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23.11.2011 | Kim Oliver Hofmann | Quantentrajektorien | 1

Quantentrajektorien:Dem Atom beim Zerfall zuschauenKim Oliver HofmannSeminar: Quantenoptik und nichtlineare Optik

Gliederung

MotivationTheoretische BeschreibungMastergleichungMonte-Carlo-WellenfunktionssimulationÄquivalenz zur Mastergleichung

AnwendungsbeispieleZweiniveau-SystemQuantensprünge im Dreiniveau-SystemResonanzfluoreszenzspektrum

Motivation

Ensemble in der Quantenmechanik

„We never experiment with just one electron oratom or small molecule. In thought experiments wesometimes assume thate we do. ... In the first placeit is fair to state that we are not experimenting withsingle particles, any more than we can raiseIchthyosauria in the zoo.“

E. Schrödinger (1952)Ensemblebeschreibung mittels Dichteoperator:

ˆ " = pj # j # jj$

Quantensprünge experimentell

Experiment miteinzelnen 24Mg+

Ionen (Thompson,1996)

Dreiniveau-Systemin V-Konfiguration

Beobachtespontane Emission

" # 10$8 s

" # 1s

Pumplaser Probenlaser

Abb. aus [Plenio,Knight]

Individuelle Beobachtung kann nicht mit Mastergleichungbeschrieben werden

Mastergleichung entwickelt Ensembles

Experimente als Motivation eines Quantensprung-Ansatzes

Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation (MCWF)

Theoretische Beschreibung

Mastergleichung

Partiell kohärenter Dynamik mit Mastergleichung:(Lindbladform)

Superoperator eines N-Niveausystem gekoppelt anReservoir

ˆ ˙ " (t) = #ih

ˆ H S , ˆ " (t)[ ] + ˆ $ ˆ " (t)[ ]

ˆ " ˆ # [ ] = $j n j +1( ) 2 ˆ s j ˆ # ̂ s j† % ˆ s j

† ˆ s j ˆ # % ˆ # ̂ s j† ˆ s j( )

+"jn j 2 ˆ s j† ˆ # ̂ s j $ ˆ s j ˆ s j

† ˆ # $ ˆ # ̂ s j ˆ s j†( )

SystemReservior

ˆ s j : Sprungoperator des j-ten resonanten Übergangs

Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation

Monte-Carlo-Simulation

Stochastisches Verfahren für QuadraturSchätzer für Integral:

: gleichverteilte Zufallszahlen

Beispiel: Berechnung von

f dV "V1N

f (xi )i=1

xi ,K, xN

Abb. von http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation

Ziel: stochastische Schrödingergleichung für Subensemble

ih d " = H # i$( )" dt + " dW

Zeitentwicklung durch nicht hermitscher Hamiltonoperator

Oder Quantensprung mit Wahrscheinlichkeit

ˆ H e = ˆ H S " ih #j ˆ s j† ˆ s j

"p = #t 2$j %(t) ˆ s j† ˆ s j %(t)

MCWF: Der Algorithmus

Quantensprung Kein Quantensprung

Erzeuge Zufallszahl

Zeitentwicklung mitnicht hermiteschen

Auswahl eines Quantensprunges j

Solange bis ausreichend Zeitschritte durchlaufen

"(t +#t) = exp $ih

ˆ H e#t%

) * "(t)

"(t +#t) =ˆ s j "(t)

"(t) ˆ s j† ˆ s j "(t)

ˆ H e

MCWF: Auswahl des Quantensprunges

Weitere Zufallszahl 0 < ξ < 1

0 1δp1 δp2 δpk...

Quantensprung über Sprungoperator

ˆ s j

MCWF: Beispielentwicklung

"(2#t)

Äquivalenz zur Mastergleichung

˜ " (t +#t) = 1$%p( )exp $

ˆ H e#t&

* + ,(t)

1$%p( )

,(t) exp ih

ˆ H e†#t

1$%p( )

+"p 2#j

"pˆ s j $(t)"pj /%t

$(t) ˆ s j†

"pj /%tj&

Kein Quantensprung Quantensprung

˜ " (t +#t) = 1$%p( )&(t +#t)

1$%p( )&(t +#t)

1$%p( )+%p 2'j

%pˆ s j &(t)%pj /#t

&(t) ˆ s j†

%pj /#tj(

˜ " (t +#t) = 1$%p( ) "Kein Sprung +%p "Sprung

Betrachte Dichtematrix für eine Trajektorie

˜ " (t) = #(t) #(t)

exp "ih

ˆ H e#t$

( ) * 1"

ˆ H e#t

Zeitschritt klein und damit konstantes

ˆ H e

˜ " (t +#t) = 1$ ih

ˆ H e#t%

) * +(t) +(t) 1+

ˆ H e†#t

+"t 2#j ˆ s j $(t) $(t) ˆ s j†

˜ " (t +#t) = $(t) $(t) +ih#t $(t) $(t) ˆ H e

† % ˆ H e $(t) $(t)[ ] +O(#t 2 )

+"t 2#j ˆ s j ˜ $ (t) ˆ s j†

ˆ H e = ˆ H S " ih #j ˆ s j† ˆ s j

j$Verwende

˜ " (t +#t)$ ˜ " (t) =ih#t ˜ " (t), ˆ H S[ ]$#t %j ˜ " (t)ˆ s j

† ˆ s j + ˆ s j† ˆ s j ˜ " (t)[ ]

+"t 2#j ˆ s j ˜ $ (t) ˆ s j†

" ˜ # "t

ˆ H S , ˜ # (t)[ ] + %j 2 ˆ s j ˜ # (t) ˆ s j† $ ˜ # (t)ˆ s j

† ˆ s j $ ˆ s j† ˆ s j ˜ # (t)[ ]

Geht über in den Differenzenquotient:

Berechnung von Erwartungswerten

Schätzer für Dichtematrix über N Trajektorien:

Erwartungswert einer Observablen A

"MC (t) =1N

# j (t) # j (t)j=1

˜ " (t)j=1

ˆ A (t) = Spur "MC (t) ˆ A ( )

Anwendungsbeispiele

Zweiniveau-System

Getriebenes Zweiniveau-System:

Hamiltonian:

Rabi-Oszillation mit Ω !

H S = h"0 0 0 + h"1 1 1 #r d $

h%1 2 3

0 1 + 1 0( )

Zweiniveau-System ohne Kopplung

Zweiniveau-System

1 Trajektorie

3 Trajektorien

10 Trajektorien

1000 Trajektorien

Quantensprünge simuliert

Dreiniveau-System, ein einziges Teilchen

Detektor

r E Pump

V-KonfigurationAufweisen von

hellen und dunklenPerioden

„Shelving“

Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation:

Experiment:

Resonanzfluoreszenzspektrum

Aufbau:

Intensität am Detektor:

I(") =12#

d$ exp(%i"$ )r E (%) (r r D ,$ )

r E (+) (r r D,0)

Detektor

ResonanzfluoreszenzspektrumZweizeitenerwartungswerte

Zusammenhang mit Dipolmoment des Atoms:

Problem: Berechnung der Zweizeitenerwartungswerte:

ˆ A (t + " ) ˆ B (t)

I(") # d$ exp(%i"$ ) ˆ s † $( ) ˆ s (0)%&

r E dipol (

r r ,t) "

r d r r ,t( )

ZweizeitenerwartungswerteVorgehen mittels MCWF

Zeitentwicklung des Startvektors bis zur Zeit t

Erzeugung von 4 Zustandsvektoren und Entwicklung bis τ

"(0) MCWF# $ # # "(t)

x± (0) =1m±

(1± ˆ B )"(t) MCWF# $ # # x± (% )

y± (0) =1w±

(1± i ˆ B )"(t) MCWF# $ # # y± (% )

Bildung von Erwartungswerten

Linearkombination liefert Zweizeitenerwartungswert!

e± (" ) = x± (" ) ˆ A x± (" )

f± (" ) = y± (" ) ˆ A y± (" )

ˆ A (t + " ) ˆ B (t) =14

m+e+ (" )#m#(" )e# # iw+ f+ (" )+ iw# f# (" )[ ]

ˆ A (t + 0) ˆ B (t) =14

"(t) 1+ ˆ B †( ) ˆ A 1+ ˆ B ( )"(t)[

" #(t) 1" ˆ B †( ) ˆ A 1" ˆ B ( )#(t)

"i #(t) 1" i ˆ B †( ) ˆ A 1+ i ˆ B ( )#(t)

+i "(t) 1+ i ˆ B †( ) ˆ A 1# i ˆ B ( )"(t) ]

= "(t) ˆ A ̂ B "(t)

" = 0 :

Mollow-Triplett: Dressed States

Hamiltonian im quantisierten Strahlungsfeld

ˆ H = h "l ˆ a l† ˆ a l + Ej j j

{l=(r k ,$)}#

+h ˆ s j†gjl

l" ˆ a l + h.c.

+ " # " 1

" # $ # 0

Dressed States Bare States

Mit Atom-Feld-Wechselwirkung

Ohne Wechselwirkung

Mollow-Triplett: Dressed States

Mollow-Triplett

Mollow-Seitenbänder

Abb. aus [Sturm]

Zusammenfassung

Experimente mit einzelnen Teilchen zeigen QuantensprüngeVerhalten nicht mit Mastergleichung beschreibbarMonte-Carlo-Wellenfunktionssimulation nutzt diesen Ansatzäquivalente Aussagen zu Mastergleichung im MittelKopenhagener Interpretation der QuantenmechanikAn Beispielen gezeigt:Getriebenes Zweiniveau-AtomDreiniveau-AtomResonanzfluoresenz-Spektrum

Quellen

[Sturm] M. Sturm: Monte-Carlo-Wellenfunktionssimulation in der Quantenoptik, Bachelor Thesis, 2011

[Plenio, Knight] M. B. Plenio, P.L. Knight: The quantum-jumpapproach to dissipative dynamics in quantum optics, Reviewof Modern Physics, Vol. 70, S.101, 1998

[Dum, Zoller] R. Dum, P. Zoller, H. Ritsch: Monte Carlosimulation of the atomic master equation for spontaneousemission, Physcial Reviews A, Vol.45, S.4879, 1992

[Mølmer] K. Mølmer, Y. Castin, J. Dalibard: Monte Carlo wave-function method in quantum optics, Journal Optical Societyof America B, Vol.10, No.3, S.524, 1993

Vielen Dank für IhreAufmerksamkeit!

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