Entwicklung von Kompetenzen in den Handlungsgereichen … · Kompetenzorientiertes Lernen...

K om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkultur

E ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichenE ntw icklung von K om petenzen in den H andlungsgereichen

�D arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbilden�D arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbildenD arstellen , M odellbilden

�InterpretierenInterpretierenInterpretierenInterpretieren

�A rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründenA rgum entieren , B egründen

H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009H elm ut H eugl, G raz 2009

Ziel einer kompetenzorientierten Aufgabenkultur

� Verstehen lernen, worum es in der Mathematik geht

K om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkulturK om petenzorientierte A ufgabenkultur

Teil 1: CharakterisierungTeil 1: CharakterisierungTeil 1: CharakterisierungTeil 1: Charakterisierung

� Behalten können, verfügbar haben, wie es geht �

nicht nur nachhaltigeres Grundwissen, sondern auch „Denktechnologie“ (heuristische Problemlösestrategien)

� Anwenden können grundlegender Mathematisierungsmuster in Problemsituationen

Kompetenzorientiertes Lernen

LernaktivitätVorerfahrungen

Wissen , Können, Denk- und

Pers. Dispositionmotivationale

und volitionale Aspekte

Kompetenz-orientierte LernaktivitätDenk- und

Handlungsmuster

orientierte Aufgabenkultur

Materielle Lernumgebung

Lernmedien, elektronische

Werkzeuge

AufgabentypenQuelle: Regina Bruder , TU Darmstadt

GegebenesProblem-lösung

Gesuchtes

Gelöste Aufgabe (stimmt das?)

einfache Bestimmungsaufgabe

einfache Umkehraufgabe

Beweisaufgabe

�����

�

�

������������ ����

������������ ���� Beweisaufgabe

Schwere Bestimmungsaufgabe

Schwierige Umkehraufgabe

Erfinden einer Aufgabe

Offene Problemsituation

�

��

� �

� �

� �

���� ��������

��������

�

Komplexität

KI

K2

H1

K3

K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte

A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur

Teil 2 :Teil 2 :Teil 2 :Teil 2 :H1

Darstellen, Modellbilden

Darstellen meint die Übertragung gegebener mathematischer Sachverhalte in eine (andere) mathematische Repräsentation bzw. Repräsentationsform.

Modellbilden erfordert über das Darstellen hinaus, in einem gegeben Sachverhalt die relevanten mathematischen Beziehungen zu erkennen (um diese dann in mathematischer Form darzu-stellen), allenfalls Annahmen zu treffen, Vereinfachungen bzw. Idealisierungen vorzunehmen u. Ä.

Inhalt

Handlung

H1

I1

I2

I3

I4

Heugl

H2H3

H4

http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/http://aufgabenpool.bifie.at/

Realität Mathematik

Reales Problem

Real-modell

Mathemat.ModellMathematisieren

Str

uk

turi

ere

n

Op

erie

ren

Modellieren

Problem

Mathemat.Lösung

RealeLösung

Interpretieren

Op

erie

ren

Be

we

rte

n

Beispiel H1/1: „Erkennen von Mathematisierungsmustern“

Nutzen von technologiegestützten Lernpfaden:

Lernpfad „Schnittstelle 4/5 - Funktionen“

http://rfdz.ph-noe.ac.at

Beispiel H1/2: „Reden über Abhängigkeiten““

Nutzen von technologiegestützten Lernpfaden:

Lernpfad „Wetter“

http://rfdz.ph-noe.ac.at

P rozente?P rozente?P rozente?P rozente?

A bsolute/A bsolute/A bsolute/A bsolute/

relative A nteilerelative A nteilerelative A nteilerelative A nteile

Modellieren mit Prozenten

P rozente?P rozente?P rozente?P rozente?Z insen/Z insen/Z insen/Z insen/

Z insesz insenZ insesz insenZ insesz insenZ insesz insen

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

%

Deutsch Mathematik

„…so erhält man…“

„das Dreifache von …“

=

.3

„Übersetzen“Wortformel => mathematische Formel

„das Dreifache von …“

“3 Viertel von …”

„p% von “

.3

.34p

.100

Vokabelheft © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Beweise die Übersetzungsregel:

Deutsch Mathematik

vermehre um p% …

vermindere um p% …

)100p

.(1++++

)100p

.(1−−−−

Beweise die Übersetzungsregel:

Vermehre ein Kapital K um p% ���� multipliziere mit

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

K +100p

K. = )100p

K.(1++++

Distributivgesetz

)100p

(1++++

Deutsch Mathematik

vermehre um 3% …

vermehre um 13% …

vermehre um 50% …

.1,03

.1,13

.1,5

vermehre um 100% …

vermindere um 3% …

vermindere um 13%

vermindere um 50%

.2

.0,97

.0,87

.0,5 .

Eine Sparglühlampe benötigt nur 33 Watt und leuchtet gleich hell wie eine herkömmliche 100 Watt Glühlampe.

Werbeslogan der Erzeugerfirma:

Sie sparen

Gefahr von Übersetzungsregeln!

Sie sparen

200 %200 %200 %200 %

an E nergie!

Preis ohne MwSt Preis inkl. MwSt

Vermehre um 20%

....1,2

:1,2

Vermindere um 20%

:1,2

Aufgabe Autokauf:

Preis eines Autos ohne Steuer (Mwst. und Nova) € 13.000,-Man bezahlt 28% Steuer, der Händler bietet 10 % Rabatt

H1/H4

Was ist günstiger?�Zuerst die Steuer dazurechnen und dann den Rabatt abziehen, oder�zuerst den Rabatt abziehen und dann die Steuer dazuzählen

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Aus der Werbung eines Versandhauses:

Bei uns zahlen Sie nur 1% Zinsen! (monatlich)

� Ist 1% monatlich günstiger als 12% jährlich oder i st es egal?

H1/H2

� Ist 1% monatlich günstiger als 12% jährlich oder i st es egal?

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Bar-Dose Bar-Kasse Pro-ct-Bank

Beispiel: „Zinsrechnung und Tabellenkalkulation“[Quelle: SINUS-Transfer NRW CD-ROM]Max hat zur Konfilrmation einen größeren Geldbetrag erhalten. Davon möchte er 1000 € bei einer Bank anlegen, damit er in 5 Jahren seinen Führerschein finanzieren kann. Er findet bei drei Banken Angebote für junge Sparer.

Wachsender Zins!1% Zinsen im 1.Jahr und jedes Jahr 0,5% Zinsen mehr!Laufzeit für Zinsen und Kapital 5 Jahre

Dein Geld spart für dich!Einzahlung: 1000€Du erhältst nach 5 Jahren 1100 € zurück !

Hol dir deine Prämie!1,5% Zinsen pro Jahr Laufzeit: 5 JahreSparprämie nach 5 Jahren: 25% von den Zinsen!

Untersuche, welches der Angebote das günstigste ist und beschreibe die durchgeführten Rechnungen!Ermittle den effektiven Jahreszins für das Angebot der Bar-Kasse!Du möchtest die Zinsen, die du von der Bar-Dose und der Pro-ct-Bank erhältst, für verschiedene Kapitalbeträge möglichst schnell mit einer Tabellenkalkulation berechnen.

H1/H2/H3/H4

schnell mit einer Tabellenkalkulation berechnen.Welche Befehle musst du in die Felder eintragen, damit du das Kapital nach jeweils 1, 2, ..,5 Jahren durch Ausfüllen der übrigen Zeilen berechnen kannst?

Excel GeoGebra

Aussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen SchulbehördeAussendung der kalifornischen Schulbehörde

DerDerDerDer LeistungsindexLeistungsindexLeistungsindexLeistungsindex derderderder kalifornischenkalifornischenkalifornischenkalifornischen SchülerSchülerSchülerSchüler istististist zwarzwarzwarzwar inininindendendenden 70707070----erererer JahrenJahrenJahrenJahren umumumum rundrundrundrund 60606060%%%% gesunken,gesunken,gesunken,gesunken, seitherseitherseitherseither aberaberaberaber umumumum70707070%%%% gestiegengestiegengestiegengestiegen.... SomitSomitSomitSomit liegtliegtliegtliegt erererer alsoalsoalsoalso nunnunnunnun wiederwiederwiederwieder überüberüberüber demdemdemdemaltenaltenaltenalten WertWertWertWert....

QuelleQuelleQuelleQuelle:::: DewdneyDewdneyDewdneyDewdney:::: „„„„200200200200%%%% vonvonvonvon Nichs“Nichs“Nichs“Nichs“

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?W as soll m an glauben?

H1/H2/H4

W achstum sW achstum sW achstum sW achstum s---- und A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesseund A bnahm eprozesse

H1/H2/H3

Beispiel (3): Von einer radioaktiven Substanz zerfallen stündlich 3%. Nach welcher Zeit bei einer Ausgangsmenge von mo= 200 mg nur mehr die Hälfte vorhanden (Halbwertszeit)?

Zeitpunkt Substanzmenge

Montag, 10 h 200 mg

11h 194

12h 188,2

13h 182,5

„vermindere um 3% „ ����„multipliziere mit 0,97“

H1/H2

14h 177,1

15h 171,7

16h 166,5

… …

… …

… …

Dienstag, 8 h 102,3

9h 99,33. und 4. Klasse © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Übersetzung Phase 1: Wortformel„was passiert jedes Jahr?“

Das Kapital wird verzinst

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung

Modellbilden ����

Übersetzung von der Alltagssprache in die Sprache d er Mathematik

Das Kapital wird verzinstund die Rate wird abgezogen

Kneu = Kalt.(1+p/100) - R

Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Beispiel: Herr Maier nimmt einen Kredit von 10000 Euro zu 6% auf und zahlt jeweils am Ende des Jahres 1200 Euro zurück (ganzjährige Kapitalisierung):Nach wieviel Jahren hat Herr Maier den Kredit zurückgezahlt?

Zeitpunkt Geldbetrag

Anfang 2006 10.000,00

2007 9.400,00

2008 8764,00

„Verzinsung – minus Rate“����„multipliziere mit 1.06 undsubtrahiere 1200“

H1/H2/H3

2008 8764,00

2009 8.089,80

2010 7.375,2

2011 6.617,70

2012 5.814,80

… …

… …

2017 1.017

2018 -122 © Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Weiterentwicklung des Modellierens in der Sek II

Exponentielles Wachstum

Begrenztes Wachstum

Logistisches Wachstum

Interagierende

Lineares Wachstum

Interagierende Systeme

Realität Mathematik

Reales

Real-modell

Mathemat.ModellMathematisieren

Str

uktu

riere

n

Sm

ulieren

Begrenztes Wachstum

Realmodell Charakteristik: Mathematisches ModellReales Problem

Mathemat.Lösung

RealeLösung

Interpretieren

Bew

erte

n

Charakteristik:− Die Änderungsrate ist

proportional zum verfügbarenfreien Platz. Der Zuwachs istnicht konstant

“Wortformel”“Neuer Bestand = alter Bestand + Zuwachs” DerZuwachs ist proportional zumverfügbaren freien Platz.

Mathematisches Modell

Differenzengleichungeny(n) - y(n-1) = r.(G - y(n-1))

Wachstumsrate r, Wachstumsgrenze G,Startwert y(0)

y(n) = y(n-1) + r.(G - y(n-1))

Realität Mathematik

Reales

Real-modell

Mathemat.ModellMathematisieren

Str

uktu

riere

n

Sm

ulieren

Logistisches Wachstum

Realmodell Charakteristik:Reales Problem

Mathemat.Lösung

RealeLösung

Interpretieren

Bew

erte

n

Charakteristik:Die Änderungsrate istproportional zum Bestandund zum Freiraum.

“Wort-Formel”“Neuer Bestand = alter Bestand + Zuwachs” . DerZuwachs ist proportional zum aktuellen Bestand und zum Freuraum.

Mathematisches Modell

Differenzengleichungen

y(n) - y(n-1) = r.y(n).(G - y(n-1))

y(n) = y(n-1) + r.y(n).(G - y(n-1))

Interagierende Populationen2 Populationen Bk und Rk beeinflussen einander.

Reuber-Beute-SytemBk+1 = q1.Bk – d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk + c.Rk.Bk

Symbiose

KonkurrenzBk+1 = q1.Bk - d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk - c.Rk.Bk

SymbioseBk+1 = q1.Bk + d.Rk.BkRk+1 = q2.Rk + c.Rk.Bk

Example: HIV and the Immune System –A Mathematical Model

[Josef Lechner,1999]Simulation 1: 1 Mutant is active.

Virus (type 1): v(n) = v(n-1) + R.v(n-1) – P.v(n-1).a(n-1)

Increase rate of thevirus (R=0,1)

Efficiency of theresistant cells

(P=0,002)

Increase rate of the Agressiveness of

Resistant cells (type 1): a(n) = a(n-1) + K.v(n-1) – U.v(n-1).a(n-1)

Increase rate of theimmune cells

(K=0,02)

Agressiveness ofthe viruses(U=0,00004)

Viruses (1): u1(n)=u1(n-1)+u1(n-1).(0.1- 0.002.u2(n-1))Starting value viruses: ui1=1

Resistant cells (1):u2(n)=u2(n-1)+0.02.u1(n-1)-0.00004.u5(n-1).u2(n-1)Starting value resistant cells ui2=0

Viruses (2):u3(n)= when(n=60, 1 , u3(n-1)+u3(n-1).(0.1- 0.002.u4(n-1)))Starting value viruses ui3=0

Simulation 2: 2 Mutants are active

Restistant cells (2):u4(n)=u4(n-1)+0.02.u3(n-1)-0.00004.u5(n-1).u4(n-1)Starting value resistant cells: ui4=0

Total number viruses: u5(n)=u1(n-1)+u3(n-1)Starting value: ui5(n)=0

Total number resistant cells: u6(n)=u2(n-1)+u4(n-1)Starting value: ui6(n)=0

Resistant cellsResistant cells

Virus

Simulation 3: 11 Mutant are activeUsing a program of J. Lechner a s a black box

VirusResistant cells

Realität Mathematik

Reales

Real-modell

Mathemat.ModellMathematisieren

Str

uktu

riere

n

Operieren

Modellieren ist keine innermathematische Tätigkeit

Beschreiben durch Reales Problem

Mathemat.Lösung

RealeLösung

Interpretieren

Operieren

Bew

erte

n

Datenmaterial Beschreiben durch

verschiedene Änderungsmaße

Welche Partei ist besser? [Bürger-Fischer-Malle, Mathematik Oberstufe Band 2]

In der Fernsehdiskussion diskutieren 2 Politiker der Parteien A und B über die Einkommensveränderung der Bevölkerung seit 1994

Jahr Einkommen (WE) Partei2001 4.800 A2002 5.100 A2003 5.500 A2003 5.500 A2004 5.800 A

2005 6.200

A

Wechsel

B2006 6.500 B2007 6.900 B2008 7.400 B

Welche Partei ist besser?

a) Absoluter Einkommenszuwachs

A

B

∆E =6200-4800=1400 €

∆E =7400-6200=1200 €

b) Mittlerer Einkommenszuwachs

A

B

∆E 1400= =350 €

4 4∆E 1200

= =400 €3 3

c) Relativer Einkommenszuwachs

A

0A

B

0B

∆E 6200-4800= =0,29=29%

E 4800

∆E 7400-6200= =0,19=19%

E 6200

d) Änderungsfaktord) Änderungsfaktor

E(1998) 6200= =1,29

E(1994) 4800

E(2001) 7400= =1,19

E(1998) 6200

Beschreibung der Änderung einer Funktion

f:A�B im Intervall [a,b] mit a,b aus A(1)AbsoluteÄnderung

∆f =f(b)-f(a)

0

(2)Re Änderung

( ) ( )=

( )

lative

f f b f af f a

∆ −∆ −∆ −∆ −

(4)Änderungsfaktor(3)MittlereÄnderungsrate

(Differenzenquotient)

∆f f(b)-f(a)=

∆a b-a

(4)Änderungsfaktor

(Wachstumsfaktor)

f(b)w =

f(a)

Modellieren

Fermi Aufgaben ����

Erkennen von MathematisierungsmusternErkennen von Mathematisierungsmustern

Enrico Fermi Kernphysiker (1901-1954)„Trotz mangelnder Informationen spontan gute Abschätzungen liefern“

Wie groß wäre wohl eine Person, die so einen großen Mund hätte?

Quelle: W. Herget, Vortrag beim Didaktiktag in Wien, Sept. 2006© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Quelle: Lernbuchverlag Friedrich

Komplexität

KI

K2

H1

K3

K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte

A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur

Teil 3:Teil 3:Teil 3:Teil 3: H4Argumentieren,

Begründen

Argumentieren meint die Angabe von mathematischen Aspekten, die für oder gegen eine bestimmte Sichtweise/ Entscheidung sprechen. Argumentieren erfordert eine korrekte und adäquate Verwendung mathematischer Eigenschaften/ Beziehungen, mathematischer Regeln sowie der mathematischen Fachsprache.

Begründen meint die Angabe einer Argumentation(skette), die zu bestimmten Schlussfolgerungen/Entscheidungen führt.

Inhalt

Handlung

H1

I1

I2

I3

I4

Heugl

H2H3

H4

Induktives Schließen

Deduktives SchließenA

rgumentieren, B

egründen

Reden über

Erklären

Plausibel machen

Argum

entieren, Begründen

28:7 =

Beispiel: „Reden über das Dekadische Zahlensystem“

Beispiel: „Reden über das Dividieren“

Teil 1: Vergleiche die Ergebnisse![Quelle:

Wie entstehen die weiteren Divisionen aus der ersten?

a) 8: 4 = b) 72: 8 =16: 8 = 36: 4 =24:12 = 18: 2 =

Beispiel: „Reden über das Dividieren“

Teil 2: Was passiert mit dem mit dem Quotienten?[Quelle: Reichel-Hummenberger: Das ist Mathematik 1]

Berechne den Quotienten der Zahlen 32 und 4!(1) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und

Divisor mit 2 multipliziert?(2) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und

Divisor durch 2 dividiert?Divisor durch 2 dividiert?(3) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und

Divisor mit 10 multipliziert?(4) Wie ändert sich der Quotient, wenn man Dividend und

Divisor durch 4 dividiert?

Teil 3: Was passiert beim „Nullen streichen“?

15000: 300 =

Teil 4: Was passiert beim „Komma verschieben“?

3,75 : 0,1250

Teil 1: Vergleiche die Ergebnisse!Wie entstehen die weiteren Subtraktionen aus der ersten?a) 8 - 4 = b) 25 - 20 =

10 - 6 = 21 - 16 =28 - 24 = 15 - 10 =

Teil 2: Berechne die Differenz von 34 und 28Wie ändert sich die Differenz, wenn man

Beispiel: „Reden über das Subtrahieren“

Teil 3: Erkläre das schriftliche Subtrahieren

582− 237

„7 und 5 ist 12“

„warum 12? Hier steht doch 2!

Wie ändert sich die Differenz, wenn mana) beide Zahlen um 7 vergrößert,b) beide Zahlen um 5 verkleinert,c) beide Zahlen verdoppelt?

Beispiel: „Seil um den Äquator“Um den Äquator ist ein Seil gespannt, das um 1 m länger ist als der Umfang des Äquators. Kommt eine Maus unter dem Seil durch?

Löse das Problem zuerst mit dem Taschenrechner und dann allgemein.Nimm statt der Erde eine Orange.

Argumentieren durch Operieren

Nimm statt der Erde eine Orange.

Vom Vermutenzum Beweisen

Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen

„Vom Vermuten zum Beweisen“

Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen

Winkelsumme im DreieckPhase 1: Vermuten, induktives Schließen

S

S

α β

h

Winkelsumme im DreieckPhase 2: Beweis („Parallelwinkel“)

g

Beispiel: „Rechteck Optimierung“Quelle: „Mathematik - Neue Wege 8“. Schmidt Günter Hrsg. Schroedel Verlang, Hannnover 2003. ISBN 3-507-8552-0

Experimentelle PhaseAufgabe 1: Rechteck OptimierungMit einer Schnur der Länge U kann ein Rechteck abgesteckt werden.Man kennt den Umfang eines Rechtecks: U = 120 m.

Fertige eine Tabelle an und zwar zuerst im Heft (Rechen mit dem TR)

Vom Vermuten zum Beweisen

Fertige eine Tabelle an und zwar zuerst im Heft (Rechen mit dem TR) und dann mit Hilfe der Tabellenkalkulation. Die Tabelle enthält folgende Größen (bei gegebenem Umfang U)

− die Länger der Seite a− die Länge der Seite b− den Flächeninhalt:

Starte mit a = 10 m und erhöhe die Länge a dann immer um 5 m.Ermittle mit Hilfe der Tabellenkalkulation auch ein Diagramm.Bei welchen Längen der Seiten a und b hat das Rechteck einen möglichst großen Flächeninhalt?

GeoGebra

Exaktifizierende Phase

Aufgabe 2: Rechteck Optimierung

Beweise deine Vermutung von Aufgabe 1:Unter allen umfanggleichen Rechtecken hat das Quadrat den größten Flächeninhalt

Tips zum Beweis:Welchen Flächeninhalt hat das Quadrat mit dem Umfang 4.a?

xxmit dem Umfang 4.a?

Verlängere die eine Seite des Quadrates um x und verkürze die andere um x. Welchen Umfang hat dieses Rechteck?Gib eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks an! Vereinfache die Formel!Vergleiche die Formeln für die Flächeninhalte von Rechteck und Quadrat! Begründe deine Behauptung!

a

a

(((( )))) (((( ))))(((( )))) 22

R

R

2

Q

xax).(axaA

4.axa2.xa2.u

aA

−−−−====−−−−++++========−−−−++++++++====

====

(((( ))))

222

R

axa

Folgerung

xax).(axaA

≤≤≤≤−−−−

−−−−====−−−−++++====

Experimentieren mit CAS

� Graph von A(x) im Graphikfenster untersuchen.

Berechnen mit Hilfe der Differentialrechnung

� A(x) = x.(60-x)

� A‘(x) = 30 – 2.x

� A‘(x) = 0 ���� x = 30

„Kein Schnittpunkt“Gegeben ist eine Gerade g: y = -2.x + 5 undeine Geradenschar hk : y = k.x + 1

Vermuten:

Zeichne die Gerade g und mehrere Gerade der Geradenschar hk. Für welches k hat die Gerade mit der Geraden g keinen Schnittpunkt? Geraden g keinen Schnittpunkt?

Begründen:

Begründe deine Vermutung algebraisch.

2k4

x

42)x.(k

1k.x52.x:hgk

++++====

====++++++++====++++−−−−∩∩∩∩

Ableitung der Sinusfunktion

Vermuten:

Experimentieren mit dem Differenzenquotienzen (Tabelle, Graph)

Exaktifizierende Phase:

Ableitung herleiten

GeoGebra

Beispiel 4: Experimentelle Phase:

Durch Experimentieren Monotonievermutungen aufstellen

Exaktifizierende Phase:Monotonie beweisen

Komplexität

KI

K2

H1

K3

K om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierteK om petenzorientierte

A ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkulturA ufgabenkultur

Teil 4 :Teil 4 :Teil 4 :Teil 4 :

H3Interpretieren

Interpretieren meint, aus mathematischen Darstellungen Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte zu erkennen und darzulegen sowie mathematische Sachverhalte und Beziehungen im jeweiligen Kontext zu deuten.

Inhalt

Handlung

H1

I1

I2

I3

I4

Heugl

H2H3

H4

RealeLösung Interpretieren

Mathemat.Lösung

Von der mathematischen zur realen Lösung

Beispiel: „Tapetenrollen“

Beispiel: „Kühe auf der Weide“

Beispiel: „Sinnvolle Genauigkeit“

Weniger Kontrolle – mehr Straßenverkehr

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Beispiel 2: „Übertragungsrechte“

(a) Beschreibe: Was fällt Dir bei der Grafik auf?

(b) Fertige ein entsprechendes Schaubild mit linearer Ordinate und richtigen zeitlichen Abständen an

Von der Grafik zur GeschichteFahrt zum Supermarkt:

Die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit

Wettschwimmen auf der 30m-Bahn (2 Längen):

Die Distanz vom Startpunkt in Abhängigkeit von der Zeit

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Literatur und LinksBaden Württemberg, 2007: Homepage des Regierungspräsidiums (Schulabteilung)

Karlsruhe Fachbereich Mathematik (Gymnasien): Bildungsstandards 2004: http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/

BMBWK (Hrsg.) 2005: Bildungsstandards für Mathematik am Ende der 8. Schulstufe. BMBWK, Sektion I. Internet: www.gemeinsamlernen.at

Blum, Werner (Hrsg.) (2006): „Bildungsstandards Mathematik konkret“ . S 16. Verlag Cornelsen. ISBN-10: 3-589-22321-9

Bruder, Regina (2006): „Langfristiger Kompetenzaufbau“ In Blum Werner (Hrsg.), 2006: Bruder, Regina (2006): „Langfristiger Kompetenzaufbau“ In Blum Werner (Hrsg.), 2006: „Bildungsstandards Mathematik konkret“ . S 135-152. Verlag Cornelsen. ISBN-10: 3-589-22321-9

NCTM (National Council of Teachers of Mathematics): “Principles&Standards for School Mathematics”. Homepage: http://standards.nctm.org/

Neubrand, Michael (Hrsg.) 2004: „Mathematische Kompetenzen von Schülerinnen und Schülern in Deutschland“ (Deutsches PISA-2000-Konsortium). VS Verlag für Sozialwissenschaften. ISBN 3-531-14456-1

Schmidt Günter Hrsg :„Mathematik - Neue Wege 8“.. Schroedel Verlang, Hannnover2003. ISBN 3-507-8552-0

Peschek, Werner; Heugl Helmut (Hrsg.), (2007): „Standards für die mathematischenFähigkeiten österreichischer Schülerinnen und Schüler am Ende der 8. Schulstufe“Version4/07. Institut für Didaktik der Mathematik, Alpen-Adria-Universität Klagenfurt.Homepage des Institutes: http://www.uni-klu.ac.at/idm/inhalt/295.htm

Links zum Thema

http://aufgabenpool.bifie.at/ : Aufgabenplattform Standards M12 (Sek II)

http://did.mat.uni-bayreuth.de/: Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik an der Universität Bayreuth: SINUS Transfer; Smart – die Aufgabendatenbank usw.

http://www.bildungsserver.de/db/mlesen.html?Id=12241 : Deutscher Bildungsserver

http://blk.mat.uni-bayreuth.de/indexblk.html : Server des BLK-Programms (Bundes-Länder-Kommission für Bildungsplanung und Forschungsförderung)

http://www.dorfmayr.org: Homepage von Anita Dorfmayr

http://www.leu-bw.de/ : Landesinstitut für Schulentwicklung (Baden Württemberg): Bildungspläne: Angebote für allgemein bildende Schulen, für berufliche Teilzeit- und Vollzeitschulen

http://rfdz.ph-noe.ac.at: Homepage des Regionalen Fachdidaktik Zentrums an der PH Baden

http://www.uni-klu.ac.at/idm/ : Homepage des Instituts für Didaktik der Mathematik an der Alpen-Adria-Universität Klagenfurt

http://www.acdca.ac.at/ : Homepage von ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer Algebra)

Traditioneller Unterricht

WissensbasenWerkzeuge

Kooperative Lernformen

Projekt „Medienvielfalt“

Selbstentdeckendes Lernen

ElektronischeMedien undWerkzeuge

ElektronischeWissensbasen undKommunikationsmedien

Interesse und Freude an Mathematik

DEU

DNK

AUTCZE

Werden Schülerbesser motiviert, weil sie das Gebotene als relevant für ihre Zukunft einschätzen?

Instrumentelle Motivation in Mathematik

AUT

Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten in Mathematik

AUT

FIN

Angst vor Mathematik

AUT

Charakteristika erfolgreicher PISA-Staaten

� Verbindliche Leistungserwartung

� Regelmäßiges Monitoring

� Evaluationskultur� Evaluationskultur

� Professionelle Test- und Evaluationsagenturen

� Positivere Einstellung zur schulischen Leistung

Bieler

Charakteristika erfolgreicher Schulen

� Konsens über Ziele und Normen

� Klare, anspruchsvolle Leistungserwartung

� Internes Rückmeldesystem� Internes Rückmeldesystem

� Autonomie und Rechenschaftslegung nach außen

Bieler

€

€

€

Aufgabe als Beispiel für überfachliche Standards: „Zeit für Schule“Aufgabenstellung: Setzt Euch mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander!

Standards für den mittleren BildungsabschlussDeutschland, Dezember 2003

© Heugl© Heugl© Heugl© Heugl

Beispiel 2: Preissteigerungsrate(a) Ermittle die Preissteigerungsrate aus den Kosten W eines

„Warenkorbes“:im Jahr 2001 W1 = 6.470,-€im Jahr 2002 W2 = 7.060,-€

2 1W -W 7060-6740r = = = 0,0474 4,7%

W 6740®

1

r = = = 0,0474 4,7%W 6740

®

(b) Die Daten seien mit einem Fehler von ±1% behaftet. In welchem Intervall liegt dann die Preissteigerungsrate?

0,068WW

0,027

458WW182

7130,6W6989,4

6807,4W6672,6

12

12

2

1

≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤

≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤

(c) Annahme: Der Fehler sei ±5%

6,8%r2,7%

0,068W

WW0,027

1

12

≤≤≤≤≤≤≤≤

≤≤≤≤−−−−≤≤≤≤

15,8%r5,2% ++++≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−