Didaktik der Geometrie - Universität · PDF fileJürgen Roth Didaktik der Geometrie...

Didaktik der Geometrie 7.1Jürgen Roth

Didaktik der Geometrie

Didaktik der Geometrie 7.2Jürgen Roth

Inhalte

Didaktik der Geometrie

1 Ziele und Inhalte

2 Begriffsbildung

3 Konstruieren

4 Argumentieren und Beweisen

5 Problemlösen

6 Entdeckendes Lernen

7 Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.3Jürgen Roth

Kapitel 7:

Trigonometrie

Didaktik der Geometrie

Didaktik der Geometrie 7.4Jürgen Roth

Inhaltsverzeichnis

Kapitel 7: Trigonometrie

7.1 Seitenverhältnisse und Winkel

im rechtwinkligen Dreieck

7.2 Winkel im Einheitskreis

7.3 Sinussatz, Kosinussatz

und Additionstheoreme

7.4 Trigonometrische Funktionen

7.5 Angewandte Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.5Jürgen Roth

7.1 Seitenverhältnisse

und Winkel im

rechtwinkligen Dreieck

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.6Jürgen Roth

Drehleiter

Didaktik der Geometrie 7.7Jürgen Roth

Benutzungs-

feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html

Didaktik der Geometrie 7.8Jürgen Roth

Benutzungs-

feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirus http://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html

Didaktik der Geometrie 7.9Jürgen Roth

Benutzungs-

feldanzeigeFreynik: DLK 23-12 Vario CC Fa. Magirushttp://www.berliner-feuerwehr.de/ausbildungsunterlage.html

Didaktik der Geometrie 7.10Jürgen Roth

Benutzungs-

feldanzeigeLeppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 111

Didaktik der Geometrie 7.11Jürgen Roth

Steigung

Didaktik der Geometrie 7.12Jürgen Roth

Steigung

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens_steigung_laengenverhaeltnis.html

Didaktik der Geometrie 7.13Jürgen Roth

Seitenverhältnisse im

rechtwinkligen Dreieckhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/seitenverhaeltnisse_im_rechtwinkligen_dreieck.html

Didaktik der Geometrie 7.14Jürgen Roth

Einführung des

Sinus im SchulbuchVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

Didaktik der Geometrie 7.15Jürgen Roth

Einführung des

Sinus im SchulbuchVogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 110

Didaktik der Geometrie 7.16Jürgen Roth

Besondere Sinus-

und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.17Jürgen Roth

Besondere Sinus-

und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.18Jürgen Roth

Besondere Sinus- &

Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.19Jürgen Roth

Besondere Sinus-

und Kosinuswertehttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte.html

Didaktik der Geometrie 7.20Jürgen Roth

Besondere Sinus-,

Kosinus- und Tangenswerte

𝜶 im Gradmaß 𝟎° 𝟑𝟎° 𝟒𝟓° 𝟔𝟎° 𝟗𝟎°

𝜶 im Bogenmaß 𝟎𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑

𝝅

𝟐

𝐬𝐢𝐧 𝜶 𝟎𝟏

𝟐

𝟏

𝟐𝟐

𝟏

𝟐𝟑 𝟏

Merkhilfe

für 𝐬𝐢𝐧 𝜶

𝟏

𝟐𝟎

𝟏

𝟐𝟏

𝟏

𝟐𝟐

𝟏

𝟐𝟑

𝟏

𝟐𝟒

𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝟏𝟏

𝟐𝟑

𝟏

𝟐𝟐

𝟏

𝟐𝟎

𝐭𝐚𝐧 𝜶 𝟎𝟏

𝟑𝟑 𝟏 𝟑

nicht

definiert

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sin_cos_besondere_werte_loesung.html

Didaktik der Geometrie 7.21Jürgen Roth

Steigung

Es gilt:

12

12

xx

yy

x

ym

t: Schnittstelle Graph ↔ y-Achse (Achsenabschnitt)

m: Steigung des Graphen

P1(x1|y1) und P2(x2|y2) Gg

P2(x2|y2)

P1(x1|y1)

g

α

x1 x2

y1

y2

y

x

α

t

tan

Ankathete

teGegenkathe

g: x m · x + t

Didaktik der Geometrie 7.22Jürgen Roth

7.2 Winkel im

Einheitskreis

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.23Jürgen Roth

Winkelfunktionen am

Einheitskreis

𝟎° < 𝜶 < 𝟗𝟎° bzw. 𝟎 < 𝜶 <𝝅

𝟐𝟗𝟎° < 𝜶 < 𝟏𝟖𝟎° bzw.

𝝅

𝟐< 𝜶 < 𝝅

Didaktik der Geometrie 7.24Jürgen Roth

Winkelfunktionen am

Einheitskreis

𝟏𝟖𝟎° < 𝜶 < 𝟐𝟕𝟎° bzw. 𝝅 < 𝜶 <𝟑

𝟐𝝅 𝟐𝟕𝟎° < 𝜶 < 𝟑𝟔𝟎° bzw.

𝟑

𝟐𝝅 < 𝜶 < 𝟐𝝅

Didaktik der Geometrie 7.25Jürgen Roth

(sin )2 + (cos )2 = 1

Winkelfunktionen am

Einheitskreis

Mit dem Satz des Pythagoras

ergibt sich für jeden Winkel :

Didaktik der Geometrie 7.26Jürgen Roth

7.3 Sinussatz, Kosinussatz

und Additionstheoreme

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.27Jürgen Roth

Vermessung –

Dreiecksberechnung

Vermessung des

Königreichs Hannover

Didaktik der Geometrie 7.28Jürgen Roth

Berechnung im

allgemeinen DreieckBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 142

Didaktik der Geometrie 7.29Jürgen Roth

Sinussatz

In Dreiecken verhalten sich die Seitenlängen

wie die Sinuswerte der Gegenwinkel.

𝑎: 𝑏: 𝑐 = sin 𝛼 : sin 𝛽 : sin(𝛾)

In Dreiecken ist der Quotient aus Seitenläge

und Sinuswert des Gegenwinkels konstant.

𝑎

sin 𝛼=

𝑏

sin 𝛽=

𝑐

sin 𝛾

bzw.

Didaktik der Geometrie 7.30Jürgen Roth

Sinussatz

r2sin

a

rsin 2

a

sin

aBedeutung von :

Da der Mittelpunktswinkel

doppelt so groß wie der

Umfangswinkel ist, gilt:

Die Konstante Seitenlänge

sin(Gegenwinkel)

ist der Durchmesser des Dreiecksumkreises.

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143

Didaktik der Geometrie 7.31Jürgen Roth

Sinussatz – Folgerungen

Ist 𝒔 eine Sehne im Kreis mit Durchmesser 𝒅 und

𝝋 ein zugehöriger Umfangswinkel, dann gilt:

𝒔 = 𝒅 ⋅ 𝐬𝐢𝐧(𝝋)

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 143

Didaktik der Geometrie 7.32Jürgen Roth

Sinussatz – Folgerungen

Für den Flächeninhalt eines Dreiecks 𝐴𝐵𝐶 gilt:

𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 =12𝑎 ⋅ ℎ𝑎 =

12𝑏 ⋅ ℎ𝑏 =

12𝑐 ⋅ ℎ𝑐

Wegen ℎ𝑐 = 𝑏 ⋅ sin bzw. ℎ𝑐 = 𝑏 ⋅ sin 180° − = 𝑏 ⋅ sin

und entsprechenden für ℎ𝑏 bzw. ℎ𝑎 folgt:

𝐴Δ𝐴𝐵𝐶 =12𝑎𝑏 ⋅ sin 𝛾 = 1

2𝑎𝑐 ⋅ sin 𝛽 = 1

2𝑏𝑐 ⋅ sin 𝛼

Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt

aus zwei Seitenlängen und dem Sinus des Zwischenwinkels.

Didaktik der Geometrie 7.33Jürgen Roth

Vermessung –

Dreiecksberechnung Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S 134

Didaktik der Geometrie 7.34Jürgen Roth

Kosinussatz

Bemerkung

Der Kosinussatz ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras.

Für 𝜸 = 90° geht die Gleichung 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 2𝒂𝒃 ⋅ cos 𝜸 des

Kosinussatzes in die Gleichung 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐 des Satzes des

Pythagoras über.

Kosinussatz: In einem Dreieck ist das Quadrat einer Seite so

groß wie die Summe der Quadrate der beiden

anderen Seiten, vermindert um das doppelte

Produkt dieser Seiten und des Kosinus ihres

Zwischenwinkels.

𝒄𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒃𝟐− 2𝒂𝒃 ⋅ cos 𝜸𝒃𝟐 = 𝒂𝟐+ 𝒄𝟐− 2𝒂𝒄 ⋅ cos 𝜷𝒂𝟐 = 𝒃𝟐+ 𝒄𝟐− 2𝒃𝒄 ⋅ cos 𝜶

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145

Didaktik der Geometrie 7.35Jürgen Roth

Kosinussatz – Beweis

Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für das schraffierte Dreieck:

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 145

Didaktik der Geometrie 7.36Jürgen Roth

Additionstheoreme

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/additionstheoreme.html

sin 𝛼 + 𝛽 = sin 𝛼 ⋅ cos 𝛽 + cos 𝛼 ⋅ sin 𝛽cos 𝛼 + 𝛽 = cos 𝛼 ⋅ cos 𝛽 − sin 𝛼 ⋅ sin 𝛽

Didaktik der Geometrie 7.37Jürgen Roth

7.4 Trigonometrische

Funktionen

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.38Jürgen Roth

Bogenlänge und Bogenmaß

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/bogenmass.html

Didaktik der Geometrie 7.39Jürgen Roth

Abwicklung der

Sinusfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinus.html

Didaktik der Geometrie 7.40Jürgen Roth

Abwicklung der

Kosinusfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/kosinus.html

Didaktik der Geometrie 7.41Jürgen Roth

Abwicklung der

Tangensfunktionhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/tangens.html

Didaktik der Geometrie 7.42Jürgen Roth

Abwicklung der

Winkelfunktionenhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/trigonom.html

Didaktik der Geometrie 7.43Jürgen Roth

Funktionen des Typs

asin(b(x+c))+dhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html

Didaktik der Geometrie 7.44Jürgen Roth

x sin x, xR

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 184

Didaktik der Geometrie 7.45Jürgen Roth

x sin x, xR

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 185

Didaktik der Geometrie 7.46Jürgen Roth

Sinusfunktion:

Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

Didaktik der Geometrie 7.47Jürgen Roth

Sinusfunktion:

Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 193

Didaktik der Geometrie 7.48Jürgen Roth

Sinusfunktion:

Parameter und GraphBarth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 194f

Didaktik der Geometrie 7.49Jürgen Roth

x cos x, xR

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 186f

Didaktik der Geometrie 7.50Jürgen Roth

𝒙 ↦ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 187

Didaktik der Geometrie 7.51Jürgen Roth

Funktionen des Typs

𝒂 ⋅ 𝒕𝒂𝒏 𝒃 ⋅ 𝒙 + 𝒄 + 𝒅http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html

Didaktik der Geometrie 7.52Jürgen Roth

𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 189

Didaktik der Geometrie 7.53Jürgen Roth

𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

Didaktik der Geometrie 7.54Jürgen Roth

𝒙 ↦ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ,𝒙 ∈ ℝ\{ 𝟐𝒌 + 𝟏 ⋅ 𝝅/𝟐 𝒌 ∈ ℤ

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 190

Didaktik der Geometrie 7.55Jürgen Roth

𝐬𝐢𝐧 𝒙 , 𝒙 und 𝐭𝐚𝐧 𝒙 für kleine 𝒙

Barth et all. (Hrsg.): Anschauliche Geometrie 10. Ehrenwirth, München, 1996, S. 192

Didaktik der Geometrie 7.56Jürgen Roth

Umkehrungen der trigono-

metrischen Funktionenhttp://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/umkehrungen.html

Didaktik der Geometrie 7.57Jürgen Roth

7.5 Angewandte

Trigonometrie

Kapitel 7: Trigonometrie

Didaktik der Geometrie 7.58Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.59Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.60Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.61Jürgen Roth

Schwingungen

Didaktik der Geometrie 7.62Jürgen Roth

Vermessung

Didaktik der Geometrie 7.63Jürgen Roth

Jakobsstab

• Längsstab am Jochbein unter dem Auge ansetzen.

• Querstück so lange verschieben, bis dessen Enden den

Horizont und den angepeilten Stern gerade überdecken.

• Die halbe Länge des Querstabes, dividiert durch die am

Hauptstab abgelesene Länge, (Abstand vom Auge zum

Querstab) ergibt den Tangens des halben gesuchten

Winkels zwischen Horizont und Stern.

• Der Längsstab wird oft so skaliert, dass für eine bestimmte

Querstablänge der Winkel direkt abgelesen werden kann.

http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/jakobsstab.html

Didaktik der Geometrie 7.64Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 109

Didaktik der Geometrie 7.65Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

Didaktik der Geometrie 7.66Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 116

Didaktik der Geometrie 7.67Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.68Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.69Jürgen Roth

Jakobsstab

Vogel et all. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 117

Didaktik der Geometrie 7.70Jürgen Roth

Theodolit

Didaktik der Geometrie 7.71Jürgen Roth

Marine-Sextant

Didaktik der Geometrie 7.72Jürgen Roth

Marine-Sextant

Didaktik der Geometrie 7.73Jürgen Roth

Mathe-Meisterschaft

Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139

Didaktik der Geometrie 7.74Jürgen Roth

Mathe-Meisterschaft

Leppig, Koullen: Schlüssel zur Mathematik 10, Rheinland-Pfalz. Cornelsen, Berlin, 2004, S. 139