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Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick
Der Goldene Schnitt
Dario Jotanovic
Mathematisches ProseminarImplementierung mathematischer Algorithmen
Hochschule Darmstadt
19. Dezember 2013
Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick
Inhaltsangabe1 Geschichte2 Grundlagen
Teilung im goldenen Schnitt und ΦCharakteristische Eigenschaften von Φ
3 Fibonacci-ZahlenΦ und FibonacciLucas-FolgeBinet-Formel (MATLAB)Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von Φ (C++)
4 Geometrischer Trugschluß5 Anwendung
KunstArchitekturNatur
6 Fazit und Ausblick
Geschichte Grundlagen Fibonacci-Zahlen Geometrischer Trugschluß Anwendung Fazit und Ausblick
Bekannt seit der AntikeLat. Übersetzung: proportio habens medium et duoextremaKepler: Teilung im äußeren und mittleren VerhältnisPacioli: 16. Jhd. divina proportio (göttliche Verhältnis)19. Jhd. Goldener Schnitt oder Goldenes Verhältnis
[1]
Abbildung :Euklid vonAlexandria,ca.3.Jahrhundertv.Chr. gelebt,griech.Mathematiker
[2]
Abbildung :JohannesKepler,1571-1630,deut.Mathematiker
[3]
Abbildung :Luca Pacioli,1445-1517,ita. Mathe-matiker
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Das zweite Buch der Elemente; 11. Satz; von Euklid:
Eine gegebene Strecke so zu teilen, dass das Rechteckaus der ganzen Strecke und dem einen Abschnitt demQuadrat über dem anderen Abschnitt gleich ist.
[4]
Abbildung : Buch der Elemente, zwischen ca. 360 v. Chr. bis ca. 280 v.Chr.
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Teilung im goldenen Schnitt und Φ
Definition (Der goldene Schnitt)Sei AB eine Strecke. Der Punkt P teilt AB im sog. goldenenSchnitt, falls die größere Teilstrecke zur kleineren Teilstrecke soverhält wie die Gesamtstrecke zum größeren Teil.
Phi Φ
Φ = (1+√
5)2 ≈ 1, 6180339887498948482045...
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Charakteristische Eigenschaften von Φ
1 Φ2 = Φ + 12 1
Φ = Φ− 1 =√
5−12
3 Φ + 1Φ =√5
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Φ und Fibonacci bei Google
[5]
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Φ und Fibonacci
Wir betrachten folgende Zahlenfolgen:
un = Φn vn = (− 1Φ )n
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un = Φn
un+2 = Φn+2
= Φn ∗ Φ2
= Φn ∗ (Φ + 1)= Φn+1 + Φn
= un+1 + un
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vn = (− 1Φ)n
vn+2 = (−1Φ
)n+2
= (− 1Φ
)n ∗ (− 1Φ
)2
= (− 1Φ
)n ∗ ( 1Φ
)2
= (− 1Φ
)n ∗ [1− 1Φ
]
= (− 1Φ
)n + (−1)n+1 ∗ ( 1Φ
)n+1
= (− 1Φ
)n + (− 1Φ
)n+1
= vn + vn+1
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Lucas-Folge
Definition (Lucas-Folge)Eine Folge a1,a2,a3, ... reeller Zahlen heißt eine Lucas-Folge, fallsfür alle n ≥ 1 gilt
an+2 = an+1 + an
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Lucas-Folge
Hilfssatz (Lucas-Folge)Für jede Lucas-Folge (a1, a2, ...) und für jede natürliche Zahl k ≥ 2gilt
ak+1 = fk ∗ a2 + fk−1 ∗ a1
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Spezielle Lucas-Folgen
Wir betrachten folgende spezielle Lucas-Folgen:
(u1, u2, ...) = (Φ,Φ2, ...) (v1, v2, ...) = (− 1Φ , (1Φ )
2, ...)
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(u1, u2, ...) = (Φ, Φ2, ...)
Φn = un= fn−1 ∗ u2 + fn−2 ∗ u1= fn−1 ∗ Φ2 + fn−2 ∗ Φ= fn−1 ∗ (Φ + 1) + fn−2 ∗ Φ= (fn−1 + fn−2) ∗ Φ + fn−1= fn ∗ Φ + fn−1
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(v1, v2, ...) = (− 1Φ , (1Φ)
2, ...)
(− 1Φ
)n = vn
= fn−1 ∗ v2 + fn−2 ∗ v1
=fn−1Φ2− fn−2
Φ= fn−1 ∗ (2− Φ)− fn−2 ∗ (Φ− 1)= fn−1 − (fn−1 + fn−2) ∗ (Φ− 1)= fn−1 − (Φ− 1) ∗ fn
= fn−1 −fnΦ
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Binet-Formel
Satz (Binet-Formel)Für alle natürlichen Zahlen n gilt
fn =[Φn−(− 1
Φ)n]√
5 =( 1+√
52 )
n−( 1−√
52 )
n√
5
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Bemerkungen zur Binet-Formel
1 De Moivre (franz. Mathematiker,1667-1754) entdeckt vorBinet (franz. Mathematiker,1786-1856) die Formel.
2 Jede natürliche Zahl n führt zu einem ganzzahligen Ergebnis3 Binet-Formel nutzen, um die Fibonacci-Zahlen asymptotisch
zu bestimmen
[6]
Abbildung : Abraham de Moivre[7]
Abbildung : Jacques Binet
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Fibonacci-Quotient
fn fn+1 fn+1fn1 1 1.01 2 2.02 3 1.53 5 1.6666...5 8 1.68 13 1.62513 21 1.6153...21 34 1.6190...
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Weitere Darstellungen von Φ
Φ = 1 + 1
1 +1
1 +1. . .
Φ =
√1 +
√1 +
√1 +√1 + . . .
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Funktionswerte
0 5 10 151
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2
Iterationsschritte
Wer
t
Fibonacci−QuotientKettenbruchKettenwurzel
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Genauigkeit der Nachkommastellen
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Genauigkeit der Nachkommastellen
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100−18
−16
−14
−12
−10
−8
−6
−4
−2
0
Iterationsschritte
Gen
auig
keit
der
Nac
hkom
mas
telle
n
Fibonacci−QuotientKettenbruchKettenwurzel
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Weitere Darstellungen von Φ
Φ = 2 ∗ cos(π5 )
= 2 ∗ sin(π5 +π
2 )
= 2 ∗ sin(7π10 )
= 2 ∗ sin(3π10 )
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Geometrischer Trugschluß
13
5
8
8 5
A B
CD
C
D
BA8
21
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Kunst
[8]
Abbildung : Mona Lisa, 1503 - 1506, Leonardo Da Vinci, 1452-1519
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Architecktur
[9]
Abbildung : Rathaus Leipzig
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Natur
[10]
Abbildung : Ein Pferd, m=kleine Teilstrecke, M=große Teilstrecke
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Fazit und Ausblick
Den goldenen Schnitt findet man fast überallVerwandte Themen:Das goldene RechteckDer goldene Winkel (Ψ ≈ 137,5◦)Die goldene SpiraleSiberner Schnitt (2a+ba =
ab ≈ 1 +
√2)
Effizientere Darstellungen für Φ?Was wird als nächstes entdeckt?
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Danke für eureAufmerksamkeit !!!
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Quellenangaben
Bilder:
[1] Euklid - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpg
[2] Kepler -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpg
[3] Pacioli -http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpg
[4] Elemente -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg
[5] Stand vom: 08.12.2013
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpghttp://commons.wikimedia.org/wiki/File:Euklid-von-Alexandria_1.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/Johannes_Kepler_1610.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/pacioli.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Euclid_Vat_ms_no_190_I_prop_47.jpg
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Quellenangaben
Bilder:
[6] de Moivre -http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpg
[7] Binet - http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons//af/Jacques_Binet.jpg
[8] Mona Lisa - http://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpg
[9] Rathaus - http://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpg
[10] Pferd - http://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1b/Abraham_de_moivre.jpg/220px-Abraham_de_moivre.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Jacques_Binet.jpghttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/Jacques_Binet.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-arch-kunst/gs-davinci2.jpghttp://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpghttp://www.leipziger-geschichtsverein.de/CMS/images/rathaus.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpghttp://www.michael-holzapfel.de/themen/goldenerschnitt/gs-natur/gs-pferd2.jpg
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Quellenangaben
Literatur:
[11] A.Beutelspacher/B.Petri, Der Goldene Schnitt,Spektrum Akademischer Verlag, 1996:
Geschichte: Seite 9-12 (Vorwort)Teilung im goldenen Schnitt und Φ: Seite 15(Kapitel 1.1 Definition des goldenen Schnittes)Charakteristische Eigenschaften von Φ: Seite 18(Kapitel 1.2 Charakteristische Eigenschaften derZahl Φ)Phi und Fibonacci; Zahlenfolgen: Seite 91 (Kapitel6.2 Phi und Fibonacci)Lucas-Folgen; Spezielle Lucas Folgen: Seite 93(Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci)Binet-Formel; Bemerkungen zur Binet-Formel:Seite 93-94 (Kapitel 6.2 Phi und Fibonacci)
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Quellenangaben
Informationen
http://www.golden-section.eu/kapitel5.html
http://www.golden-section.eu/kapitel5.html
GeschichteGrundlagenTeilung im goldenen Schnitt und Charakteristische Eigenschaften von
Fibonacci-Zahlen und FibonacciLucas-FolgeBinet-Formel (MATLAB)Fibonacci-Quotient und weitere Darstellungen von (C++)
Geometrischer TrugschlußAnwendungKunstArchitekturNatur
Fazit und Ausblick
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