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EINFULH RUNG IN DIE ALGEBRAWS 2016/17
WOCHE 13 : Hauptsatzder Galoistheorie : Beispiele
CAROLINE LASSUEUR
TU KAISERSLAUTERN
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and Gi=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M ¥ > Gal( 414 )LH¥
H
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M ¥ > Gall 414 )LH¥1
H
¥1
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH¥H
¥1
:Y
K
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH#H
¥1L
IM
~
K
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungund G :=Ga1( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( 4k ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH¥H
¥1[ GAKLIK ) = G
M ¥GAKHM )K
Gal(4L)=fId
, }
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
#H
¥1[ GAKLIK
)=G16 :Gal( YM )|
M ¥GAKHM )IGAKYMHK
GAKLK
)=fId , }
(Cyan .Index )
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Ga1( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( 4k ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
#H
¥1[ GAKLIK
)=G[L:M]=IGa1(YMH 16 :Ga1( YM )|
M ¥GAKHM)=±HIGAKYMH
K
GAKLK
)=fId , }
(Cyan :=Grad ) (Cyan: Index )
Seilfkeineendlichegalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
#H
¥1[ GAKLIK
)=G[L:M]=IGa1(YMH IG :Ga1( YM )|
M ¥GAKHM)=±H[M :K]=lG :Gak4MH IGAKYM)|
K
Gal(4L)=fId
, }
(Cyan -Grad ) (Cyan. Index )
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Ga1( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( 4k ) isteinebijektion .
M ¥ > Gall 414 )LH#
H
¥1
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M ¥ > Gall 414 )LH#
H
¥1G=GaK4K )
:=IIdi}
SeilfkeineendlicheGalois . Erweiterung and G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M¥> Gall 414 )LH# H
¥1G=GaK4K )¥H
1=IIdi}
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungund G :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH#H
¥1
a
=L G=GaK4K )
5E ' I Hd=K
1=lId , }
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
¥H
¥1
ii.
L G - GAKLIK )
IG :H1
EE ' I H
IHIC=K1=lId , }
(Cyan .Index )
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Gal( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( UK ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
#H
¥1
ii.
L G - GAKLIK )
[ LI' ]=lHI IG :Hl
EE ' I H
IHIC=K1=lId , }
(Cyan -Grad ) (Cyan. Index )
Seilfkeineendlichecalois. Erweiterungundc :=Ga1( 4k ) .
HAUPTSATZDERGALOISTHEORIE : ( YK ) ⇐ > H( 4k ) isteinebijektion .
M
¥> Gall 414 )
LH
¥H
¥1
a
=L G=GaK4K )
[ LI' ]=1HI IG :Hl
5E ' I H
[ E :K]=lG:HI IHIC=K1=lId , }
(Cyan :=Grad ) (Cyan. Index )
Beispiel : K=Q
Beispiel : K=Q,L = QGYI .
w ] mit w=e2"% ( w3=1 )
Beispiel : K=Q,L = QGYI .
w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-411/1 . walk. oh ) E Ux ]
Beispiel : K=Q,L = QGYI .
w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-4 ) ( × .walk . oh ) E Ux ]Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
Beispiel : K=Q,L= QGYI .
w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-411/1 .
walk. oh ) E Ux ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwinW 1- ) W
T : he - s 3rdW 1- )
W2=w-
Beispiel : K=Q,L = QGYI .
w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-4 ) ( × .
walk. oh ) E Ux ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwin- w it W
E 53 T : in it 'veW 1- )
W2=w-
Beispiel : K=Q,L= QGYI .
w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-52 ) ( × .
walk. oh ) E Ux ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei o : 3h itwin- w it W
E 53 T : in it 'veW 1- )
W2=w-
Die Galoiskorrespondenzsieht so aus :
Beispiel : K=Q,L=Q[ II. w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms 3-2 e Q[ ]
3-2=1×-411/1 .
walk. oh ) ELK ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gal ( 4k )=< r ,t > wobei o : 3h itwin- w it W
E 53 T : he it 'veW 1- )
W2=w-
Die Galoiskorrespondenzsiehtso aus :
S}
< I > c to > < tr > < r >
{ Id. }
Beispiel : K=Q,L=Q[ II. w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms3- 2eQ[ ]
3-2=1×-411/1 .
walk. oh ) E Ux ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gall 4k )=< r ,t > wobei o : 3h -win- w it W
E 53 T : in it 'veW 1- )
W2=w-
Die Galoiskorrespondenzsiehtso aus :
QGYI .w ] s
}
#
QEKY Of air ] Of cityQ[at at > ceo > car > < r >
I
Q { Id. }
Beispiel : K=Q,L=Q[ II. w ] mit w=e2"" 3 ( w3=1 )
L= Zerfallumgskorperdespolynoms3- 2eQ[ ]
3-2=1×-411/1 .
walk. oh ) ELK ]
Jedes Element von Gal ( LIK ) permutiertdie Nullstellenvon 113-2
⇒ Gal ( YK ) = cost > wobei 0:52 -win cordnung = 2)- w it W
E 53 T : 3vI - s 527 C Ordnung =3 )W 1- )
w2=w-
Die Galoiskorrespondenzsiehtsoaus :
QGYI .w ] s
}
22 2 3 3 3 3 2
#
QEKY Q[ air ] Of cityQ[at at > ceo > car > < r >I
z3 3
z z2 2
3
Q { Id. }
[ cyan = Grad ] [ cyan -. Index ]
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