Ein Beitrag zur Theorie der Totalreflexion

C . Schaefer u. R. Pich. Eiiz Beitrag zur Theorie der Totalreflexion '245

Ein Beitrag %UP Theorie der Totalreflexion Von Clem,enns S c h a e f e r und Ruth P i c h

(Mit 4 Abbildungen)

Einleitung

Herr J o h a n n e s P i c h t behandelt in seineni ,,Beitrag zur Theorie cler Totalreflexion'") den Fall, daB eine elektromagnetische Zylinder- welle endlicher ijffnung, aus einem hornogenen, isotropen Dielektrikum kommend, auf eiii optisch diinneres, aber gleichfalls homogenes und isotropes Dielektrikum trifft, wobei die Trennungsflaclie zwischen beiden Medien als eben angenommen wird. Die Zylinderwelle ist dargestellt als Integral uber unbegrenzte ebene Wellen von ver- schiedener Fortpflanzungsrichtung. Die Eirifallsebene ist fur alle Partialwellen dieselbe; die Einfallswinkel sind samtlich groBer als der Grenzwinkel der Totalreflexion.

Herr P i c h t bildet den zeitlichen Mittelwert fur die liomponenten des Poyn tingschen Vektors im zweiten Medium, wertet die htegral- ausdriicke hierfiir naherungsweise aus und kommt schlieBlich zu folgender Antwort auf die Frage, wie eine Energiestromung ini zweiten Medium entstehen kann, obwohl doch die Einfallswinkel der Partialwellen samtlich groBer sind als der Grenzwinkel der Total- reflexion: ,,Das Auftreten einer Energiestromung im zweiten Medium ist dadurch hervorgerufen, dai3 es an der Trennungsebene beider Medien Stellen gibt, an denen unter sehr geringer Neigung gegen jene Ebene ivi zeitlichen MitteZ dauernd Energie vom ersten ins zweite Medium ubertritt, die dann an anderen Stellen der Trennungsebene restlos wieder ins erste Medium zuriickflutet. Die iiber die Trennungsebene hin und her pendelnde Energie ist von der GroBenordnung der ein- fallenden Energie".

Herr El. Noether2) hat spater gezeigt, wie man die wesentlichen Ergebnisse von P i c h t bereits erhalten kann, indem man nicht das game P i c h tsche Integral betrachtet, sondern nur zwei oder drei Partid- wellen, die eng benachbart sind. Durch diese Vereinfachung werden die zahlreichen mathematischen Schwierigkeiten der P ic h t schen

1) J. Picht , Ann. d. Phys. [5] 3. S. 433-406. 1929. 2) F. Noether , Ann. d. Phys. [5] 11. S. 141. 1931.

246 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Untersuchung vollkommen ausgeschaltet. ,4ber das Rechnen mit einer endlichen Summe unbegrenzter ebener Wellen entspricht nur wenig den experimentell realisierbaren Verhaltnissen.

In der vorliegenden Arbeit sol1 nun eine Methode angegeben werden, die das Problem des Energieubertritts ebenfalls mit elemen- taren Mitteln lost, die aber zugleich auch den experimentellen Ver- hsltnissen nach Moglichkeit nahezukommen sucht. P i c h t selbst gibt hierzu einen Fingerzeig, indem er den Grenzubergang von der endlich geoffneten Zylinderwelle zur seitlich begrenzten ebenen Welle vollzieht und findet, daB sich auch dabei der oben erwiihnte Energieiibertritt zeigt. - Die vorliegende Arbeit nimmt gleichfalls eine seitlich begrenzte ebene Welle als einfallende Welle an, ohne jedoch dabei den Umweg iiber die Zylinderwelle zu machen. - Aus der P i c h t schen Darstellung w i d die Vereinfachung ubernommen, da8 die einfallende Welle linear polarisiert ist und senkrecht zur Einfallsebene unendlicli ausgedehnt bleibt. - Wie der Umweg uber die Zylinderwelle zu vermeiden ist, zeige die folgende fjberlegung :

Bekanntlich werden die Maxw ellschen Gleichungen fur ein homogenes. isotropes Dielektrikum durch den Ansatz einer ebenen Welle mit konstanter Amplitude exakt gelost. Eine ebene Welle, deren Amplitude nicht mehr konstant, sondern senkrecht zur Fort- pflanzungsrichtung der Wellenphase veranderlich ist, kann man noch als angenaherte Losung betrachten, falls die Anderung auf Strecken von der GroBe der Wellenlange nur gering ist. Im iibrigen darf diese Verhderlichkeit der Amplitude beliebig gewahlt werden, - also z. B. so, dai3 man nsherungsweise von einer seitlich begrenzten ebenen Welle sprechen kann. - Dieser Gedankengang findet sich bereits bei H. A. Loren tz l) in einem Aufsatz uber ,,Die Fortpflanzung von Wellen und Strahlen in einem beliebigen nicht absorbierenden Medium". Loren tz macht darin auch Andeutungen uber das Ver- halten seitlich begrenzter Wellen bei partieller Reflexion und Brechung.

Im ersten Teil vorliegender Arbeit wird gezeigt, wie man die bekannten Bormeln fiir Reflexion und Brechung einer ebenen Welle zu ergsnzen hat, falls man annimmt, daB die Amplitude der ein- fallenden Welle nicht mehr konstant ist, sondern in der Einfalls- ebene senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung der Wellenphase langsam versnderlich ist. Auf den speziellen Fall der Totalreflexion wird naher eingegangen, und es wird fur diesen Fall der zeitliche Mittel-

1) ,,Abhandlungen uber theoret.ische Physik" von H. A. L o r e n t z , 1. Bd. 4907 (1906), S. 415-442.

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wert fur die Komponenten des Poyntingschen Vektors in beiden Medien gebildet.

Wkhrend der erste Teil der vorliegenden Arbeit die seitlich be- grenzte ebene Welle als eine einzelne ebene Welle von bestimmter Fortpflanzungsrichtung, aber mi t raumlich variabler Amplitude be- handelt und fur die Reflexion und Brechung einer solchen Welle Formeln herleitet, behandelt der zweite Teil die seitlich begrenzte ebene Welle als Integral iiber ebene Wellen mi t raumlich konstanter Amplitude, aber verschiedener Fortpflanzungsrichtung. Auf die Partialwellen lassen sich die gewohnlichen Formeln fur Reflexion und Brechung anwenden. Es wird hier speziell angenommen, dab die Einfallswinkel der Partialwellen samtlich groBer sind als der Grenzwinkel der Totalreflexion. Die Integrale, die das einfallende, das total reflektierte und das ,,gebrochene" Wellenbiindel darstellen, sind zuniichst exakte Losungen der Maxw ellschen Gleichungen. Dann wird jedoch vorausgesetzt, daI3 die Einfallswinkel der Partial- wellen des einfallenden Biindels sich nur sehr wenig von einem festen, rnittleren Winkel unterscheiden, und auf Grund dieser An- nahme werden bestimmte VernachYassigungen vorgenommen. Die angenaherten Losungen, die man auf diese Weise erhalt, lassen sich mit den entsprechenden des ersten Teils in ubereinstimmung bringen.

Die Losungsansatze aus dem ersten Teil der vorliegenden Arbeit lassen sich iibrigens in bestimmter Weise so verallgemeinern, daB sie auBer der vorerwahnten seitlichen Begrenzung der Welle auch zeitliche Begrenzung darzustellen erlauben. Im dritten Teil der Arbeit wird in kurzen Ziigen angedeutet, wie der Fall der Totalreflexion einer seitlich und zeitlich begrenzten ebenen Welle zu behandeln ist, - also der Fall, dem die im Experiment gegebenen Verhiiltnisse entsprechen l).

I. Teil 8 1. Die aeitlich begrenzte ebene Welle

Wir gehen aus von den Maxwellschen Gleichungen fur ein ladungsfreies , homogenes und isotropes Dielektrikum mit der Di- elektrizitatskonstante E und der Permeabilitat I . Beschrankt man sich auf ein ebenes Problem, indem man annimmt, daB die Feld- vektoren (3 und @ von einer der Raumkoordinaten unabhangig seien, z. B. von y, so zerfallen die Maxwellschen Gleichungen in zwei unabhangige Gruppen, - die eine fur die Vektorkomponenten &=, EZ, QY, die andere fur &#, &, Qz:

1) Die Forderung einer solchen Dwstellung wurde bereits kurz nach dem Erscheinen der Pichtschen Untersuchung von Herrn E. L.0 hr erhoben.

248 Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 30. 1937

Die Gleichnngen der ersten Gruppe seien im folgenden stets durch B, = Q, = Q3 = 0 gelijst. - Der LGsungsansatz fur die zweite Gruppe sei zuuachst:

wobei A und L beliebige, reelle uud positive lionstanten seien. Dieser Losungsansatz bedeutet beltanntlich eine in der positiven

2-Richtung mit der Qeschaindigkeit fortschreitende ebene Welle

von cler raumlichen Periode (W ellenlknge) h , der zeitlichen Periode a * 1/E (Schwingungsdauer) T = - - -~ und der Amplitude A. Diese Welle

ist raumlich uncl zeitlich unendlich ausgedehnt. Wollte man sie als seitlich begrenzt darstellen, so miiRte man annehmen, daB die Am- plitude -4 nicht mehr konstant ist, sonderii von der z-Koordinate in der Weise abhangt, daB fur ein gewisses Gebiet x = x1 bis z = z2 die Amplitude einen festen, von Null verschiedenen Wert hat, autler- halb dieses Gebietes aber den Wert Null. I n einer solchen seitlich scharf begrenzten ebenen Welle hatte man jedoch keine Losung der Maxwellschen Gleichungen mehr vor sich. Man kann aber wenigstens noch eine angenaherte Losung erhalten, falls man voraussetzt, daB die Anderung der Amplitude senkrecht zur Portpflanzungsrichtung der Welle nur allmiihlich vor sicli geht; das soll heiBen, daf3 auf einer Strecke von der GroBe der raumlichen Periode der Welle die riiumliche Xnderung der Amplitude nur sehr ltlein ist gegen die Amplitucle selbst. In Formeln ausgedriickt, bedeutet diese Voraus- setzung: Die Amplitude A , aufgefaBt als Funktion des Argumentes x / L , soll fur x = - 01) bis z = + 01) der Bedingung:

v e

gehorchen. - So wie A selbst sei auc.h ___ nur langsam ver-

iinderlich, d. h., A erfulle fur z = - m bis x = + 03 die Bedingungen: cl (a)

C. Scharfer u. R. Pick Ein Beitray zur Theorie der Totalreflexion 249

Aus fornialen Grunden, die bei der Behandlung des Reflexions- und Brechungsproblems hervortreten werden, sei jetzt das Argument der Amplitudenfunktion A in bestimmter Weise erweitert, und zwar durch die Einfuhrung eiues Iconstanten Faktors 2 n a 0 , wobei (uo\ < 1 sei. Die Amplitude A werde also jetzt aufgefa6t als Funktion des Argumentes p = 2z - a a. , und es sei vorausgesetzt, da13 sie fur A samtliche Werte von p den folgenden Bedingungen gehorcht :

2

das Zeichen ,,L'( bedeute: ,,von hochstens gleicher GroBenordnung wie';. '1st (3) erfiillt, so gelten, da 1 ci0 14 1 ist, sicher die Be-

(1% A a 4 ziehungen:

d F

Hierfur kaun man aber, da j3 = 21d . z . oro ist, schreiben:

I(2n ao)2. djd 1 g i 2% a. . A < I A I .

A

- uud das sincl die Beziehungen (2). Die Bnnalime einer von x abhangigen Amplitude A hat zur

fi'olge, da.O der Ansatz (1) mit Qz= 0 keine Losung der Maxwell- schen Gleichungen mehr darstellt. 8 hat jetzt eine ,,longitudinale" Komponente, und cler neue Losungsausatz mu6 lauten:

~,=1/i . c r , - - - - s in8 ; d A $ j i = r E . G y ; d 6

Der Ansat,z (4) lost die Maxwellschen Bleichungen i u erster NBherung, falls nur die Amplitudenfunktiou

die Bedingungen (3) bzw. (2) erfullt. - Urn nun - naherungsweise -- von einer seitlichen Begrenzung iler ebenen Welle (4) spechen zu konnen, muBte man die Funktion A speziell etwa folgendermaBen wahlenl): Es sei za > zi > 0 uud zi >za - zi > A ; dann habe

1) Vgl. hierzu die in der Einleitung zitierte Abhandlung von H. A. L O - r e n t z , und zwar auf S. 423.

250 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937 .

fur 1 x 1 < xi die Amplitude A einen konstanten Wert A, + 0; fur 1 z I > xa dagegen sei A = 0, und fur za > I z I > zi gehe A all- mahlich von A, in Null uber. Diese Begrenzung verliuft sym- metrisch zu der Ebene z = 0.

Wie sich bei der Behandlung des Reflexions- und Brechungs- problems zeigen wird, - und zwar bei der Erfullung der Grenz- bedingungen der Maxwellschen Theorie, - ist es zweckma6ig, neben dem Losungsansatz (4) noch einen zweiten zu betrachten, bei welchem in dem Ausdruck fur B, ein Zusatzglied erschsint, das ahnlich gebaut ist, wie clie ,,longitudinalett Komponente 8,. - Es seien A, und a, Konstante, und a, hochstens von gleicher GrOBen- ordnung wie A,. Dann liist der folgende Ansatz die Maxwell- schen Gleichungen niit derselben Naherung wie der Ansatz (4):

d S d A -

@z= c o s r p . ~ ~ ~ B ~ - ~ ~ s i n ~ . ~ ~ . a , . ~ , . ~ . e i ~ ; ~

Q~ = sincp. 1 / i ~ ~ ~ + i ~ c o s r p . ~ 6 . c t , .

d B

. - . e i O * d A

=Qy= 0 ; a , ~ . ~ , , ;

(4b) * d f l >, 1",1<1i

b= x.cosgp+z.sincp;

\

2 % p =: 7. b .a, ;

. (z c t - 1 ) ; i=x.siny--x-cosg. dabei ist jetzt:

C. Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag ZUT Theorie der Totalreflexion 251

5 2. Formeln fur die Reflexion und Brechung

Es sei jetzt angenommen, da6 in dem Halbraume z > 0 die Dielektrizitatskonstante sei, irn Halbraume x < 0 dagegen E, s E ~ .

Setzt man in der Losung (4b) des 5 1 fur E den Wert ein, so stellt der Realteil von (4b) fur z & 0 eine ebene Welle dar, die unter dem Einfallswinkel cpl = y auf die Trennungsebene z = 0 der beiden Medien trifft. Diese Welle ist senkrecht zur Einfallsebene (x x = Ebene) polarisiert. - Unter sinngemaEer Ab- iiuderung der Bezeichnungen erhalt man aus (4b) die Ansatze fur die einfallende (Index ,,e"), die reflektierte (Index ,,Ti') und die ins zweite Medium eintretende gebrochene Welle (Index ,,g") (es seien hier nur die zur Trennungsebene parallelen Komponenten von Q und @ hin g eschri eben) :

~ $ 1 = E, . A (PJ . e i G e - i. a, .e,. __ . eiGe; 1 pC= - - be- u1 ; ad 2n d P e 4

@>) = cosy, .YE, - QJe)

n-1 1 2 n - i . sin yl. Y<. u l . E . 2- . ei ?ye . I J Be= .,' (2 - 4); d o e

I,= x-sinc,~, - x.cosspI; be= x.cosy , $- x-sincp,; e,<_E,; Iu1I<1.

I b, = x . cofi yl' + x - sin yl'; 1,. = x . sin q ~ ~ ' - z cos yl'.

b B = x . c o s y , + z . s i n y , ; 1 9 = x . s i n y , - z z c o s ~ , .

Bei allen drei Wellen ist Qz = Qz = Qy = 0 . I n der Trennungsebene z = 0 gelten die Grenzbediugungen:

und Q:y(d = 0 @z(c) + @$) - QLg) = 0 . (8) Q,ie) + Y ( r ) - Damit sie durch die Ansatze (5), (6) und (7) erfiillt werden

konnen, mussen die Argumente 8 und /? fur z = 0 folgenden Gleichungen geniigen : (9) ag = 8, = 9, und pg = ,9, = pe (fur z = 0).

252 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Es ergeben sich also die Beziehungen:

Da sie fur jeden X e r t von x uncl t gelten, so folgt weiter:

(Auch bei den hier verwendeten allgemeiueren Bnsktzen gilt also das gewoh~~liche Reflexions- und Brechungsgesetz.) - Beachtet man,

daB COB yl' = - cos rp, und cos yz = 1/1 - 1- . sin2 rpl gesetzt werden

mug, so erhalt man fur die Konstanten ctl' und aZ die Beziehungen:

_ _

E2

Setzt man in die Grenzbedingungen (8) die Werte aus den An- satzen (5), (6) und (7) ein und beachtet nian dabei die G1. (9), so erhalt man - bei vorgegebenen Konstanten E, und e, - vier Gleichungen zur Bestimmung der vier Konstanten R,, Go und r,, go. Hier ist folgende Bemerkung am Platze: HBtte man von vornherein willkiirlich go = ro = e, = 0 gesetzt, so stellten die Ansatze (5), (6) und (7) zwar nocli immer (angenaherte) Losungen der Naxwel l - when Gleichungen dar, aber die Grenzbedingungen der Maxwell- schen Theorie lieBen sich dann nicht mehr erfullen; R, und Go waren iiberbestimmt. Man erkennt nachtraglich die Notwendigkeit der Einf iihrung des ,,Zusatzgliedes" (mit dem Faktor a,) im Losungs- ansatz (4a) des 5 1. - Die Konstante e, darf frei vorgegeben werden, wenn nur e o z E, ist. Der Einfachheit halber sei von jetzt ab stets e, = 0 gesetzt. Man erhiilt d a m fur Ro und G,:

2 cos q1 - . E, niit n = 2, v- ?'., cos q1 + n - cos 'ps

- also die bekannten Fresnelschen Formeln. - Fur ro und g o ergeben sich die Beziehungen:

(13) r ,= 2tg92,. It, und go=- 2tg(p,. Ro.

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§ 3. Der Fall der Totalreflexion

Die Ergebnisse von § 2 seien nun auf den speziellen Fall der Totalreflexion angewendet. Es sei also das zweite Medium optiscli

dunner als das erste, d. h. e2 < 8 , ; ferner sei 1 > sin2 ypl > 5,

also fr_ . sin2yl > I, so daB cos y z = 1/1 - 21- . sin2 y 1 eine rein

ima,gioare GroBe ist.

61

€2 82

Fur diese kann man schreiben:

(pas negative Vorzeiclien der Wurzel 20 wird sich als physikalisch unbrauchbar erweisen.) - Die in 5 2 f u r die lionstanten R, und Go gefundenen Ausdriicke (12) sind nun komplex und seien i n be- kannter Weise zweckmaBig umgeformt in :

Entspreckend erhalt man fur die Konstanten ro und g, aus (13), wenn man (lo), (12a) und (14) beachtet:

Das Argument der Exponentialfunktion ei@g der Welle (7) ist Es nimmt mit Riicksicht auf (10) und (14) nun ebenfalls komplex.

die Form an:

Setzt man zur Abkiirzung

so kann man schreiben :

(16) z

2 x .- . w ei", = ei@'g . e & .

Die Exponentialfunktion ei f i g spaltet also einen raumlich vari- ablen ,,Dampfungsfaktor" ab, der in der Trennungsebene z = 0 den Wert Eins hat und fur negative Werte von z , die das zweite Medium kennzeichnen, rasch abnimmt. - Die Welle im zweiten

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Medium schreitet in der positiven x-Richtung - also parallel der Trennungsebene - fort, und zwar mit der Geschwindigkeit

Auch p, , das Argument der Amplitudenfunktion A , wird f ur das zweite Medium jetzt komplex. Beachtet man, daB nach (11) und (14) gilt:

C

6 - sin 'p,

a ,=i . - cos 'pl (Ila) w % 1

so erhalt man fur pg folgenden Ausdruck:

Fur 2 < 0 ist die Funktion A also selbst komplex. Da nur die Realteile der LSsungsansiitze (5), (6) und (7) physikalische Be- deutung haben, so miil3te fur A jetzt eine spezielle, vollkommen definierte Funktion vorgegeben werden, damit man feststellen kann, welches die Realteile der Losung sind. Bisher war von der Funk- tion A = A ( p ) nur vorausgesetzt, daB sie der Bedingung (3) des § 1 gehorcht, wodurch die langsame Veranderlichkeit von A gesichert wird. Eine Spezialisierung von A la& sich aber auch noch weiterhin vermeiden, wenn man sich im zweiten Medium auf solche Werte

< 1 ist. - Physikalisch ist diese von z beschrainkt, fur die Einschrankung belanglos , da fur gro6ere Absolutbetrage von x der ,,Dampfungsfaktor" so klein wird, daB W) und @(g) praktisch

gleich Null sind. - 1st - 5 1, so w i d , da nach Voraussetzung < 1 ist, Es sei nun angenommen, daB A @ > eine regulare analytische

IM-

I I 1, wie (17) zeigt.

Funktion von pg= (g + ia) sei; dann darf man schreiben:

oder, wenn man fur 8 den Wert aus (17) einsetzt und beachtet. daB fur A die Bedingung (3) des 8 1 gelten soll, und dab Jul J < 1 ist:

C . Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag xur Theorie der Totalreflexion 255

Fur solche negativen Werte von x , fur die !el 5 1 ist, 1aBt sich nun also der Realteil des Losungsansatzes (7) angeben. Man erhalt unter Beriicksichtigung der in diesem und dem vorigen Para- graphen gefundenen Formeln:

I m Halbraume z > O ( E = sl) ergibt sich der Realteil der L6- sung (6) zu:

256 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Und schlieBlich die einfallende Welle, also Realteil der Losung (5):

2 n 4

p = --- . b e . u l ;

be = x . cos 7, + x - sin spl; l e = x - sincp, - x . cos spl.

Bei allen drei Wellen ist 6, = 6, = sjY = 0 .

8 4. Die zeitlichen Mittelwerte der Energie bei Totalreflexion

Wir wollen nun die Energiestromung in den Wellen (5a), (6a) und (7a) untersuchen. Sie ist gegeben durch den Poyntingschen

Vektor 6 = -& . [GQ]. Physikalische Bedeutung hat nur der zeit-

liche Mittelwert von 6 : to + T

= - F . J ~ . a t , 1 mit T = i t - A .v'- . to

Da die drei Wellen senkrecht zur Einfallsebene (y = 0) polarisiert sind, so ist 6 = = 0. Fur die iibrigen Komponenten von erhalt man, - wenn man bei (6a) und (?a) noch beachtet, daB Glieder mit dem Faktor u12 vernachlassigt werden diirfen, - folgende Busdriicke :

Y Y

C. Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag zur Theorie der Totalreflexion 257

Dabei sind die Argumente der Amplitudenfunktion L4 nach (5a), (Sa) und (la):

Man erkennt zunachst aus (19) und (20): @) hat die Richtung der einfallenden Welle und die der reflektierten. Fur den Be- trag von rn folgt aus (19):

er ist also in der Einfallsebene senkrecht zur Einfallsrichtung lang- sam veranderlich. Die Amplitudenfunktion A [,9J der einfallenden Welle sei speziell etwa so gewahlt, daB sie, wenn man senkrecht zur Einfallsrichtung fortschreitet, von dem Wert Null allmahlich in den U'ert Eins und danach wieder allmahlich in den Wert Null iibergeht, wobei das Gebiet, in dem A = 1 ist, sehr groB gegen die nbergangsgebiete sei, und diese noch sehr groB gegen die Wellenlange A,. Dem Verlauf von A entsprechend, geht 1 @) 1 , wenn man senkrecht zur Einfallsrichtung fortschreitet, von dem Wert Null

allmahlich in den Wert &. I<. Eo2 und danach wieder allmahlich in den Wert Null uber. - Die Trennungsebene x = 0 der beiden Medien wird also nicht mehr - wie es bei einer seitlich unbegrenzten ebenen Welle (a, = O ! ) der Fall ware - in ihrer ganzen Aus- dehnung von der Energiestromung der einfallenden Welle getroffen, sondern nur in einem bestimmten Interval1 X; dieses besteht aus

einem Mittelgebiet &I, in welchem I I = & . . Eo2 ist, und aus einem rechts und links davon liegenden Randgebiet R , in welchem

I wenn B die ,,Breite" der einfallenden Welle bedeutet.

Die Energiestromung der reflektierten Welle geht von denjenigen Gebieten der Trennungsebene aus, die von der einfallenden Welle getroffen werden. Man konnte nun hier, im Falle der Totalreflexion, vielleicht vermuten, dab der Betrag von an jeder Stelle der Trennungsebene denselben Wert habe, wie ihn der Betrag von an der betreffenden Stelle hat. Diese Vermutung ist jedoch nicht ganz richtig. Nach (20) ist ja:

B I allmahlich auf den Wert Null herabsinkt. Dabei ist X = ___ ( coscp, ' 1

Annalen der Physik. 5. Folge. 30. 17

258 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

In der Trennnngsebene z = 0 gilt: 13, = br = F = __ - x - al. cos ypl.

Man erkennt leicht, daB 1 @ = o) nur in denjenigen Gebieten mit 1 = 0) iibereinstimmen kann , in denen die Amplitudenfunktion A = A & ) einen festen Wert - Eins oder Null - hat, also - = 0 ist.

L3A CIA In den Randgebieten aber, wo __ > 0 bzw. ~ < 0 ist, wird - aF bei al > 0 - weniger bzw. mehr Energie reflektiert, als der ein- fallenden Energie entspricht. Die in dem linken Randgebiet fur

2n 4

CIA 8E

I" ~

-7 ---- x,-- -7 - xz M 57-2 x4 I?

Abb. la u. l b

die Reflexion verlorengehende Energie tritt dort in das zweite Medium iiber, um dann im rechten Randgebiet restlos wieder in das erste Medium zuruckzufluten. Die Abweichung von der Totalitat der Reflexion ist jedoch jeweils nur ganz gering, da nacli Voraus-

setzung I a1 Z& I < 1 A 1 ist.

Abb. l a stellt den Verlauf von &% bzw. G,(.t in einem be- liebigen Querschnitt durch die einfallende bzw. die reflektierte Welle dar. Die y-Achse ist senkrecht zur Ebene der Zeichnung (Einfalls- ebene) zu denken. Das von der einfallenden Welle getroffene Gebiet der Trennungsebeue x = 0 erstreckt sich ungefahr von x1 bis x4. Das Mittelgebiet M ist durch die Strecke x9 bis x3 dargestellt; die Randgebiete R verlaufen zwischen x1 und x2 bzw. x3 und 5,.

Hierbei ist M > R>Al zu denken.

C.Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag zur Theorie der Totalreflexion 259

Die Ergebnisse der Untersuchung von G x und Gm werden bei Betrachtung yon bestatigt. Man ersieht aus (21): In den Rand-

gebieten der Trennungsebene x = 0, wo ~ > 0 bzw. - < 0 ist,

wird G!g, < 0 bzw. G,l(s) > 0. Im Mittelgebiet, wo A den Wert Eins auf langer Strecke beibehalt, so daB dort __ = 0 ist, wird

G,z(y, = 0: die Energie stromt dort (im zeitlichen Mittel) streng parallel der Trennungsebene, und zwar in der positiven x-Richtung, da iiberall G T > 0 ist.

Der Betrag von 1 und Gy(s) = 0 ist, - im wesentlichen durch die Parallelkomponente dargestellt, und diese verhalt sich (fur x = 0) im wesentlichen wie c - EO2 . { A ( E ) ) ~ . Der Betrag von G o hat also in dem Mittelgebiet, wo A2 = 1 ist, gleichfalls einen festen, von Null verschiedenen Wert und sinkt nach links und rechts hin dann mit A a allmahlich auf Null ab.

Fur den Neigungswinkel y von @) gegen die Trennungs- ebene 2 = 0 gilt:

3 A a d aE

ad dF

w i d , - da uberall lq) 1 Q 1

- __

a A Im Mittelgebiet, wo A = 1 und - = 0 ist, wird tg y = 0. Ent- fernt man 'sich vom Mittelgebiet nach rechts oder links, so steigt I tg y I an, bleibt aber uberall sehr klein. - Dieses Ergebnis stimmt mit dem von Herrn P i c h t uberein, wie aus der Abb. 6 (S. 472,s 10) seiner Arbeit l) hervorgeht.

Abb. l b stellt in gegenuber l a verandertem MaBstabe den Verlauf von G o in (bzw. unmittelbar unter) der Trennungsebene z = 0 dar. Der Neigungswinkel y ist durchweg sehr vie1 kleiner als der Einfallswinkel zu denken.

1) Ann. d. Phys. [5] 3. S. 433ff.. 1929. (Vgl. die Einleitung zu vorliegender Arbeit.) - Herr P i c h t behauptet dort (S. 473; vgl. auch wieder Abb. 6) jedoch noch weiter, dalj ,,der Gesamthetrag der Energiestromung nach den Rand- strahlen hin anwacbst", wahrend aus der hier durchgefuhrten Darstellung das Gegenteil hervorgeht. - Die Bemerkungen von Herrn P i c h t (S. 473, 5 11) uber die Ausdehnung des Gehietes, in welchem die Energie parallel zur Trennungsebene fliebt, widersprechen gleichfalls den hier gefundenen Ergeb- nissen. Dies mag seinen Grund darin haben, daB die seitlich begrenzte ebene Welle bei Herrn P i c h t als Grenzfall der endlich geijffneten Zylinderwelle be- handelt wird. Der Weg, auf dem Herr P i c h t zu seinen Resultaten gelangt, ist durch die mathematisclie Kompliziertbeit seiner Darstellung scbwer zu ubersehen.

I ? *

2 60 Annalen de7 Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

11. Teil

iiber unbegrenzte ebene Wellen versohiedener Richtung § 5. Die seitlich begrenzte ebene Welle ale Integral

Die seitlich begrenzte ebene Welle wurde in § 1 aufgefaBt als eine einzelne ebene Welle, deren Amplitude senkrecht zur Fort- pflanzungsrichtung der Wellenphase langsam veranderlich ist. I m folgenden sol1 nun gezeigt werden, daB man eine solche Welle auch darstellen kann als Integral iiber unbegrenzte ebene Wellen von verschiedener Fortpflanzungsrichtung.

Wie man leicht einsieht, konnen die Maxwell schen Gleichungen durch folgenden Ansatz exakt gelost werden:

+ 0, Q, = J q ( U ) . cos au, mit

~ ( c ) bedeute darin zunachst eine beliebige Funktion von a'). Es sei nun 0 < a0< 1, d. h. die Richtung der einzelnen Partial-

wellen weiche nur sehr wenig von der mittleren Richtung 'p ab. In diesem Falle darf man auf dem ganzen Integrationswege in erster Naherung setzen:

oder: Ou = (a - p ' . a) , I rnit

Aus der exakten L8sung (23) w i d mit Benutzung von (24) die angenaherte Losung:

1) Bei der Pichtschen Zylinderwelle ist y(c1) = cos(y + a); auBerdem tritt dort noch eine Phasenverschiebung auf: d a = 272 - -6 . cosa, wobei l 0 > L und konstant ist. - Die Buchstabenbenennung ist hier anders gewahlt als bei Herrn Picht .

I

C . Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag zur Theorie der Totalreflexion 261

- a0

$J~= VT.siny.Gg+ ~ E . C O S ~ . sin ,? a.tp(a).sin(p’.a).dcc.

-a0

Nach einem Vorschlag, der sich bei L. de Broglie’) findet, sei jetzt vorausgesetzt, daS VJ = q ( u ) eine gerade Funktion von cc sei. Beachtet man dann die Beziehung:

cos (9 - p’. a) = cos 9. . cos @‘a u) + sin 8. sin (/Ye u) so erhalt man aus (23a):

262 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

macht. Znnachst ist diese nbereinstimmung nur formaler Art; denn die Maxw ellschen Gleichungen konnen durch den Ansatz (4b) m r dann in erster Naherung gelost werden, wenn die Amplituden- funktion A = A(,$ der Bedingung (3) des 5 1 gehorcht. DemgemaB sei nun in (23 b) die gerade Funktion q = ?!(a) so gewahlt, da8

bei uo < 1 die Funktion a (p', qJ.= Jy (a) . cos (p'. a). d a fur samt-

liche Werte von p' folgende Bedingung erfiillt:

+ 0 0

- 0 0

- a0

+ 0 0

gp = ~7 .Jcos(yl + a).7p(a). cos q e ) . a a ; - a,

I $2) = .+fiin (yl + a). lp (a).cos 02). a a ; - a.

erfiillt sein soll, so gelten fur die einzelnen Partialwellen die Formeln der Totalreflexion (und zwar die gewohnlichen Formeln, wie sie in 5 3 fiir a,= 0 auftreten wurden); fiir das reflektierte Biindel ist also z. B. (8;) gegeben durch:

, @;4 = = $j (4 = 0. Y

C.Xchaefer u. R. Pich. Ein Beitrag zur Theorie der Totalreflexion 263

1 w ('p, + 0 ) . t g {y JJTl + El) = ~ cos (91 + a) -.

I Hier und im folgenden ist: w (rp, + a) = + l/sinZ(rp, + 01) - n2. - Im Halbraume 2 5 0 ergibt sich 62) als:

w (cpl + 4 . tg Pg (94 + 4 = co8 (cpl + a)

[Es sei nun genau wie in 5 5 vorausgesetzt, daB 0 < 01" < 1 und q (+ E ) q ( - a) sei. Xhnliche Umformungen wie die, welche in 5 5 von der exakten Losung (23) zu der angenaherten Losung (23b) fiihrten, lassen sich nun auch mit den Losungsansatzen (25), (26) und (27) vornehmen. Bei (27) ist hinsiahtlich der Entwicklung der Exponentialfunktion zu beachten, daB man sich - wie schon vorher in Teil I - auf solche (negativen) x-Werte beschriinken darf, fur

die - 5 1 ist. - Die aus (25), (26) und (27) hervorgehenden

Losungen lassen sich mit den in 8 3 erhaltenen Lijsungen @a), (6a) und (7a) in Obereinstimmung bringen, wie es sein muB. Die Durchfiihrung der Rechnung erfolgt nach denselben Gesichtspunkten, wie sie in 8 5 beim Vergleich der Losung (23b) mit dem Realteil der Losung (4b) aus 5 1 angewandt wurden.

! r1 I

111. Teil 8 7. Die seitlich und zeitlich begrenzte Welle

I m AnschluB an die in 8 1 durchgefiihrten Untersuchungen iiber die Moglichkeit, eine ebene Welle seitlich zu begrenzen, sei jetzt clas Problem der zeitlichen Begrenzung einer ebenen Relle behandelt; eine zeitliche Begrenzung bedeutet natiirlich zugleich eine Begren- zung in der E'ortpflanzungsrichtung.

Es seien A , und il positive reelle Konstanten. Dann stellt der Ansatz:

264 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

gx= e,= 8 Y = 0

Qy= A o . j ( t ~ ) mit 6 = 2 - __ -

QX = 0,

2 (28) I R (;: x);

$jz = y;.ey eine exakte Losung der Maxwellschen Gleichungeri dar, und zwar bei beliebiger Wahl der Funktion f = f i t ? ) . Dieser Ansatz bedeutet eine beliebige ebene elektromagnetische Storung, die mit der Ge- schwindigkeit --L in der positiven x-Richtung fortschreitet.

V8 Es sei nun speziell:

X.VY f(t9) = 0 fur 9 < 0 , d. h. fur t < __

f(8) = cost9 fur 9. > 0 , d. h. fur t > -. c 7

X * ) G

In diesem Falle bedeutet der Ansatz (28) eine in der positiven x-Richtung fortschreitende ebene Welle, - ahnlich wie der An- satz (1) aus § 1. Im Gegensatz zu (1) ist diese Welle aber nicht mehr zeitlich und raumlich unendlich ausgedehnt. Vielmehr setzt die elektromagnetische Schwingung auf irgendeiner Ebene x = x,, erst zur Zeit t = to = ___ x"CO.l'E ein. Vor dieser Zeit (t < to) herrscht dort und auf allen Ebenen x > x, Ruhe. - Die Geschwindigkeit der Wellenfront ist gleich der Phasengeschwindigkeit c.

Die Moglichkeit einer seitlichen Begrenzung ergibt sich hier iihnlich wie in 8 1: Man muB in (28) an Stelle des konstanten ,,Amplitudenfaktors" A, eine in der x-Richtung veranderliche Funktion ,4 2 x -5 - a,) = A (/I) einfiihren, die den einschrankenden Be- dingungen (2) bzw. (3) des 5 1 zu unterwerfen ist. - Die Annahme eines von z abhangigen Amplitudenfaktors hat wieder das Auftreten einer ,,longitudinalen" Komponente $jx+ 0 zur Folge. Der Losungs- ansatz fur die beliebige ebene Storung mit seitlicher Begrenzung lautet formal ahnlich wie der Ansatz (4) far die seitlich begrenzte ebene Welle. Zur Vereinfachung der Rechnung sei noch eine Funktion

dP F = F(tF) eingefiihrt, die init f(9.) durch die Beziehung j(9.) ~

d b verkniipft sei. Dann lBBt sich der Losungsansatz schreiben:

c

v;

( I "

(.Es = Q, = QjY = 0; - d F . $jx=~€.cLo.-*P(8), - d A !&= f€.Qg,;

(30) Ey= A ( 1 3 ) . d , , d B

C. Schaefer u. R. Pich. Ein Beitrag xur Theorie der Totalreflexion 265

oder, als Analogon zu (4a):

(30b) I

Hierbei sei wieder die Konstante a, hochstens von gleicher GrGBen- ordnung wie die Konstante A,.

Damit (30) bzw. (30a) die Maxwellschen Gleichungen i n erster Naherung losen kann, mu6 die Amplitudenfunktion A (p) die Be- dingung (3) des § 1 erfullen. Wie eine leichte Bechnung zeigt, darf bei variabler Amplitude aber auch die Funktion F (19.) nicht mehr vollig frei vorgegeben werden, sondern sie muB der Bedingung

d B

@z= coscp.~; .~,+sincp. l / ; .cc , .~ , . - - - -~(a) ; d A

= sin y .1/i ~G,,-COS sp . 1/i .ao*A, . - d $ -F(s ) ;

a, 5 A , ;

I ct0 1 < 1 ;

d B d A

P = - - . b . a0 ; b = x - c o s ' p + x . s i n c p ; b u n d l - und damit /I und 9. -

2% 1 .

2% c t A

8 = __ - (F - 2 ) ; 1 = X * Sin 'p - 2 * COB ; I sind no& reell. i

gehorchen. - Will man F(9.) speziell so vorgeben, da3 (30) bzw. (30a) eine zeitlich begrenzte ebene Welle darstellt, so bildet (31) hierfiir kein Hindernis. Wenn man namlich entsprechend den G-1. (29) - mit Riicksicht auf die Beziehung f(t9) = ~ - ansetzt: d F

d B F ( 8 ) = 0 fur 19. < 0 , F($) = s i n 8 fiir 9. > 0 ,

d2 F so ist ja I P ( 8 ) I = __ , - die Bedingung (31) also noch erfiillt. Es ist zweckmagig, zur komplexen Schreibweise iiberzugehen

und (29a) dementsprechend zu ersetzen durch:

i I

(29 a)

F(9.) = 0 fur %(a)< 0 ; F ( B ) = - i.ei" fur %(a) > 0 ;

} %(a): Realteil von 9..

266 Annalelt der Physik. 5. Folge. Band 30. 1937

Wird F ( 8 ) nach (29b) bestimmt, so geht (30b) fur I? > 0 in (4b), § 1, uber; fur 8 < 0 dagegen ist (3 = @ = 0 zu setzen. - Hier ist 9. zunachst noch reell; ein komplexer Ausdruck 19 erscheint erst bei dem Problem der Totalreflexion; vgl. Formel (15) fur Qg'= 'iR(9.J i n 5 3.

SinngemaBe fjbertragung der hier entwickelten Methode auf die Losungsansatze des 5 3 wiirde ergeben, daf3 die in (5a) bzw. (6a) bzw. (7a) dargestellten Ausdriicke fur (3 und @ - sowie auch die

L ' h - - - ' - . , . . ' > x

x7-5- R

x, - sin v~ Abb.2a u. 2b. t = to = - -~

in (19) bzw. (20) bzw. (21) in 9 4 dargestellten zeitlichen Mittelwerte von (5 - durch Null zu ersetzen sind, so lange tYe bzw. 19~ bzw. 79.g'

noch negativ sind. In Abb. 2 (a und b) sol1 angedeutet werden, wie der zeitliche

Mittelwert der Energiestromung bei Totalreflexion einer seitlich und zeitlich begrenzten ebenen Welle verrauft, und zwar in einem be- stimmten Zeitmoment t,, wo die ,,Front" der einfallenden Welle die Trennungsebene der zwei Medien noch nicht ganz uberschritten hat. - F F bedeutet die Fronten der einfallenden und der reflek- tierten Welle, Q Q dagegen einen beliebigen Querschnitt durch die einfallende Welle.

Bres l au , Physikalisches Institut der Universitat, im Juni 1937.

(Eingegangen 29. Juni 1937)