3

9!< 10�5 , so daß die Absch�tzung

0< e�X8

k¼0

1k!< 10�5 oder

X8

k¼0

1k!< e<

X8

k¼0

1k!þ 10�5

gilt. Es istX8

k¼0

1k!� 2;7182788, w�hrend f�r e mit derselben Stellen-

zahl e� 2;7182818 gilt.

6.1.8 Monotonie, Konvexit�t und Extrema vondifferenzierbaren Funktionen

Monotonie. Aus dem Mittelwertsatz folgt: Ist die Funktion fauf dem offenen Intervall (a, b) differenzierbar und ist dort�berall f 0ðxÞ> 0 bzw. f 0ðxÞ< 0, dann ist f auf dem Intervallstreng monoton wachsend bzw. fallend (Bild 9 a, b).

Beispiel: f ðxÞ ¼ lnx;x 2 ð0;1Þ. – Wegen f 0ðxÞ ¼ 1=x> 0 f�r 0<x istdie Logarithmus-Funktion auf dem Intervall (0, 1 ) streng monotonwachsend.

Konvexit�t. Die Funktion f heißt auf dem Intervall (a, b)streng konvex, wenn f�r je zwei Stellen x1 2 ða;bÞ undx2 2 ða;bÞ mit x1 < x< x2 die Ungleichung

f ðxÞ< f ðx1Þþf ðx2Þ� f ðx1Þ

x2� x1ðx� x1Þ ¼ sðxÞ


A

Tabelle 2. Maclaurin-Darstellung einiger Funktionen

f�r alle x 2 ðx1;x2Þ gilt. Die Ordinate s(x) der Sekanten durchðx1; f ðx1ÞÞ und ðx2; f ðx2ÞÞ f�r x1 < x< x2 ist also gr�ßer alsdie Ordinate f(x) des graphischen Bilds von f. Mit der Substi-tution x¼ t1x1þ t2x2 l�ßt sich die Ungleichung auch schrei-ben

f ðt1x1þ t2x2Þ< t1f ðx1Þþ t2f ðx2Þ;

wobei t1þ t2 ¼ 1 und t1; t2 > 0 ist.Die Funktion f heißt auf (a, b) streng konkav, wenn die Funk-tion - f auf (a, b) streng konvex ist. Ist die Funktion f auf demIntervall (a, b) zweimal differenzierbar und ist dort �berallf 00ðxÞ> 0 bzw. f 00ðxÞ< 0, dann ist f auf (a, b) streng konvexbzw. streng konkav (Bild 9 c, d). So ist f ðxÞ ¼ lnx; x2 (0,1 ), wegen f 00ðxÞ ¼�1=x2 < 0 eine streng konkave Funktionauf (0, 1 ). Die Definitionen der Konvexit�t und Konkavit�tsind nicht einheitlich.

Maxima und Minima (gemeinsam heißen sie auch Extrema;Bild 10). F�r eine Funktion f auf dem Intervall I heißt f ðx0Þstrenges oder eigentliches Maximum bzw. Minimum, wennes eine ganze in I enthaltene Umgebung Udðx0Þ ¼ ðx0� d;x0þ dÞ� I gibt, so daß gilt:

f ðxÞ< f ðx0Þ bzw: f ðxÞ> f ðx0Þ

f�r alle x 2Udðx0Þ und x 6¼ x0 . Diese Extrema sind relativeoder lokale Maxima oder Minima. Zur Unterscheidung hier-von heißt das eventuell existierende Maximum bzw. Mini-mum der Funktion f auf I absolutes oder globales Extremum.Besitzt die Funktion f in x0 ein Extremum und existiert dortdie 1. Ableitung f 0ðx0Þ, dann ist f 0ðx0Þ ¼ 0. Bei differenzier-baren Funktionen sind die Tangentensteigungen (Bild 11) inExtrempunkten notwendig Null.

Hinreichendes Kriterium f�r ein strenges Maximum oder Mi-nimum, das meist ausreicht, ist: Besitzt die Funktion f in einer

Umgebung von x0 eine stetige 2. Ableitung, dann hat dieFunktion f in x0 ein

strenges Maximum; wenn f 0ðx0Þ ¼ 0 und f 00ðx0Þ< 0;strenges Minimum; wenn f 0ðx0Þ ¼ 0 und f 00ðx0Þ> 0:

Das Kriterium ist f�r f 00ðx0Þ ¼ 0 nicht anwendbar.

Beispiel: f ðxÞ ¼ x lnx;0< x; f 0ðxÞ ¼ lnxþ 1; f 00ðxÞ ¼ 1=x: – Ausf 0ðxÞ ¼ lnxþ 1¼ 0 folgt x¼ 1=e, d.h., wenn f auf (0, 1 ) ein Extre-mum besitzt, so kann es nur in 1/e sein. Nun ist f 00ð1=eÞ> 0. Ausf 0ð1=eÞ ¼ 0 und f 00ð1=eÞ> 0 folgt nach dem hinreichenden Kriterium,daß die Funktion f in 1/e das strenge Minimum f ð1=eÞ ¼�1=e be-sitzt.

Allgemeines Kriterium. Hat die Funktion f in einer Umgebungvon x0 eine stetige Ableitung (n+1)-ter Ordnung und istf 0ðx0Þ ¼ f 00ðx0Þ ¼ . . .¼ f ðnÞðx0Þ ¼ 0 und f ðnþ1Þðx0Þ 6¼ 0 f�reine ungerade Zahl n, dann hat die Funktion f in x0 ein

strenges Maximum f�r f ðnþ1Þðx0Þ< 0;

strenges Minimum f�r f ðnþ1Þðx0Þ> 0:

Beispiel: Die Funktion f ðxÞ ¼ x4 besitzt in 0 offensichtlich das stren-ge und sogar absolute Minimum f(0)=0, und es ist

f 0ð0Þ ¼ f 00ð0Þ ¼ f 000ð0Þ ¼ 0 und f ð4Þð0Þ ¼ 24> 0:

Wendepunkt. Ein Punkt ðx0; f ðx0ÞÞ des Graphen von f heißtWendepunkt (Bild 12) oder die Funktion f hat in x0 einenWendepunkt, wenn die abgeleitete Funktion f 0 in x0 ein stren-ges Extremum besitzt.Hat also die Funktion f in einer Umgebung von x0 eine stetigeAbleitung (n+1)-ter Ordnung und gilt

f 00ðx0Þ ¼ f 000ðx0Þ ¼ . . .¼ f ðnÞðx0Þ und

f ðnþ1Þðx0Þ 6¼ 0

f�r eine gerade Zahl n, dann hat f in x0 einen Wendepunkt.Dies gilt besonders, wenn f 00ðx0Þ ¼ 0 und f 000ðx0Þ 6¼ 0 ist.

Beispiel:f ðxÞ ¼ x2 lnx; f 0ðxÞ ¼ 2x ln xþ x; f 00ðxÞ ¼ 2 ln xþ 3; f 000ðxÞ ¼ 2=x f�rx>0. – Aus der notwendigen Bedingung f�r einen Wendepunkt


A

Bild 9. Funktionsverlauf. a streng monoton wachsend; b streng mono-ton fallend; c streng konvex; d streng konkav

Bild 10. Extrema Bild 12. Riemann-Summe

Bild 11. Extrema und Wendepunkte

f 00ðxÞ ¼ 2 ln xþ 3¼ 0 ergibt sich x0 ¼ expð�1;5Þ. Ferner istf 000ðx0Þ ¼ 2expð1;5Þ 6¼ 0. Die Funktion f hat in expð�1;5Þ den einzi-gen Wendepunkt auf (0, 1 ).

6.1.9 Grenzwertbestimmung durch Differenzieren.Regel von de l�Hospital

Das Zeichen „lim“ steht abk�rzend f�r „ limx!x0

“, wobei x0 ei-

gentlicher oder uneigentlicher H�ufungswert �1 ist (s.A6.1.4).

Unbestimmter Ausdruck 0/0. Erste Regel von de l�Hospital:

Ist lim f ðxÞ ¼ 0 und limgðxÞ ¼ 0, dann gilt limf ðxÞgðxÞ ¼

limf 0ðxÞg0ðxÞ, falls der letzte Grenzwert eigentlich oder uneigent-

lich existiert. Sind f 0 und g0 in x0 stetig und g0ðx0Þ 6¼ 0, dannist nach den Grenzwerts�tzen (s. A6.1.4)

limf ðxÞgðxÞ ¼

f 0ðx0Þg0ðx0Þ

:

Ist lim f 0ðxÞ ¼ 0 und limg0ðxÞ ¼ 0, dann kann dieselbe Regelnoch einmal angewandt werden.

Beispiel: limx!0

1� cosx

x2¼ lim

x!0

sinx

2x¼ lim

x!0

cosx

2¼ 1

2.

Unbestimmter Ausdruck 1 /1 . Zweite Regel von de l�Ho-spital: Ist lim f ðxÞ ¼1 und limgðxÞ ¼1, dann gilt

limf ðxÞgðxÞ ¼ lim

f 0ðxÞg0ðxÞ, falls der letzte Grenzwert eigentlich oder

uneigentlich existiert. Ist lim f 0ðxÞ ¼1 und limg0ðxÞ ¼1,dann kann dieselbe Regel noch einmal angewandt werden.

Beispiel: limx!1

x

ln x¼ lim

x!1

11=x¼1.

Sonderformen. Die Ausdr�cke 0 �1;1�1;11;00;10

werden auf 0/0 oder 1 /1 zur�ckgef�hrt.

0 �1 : limx!þ0

x � lnx¼ limx!þ0

lnx

1=x¼ lim

x!þ0

1=x

�1=x2¼ lim

x!þ0ð�xÞ ¼ 0:

1�1 : limx!0

1sin x� 1

x

� �¼ lim

x!0

x� sinx

x sinx¼ lim

x!0

1� cosx

sinxþ xcosx

¼ limx!0

sin x

2cos x� x sinx¼ 0

2¼ 0:

11 : limx!1ð1þ 3=xÞx ¼ lim

x!1expðx lnð1þ 3=xÞÞ

¼ exp limx!1

lnð1þ 3=xÞ1=x

� �¼ exp3:

00 : limx!þ0

ffiffiffixp x ¼ lim

x!þ0expðx ln

ffiffiffixpÞ

¼ expð0;5 � limx!þ0ðx lnxÞÞ ¼ exp0¼ 1:

10 : limx!1

x1=x¼ limx!1

expð1=x lnxÞ¼expð limx!1

lnx=xÞ¼exp0¼ 1:

6.1.10 Das bestimmte Integral

Definition. Zugrunde gelegt wird eine auf einem abge-schlossenen Intervall I=[ a, b] definierte und dort be-schr�nkte Funktion f. Durch eine Zerlegung Z: x0 ¼ a<x1 < x2 < x3 < . . .< xn�1 < xn ¼ b mit den Teilungspunktenx1;x2;x3; . . . ; xn�1 wird das Intervall I in n TeilintervalleI1 ¼ ½x0;x1�; I2 ¼ ½x1;x2�; . . . ; In ¼ ½xn�1;xn� mit den L�ngenDx1 ¼ x1� x0; Dx2 ¼ x2� x1; . . . ; Dxn ¼ xn� xn�1 zerlegt.Die maximale L�nge dðZÞ ¼max1%k%n Dxk heißt Feinheit derZerlegung Z. In jedem Teilintervall Ik ðk¼ 1;2; . . . ;nÞ wirdein beliebiger Punkt �xk 2 Ik ¼ ½xk�1;xk� gew�hlt. Die Folgeð�xkÞ1%k%n heißt Belegung B der Teilintervalle.

F�r die Zerlegung Z und die Belegung B wird die Riemann-Summe

SðZ;BÞ ¼f ð�x1ÞDx1þ f ð�x2ÞDx2þ . . .

þ f ð�xnÞDxn ¼Xn

k¼1

f ð�xkÞDxk

gebildet. Ist f �berall positiv, dann gibt die Riemann-Summegeometrisch die Summe der Inhalte von Rechtecken wieder(Bild 12). Ihr Grenzwert f�r dðZÞ! 0 wird als bestimmtes(Riemann-)Integral der Funktion f im Intervall [a, b] bezeich-net:

limn!1

Xn

k¼1

f ð�xkÞDxk ¼Zb

a

f ðxÞdx:

Bei dem bestimmten Integral heißen f Integrand, x Integrati-onsvariable, a untere und b obere Integrationsgrenze, wobeia< b. F�r eine auf dem abgeschlossenen Intervall [a, b] mo-notone oder stetige Funktion f existiert dieser Grenzwert, undf ist �ber [a, b] integrierbar.

Geometrische Deutung. Die Riemann-Summe stellt bei posi-tiven oder auch nichtnegativen Funktionen f geometrisch eineSumme von Rechteckinhalten (Bild 12) dar, wobei die Recht-ecke die Fl�che zwischen dem graphischen Bild von f und derx-Achse um so besser approximieren, je feiner die Zerlegungdes Intervalls [ a, b] ist. Ist also die Funktion f auf [a, b] nicht-negativ und �ber [a, b] integrierbar, dann betr�gt der Inhalt Ader Fl�che unter dem Graph von f (Bild 13 a)

A¼Zb

a

f ðxÞ dx:

Eigenschaften. Mit den Definitionen

Za

a

f ðxÞ dx¼ 0 undZb

a

f ðxÞ dx¼�Za

b

f ðxÞ dx f�r b< a

gilt f�r beliebige Zahlen a, b und c eines abgeschlossenen In-tegrationsintervalls

Zb

a

f ðxÞ dxþZc

b

f ðxÞ dxþZa

c

f ðxÞ dx¼ 0;

Zb

a

cf ðxÞ dx¼ c

Zb

a

f ðxÞ dx mit c 2R

Zb

a

ðf ðxÞ� gðxÞÞ dx¼Zb

a

f ðxÞ dx�Zb

a

gðxÞ dx:


A

Bild 13. Bestimmtes Integral. a Fl�cheninhalt; b Mittelwertsatz

Ungleichungen. F�r a<b gelten

Zb

a

f ðxÞ dx

%Zb

a

jf ðxÞj dx;

Zb

a

f ðxÞ dx %

Zb

a

gðxÞ dx; wenn f ðxÞ% gðxÞ:

Zb

a

f ðxÞgðxÞ dx

0@

1A

2

%

Zb

a

f 2ðxÞ dx �Zb

a

g2ðxÞ dx;

Zb

a

ðf ðxÞþ gðxÞÞ dx

%Zb

a

jf ðxÞj dxþZb

a

jgðxÞj dx:

Die beiden letzten heißen auch Schwarzsche und Dreiecks-Ungleichung.

Mittelwertsatz der Integralrechnung (Bild 13 b). Ist f eineauf dem abgeschlossenen Intervall [ a, b] stetige Funktion,dann gibt es eine Stelle x2 [ a, b], so daß

Zb

a

f ðxÞ dx¼ f ðxÞðb� aÞ oder f ðxÞ ¼ 1b� a

Zb

a

f ðxÞ dx

gilt. f(x) heißt Mittelwert der Funktion f im Intervall [ a, b].

6.1.11 Integralfunktion, Stammfunktin und Hauptsatzder Differential- und Integralrechnung

Integralfunktion. Ist die Funktion f �ber dem abgeschlosse-nen Intervall [ a, b] integrierbar und ist x0 ein beliebiger aberfester Wert aus [a, b], dann ist ihre Integralfunktion

FðxÞ ¼Zx

x0

f ðtÞ dt mit x 2 ½a;b�:

Jede Integralfunktion einer auf [a, b] stetigen Funktion f istdifferenzierbar, und es gilt

F0ðxÞ ¼ ddx

Zx

x0

f ðtÞ dt¼ f ðxÞ f�r alle x 2 ½a;b�:

Stammfunktion. Eine auf einem Intervall I differenzierbareFunktion F heißt Stammfunktion der Funktion f auf I, wenn

F0ðxÞ ¼ f ðxÞ f�r alle x 2 I:

Sind F1 und F2 zwei Stammfunktionen von f auf I, dann ist

F02ðxÞ�F01ðxÞ ¼ dðF2ðxÞ�F1ðxÞÞ=dx¼ 0 oder

F2ðxÞ�F1ðxÞ ¼ c

f�r alle x2 I (c Konstante). Zwei Stammfunktionen einerFunktion f unterscheiden sich also h�chstens durch eine Kon-stante.

Beispiel: Die beiden Funktionen

F1ðxÞ ¼�cosx und F2ðxÞ ¼ 2 sin2ðx=2Þ

sind wegen F01ðxÞ ¼ F02ðxÞ ¼ sinx Stammfunktionen von f ðxÞ ¼ sinx:Sie unterscheiden sich auf R durch die additive Konstante 1.

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Ist feine auf dem abgeschlossenen Intervall [ a, b] stetige Funkti-on und F eine Stammfunktion von f auf [ a, b], dann gilt

Zb

a

f ðxÞ dx¼ ½FðxÞ�ba ¼ FðxÞjba ¼ FðbÞ�FðaÞ;

wobei F0ðxÞ ¼ f ðxÞ:

6.1.12 Das unbestimmte Integral

Ist f eine auf einem Intervall I definierte Funktion der Varia-blen x, dann heißt die Gesamtheit oder die Menge allerStammfunktionen von f unbestimmtes Integral von f auf I.Z

f ðxÞ dx¼ FðxÞþC;

wobei F eine Stammfunktion, F0ðxÞ ¼ f ðxÞ und C eine belie-bige Konstante ist. Nach Definition des unbestimmten Inte-grals gilt

ddxðZ

f ðxÞ dxÞ ¼ f ðxÞ oder dZ

f ðxÞ dx¼ f ðxÞ dx:

Tab. 3 enth�lt die Grundintegrale, die sich durch Umkehrungder Ableitungsformeln aus Tab. 2 ergeben.

6.1.13 Integrationsmethoden

Grundformeln. Sind f und g stetige Funktionen auf einem In-tervall I, dann gilt mit a2R und x2 IZ

af ðxÞ dx¼ aZ

f ðxÞ dx undZðf ðxÞ� gðxÞÞ dx¼

Zf ðxÞ dx�

ZgðxÞ dx:

Beispiel:Zð3=xþ 1Þ dx¼

Z3=x dxþ

Z1 dx¼ 3 ln xþ xþC; x> 0.

Partielle Integration (Produktintegration). Sind die Funktio-nen f und g auf einem Intervall I stetig differenzierbar, danngiltZ

f 0ðxÞgðxÞ dx¼ f ðxÞgðxÞ�Z

f ðxÞg0ðxÞ dx; x 2 I:

Hiermit ist es oft m�glich, Integrale mit einem Parameter nauf ein Integral desselben Typs mit dem Parameter n-1 odern-2 zur�ckzuf�hren. Dadurch ergibt sich eine Rekursionsfor-mel, mit der das Integral schrittweise berechnet wird.

Beispiel 1:Zln x dx¼

Z1 � ln x dx¼ x lnx�

Zxð1=xÞ dx¼ x ln x� xþC;

x> 0:

Beispiel 2: In ¼Z

expðxÞxn dx;n¼ 1;2;3; . . . : – Partielle Integration

mit f 0ðxÞ ¼ exp x und gðxÞ ¼ xn f�hrt auf


ATabelle 3. Grundintegrale

In ¼ exp x � xn � n

Zexpx � xn�1dx¼ exp x � xn � nIn�1:

Also gilt die Rekursionsformel

In ¼ exp x � xn � nIn�1 mit I0 ¼Z

exp x dx¼ expxþC:

Integration durch Substitution. Ist f eine stetige Funktionund g eine in einem Intervall I stetig differenzierbare Funkti-on, dann gilt

ðZ

f ðxÞ dxÞx¼gðtÞ ¼Z

f ðgðtÞÞg0ðtÞ dt; t 2 I:

Wird also die Integrationsvariable x gem�ß x= g(t) durch tsubstituiert, dann ist dx durch g0ðtÞ dt zu ersetzen.

Beispiel 1: I ¼Z

dx

2ffiffiffixpð1þ

ffiffiffix3pÞ f�r x> 0

I ¼Z

6t5dt

2t3ð1þ t2Þ ¼ 3Z

t2

1þ t2dt¼ 3

Z1� 1

1þ t2

� �dt

¼ 3ðt� arctan tÞþC¼ 3ðffiffiffix6p� arctan

ffiffiffix6pÞþC:

Hier wurden mit x¼ gðtÞ ¼ t6 f�r t>0 und dx¼ 6t5dt die Wurzelaus-dr�cke beseitigt.

Beispiel 2:Zexpðt2Þt dt¼ 0;5

Zexpx dx¼ 0;5 � expxþC¼ 0;5 � expðt2ÞþC:

Hier wurde die Substitution gðtÞ ¼ t2 ¼ x; also dx¼ g0 ðtÞ dt¼ 2t dtbzw. t dt¼ dx=2 mit t2R verwendet.

6.1.14 Integration rationaler Funktionen

Jede ganze rationale Funktion y¼ PnðxÞ ¼Xn

i¼0

aixn�i kann

mit Hilfe der Grundformeln und des Grundintegrals f�r Po-tenzfunktionen integriert werden. Echt gebrochene rationaleFunktionen sind allgemein mit der Partialbruchzerlegung in-tegrierbar.

Partialbruchzerlegung. Vorausgesetzt wird eine echt gebro-chene rationale Funktion rðxÞ ¼QmðxÞ=PnðxÞ; wobei Qm undPn Polynome m-ten und n-ten Grades mit m< n sind.

Nenner-Polynom PnðxÞ ¼ a0xnþ a1xn�1 þ . . .þ an�1xþ an.Es l�ßt sich nach dem Zerlegungssatz f�r reelle Polynome (s.A2.3.2) als Produkt mit Faktoren 1. und 2. Grades darstellen:PnðxÞ ¼ a0 . . .ðx� aÞr . . . ðx2þ pxþ qÞs . . . ; wobei a eine re-elle r-fache Nullstelle von Pn ist und x2þ pxþ q wegenp2� 4q< 0 nur konjugiert komplexe Nullstellen besitzt undim Reellen nicht mehr zerlegbar, also irreduzibel, ist. Die�brigen nicht angegebenen Faktoren von Pn haben einen ent-sprechenden Aufbau.

Partialbr�che 1. und 2. Art. Es sind Ausdr�cke der FormA=ðx� aÞr und ðBxþCÞ=ðx2þ pxþ qÞs, wobei A, B, C2R

und r, s2N. Jede echt gebrochene rationale Funktion kannals Summe dieser Partialbr�che 1. und 2. Art dargestellt wer-den:

rðxÞ ¼QmðxÞPnðxÞ

¼ 1a0

QmðxÞ. . . ðx� aÞr . . . ðx2pxþ qÞs� �

¼ 1a0

. . .þ A1

x� aþ A2

ðx� aÞ2þ . . .þ Ar

ðx� aÞr þ . . .

"

þ B1xþC1

x2þ pxþ qþ B2xþC2

ðx2þ pxþ qÞ2þ . . .

þ BsxþCs

ðx2þ pxþ qÞsþ . . .

�:

Koeffizientenbestimmung. Die Koeffizienten A1;B1;C1 . . . ;A2;B2;C2 . . . k�nnen nach folgenden Verfahren eindeutig be-stimmt werden: Wird die Gleichung mit PnðxÞ multipliziert,dann steht auf der rechten Seite ein Polynom (n-1)-ten Gra-des, dessen Koeffizienten Linearkombinationen der n Unbe-kannten A1;B1;C1 . . . sind. Der Vergleich dieser Koeffizien-ten mit denen des Polynoms Qm nach dem Identit�tssatz f�rPolynome (s. A2.3.2) ergibt n lineare Gleichungen f�r die nUnbekannten A1;B1;C1 . . . (s. A3.2.3).

Beispiel:2xþ 4

3ðx� 1Þ2ðx2 þ 1Þ¼ 1

3A1

x� 1þ A2

ðx� 1Þ2þB1xþC1

x2 þ 1

" #: –

Multiplikation mit dem Nennerpolynom ergibt

2xþ 4¼A1ðx� 1Þðx2 þ 1ÞþA2ðx2 þ 1Þþ ðB1xþC1Þðx� 1Þ2 oder

2xþ 4¼ðA1 þB1Þx3 þð�A1 þA2 � 2B1 þC1Þx2

þðA1 þB1 � 2C1Þxþð�A1 þA2 þC1Þ:

Koeffizientenvergleich f�hrt auf die vier linearen Gleichungen

A1 þ B1 ¼ 0; mit den L�sungen

�A1 þA2 � 2B1 þ C1 ¼ 0; A1 ¼�2; B1 ¼ 2;

A1 þ B1 � 2C1 ¼ 2; A2 ¼ 3; C1 ¼�1:

�A1 þA2 þ C1 ¼ 4

Damit lautet die Partialbruchzerlegung

2xþ 4

3ðx� 1Þ2ðx2 þ 1Þ¼ 1

3�2

x� 1þ 3

ðx� 1Þ2þ 2x� 1

x2 þ 1

" #:

Durch die Partialbruchzerlegung ist nunmehr die Integrationeiner echt gebrochenen rationalen Funktion auf die Integrati-on von Partialbr�chen 1. und 2. Art zur�ckgef�hrt. F�r diesegelten die

Integrationsformeln

ZA

ðx� aÞn dxÞ ¼A ln x� aj j þC f�r n¼ 1

A

1� nðx� aÞ1�n þC f�r n¼ 2;3;4 . . . ;

8><>:

ZAxþB

ðx2þ pxþ qÞn dx

¼ A

2ln jx2þ pxþ qj þ 2B�Apffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

4q� p2p arctan

2xþ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi4q� p2

p þC

f�r n¼ 1

¼ A

2ð1� nÞ ðx2þ pxþ qÞ1�n þ 2B�Ap

2

Zdx

ðx2þ pxþ qÞn

f�r n¼ 2;3;4 . . . :ZAxþB

ðx2þ pxþ qÞn dx

¼ A

2ln jx2þ pxþ qj þ 2B�Apffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

4q� p2p arctan


p þC

f�r n¼ 1

¼ A

2ð1� nÞ ðx2þ pxþ qÞ1�n þ 2B�Ap

2

Zdx

ðx2 þ pxþ qÞn

f�r n¼ 2;3;4 . . . :

Hierbei gilt f�r das Integral In ¼Z

dx

ðx2þ pxþ qÞn die Rekur-sionsformel

In ¼1

ðn� 1Þð4q� p2Þ2xþ p

ðx2þ pxþ qÞn�1

þ 2ð2n� 3Þðn� 1Þð4q� p2Þ In�1 ðn¼ 2;3;4 . . .Þ mit

I1 ¼Z

dx

x2þ pxþ q¼ 2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

4q� p2p arctan


p þC:


A

((Bitte Klam-merung derFormel pr�-fen))

6.1.15 Integration von irrationalen algebraischen undtranszendenten Funktionen

Spezielle Integrale dieses Typs (Tab. 4 und 5) k�nnen durchgeeignete Substitutionen auf Integrale mit einem rationalenIntegranden zur�ckgef�hrt werden. F�r einige Integrale sindin Tab. 4 solche Substitutionen angegeben. Hierbei bedeutenR(x, X), R(u) bzw. R(u, u) rationale Funktionen in x und X, ubzw. u und u.


ATabelle 4. Substitutionen

Tabelle 5. Integrationsformeln

6.1.16 Uneigentliche Integrale

Unbeschr�nktes Integrationsintervall. Ist die Funktion f f�ralle x ^a erkl�rt und �ber jedem abgeschlossenen Intervall

[a, b] integrierbar, dann heißtZ1

a

f ðxÞ dx uneigentliches Inte-

gral �ber [ a, 1 ). Es heißt konvergent, oder die Funktion fheißt �ber [ a, 1 ) uneigentlich integrierbar, wenn der Grenz-

wert limb!1

Zb

a

f ðxÞ dx¼Z1

a

f ðxÞ dx existiert. Entsprechendes gilt

f�r die unbeschr�nkten Integrationsintervalle (�1 , b] und(�1 , 1 ).

Zb

�1

f ðxÞ dx¼ lima!�1

Zb

a

f ðxÞ dx;

Z1

�1

f ðxÞ dx¼ limb!1

a!�1

Zb

a

f ðxÞ dx

¼ lima!�1

Zc

a

f ðxÞ dxþ limb!1

Zb

c

f ðxÞ dx:

Beispiele:

Z1

2

1=x2dx¼ limb!1

Zb

2

1=x2dx¼ limb!1ð�1=bþ 1=2Þ ¼ 1=2:

Z1

�1

11þ x2

dx¼ limb!1

a!�1

Zb

a

11þ x2

dx¼ limb!1

a!�1

½arctan x�ba

¼ limb!1

a!�1

ðarctan b� arctan aÞ ¼ p=2�ð�p=2Þ ¼ p:

Z1

1

1=x dx ist divergent wegen limb!1

Zb

1

1=x dx¼ limb!1

ln b¼1:

Unbeschr�nkter Integrand. Ist Funktion f im Intervall [a, b)unbeschr�nkt und auf jedem abgeschlossenen Teilintervall [

a, b-e] mit e>0 integrierbar, dann heißtZb

a

f ðxÞ dx uneigentli-

ches Integral bez�glich der oberen Grenze. Es heißt konver-gent auf [a, b], wenn f�r e>0 der Grenzwert

lime!0

Zb�e

a

f ðxÞ dx¼Zb

a

f ðxÞ dx existiert.

Entsprechendes gilt auch f�r die untere Grenze.

Beispiele:

Zb

�1

f ðxÞ ;dx¼ lima!�1

Zb

a

f ðxÞ dx;

Z1

�1

f ðxÞ dx¼ limb!1

a!�1

Zb

a

f ðxÞ dx

¼ lima!�1

Zc

a

f ðxÞ dxþ limb!1

Zb

c

f ðxÞ dx:

Weitere uneigentliche Integrale enth�lt Tab. 6.

6.1.17 Geometrische Anwendungen der Differential- undIntegralrechnung

(S. Tab. 7.)

6.1.18 Unendliche Funktionenreihen

Sind die Glieder einer unendlichen Reihe Funktionen fnðxÞðn¼ 1;2;3 . . .Þ auf dem gleichen Definitionsbereich I, dannist die Funktionsreihe erkl�rt als die Folge der Partialsummen

snðxÞ ¼ f1ðxÞþ f2ðxÞþ . . .þ fnðxÞ:

Konvergenzbereich. Dieser ist die Menge K der Urbilderx2 I, f�r die die zugeh�rige Zahlenreihe konvergiert. Auf ihmist dann eine Funktion S erkl�rt, die als die Summe der Reihebezeichnet wird.

SðxÞ ¼X1n¼1

fnðxÞ ¼ limn!1

Xn

k¼1

fkðxÞ f�r x 2 K:

Die Differenz RnðxÞ ¼ SðxÞ� snðxÞ heißt Rest der Reihe.

Absolute Konvergenz. Die FunktionenreiheX1n¼1

fnðxÞ heißt

auf K absolut konvergent, wenn die ReiheX1n¼1

jfnðxÞj f�r alle

x2K konvergiert.

Beispiel:X1n¼1

xð1� x2Þn�1 ist eine geometrische Reihe mit dem An-

fangsglied a= x und dem Quotienten q¼ 1� x2 : – Sie konvergiertf�r x=0 und im Fall x 6¼0 f�r j1� x2j< 1, was mit 0< x2 < 2 gleich-


ATabelle 5. (Fortsetzung)

bedeutend ist. Sie hat f�r x=0 die Summe S(0)=0 und f�rj1� x2j< 1 die Summe SðxÞ ¼ x=½1�ð1� x2Þ� ¼ 1=x: Damit ist aufdem Konvergenzbereich K ¼ ð�

ffiffiffi2p

;ffiffiffi2pÞ der unendlichen Funktio-

nenreihe die Funktion S erkl�rt durch

SðxÞ ¼X1n¼1

xð1� x2Þn�1¼ 1=x f�r �ffiffiffi2p

< x< 0 oder 0< x<ffiffiffi2p

0 f�r x¼ 0:

(

Gleichm�ßige Konvergenz. Die unendliche ReiheX1n¼1

fnðxÞ

heißt auf K gleichm�ßig gegen die Summe S(x) konvergent,wenn es zu jedem e>0 eine nat�rliche Zahl N gibt, so daßX1n¼1

fnðxÞ� SðxÞ

< e bzw. jRnðxÞj< e f�r alle n^ N und alle

x2 K. Bei der geometrischen Deutung (Bild 14) kommt diegleichm�ßige Konvergenz dadurch zum Ausdruck, daß f�rhinreichend große n das graphische Bild der PartialsummensnðxÞ innerhalb eines Streifens von der Breite 2e mit dem gra-phischen Bild von S(x) als Mittellinie verl�uft.

Potenzreihe. Sie ist eine Funktionenreihe der Form

a0þ a1ðx� x0Þþ a2ðx� x0Þ2þ . . .þ anðx� x0Þnþ . . . ;

wobei x0 die Entwicklungsstelle und die Konstantena0;a1;a2 . . . die Koeffizienten der Reihe heißen. Es gen�gt,Potenzreihen mit der Entwicklungsstelle x0 ¼ 0 zu untersu-chen, da jede Potenzreihe durch die Substitution x� x0 ¼ yaufeinesolchezur�ckgef�hrtwerdenkann.F�rdiePotenzreihe

a0þ a1xþ a2x2þ . . .þ abxnþ . . .

sind zu unterscheiden:– Es existiert eine positive Zahl r, so daß f�r alle | x|<r die

Reihe absolut konvergiert und f�r alle | x|>r divergiert.Hierbei heißen r der Konvergenzradius und das offene In-tervall (– r, r) der Konvergenzbereich der Reihe.

– Die Reihe konvergiert f�r alle x2R. Sie heißt dann �beralloder best�ndig konvergent, und es ist r=1 .

– Die Reihe divergiert f�r alle x 6¼0 (f�r x=0 konvergiert sietrivialerweise). Sie heißt dann nirgends konvergent, und esist r=0.

Existiert der Grenzwert

limn!1

ffiffiffiffiffian

np ¼ g oder lim

n!1

anþ1

an

¼ g;

wobei auch der uneigentliche Grenzwert 1 zugelassen ist,dann gilt r=1/g f�r 0<g<1 , r=1 f�r g=0 und r=0 f�rg=1 .

Beispiele:

Die ReiheX1n¼0

xn

n!hat wegen

limn!1

anþ1

an

¼ lim

n!1

n!

ðnþ 1Þ!¼ limn!1

1nþ 1

¼ 0

den Konvergenzradius r=1 . Sie ist best�ndig konvergent. Die ReiheX1n¼0

n!xn hat wegen

limn!1

anþ1

an

¼ lim

n!1

ðnþ 1Þ!n!

¼ limn!1ðnþ 1Þ ¼1

den Konvergenzradius r=0. Sie ist nirgends konvergent. Die ReiheX1n¼0

xn

3nðnþ 1Þ hat wegen

limn!1

anþ1

an

¼ lim

n!1

3nðnþ 1Þ3nþ1ðnþ 2Þ ¼ 1=3 den Konvergenzradius r ¼ 3:

Sie ist f�r |x|<3 absolut konvergent und f�r | x|>3 divergent. Siekonvergiert in der Randstelle -3 und divergiert in der Randstelle +3.


ATabelle 6. Bestimmte eigentliche und uneigentliche Integrale

Bild 14. Gleichm�ßige Konvergenz

Taylor- und Maclaurin-Reihen. Nach der Taylor-Formel (s.A6.1.7) ist

f ðxÞ�Xn

k¼0

f ðkÞðx0Þk!ðx� x0Þk

¼ jRnðx0;xÞj

¼ f ðnþ1Þðx0þ Jðx� x0ÞÞðnþ 1Þ! ðx� x0Þnþ1

und 0< J< 1:

Hieraus folgt: Ist die Funktion f auf einer UmgebungUdðx0Þ ¼ ðx0� d;x0þ dÞ von x0 beliebig oft differenzierbarund ist lim

n!1Rnðx0;xÞ ¼ 0 f�r alle x 2Udðx0Þ, dann gilt

f ðxÞ ¼X1n¼0

f ðnÞðx0Þn!

ðx� x0Þn f�r x 2Udðx0Þ:

Die Reihe f�r f(x) heißt Taylor-Reihe der Funktion f mit derEntwicklungsstelle oder dem Mittelpunkt x0 . Unter diesenVoraussetzungen l�ßt sich also eine Funktion f in einer gewis-sen Umgebung von x0 in eine Potenzreihe mit den Koeffizien-ten an ¼ f ðnÞðx0Þ=n! ðn¼ 0;1;2 . . .Þ entwickeln. Die Taylor-Reihe mit der Entwicklungsstelle x0 ¼ 0 heißt Maclaurin-Rei-he (s. Tab. 8).

f ðxÞ ¼X1n¼0

f ðnÞð0Þn!

xn:

Beispiel: Die Exponential-Funktion f ðxÞ ¼ expx ist auf R beliebig oftdifferenzierbar, wobei f ðnÞðxÞ ¼ exp x und f ðnÞð0Þ ¼ 1: – Gem�ß derMaclaurin-Formel gilt

exp x¼ 1þ x

1!þ x2

2!þ x3

3!þ . . .þ xn

n!þRnðxÞ;

wobei RnðxÞ ¼ expðJxÞ xnþ1

ðnþ1Þ! f�r 0<J<1. Wegen limn!1

xnþ1

ðnþ 1Þ!¼ 0 kon-

vergiert das Restglied RnðxÞ f�r jedes x2R gegen 0. Damit lautet dieDarstellung der exp-Funktion durch eine Maclaurin-Reihe

exp x¼ 1þ x

1!þ x2

2!þ x3

3!þ . . .þ xn

n!þ . . .¼

X1n¼0

xn

n!f�r x 2R:

Fourier-Reihen

Periodische Funktionen. Eine Funktion f auf D heißt peri-odisch mit der Periode l, wenn f(x+l)=f(x) f�r alle x2 D.Mit l ist auch nl f�r n2N eine Periode. Jede Funktion f miteiner Periode l l�ßt sich durch die Substitution x¼ 0;5 � lt=pbzw. t¼ 2px=l auf eine Funktion mit der Periode 2p zur�ck-f�hren. Ist f eine integrierbare Funktion mit der Periode 2p,dann gilt f�r beliebige a und b

Zb

a

f ðxÞdx¼Zbþ2p

aþ2p

f ðxÞdx und

Zaþ2p

a

f ðxÞdx¼Zbþ2p

b

f ðxÞdx:

Ist die Funktion f mit der Periode 2p gerade, also f(x)=f(- x),bzw. ungerade, also f(-x)=-f(x), dann gilt

Zp

�p

f ðxÞdx¼ 2Zp

0

f ðxÞdx bzw:Zp

�p

f ðxÞdx¼ 0:

Trigonometrisches Fundamentalsystem heißt das Systemder Funktionen 1, cosx; sinx; cos2x; sin2x . . .cosnx; sinnx . . .Orthogonalit�tsrelationen. Sie gelten f�r diese Funktionenmit m, n2N:

Zp

�p

cosmx cosnx dx¼ pdmn;

Zp

�p

sinmx sinnx dx¼ pdmn;

Zp

�p

sin mx cosnx dx¼ 0; wobei dmn ¼1; m¼ n

0; m 6¼ n:

�

Trigonometrisches Polynom (n-ten Grades). So heißt eine Li-nearkombination von Funktionen des trigonometrischen Fun-damentalsystems:


ATabelle 7. Geometrische Anwendungen der Integralrechnung

TnðxÞ ¼ a0=2þ a1 cosxþ b1 sinxþ a2 cos2x

þ b2 sin2xþ . . .þ an cosnxþ bn sinnx

¼ a0=2þXn

n¼1

ðak coskxþ bk sin kxÞ:

Trigonometrische Reihe. Sie wird dargestellt durch

a0=2þX1n¼1

ðan cosnxþ bn sinnxÞ

und ist erkl�rt als Folge ðTnðxÞÞn2N von trigonometrischen

Polynomen TnðxÞ. Ist die ReiheX1n¼1

ðjanj þ jbnjÞ konvergent,

dann ist die trigonometrische Reihe gleichm�ßig und absolutkonvergent, und ihre Summe ist eine stetige periodischeFunktion mit der Periode 2p.

f ðxÞ ¼ a2=2þX1n¼1

ðan cosnxþ bn sin nxÞ:

Fourierkoeffizienten. Wird die vorstehende Gleichung nach-einander mit 1, cosðmxÞ und sinðmxÞ multipliziert und �ber½�p;p� gliedweise integriert, so ergeben sich mit den Ortho-gonalit�tsrelationen

an ¼ 1=pZp

�p

f ðxÞcosnx dx ðn¼ 0;1;2 . . .Þ und

bn ¼ 1=pZp

�p

f ðxÞ sinnx dx ðn¼ 1;2;3 . . .Þ:

Ist nun f eine beliebige Funktion mit der Periode 2p, die �ber½�p;p� integrierbar ist, dann heißen die Zahlen an und bn Fou-


ATabelle 8. Maclaurin-Reihen

rierkoeffizienten der Funktion f und die mit ihnen gebildeteReihe Fourier-Reihe (Tab. 9).

a0=2þX1n¼1

ðan cosnxþ bn sinnxÞ;

wobei ihre n-te Partialsumme als Fourier-Polynom n-ten Gra-des bezeichnet wird.f sei eine auf ½�p;p� integrierbare Funktion mit der Periode2p. Ist sie gerade, also f (–x)= f (x), dann gilt

an ¼ 2=pZp

0

f ðxÞcosnx dx und bn ¼ 0;

ist sie ungerade, also f (– x)=– f (x), dann gilt

an ¼ 0 und bn ¼ 2=pZp

0

f ðxÞ sinnx dx:

Die Fourier-Reihe einer geraden Funktion ist eine reine Kosi-nusreihe, die Fourier-Reihe einer ungeraden Funktion einereine Sinusreihe.Fourier-Reihen von st�ckweise glatten Funktionen. EineFunktion f heißt auf [a, b] st�ckweise glatt, wenn sie auf [ a,b] st�ckweise stetig ist und auf [a, b ] eine st�ckweise stetigeAbleitung f 0 besitzt. Ist f periodisch mit 2p und auf ½�p;p�st�ckweise glatt, dann konvergiert die Fourier-Reihe von f injedem abgeschlossenen Intervall, auf dem f stetig ist, gleich-m�ßig gegen f. An jeder Sprungstelle x von f konvergiert dieFourier-Reihe gegen das arithmetische Mittel 0;5 � ½f ðxþ 0Þþf ðx� 0Þ� aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert.

Beispiel: S�gezahnkurve (Bild 15).

f ðxÞ ¼ x f�r 0 % x< 2p0 f�r x¼ 2p

�

und f ðxþ 2pÞ ¼ f ðxÞ: – Die Gleichungen f�r die Fourierkoeffizien-

ten lauten an ¼ 1=pZ2p

0

x cosðnxÞ dx ðn¼ 0;1;2 . . .Þ und bn ¼

1=pZ2p

0

x sinðnxÞ dx ðn¼ 1;2;3 . . .Þ.

Die Berechnung der Integrale ergibt a0 ¼ 2p;an ¼ 0 f�r n¼ 1;2;3 . . .und bn ¼�2=n. F�r alle Stetigkeitsstellen x 6¼ 2np (n2Z) der Funk-tion f lautet damit die Darstellung der Funktion f durch ihre Fourier-Reihe

f ðxÞ ¼ p� 2sinx

1þ sinð2xÞ

2þ . . .þ sinðnxÞ

nþ . . .

� �

¼ p� 2X1n¼1

sinðnxÞn

; x 6¼ 2np:

In den Sprungstellen x¼ 2np (n2Z) konvergiert die Fourier-Reihegegen p.

6.2 Reellwertige Funktionen mehrerer reellerVariablen

6.2.1 Grundbegriffe

Wegen der geometrischen Darstellbarkeit werden – wennnicht anders betont – reellwertige Funktionen von zwei reel-len Variablen betrachtet. Viele Aussagen �ber sie lassen sich

I6.2 Reellwertige Funktionen mehrerer reeller Variablen A 65

ATabelle 9. Fourier-Reihen

Bild 15. S�gezahnkurve

auf Funktionen von mehr als zwei Variablen �bertragen. Zu-grunde gelegt wird ein ebenes kartesisches Koordinatensy-stem. Jedes geordnete Zahlenpaar ðx;yÞ 2R2 wird dann alsPunkt P(x, y) der Ebene oder durch seinen Ortsvektor rðx;yÞdargestellt. Teilmengen von R2 werden daher auch als ebenePunktmengen bezeichnet.Abstand zweier Punkte r2ðx2;y2Þ und r1ðx1;y1Þ ist definiertdurch

jr2� r1j ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiðx2� x1Þ2 þðy2� y1Þ2

q:

(r-)Umgebung. F�r einen Punkt r0ðx0;y0Þ ist sie eine offeneKreisscheibe mit dem Mittelpunkt r0 .

Urðr0Þ ¼ frj jr� r0j< rg

¼ fðx;yÞjffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiðx� x0Þ2þðx� y0Þ2

q< rg;

wobei r> 0:

Reellwertige Funktion zweier reeller Variablen. Sie ist eineAbbildung f einer Teilmenge von R2 in R

f : D!R f�r D � R2 oder z¼ f ðx;yÞf�r ðx;yÞ 2D � R2:

Graph. F�r die reellwertige Funktion f auf D � R2 wird erdargestellt durch die Menge

½f � ¼ fðx;y; zÞjz¼ f ðx;yÞ f�r ðx;yÞ 2Dg¼ fðr; zÞjf ðrÞ ¼ z f�r r 2Dg:

Das geordnete Zahlentripel ðx;y; zÞ 2 ½f �� R3 kann in einemr�umlichen kartesischen Koordinatensystem als Punkt desRaums dargestellt werden (Bild 16 a). Die Punkte (x, y, z)von [f] bilden i. allg. eine Fl�che. Der Graph [ f] wird daherauch h�ufig als Fl�che und die Gleichung z¼ f ðx;yÞ ¼ f ðrÞals Gleichung einer Fl�che bezeichnet.

Beispiel: Die Funktion z¼ f ðx;yÞ ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2 � y2

pf�r x2 þ y2 % 1

stellt geometrisch die obere H�lfte einer Kugelfl�che mit dem Radius1 und dem Mittelpunkt (0, 0, 0) dar (Bild 16 b).

Niveaulinien. Eine andere geometrische Deutung einer reell-wertigen Funktion f auf D � R2 mit z= f(x, y) besteht in ihrer

Darstellung durch Niveaulinien: f(x, y)=c (c Konstante).Eine Niveaulinie besteht dabei aus der Menge aller Punkte(Urbilder) (x, y)2D in der Koordinatenebene, die das Bildoder das „Niveau“ c haben und somit die Gl. f(x, y)=c erf�l-len.

Beispiel: z=f(x, y)=xy f�r ðx;yÞ 2R2 (Bild 16 c). – Die Niveauli-nien sind f�r z 6¼ 0 Hyperbeln und f�r z=0 die Koordinatenachsen.

6.2.2 Grenzwerte und Stetigkeit

Grenzwerte. Ist f eine reellwertige Funktion auf D und r0

H�ufungspunkt von D, dann heißt die Zahl g Grenzwert derFunktion f f�r r! r0 , wenn es zu jedem e>0 ein d>0 gibt,so daß jf ðrÞ� gj< e f�r alle r2D mit 0< jr� r0j< d. An-schaulich bedeutet dies, daß f�r alle Punkte r 2D, die hinrei-chend nahe bei r0 liegen und von r0 verschieden sind, die Bil-der f ðrÞ beliebig nahe bei g liegen, symbolisch:

limr!! r!0

f ðrÞ ¼ g oder limðx;yÞ!ðx0 ;y0Þ

f ðx;yÞ ¼ g:

Stetigkeit. Die Funktion f auf D heißt in r0 2D stetig, wennes zu jedem e>0 ein d>0 gibt, so daß jf ðrÞ� f ðr0Þj< e f�ralle r2D mit jr� r0j< d oder r 2Udðr0Þ. Ist r0 H�ufungs-punkt von D, so ist dies gleichbedeutend mit

limr!! r!0

f ðrÞ ¼ f ðr0Þ.

Die Funktion f heißt stetig auf D, wenn sie in jedem Punktvon D stetig ist.

6.2.3 Partielle Ableitungen

Die reellwertige Funktion f auf D � R2 heißt in ðx0;y0Þ 2Dpartiell nach x bzw. y differenzierbar, wenn der Grenzwert

limh!0

f ðx0þ h;y0Þ� f ðx0;y0Þh

¼ ¶f

¶xðx0;y0Þ ¼ fxðx0;y0Þ ¼

¶¶x

f ðx0;y0Þ bzw:

limk!0

f ðx0;y0þ kÞ� f ðx0;y0Þk

¼ ¶f

¶yðx0;y0Þ ¼ fyðx0;y0Þ ¼

¶¶y

f ðx0;y0Þ

existiert. Dieser Grenzwert heißt partielle Ableitung nach xbzw. y.F�r y¼ y0 ¼ const stellt der Graph von z¼ f ðx;y0Þ dieSchnittkurve der Ebene y¼ y0 mit der Fl�che z=f(x, y) dar,und die partielle Ableitung von f nach x ist dann die Steigungder Tangente im Punkt ðx0;y0; f ðx0;y0ÞÞ der Schnittkurve.Entsprechendes gilt f�r die partielle Ableitung nach y(Bild 17).

Beispiel: z¼ f ðx;yÞ ¼ xy f�r (x, y)2D={(x, y)|x>0 und y2R}. –

¶f

¶xðx;yÞ ¼ fxðx;yÞ ¼ yxy�1;

¶f

¶yðx;yÞ ¼ fyðx;yÞ ¼ xy lnx:


A

Bild 16. Funktionen mit zwei Ver�nderlichen. a geometrische Deu-tung von z=f(x, y); b Kugeloberfl�che z¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2 � y2

p; c Niveauli-

nien Bild 17. Geometrische Deutung der partiellen Ableitungen

H�here partielle Ableitungen. Ist die reellwertige Funktion fin einem Gebiet G � R2 partiell nach x und y differenzierbar,dann stellen die partiellen Ableitungen fx und fy Funktionenauf G dar, die selbst wieder partiell nach x und y differenzier-bar sein k�nnen. Diese partiellen Ableitungen 2. Ordnungwerden ausgedr�ckt durch

¶2f

¶x2ðx;yÞ ¼ ¶

¶x

¶f

¶xðx;yÞ

� �¼ fxxðx;yÞ;

¶2f

¶y2ðx;yÞ ¼ ¶

¶y

¶f

¶yðx;yÞ

� �¼ fyyðx;yÞ;

¶2f

¶x ¶yðx;yÞ ¼ ¶

¶x

¶f

¶yðx;yÞ

� �¼ fyxðx;yÞ;

¶2f

¶y ¶xðx;yÞ ¼ ¶

¶y

¶f

¶xðx;yÞ

� �¼ fxyðx;yÞ:

Alle weiteren partiellen Ableitungen h�herer Ordnung werdenanalog erkl�rt.

Beispiel: z¼ f ðx;yÞ ¼ x expðxyÞ;D¼R2: –

fxðx;yÞ ¼ ð1þ xyÞexpðxyÞ;fxxðx;yÞ ¼ ð2yþ xyÞexpðxyÞ;fxyðx;yÞ ¼ ð2xþ x2yÞexpðxyÞ;

S�tze �ber partiell differenzierbare Funktionen. Besitztdie reellwertige Funktion f im Gebiet G � R2 beschr�nktepartielle Ableitungen fx und fy, d.h., gibt es eine solche positi-ve Zahl m, so daß

jfxðx;yÞj% m und jfyðx;yÞj% m f�r alle ðx;yÞ 2G

gilt, dann ist f auf G stetig.Satz von Schwarz: Besitzt die Funktion in dem Gebiet G diepartiellen Ableitungen fx; fy; fxy und fyx und sind fxy und fyx

stetige Funktionen auf G, dann ist fxy ¼ fyx. Bei stetigen ge-mischten Ableitungen darf also die Reihenfolge der partiellenAbleitungen vertauscht werden.

Differenzierbarkeit. Eine reellwertige Funktion f auf demGebiet G � R2 heißt in ðx0;y0Þ 2G (total) differenzierbar,wenn es zwei Zahlen A und B und zu jedem e>0 ein d>0gibt, so daß

f ðx0 þ h;y0þ kÞ� f ðx0;y0Þ� ðAhþBkÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffih2þ k2p

< e

f�rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffih2þ k2

p< d:

Eine notwendige Bedingung f�r die (totale) Differenzierbar-keit von f in ðx0;y0Þ ist die Existenz der partiellen Ableitun-gen in ðx0;y0Þ, wobei A¼ ¶f

¶x ðx0;y0Þ und B¼ ¶f¶y ðx0;y0Þ. Damit

gilt f�r eine in ðx0;y0Þ total differenzierbare Funktion f

f ðx0þ h;y0þ kÞ� f ðx0;y0Þ

¼ fxðx0;y0Þhþ fyðx0;y0Þkþ hðh;kÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffih2þ k2

p

mit limhðh;kÞ ¼ 0 f�r (h, k)! (0, 0). F�r den Zuwachs hbzw. k ist auch die Bezeichnung Dx bzw. Dy und dx bzw. dygebr�uchlich.

Totales Differential. So heißt der in h und k bzw. dx und dylineare Ausdruck

df ðx;yÞ ¼ fxðx;yÞ dxþ fyðx;yÞ dy:

Mit der Bezeichnung Df ðx;yÞ ¼ f ðxþ dx;yþ dyÞ� f ðx;yÞ f�rden Funktionszuwachs l�ßt sich die Bedingung f�r die (to-tale) Differenzierbarkeit der Funktion f in (x, y) auch ange-ben:

limDf ðx;yÞ� df ðx;yÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

dx2 þ dy2p ¼ 0 f�r ðdx;dyÞ! ð0;0Þ:

Besitzt die reellwertige Funktion f in dem Gebiet G � R2 ste-tige partielle Ableitungen fx und fy, dann ist sie in G total dif-ferenzierbar.

Beispiel: z¼ f ðx;yÞ ¼ x2yþ y; ðx;yÞ 2R2: – Mit fxðx;yÞ ¼ 2xy undfyðx;yÞ ¼ x2 þ 1 lautet das totale Differential df ðx;yÞ ¼ 2xy dxþðx2 þ 1Þ dy: Der Funktionszuwachs Df ðx;yÞ ist

Df ðx;yÞ ¼ ðxþ dxÞ2ðyþ dyÞþ ðyþ dyÞ� ðx2yþ yÞ¼ ð2xy dxþðx2 þ 1Þ dyÞþ y dx2 þ 2xy dx dyþ dx2 dy

¼ df ðx;yÞþ y dx2 þ 2x dx dyþ dx2 dy:

Es ist leicht einzusehen, daß f�r ðdx;dyÞ! ð0;0Þ

limDf ðx;yÞ� d f ðx;yÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

dx2 þ dy2p ¼ lim

y dx2 þ 2x dx dyþ dx2dyffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidx2 þ dy2

p ¼ 0

f�r alle ðx;yÞ 2R2:

Dies bedeutet, daß f in jedem ðx;yÞ 2R2 (total) differenzierbar ist.

Geometrische Deutung. Wird in der Gleichung

f ðx0þ dx;y0þ dyÞ ¼ f ðx0;y0Þþ fxðx0;y0Þ dx

þ fyðx0;y0Þ dyþ hðdx;dyÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidx2 þ dy2

p

das Glied hðdx;dyÞffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffidx2þ dy2

pvernachl�ssigt und

x0þ dx¼ x; y0þ dy¼ y; f ðx0;y0Þ ¼ z0 sowie f(x, y)=z ge-setzt, dann lautet sie

z¼ z0þ fxðx0;y0Þðx� x0Þþ fyðx0;y0Þðy� y0Þ:

Diese Gleichung stellt geometrisch die Tangentialebene imPunkt ðx0;y0; f ðx0;y0ÞÞ der Fl�che z=f (x, y) dar. Sie enth�ltdie beiden Tangenten mit den Steigungen fxðx0;y0Þ undfyðx0;y0Þ, Bild 17. Geometrisch bedeutet demnach die totaleDifferenzierbarkeit von f in ðx0;y0Þ, daß sich die Fl�chez=f(x, y) in einer Umgebung von ðx0;y0Þ durch eine Tangen-tialebene approximieren l�ßt.

Ableitung von zusammengesetzten Funktionen

Kettenregel. Ist f eine reellwertige Funktion, die in einemGebiet G � R2 stetige partielle Ableitungen fx und fy besitzt,und ist rðtÞ ¼ ðxðtÞ;yðtÞÞ eine differenzierbare ebene Kurve,die f�r t2 [ a, b] ganz in G verl�uft, dann ist die zusammenge-setzte Funktion f ðrðtÞÞ ¼ FðtÞ nach t differenzierbar, und esgilt – wenn der Punkt die Ableitung nach t kennzeichnet –

_FðtÞ ¼ df ðrðtÞÞdt

¼ fxðxðtÞ;yðtÞÞ _xðtÞþ fyðxðtÞ;yðtÞÞ _yðtÞ:

Dies ist die Kettenregel f�r Funktionen von zwei Variablen,die von einem Parameter abh�ngen. Sie l�ßt sich auf Funktio-nen mehrerer Variablen und auf mehrere Parameter verallge-meinern. Werden bei der Funktion z=f(x, y) gem�ß x= x(u,u) und y=y(u, u) die neuen Variablen u und u eingef�hrt, sogilt z=f(x(u, u), y(u, u))=F(u, u). Werden nacheinander uund u als Konstanten behandelt, so kann die Funktion F nachder Kettenregel partiell nach u und u differenziert werden,und die partiellen Ableitungen lauten

¶F

¶u¼ ¶f

¶x

¶x

¶uþ ¶f

¶y

¶y

¶uund

¶F

¶u¼ ¶f

¶x

¶x

¶uþ ¶f

¶y

¶y

¶v:

Implizite Funktionen. Eine Funktion y=f(x) einer Varia-blen, die durch eine Gleichung der Form F(x, y)=0 definiertist, heißt implizite Funktion. Ist die Funktion F in dem GebietG � R2 stetig und besitzt sie in G stetige partielle Ableitun-gen Fx und Fy und ist

Fðx0;y0Þ ¼ 0 und Fyðx0;y0Þ 6¼ 0 f�r ðx0;y0Þ 2G;

dann gibt es eine Umgebung Udðx0Þ� R von x0 und genaueine Funktion f auf Udðx0Þ, f�r die


A

y0 ¼ f ðx0Þ; Fðx; f ðxÞÞ ¼ 0 f�r alle x 2Udðx0Þ;

f und f 0 stetig auf Udðx0Þ

und f 0ðxÞ ¼�Fxðx; f ðxÞÞFyðx; f ðxÞÞ

:

Die letzte Eigenschaft heißt Ableitungsregel f�r impliziteFunktionen.Bei entsprechenden Voraussetzungen haben implizite Funk-tionen z= f(x, y), die durch eine Gleichung der Form F(x, y,z)=0 definiert sind, analoge Eigenschaften. Anwendung derKettenregel auf die Identit�t F(x, y, f (x, y))�0 f�hrt auf dieGleichungen

FxþFz fx ¼ 0 und FyþFz fy ¼ 0:

Taylor-Formel. Hier treten zur abk�rzenden SchreibweiseAusdr�cke auf, die wie Potenzen eines Binoms behandeltwerden:

h¶¶xþ k

¶¶y

� �n

f�r n¼ 0;1;2 . . . ; z:B:

h¶¶xþ k

¶¶y

� �2

f ðx;yÞ

¼ h2 ¶2f

¶x2ðx;yÞþ 2hk

¶2f

¶x ¶yðx;yÞþ k2 ¶2f

¶y2ðx;yÞ:

Besitzt die Funktion auf dem Gebiet G � R2 stetige partielleAbleitungen bis zur Ordnung n+1, dann ist

f ðxþ h;yþ kÞ ¼ f ðx;yÞþ h¶¶xþ k

¶¶y

� �f ðx;yÞ

þ 12!

h¶¶xþ k

¶¶y

� �2

f ðx;yÞþ . . .

þ 1n!

h¶¶xþ k

¶¶y

� �n

f ðx;yÞ

þ 1ðnþ 1Þ! h

¶¶xþ k

¶¶y

� �nþ1

f ðxþ Jh;yþ JkÞ

f�r (x, y)2G und (x+ h, y+k)2G, wobei 0<J<1. Dies istdie Taylor-Formel f�r Funktionen zweier Variablen. Aus ihrergibt sich f�r n=0 der Mittelwertsatz

f ðxþ h;yþ kÞ ¼ f ðx;yÞþ h¶f

¶xðxþ Jh;yþ JkÞ

þ k¶f

¶yðxþ Jh;yþ JkÞ; 0< J< 1:

F�r die Untersuchung von Funktionen f auf lokale Extrem-werte ist noch der Fall n=1 von Bedeutung.

f ðxþ h;yþ kÞ ¼ f ðx;yÞþ hfxðx;yÞþ kfyðx;yÞþ 0;5 � ðh2fxxðx;hÞþ 2hkfxyðx;hÞþ k2fyyðx;hÞÞ;

wobei x=x+Jh, h=y+J k und 0<J<1.

Lokale Extremwerte von Funktionen zweier Variablen

f sei eine Funktion auf D � R2 und r0 ¼ ðx0;y0Þ innerer Punktvon D. f ðr0Þ heißt lokales Maximum bzw. Minimum, wenn eseine Umgebung Urðr0Þ 2D gibt, so daß f ðrÞ% f ðr0Þ bzw.f ðrÞ^ f ðr0Þ f�r alle r 2Urðr0Þ gilt. Gelten die Ungleichungenf�r r 6¼ r0 auch ohne Gleichheitszeichen, dann heißt f ðr0Þstrenges lokales Extremum.Notwendige Bedingung. Besitzt die Funktion f auf D � R2 ineinem inneren Punkt r0 2D ein lokales Extremum und exis-tieren in r0 die partiellen Ableitungen fxðr0Þ und fyðr0Þ, dannist

fxðr0Þ ¼ 0 und fyðr0Þ ¼ 0:

Hinreichende Bedingung. Besitzt die Funktion f auf D � R2

in einer Umgebung Urðr0Þ� D von r0 stetige partielle Ablei-

tungen 2. Ordnung und gilt

fxðr0Þ ¼ 0 und fyðr0Þ ¼ 0 sowie

fxxðr0Þfyyðr0Þ� f 2xyðr0Þ> 0;

dann ist f ðr0Þ ein strenges lokales Extremum, und zwar

ein Maximum; wenn fxxðr0Þ< 0;

und ein Minimum; wenn fxxðr0Þ> 0:

Ist fxxðr0Þfyyðr0Þ� f 2xyðr0Þ< 0; dann ist f ðr0Þ kein lokales Ex-

tremum (Sattelpunkt). F�r fxxðr0Þfyyðr0Þ� fxyðr0Þ ¼ 0 l�ßtsich keine eindeutige Aussage dar�ber machen, ob f ðr0Þ lo-kales Extremum ist oder nicht.

Beispiel 1: z¼ f ðrÞ ¼ f ðx;yÞ ¼ x2 � xyþ y2 þ 9x� 6yþ 20: – fxðrÞ ¼2x� yþ 9, fyðrÞ ¼�xþ 2y� 6, fxyðrÞ ¼ fyxðrÞ ¼�1, fxxðrÞ ¼2; fyyðrÞ ¼ 2: Aus fxðrÞ ¼ 0 und fyðrÞ ¼ 0 folgen die notwendigen Be-dingungen 2x-y+9=0 und - x+2y-6=0, also r0 ¼ ðx0 ;y0Þ ¼ ð�4;1Þ:Damit ist fxxðr0Þ ¼ fxxð�4;1Þ ¼ 2> 0 und fxxð�4;1Þ fyyð�4;1Þ� f 2

xy

ð�4;1Þ ¼ 3> 0: Die Funktion f besitzt demnach in (-4;1) das strengelokale Minimum z¼ f ðr0Þ ¼ f ð�4;1Þ ¼�1:

Beispiel 2: z¼ f ðrÞ ¼ f ðx;yÞ ¼ y2 � x2: – fxðrÞ ¼�2x; fyðrÞ ¼2y; fxyðrÞ ¼ fyxðrÞ ¼ 0; fxxðrÞ ¼�2; fyyðrÞ ¼ 2: Aus – 2x=0 und 2y=0folgt r0 ¼ ðx0; y0Þ ¼ ð0; 0Þ und fxxð0;0Þfyyð0; 0Þ� f 2

xyð0; 0Þ ¼�4< 0:

DieFunktion fhatalso inr0 ¼ ð0;0ÞeinenSattelpunkt.

Besitzt die Funktion f auf D � Rn in einem inneren Punktr0 ¼ ðx0

1;x02;x

03 . . .x0

nÞ 2D ein lokales Extremum und existie-ren in r0 die partiellen Ableitungen ¶f ðr0Þ=¶xi, dann ist

¶f

¶xiðr0Þ ¼ 0 f�r i¼ 1;2;3; . . . ;n:

Bedingte lokale Extrema. Zugrunde gelegt sei eine Funktionf auf D � R2, deren Variablen x und y noch einer Nebenbedin-gung gðrÞ ¼ gðx;yÞ ¼ 0 unterworfen sind. f ðr0Þ ¼ f ðx0;y0Þheißt ein bedingtes lokales Maximum bzw. Minimum (beidegemeinsam: bedingtes lokales Extremum) von f in r0 , wennes eine Umgebung Urðr0Þ� D gibt, so daß

f ðrÞ% f ðr0Þ bzw: f ðrÞ^ f ðr0Þ

f�r alle r 2Urðr0Þ und gðrÞ ¼ 0 gilt.

Notwendige Bedingung. Besitzt die Funktion f auf D in r0 2Dein bedingtes lokales Extremum f ðr0Þ mit der Nebenbedin-gung gðrÞ ¼ 0, und haben die Funktionen f und g in einer Um-gebung von r0 stetige partielle Ableitungen 1. Ordnung, wo-bei

gxðr0Þ 6¼ 0 oder gyðr0Þ 6¼ 0 und gðr0Þ ¼ 0;

dann gibt es eine Zahl l, so daß

fxðr0Þþ lgxðr0Þ ¼ 0 und fyðr0Þþ lgyðr0Þ ¼ 0:

Die Punkte (x, y), in denen die Funktion f bedingte lokale Ex-trema besitzt, befinden sich demnach unter den L�sungen (x,y, l) des Gleichungssystems

fxðx;yÞþ lgxðx;yÞ ¼ 0;

fyðx;yÞþ lgyðx;yÞ ¼ 0;

gðx;yÞ ¼ 0:

Multiplikatorregel von Lagrange. Hiernach ergeben sich f�rbedingte lokale Extrema durch Einf�hrungen der FunktionF(x, y, l)=f(x, y)+l g(x, y) mit dem Multiplikator l die not-wendigen Bedingungen

Fxðx;y;lÞ ¼ fxðx;yÞþ lgxðx;yÞ ¼ 0;

Fyðx;y;lÞ ¼ fyðx;yÞþ lgyðx;yÞ ¼ 0;

Flðx;y;lÞ ¼ gðx;yÞ ¼ 0:


A

Beispiel: Gesucht sind die Punkte auf der Hyperbelgðx;yÞ ¼ x2 � y2 � 4¼ 0; die vom Punkt (0;2) einen lokalen extrema-len Abstand haben. – Das Abstandsquadrat eines Hyperbelpunkts (x,y) vom Punkt (0;2) ist f ðx;yÞ ¼ x2 þðy� 2Þ2 mit der Nebenbedin-gung gðx;yÞ ¼ x2 � y2 � 4¼ 0: Aus dem Ansatz

Fðx;y;lÞ ¼ x2 þðy� 2Þ2 þ lðx2 � y2 � 4Þ

folgen die Bedingungsgleichungen f�r ein lokales Extremum:Fxðx;y;lÞ ¼ 2xþ 2lx¼ 0; Fyðx;y;lÞ ¼ 2ðy� 2Þ� 2ly¼ 0;

Flðx;y;lÞ ¼ x2 � y2 � 4¼ 0:

F�r l=-1 hat die Funktion f in den Punkten ð�ffiffiffi5p

;1Þ und ðffiffiffi5p

;1Þ einbedingtes lokales Extremum (Minimum).

Richtungsableitung und Gradient

f sei eine Funktion auf D � R2, die in einer Umgebung des in-neren Punkts r0 ¼ ðx0;y0Þ 2D stetige partielle Ableitungenbesitzt.

Richtungsvektor. Durch den Einheitsvektort¼ cosae1þ sinae2

sei eine Richtung in der x, y-Ebene festgelegt, wobei e1 unde2 die Koordinaten-Einheitsvektoren sind. F�r einen Punktr¼ ðx;yÞ der Halbgeraden, die von dem Punkt r0 in Richtungdes Einheitsvektors t ausgeht, gilt

x¼ x0þ t cosa und y¼ y0þ t sina f�r t ^ 0:

Richtungsableitung. Sie ist f�r die Funktion f in r0 nach derdurch t festgelegten Richtung definiert durch

¶f

¶tðr0Þ ¼ lim

t!0

FðtÞ�Fð0Þt

¼ F0ð0Þ;

wobei FðtÞ ¼ f ðx0þ t cosa;y0þ t sinaÞ: Aus der Kettenregelfolgt F0ð0Þ ¼ fxðr0Þcosaþ fyðr0Þsina: Damit lautet die Rich-tungsableitung der Funktion f in r0 nach der durcht¼ cosae1þ sinae2 festgelegten Richtung

¶f

¶tðr0Þ ¼ fxðr0Þcosaþ fyðr0Þsina:

Gradient. Der Vektor gradf ðr0Þ ¼ fxðr0Þe1þ fyðr0Þe2 heißtGradient von f in r0.Die Richtungsableitung ist also das skalare Produkt des Gra-dienten von f und des Richtungsvektors t

¶f

¶tðr0Þ ¼ fxðr0Þcosaþ fyðr0Þ sina¼ gradf ðr0Þ � t¼ jgradf ðr0Þjcosj;

wobei j der Winkel zwischen den Vektoren gradf ðr0Þ und tist.F�r cosj¼ 1, d.h., wenn t und gradf ðr0Þ die gleiche Richtungund den gleichen Richtungssinn haben, wird die Richtungsab-leitung am gr�ßten, n�mlich

¶f

¶tðr0Þ ¼ jgradf ðr0Þj ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffif 2x ðr0Þþ f 2

y ðr0Þq

:

Dies bedeutet, daß gradf ðr0Þ die Richtung in r0 angibt, in derdie Funktion f am st�rksten zunimmt. Wird f durch ihre Ni-veaulinien f ðrÞ ¼ const dargestellt und ist r0 ein Punkt einerNiveaulinie, so steht gradf ðr0Þ in r0 auf dieser Niveauliniesenkrecht und zeigt in die Richtung des Niveauanstiegs.

Beispiel: z¼ f ðrÞ ¼ f ðx;yÞ ¼ x2 þ y2 : – Die Niveaulinien sind kon-zentrische Kreise in der x, y-Ebene mit dem Zentrum (0, 0). DerPunkt r0 ¼ ð

ffiffiffi3p

;�1Þ liegt auf dem Kreis mit dem Radius 2, der dasNiveau z=4 besitzt. Es ist

grad f ðrÞ ¼ 2xe1 þ 2ye2 und gradf ðffiffiffi3p

;�1Þ ¼ 2ffiffiffi3p

e1 � 2e2 :

Als gr�ßter Anstieg von f in ðffiffiffi3p

;�1Þ ergibt sich damit

jgrad f ðffiffiffi3p

;�1Þj ¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi12þ 4p

¼ 4:

Die Richtungsableitung der Funktion f in ðffiffiffi3p

;�1Þ nach der durcht¼ cos30� e1 þ sin30� e2 festgelegten Richtung hat den Wert

¶f

¶tðffiffiffi3p

;�1Þ ¼ ð2ffiffiffi3p

e1 � 2e2Þð0;5ffiffiffi3p

e1 þ 0;5e2Þ ¼ 2:

6.2.4 Integraldarstellung von Funktionen undDoppelintegrale

Die Funktion f sei auf einem Rechteck a%x % b undc %y %d erkl�rt und f�r jedes y �ber [a, b] integrierbar. Dann

ist durch FðyÞ ¼Zb

a

f ðx;yÞ dx eine Funktion f auf [c, d] erkl�rt,

die als eine Integraldarstellung bezeichnet wird. Die Variabley heißt Parameter des Integrals. F ist stetig, wenn f es ist.Existiert außerdem die stetige partielle Ableitung fyðx;yÞ aufdem Rechteck, so ist F in [ c, d] differenzierbar, und es gilt

F0ðyÞ ¼Zb

a

fyðx;yÞ dx:

Ableitungsformel von Leibniz. Sind die Grenzen des be-stimmten Integrals selbst noch differenzierbare Funktionender Variablen y, also a=g(y) und b=h(y), dann gilt f�r

FðyÞ ¼ZhðyÞ

gðyÞ

f ðx;yÞ dx

F0ðyÞ ¼ZhðyÞ

gðyÞ

fyðx;yÞ dxþ f ðhðyÞ;yÞh0ðyÞ� f ðgðyÞ;yÞg0ðyÞ:

Doppelintegral. Es heißt auch iteriertes Integral und hat dieForm

Zd

c

ZhðyÞ

gðyÞ

f ðx;yÞ dx

0B@

1CAdy oder k�rzer

Zd

c

ZhðyÞ

gðyÞ

f ðx;yÞ dx dy:

6.2.5 Fl�chen- und Raumintegrale

Fl�chenintegrale

Zugrunde gelegt wird ein beschr�nktes Gebiet G der Ebene,dessen Rand aus einer geschlossenen, st�ckweise glatten Kur-ve besteht. Auf G sei eine stetige beschr�nkte Funktion f defi-niert: z=f(x, y) f�r (x, y)2 G. Das Gebiet G wird in eine end-liche Zahl von Teilgebieten Gi ði¼ 1;2;3; . . . ;nÞ zerlegt(Bild 18 a, b). Oft besteht eine solche Zerlegung in einer Un-terteilung des Gebiets G durch Parallelen zur x- und y-Achse(Bild 18 b). Zur geometrischen Deutung sei speziell voraus-gesetzt, daß f(x, y)^ 0 f�r (x, y)2 G.Ist ðxi;yiÞ ein Punkt des Teilgebiets Gi und DSi der Fl�chen-inhalt von Gi, dann stellt das Produkt f ðxi;yiÞ �DSi das Volu-men einer S�ule mit der Grundfl�che Gi und der H�he

f ðxi;yiÞ dar (Bild 18 c). Die SummeXn

i¼1

f ðxi;yiÞDSi; die auch

als Riemann-Summe bezeichnet wird, gibt dann ann�hernddas Volumen des Zylinders mit der ebenen Grundfl�che Gund der Deckfl�che ½ f � ¼ fðx;y; zÞjz¼ f ðx;yÞf�rðx;yÞ 2Ggwieder. Unter gewissen Voraussetzungen haben die Riemann-Summen bei Verfeinerung der Zerlegung von G einen Grenz-wert, der Fl�chenintegral der Funktion f �ber G heißt:ZZ

G

f ðx;yÞ dS oderZZ

G

f ðx;yÞ dðx;yÞ oderZZ

G

f ðrÞ dr:


A

Ist f(x, y) ^0 f�r (x, y)2G, so wird das Fl�chenintegral geo-metrisch als das Volumen des Zylinders mit der Grundfl�cheG und der Deckfl�che [f] definiert. Ist insbesondere f(x, y)=1f�r (x, y)2 G, so bestimmt das Fl�chenintegralZZ

G

1 dS¼ZZ

G

dS¼ZZ

G

dðx;yÞ

den Fl�cheninhalt des Gebiets G.

Mittelwertsatz. Ist f eine auf dem abgeschlossenen Gebiet Gstetige Funktion mit dem Kleinstwert m und dem Gr�ßtwertM, dann istZZ

G

f ðx;yÞ dðx;yÞ ¼ mZZ

G

dðx;yÞ; wobei m %m% M:

m heißt der Mittelwert von f auf G.

Berechnung. G sei ein beschr�nktes Gebiet mit einer ge-schlossenen und doppelpunktfreien Randkurve. Jede Parallelezur x- bzw. y-Achse soll die Randkurve in h�chstens zweiPunkten schneiden. Das kleinste abgeschlossene Rechteck(Bild 19 a), das G umschließt, sei bestimmt durch a %x %bund c %y % d. Hierdurch wird die Randkurve des Gebiets Gwie folgt zerlegt:

oberes und unteres Kurvenst�ck

ABC : y¼ y2ðxÞ; CDA : y¼ y1ðxÞ f�r x 2 ½a;b�;linkes und rechtes Kurvenst�ck

BCD : x¼ x1ðyÞ; DAB : x¼ x2ðyÞ f�r y 2 ½c;d�:

Hiermit gilt f�r eine stetige und beschr�nkte Funktion f auf GZZG

f ðx;yÞ dðx;yÞ

¼Zb

a

Zy2ðxÞ

y1ðxÞ

f ðx;yÞ dy

0B@

1CAdx

¼Zd

c

Zx2ðyÞ

x1ðyÞ

f ðx;yÞ dx

0B@

1CAdy:

Hiermit l�ßt sich das Fl�chenintegral einer stetigen und be-schr�nkten Funktion f �ber G auf ein Doppelintegral zur�ck-f�hren.

Beispiel: Auf dem abgeschlossenen Gebiet (Bild 19 b)

G¼ fðx;yÞj0 % x % 1 und x2 % y %ffiffiffixpg;

dessen Rand durch den Graph der Funktionen y1ðxÞ ¼ x2 undy2ðxÞ ¼

ffiffiffixp

bestimmt ist, ist die Funktion f(x, y)=2 xy erkl�rt. – Esist

ZZG

2xy dðx;yÞ ¼Z1

0

Z ffiffixp

x2

2xy dy

0B@

1CA dx¼

Z1

0

x½y2 �ffiffixp

x2 dx

¼Z1

0

xðx� x4Þ dx¼ 1=6:

Substitutionsregel. F sei ein ebenes abgeschlossenes Gebiet,dessen Rand eine st�ckweise glatte Kurve ist. Auf einem Fumfassenden Gebiet seien zwei Funktionen x=j(u, u) undy=y(u, u) mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung ge-geben, die das Innere von F eineindeutig auf ein ebenes Ge-biet G abbilden (Bild 20 a). F�r jeden inneren Punkt (u, u)von F sei die Funktionaldeterminante der beiden Funktionenj und y verschieden von Null.

¶ðx;yÞ¶ðu;uÞ ¼

juðu;uÞ yuðu;uÞjvðu;uÞ yvðu;uÞ

6¼ 0:

Dann gilt f�r jede auf G stetige Funktion f die Substitutions-regel f�r Fl�chenintegrale:


A

Bild 18. Fl�chenintegral. a und b Zerlegung eines Gebiets G; c geo-metrische Deutung

Bild 19. Ebenes Gebiet G. a Begrenzungen; b y1ðxÞ ¼ x2 ;y2ðxÞ ¼ffiffiffixp

Bild 20a und b. Abbildung eines Gebiets F auf ein Gebiet G

ZZG

f ðx;yÞ dðx;yÞ

¼ZZ

F

f ðjðu;uÞ;yðu;uÞÞ ¶ðx;yÞ¶ðu;uÞ

dðu;uÞ:

Beispiel (Bild 20 b): In der x, y-Ebene sei das abgeschlossene GebietG¼ fðx;yÞ j 0< a %

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffix2 þ y2

p% 1 und y ^0} gegeben, das die Form

eines halben Kreisrings mit dem Außendurchmesser 1 und dem In-nendurchmesser a hat. Auf G ist die Funktionz¼ f ðx;yÞ ¼


pf�r (x, y)2 G erkl�rt. – Durch die Substi-

tution x¼ jðr;aÞ ¼ r cosa und y¼ yðr;aÞ ¼ r sina wird das abge-schlossene Gebiet F={(r, a)|0<a % r% 1 und 0 %a% pg eineindeu-tig auf das abgeschlossene Gebiet G abgebildet. Mit der Funktional-determinante der beiden Funktionen j und y

¶ðx;yÞ¶ðr;aÞ ¼

cosa sina�r sina r cosa

¼ r > 0

ergibt sich f�r das Fl�chenintegral der Funktion f �ber GZZG


pdðx;yÞ ¼

ZZF

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� r2p

r dðr;aÞ

¼Z1

a

Zx

0


r da

0@

1Adr¼ p

Z1

a


r dr ¼ p=3ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� a2p 3

:

Raumintegrale

Zugrunde gelegt wird ein r�umliches abgeschlossenes GebietG={(x, y, z)|(x, y)2B und f1ðx;yÞ% z % f2ðx;yÞg, wobei Bein ebenes abgeschlossenes Gebiet mit st�ckweise glattemRand ist und f1; f2 stetige Funktionen auf B sind. G ist dem-nach ein zylindrischer K�rper, dessen Projektion auf die x, y-Ebene B ist und der oben von der Fl�che z¼ f2ðx;yÞ und untenvon der Fl�che z¼ f1ðx;yÞ begrenzt wird. Ist f eine stetigeFunktion auf G, dann ist das Raumintegral der Funktion f �berG erkl�rt durch das iterierte IntegralZZZ

G

f ðx;y; zÞ dðx;y; zÞ ¼ZZZ

G

f ðrÞ dr

¼ZZ

B

dðx;yÞZf 2ðx;yÞ

f 1ðx;yÞ

f ðx;y;zÞ dz:

Der Ausdruck dðx;y; zÞ ¼ dx dy dz¼ dr¼ dV heißt Volumen-element in kartesischen Koordinaten. Durch das Raumintegralmit f(x, y, z)�1 ist das Volumen von G definiert.

Beispiel (Bild 21): Das r�umliche abgeschlossene Gebiet G ist einTetraeder, das von den vier Ebenen x=0, y=0, z=0 und x+y+z=1begrenzt wird, so daß B={(x, y)|0% x % 1 und 0 %y % 1- x} undG={(x, y, z)|(x, y)2B und 0% z% 1-x-y}. Auf G ist die Funktionf ðx;y; zÞ ¼ 1=ð1þ xþ yþ zÞ2 erkl�rt. – Das Raumintegral der Funkti-on f �ber G lautet

ZZZG

1

ð1þ xþ yþ zÞ2dðx;y; zÞ

¼ZZ

B

dðx;yÞZ1�x�y

0

1

ð1þ xþ yþ zÞ2dz:

Integration des einfachen Integrals ergibt

Z1�x�y

0

1

ð1þ xþ yþ zÞ2dz¼� 1

1þ xþ yþ z

� �1�x�y

0

¼� 12� 1

1þ xþ y

� �:

F�r die Bestimmung des Raumintegrals ist jetzt nur noch das Fl�chen-integral zu berechnen, das sich wieder auf ein iteriertes Integral zu-r�ckf�hren l�ßt.

ZZB

11þ xþ y

� 12

� �dðx;yÞ ¼

Z1

0

dx

Z1�x

0

11þ xþ y

� 12

� �dy

¼Z1

0

dx lnð1þ xþ yÞ� 12

y

� �1�x

0

¼Z1

0

ðln2�ð1� xÞ=2� lnð1þ xÞÞ dx¼ 3=4� ln 2:

Substitutionsregel. Sind x=x(u, u, w), y=y(u, u, w) und z=z(u, u, w) Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen 1.Ordnung, die ein r�umliches Gebiet F mit den Variablen u, u,w auf ein r�umliches Gebiet G mit den Variablen x, y, z abbil-den, und ist die Funktionaldeterminante der Transformation

¶ðx;y; zÞ¶ðu;v;wÞ ¼

xu xv xw

yu yv yw

zu zv zw

6¼ 0 f�r ðu;v;wÞ 2 F;

dann gilt f�r eine auf G stetige Funktion f die Substitutionsre-gel f�r Raumintegrale:ZZZ

G

f ðx;y; zÞ dðx;y; zÞ

¼ZZZ

F

f ðxðu;v;wÞ;yðu;v;wÞ;zðu;v;wÞ ¶ðx;y; zÞ¶ðu;v;wÞ

dðu;v;wÞ:

Koordinatentransformationen. H�ufig treten auf:Zylinderkoordinaten (Bild 22)

x¼ r cosjy¼ r sinj;z¼ z

f�r0 % r

0 %j% 2p

¶ðx;y; zÞ¶ðr;j; zÞ ¼

cosj �r sinj 0

sinj r cosj 0

0 0 1

¼ r;

ZZZG

f ðx;y; zÞ dðx;y; zÞ

¼ZZZ

F

f ðr cosj; r sinj;zÞr dðr;j; zÞ:


A

Bild 21. Tetraeder als r�umlich abgeschlossenes Gebiet

Bild 22. Zylinderkoordinaten r, j, z

Kugelkoordinaten (Bild 23)

x¼ r cosJ cosjy¼ r cosJ sinjz¼ r sinJ

f�r

0 % r

�p=2 %J% p=2

0 %j% 2p

¶ðx;y; zÞ¶ðr;j;JÞ ¼

cosJ ;cosj �r cosJ sinj �r sinJ cosjcosJ sinj r cosJ cosj �r sinJ sinj

sinJ 0 r cosJ

¼ r2 cosJ;

ZZZG

f ðrÞ dr

¼ZZZ

F

f ðr cosJcosj; r cosJ sinj;r sinJÞr2 cosJ dðr;j;JÞ:

7 Kurven und Fl�chen, Vektoranalysis

U. Jarecki, Berlin

7.1 Kurven in der Ebene

7.1.1 Grundbegriffe

Parameterdarstellung. Eine ebene Kurve k ist durch ein Sys-tem aus zwei Gleichungen erkl�rt: x=x(t) und y=y(t) f�rt2 [a, b], wobei x(t) und y(t) stetige Funktionen auf dem ab-geschlossenen Intervall I=[a, b] sind. t heißt Kurvenparame-ter und I Parameterintervall. Beide Gleichungen ordnen je-dem Parameterwert t genau einen Punkt oder Ortsvektor derKurve k zu (Bild 1).

rðtÞ ¼ ðxðtÞ;yðtÞÞ ¼ xðtÞe1þ yðtÞe2 f�r t 2 I ¼ ½ab�:

Der Durchlaufsinn, mit dem der Punkt rðtÞ mit wachsendenParameterwerten t die Kurve k durchl�uft, heißt Orientierungvon k, so daß rðaÞ den Anfangs- und rðbÞ den Endpunkt derKurve kennzeichnen. Die Kurve k heißt geschlossen, wennrðaÞ ¼ rðbÞ.Bei einer Substitution des Parameters t gem�ß t=j(t) f�rt2 [a, b] und j(a)= a, j(b)=b, wobei j eine streng mono-ton wachsende Funktion auf [a, b] ist, bleiben Gestalt undOrientierung der Kurve erhalten.

rðtÞ f�r t 2 ½a;b� und ~rðtÞ ¼ rðjðtÞÞ f�r t 2 ½a;b�

heißen dann �quivalente Darstellungen der Kurve k.

Beispiel (Bild 2): Durch die Gleichungen x¼ cos t und y¼ sin t oderrðtÞ ¼ ðcos t; sin tÞ f�r t 2 ½0;p� ist ein Halbkreis mit dem Radius 1,dessen Orientierung dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt ist, erkl�rt.�quivalente Darstellungen dieser Kurve sind x¼ ~xðtÞ ¼ 2cos2 t� 1und y¼ ~yðtÞ ¼ 2 sint � cost f�r t 2 ½0;p=2�; wobei t=j(t)=2t,t 2 ½0;p=2�; oder x¼ ~xðtÞ ¼�t und y¼ �yðtÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� t2p

f�r t2 [-1, 1],wobei t¼ p� arccost.

Unter –k ist eine Kurve erkl�rt, die aus k durch Umkehrungdes Durchlaufsinns hervorgeht. Sind k1 und k2 zwei Kurven,bei denen der Anfangspunkt von k2 mit dem Endpunkt von k1

zusammenf�llt, dann ist durch die Summe k1þ k2 eine Kurveerkl�rt, bei der nacheinander die Kurven k1 und k2 durchlau-fen werden.

Beispiel:

k1 : r1ðtÞ ¼ ð�t;ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� t2p

Þ f�r t 2 ½�1;1�;k2 : r2ðtÞ ¼ ðt� 2;0Þ f�r t 2 ½1;3�;

k1 þ k2 : rðtÞ ¼ r1ðtÞ f�r t 2 ½�1;1�;r2ðtÞ f�r t 2 ½1;3�:

�

H�ufig wird eine Kurve k in Polarkoordinaten r und j darge-stellt.

r¼ rðtÞ und j¼ jðtÞ f�r t 2 ½a;b�:

So stellt z.B. die Kurve r¼ rðtÞ ¼ expðatÞ und j=2t f�rt 2 ½0;p� eine Windung einer logarithmischen Spirale dar.

Parameterfreie Darstellung. Die Elimination des Parameterst bei der Kurve k, x=j(t) und y=y(t) f�r t2 [a, b], f�hrt aufeine Gleichung der Form F(x, y)=0 oder y=f(x) bzw.g=f(y). Sie heißt dann implizite oder explizite parameterfreieDarstellung der Kurve.

Beispiel: Der Einheitskreis x¼ cos t und y¼ sin t f�r t 2 ½0;2p� hatwegen cos2 tþ sin2 t¼ 1 die implizite Darstellung Fðx;yÞ ¼x2 þ y2 � 1¼ 0. F�r t 2 ½0;p�; also y ^ 0, lautet die explizite Darstel-lung des oberen Halbkreises y¼ f ðxÞ ¼

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi1� x2p

.

Bei Kurven in Polarkoordinaten r=r(t) und j=j(t) f�r t2 [a,b] lautet die parameterfreie Darstellung explizit und implizit

r ¼ f ðjÞ f�r j 2 ½a;b� oder j¼ gðrÞ f�r r 2 ½a;b�;Fðr;jÞ ¼ 0:

A 72 Mathematik – 7 Kurven und Fl�chen, Vektoranalysis

A

Bild 1. Kurve k;x=x(t), y=y(t) f�r t2 [a, b ]

Bild 23. Kugelkoordinaten r, f, J

Bild 2. Halbkreis; x¼ cos t;y¼ sin t f�r t 2 ½0;p�

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