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Fibonacci-Zahlen und der
goldene Schnitt
Dr. rer. nat. Frank Morherr
Behandlung von rekursiven Zahlenfolgen zum Umgang mit
Excel, Mathematica, Maple und Octave (Matlab), sowie
Einüben von Diagonalisierung und Stellenwertsystemen
Warum müssen Häuser immer viereckig sein?
Dreieckige Häuser sind in!
Chilehaus Hamburg
Flatiron Building
New York
Museum für moderne Kunst Frankfurt
Gute Planung eines Gebäudes erhöht
den verfügbaren Platz
Ein Beispiel sehen Sie hier:
Was ist hier los? Wo kommt das zusätzliche Quadrat her?
Wieso gerade diese Zahlen?
Weiße Fläche: 13*34=442 Kästchen Weiße Fläche: 21*21=441 Kästchen
Die bunten Dreiecke sind in beiden Bildern jeweils gleich groß.
Die Fibonacci-Zahlen
• Die Fibonacci-Zahlen
beschreiben die
Populationsentwicklung der
Kaninchen
• Start mit einem Elternpaar.
Die nächste Generation
besteht aus der Summe der
beiden vorhergehenden.
• Bildungsgesetz:
Leonardo da Pisa, auch Fibonacci genannt (von 1180
in Pisa; bis 1241 in Pisa) war Rechenmeister in Pisa
und gilt als der bedeutendste Mathematiker des
Mittelalters.
Die Fibonacci-Zahlen
Explizite Formel Rekursionsformel
Wie kommt man auf die explizite Formel?
Z.B. über ein Stellenwertsystem
Erinnerung:
Anders kommt man auf die explizite Formel
über Matrizendiagonalisierung
Übung: Führen Sie die Verfahren für:
Diagonalisierung von Matrizen mit
Mathematica und graphische Darstellung
(links unten, Darstellung mit Maple)
Übung: Führen Sie die Matrizenmultiplikation und Diagonalisierung mit Octave und
Mathematica aus, speziell die Übung oben.
Anwendung: Diagonalisierung von
Spannungstensoren • Tensorrechnung erlaubt, Spannungszustand zunächst unabhängig von einem bestimmten
Koordinatensystem zu beschreiben.
• Komponentengleichungen werden den geometrischen Eigenschaften des Körpers angepasst,
beispielsweise in Zylinderkoordinaten.
• Spannungstensor ist derjenige Tensor zweiter Stufe, der skalar multipliziert mit der äußeren
Flächennormalen einer Schnittfläche den Kraftvektor pro Flächeneinheit ergibt.
• Spannungszustand durch Hauptachsentransformation umrechenbar in ein Koordinatensystem,
in dem alle Schubspannungen verschwinden. Zerlegung in zwei Komponenten.
• Komponente quer zur Raumdiagonalen ist ein Maß dafür, wie groß in anderen Schnittrichtungen
die Schubspannungen je nach Schnittrichtung maximal werden können. Allein dieser Anteil
ist bei der Berechnung von Stahlkonstruktionen relevant. Wenn er die Fließspannung der
jeweiligen Stahlsorte überschreitet, verformt sich der Stahl plastisch.
• Die Komponente in Richtung der Raumdiagonalen beschreibt den Druck; dieser Anteil ist bei der
Berechnung von Stahlkonstruktionen irrelevant, da er in keinerlei Schnittrichtung zu
Schubspannungen führt, und insofern auch zu keiner plastischen Verformung.
Flächen zweiten Grades
http://www.asgnsu.hn.bw.schule.de/ray/einfuehr/m_315.htm
Implementierung der Fibonacci-Zahlen
Fibonacci
Aufrufexplosion bei rekursivem Fibonacci
Implementierung der Fibonacci-Zahlen
Übung: Berechnung der Fibonacci-Zahlen
mittels eines Programms oder mit Excel
1
Implementierung in Excel
Der goldene Schnitt
Eine gegebene Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt, wenn das
Verhältnis der Gesamtstrecke zum größeren Teil so groß ist, wie das
Verhältnis des größeren Teils zum kleineren Teil.
Setzt man die Gesamtstrecke willkürlich gleich 1 und das
größere Teilstück x, so ergibt sich formal
Umformen ergibt die Gleichung
Lösen mit p-q-Formel
→
1
x 1-x
Der goldene Schnitt Die irrationale, aber quadratisch algebraische Zahl
wird in der Regel als goldener Schnitt bezeichnet.
Oft bezeichnet man auch die goldene Zahl Φ als goldenen Schnitt
Dann hat AS die Länge 1, AB die Länge Φ ,
und Φ erfüllt die Gleichung
Beispiel zum Lösen einer Gleichung mit Mathematica:
Bilder zum goldenen Schnitt
Goldenes Rechteck
Fibonacci-Rechtecke
und goldeneSpirale
Kettenbruch-
entwicklung von Φ
3 goldene Rechtecke
im Ikosaeder Goldener Winkel
Fünfeck falten
Der goldene Schnitt in der Kunst
Der goldene Schnitt in der Architektur
Rathaus in Leipzig Petersbasilika, Rom(Vorläufer des Petersdoms)
Le Corbusier: Unité
Der goldene Schnitt in der Natur Bestimmt Blütenstände und Stellung der Blätter bei Blättern, da die
Beschattung minimal und somit die Lichtausbeute maximal ist
Glockenblume
Fibonacci Zahlen sind die Quotienten der
Spiralenwendungszahl und der
Blätterzwischenräumeinzahl. Schauen wir jetzt die
Blätter 1, 4, 9 , die sich an der ausgewählten
Richtung befinden:
Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 1 und 4
ist 3. Die Zahl der Spiralenwendung ist 2. Die
Fibonacci Bruchzahl ist 2/3.
Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 1 und 9
ist 8. Die Zahl der Spiralenwendung ist 5. Die
Fibonacci Bruchzahl ist 5/8.
Die Zahl der Räumen zwischen der Blätter 4 und 9
ist 5. Die Zahl der Spiralenwendung ist 3. Die
Fibonacci Bruchzahl ist 3/5.
Deswegen ist die Anordnung der Blätter auf den
Pflanzen günstig, dass die unteren Blätter auch
genug Licht bekommen können. So ist es z.B. die
Anzahl der Blätterspiralenwendung beim Kiefer
5/8 und bei der Kamille 21/34.
Nautilus
Zusammenhang des goldenen Schnitts
mit den Fibonacci-Zahlen
Übung: Zeigen Sie den Grenzwert oben mittels der expliziten Formel der Fibonacci-Zahlen
Auflösung des Eingangs gestellten
Problems • scheinbare Hypotenuse hat in Wirklichkeit einen Knick
• dort versteckt sich der zusätzliche Kasten
• Der Knick fällt nicht auf, da Steigungen sich als Quotient von
Fibonacci-Zahlen sich einem Grenzwert (Kehrwert des Goldenen
Schnitts) annähern. Hier ein Beispiel in größerem Maßstab
Weiße Fläche: 2*5=10 Kästchen Weiße Fläche: 3*3=9 Kästchen
http://www.dailymotion.com/video/xczfcr_die-fibonaccizahlen_tech
Allgemeine Formel, die dahinter steckt:
