Die Konvektions - Diffusionsgleichung. Gleichung in 1D DiffusionKonvektion Verhältnis: Diffusion /...

Die Konvektions - Diffusionsgleichung

Gleichung in 1D

Diffusion Konvektion

Verhältnis: Diffusion / Konvektion

Gleichung in 1D

Konvektion wichtig!

Exakte Lösung:

Exakte Lösung

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

w = 1

Exakte Lösung

w = 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 10

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 15

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 50

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Exakte Lösung

w = 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y !!!

Finite Differenzen

Finite Differenzen

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Ohne Upwinding

Exakt

Numerisch

w = 100, h = 1/31

Wieso Oszillationen?

Upwinding

Nutze lieber

Strömung von links nach rechts Information von links nach rechts

Vorher:

Ergebnis

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

Mit Upwinding

Exakt

Numerisch

w = 100, h = 1/31

FEM

Suche u in so, dass

Matrix

Elementmatrix:

FEM - Plot

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Numerische Loesung

w = 100, h = 1/31 äquidistant

Oszillationen

Fehlerabschätzung:

„Grid Peclet Number“

mit C unabhängig von h

Upwinding FEM

FD – Upwind

Approximation u‘‘

Zentral-approximation u‘

Upwinding FEM

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

kappa

new kappa

FEM mit Upwinding

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x

y

Numerische Loesung

w = 100, h = 1/31 äquidistant