Σξσνήμανα Αξνόμανοξ...

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Ενότητα : Συνάρτηση Μεταφοράς Σ.Δ.Δ.

Διακριτοποίηση Συν. Μεταφοράς

Aναστασία Βελώνη

Τμήμα Η.Υ.Σ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

2

Χρηματοδότηση • Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια

του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Σκοποί ενότητας

1. Να κατανοήσετε τη Συνάρτηση Μεταφοράς Συστήματος Δειγματοληπτικών δεδομένων

2. Να διαχωρίζετε τις μεθόδους διακριτοποίησης

4

Περιεχόμενα ενότητας (1)

• ΕΙΣΑΓΩΓΗ

• ΑΝΟΙΚΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

• ΚΛΕΙΣΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΠΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

• ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΡΟΗΣ ΣΗΜΑΤΩΝ

• ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ

• ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

5

Περιεχόμενα ενότητας (2)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Ζ Η ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΡΟΥΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (IMPULSE INVARIANCE METHOD)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ Η ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΒΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (STEP INVARIANCE METHOD)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ (BACKWARD DIFFERENCE METHOD)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΠΡΟΣ ΤΑ ΕΜΠΡΟΣ (FORWARD DIFFERENCE METHOD)

6

Περιεχόμενα ενότητας (3)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΓΡΑΜΜΙΚOY METΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ (BILINEAR ΗTUSTIN METHOD)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΔΙΓΡΑΜΜΙΚOY METΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΑΛΛΑΓΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ (FREQUENCY PREWARPING)

• ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΑΙΡΙΑΣΜΑΤΟΣ (ΤΑΥΤΙΣΗΣ) ΠΟΛΩΝ ΚΑΙ ΜΗΔΕΝΙΚΩΝ (POLE-ZERO MATCHING)

• ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

• ΤΥΠΟΛΟΓΙO

• ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

7

Γενικές έννοιες

• Συνάρτηση μεταφοράς (transfer function) ορίζεται το πηλίκο του μετασχηματισμού Z της εξόδου ενός γραμμικού αμετάβλητου συστήματος προς το μετασχηματισμό Z της εισόδου του, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές και αντιστοιχεί σε μία σχέση με την οποία περιγράφεται η δυναμική του συστήματος υπό εξέταση.

8

Ανοικτό σύστημα δειγματοληπτικών δεδομένων

• Ας θεωρήσουμε το σύστημα του σχήματος που αποτελεί ένα σύστημα δειγματοληπτικών δεδομένων (Σ.Δ.Δ) ανοικτού βρόχου.

9

Κλειστό σύστημα δειγματοληπτικών δεδομένων

• Ας θεωρήσουμε το σύστημα του σχήματος που αποτελεί ένα σύστημα δειγματοληπτικών δεδομένων (Σ.Δ.Δ)

κλειστού βρόχου.

10

Απόδειξη της σχέσης (1)

11

Απόδειξη της σχέσης (2)

12

Διαγράμματα ροής σημάτων (1)

• Τα διαγράμματα ροής σημάτων (Signal flow graphs), όπως και τα δομικά διαγράμματα, παρέχουν μία εποπτική εικόνα ενός συστήματος και αποτελούν μία εναλλακτική μέθοδο αναπαράστασης των σχέσεων που συνδέουν τις μεταβλητές ενός συστήματος.

• Η θεωρία των διαγραμμάτων ροής σημάτων αναπτύχθηκε από τον S. J. Mason (July 1955) και εφαρμόζεται σε κάθε σύστημα χωρίς να χρειάζεται να γίνει απλοποίηση του λειτουργικού διαγράμματος η οποία σε πολύπλοκα διαγράμματα είναι ιδιαίτερα επίπονη. Ένα διάγραμμα ροής αποτελείται από κόμβους , κλάδους και βρόχους.

13

Διαγράμματα ροής σημάτων (2)

14

Τύπος του MASON (1)

• Ο τύπος του Mason (Mason’s gain formula – 1953) δίνει τη σχέση μεταξύ της εισόδου και της εξόδου ενός συστήματος μέσω του διαγράμματος ροής σημάτων, απ' ευθείας, χωρίς διαδοχικές απλοποιήσεις και είναι:

15

Τύπος του MASON (2)

• Δn= Η υποορίζουσα της διαδρομής Tn και υπολογίζεται από τη σχέση (6) μη λαμβάνοντας υπ' όψη τους βρόχους που εφάπτονται στη n-οστή προς τα εμπρός διαδρομή.

16

Διαγράμματα ροής σημάτων (3)

• Η διαδικασία με την οποία εφαρμόζουμε τον τύπο του Mason στα Ψηφιακά Σ.Α.Ε είναι η ακόλουθη:

• Σχεδιάζουμε το διάγραμμα ροής σημάτων απ ευθείας από το δομικό διάγραμμα του συστήματος δειγματοληπτικών δεδομένων.

• Στο διάγραμμα ροής παρατηρούμε ασυνέχειες λόγω των δειγματοληπτών που υπάρχουν οπότε χρησιμοποιώντας το μαθηματικό μοντέλο σχεδιάζουμε εκ νέου το διάγραμμα ροής σημάτων καταργώντας τις ασυνέχειες. Προφανώς το νέο Δ.Ρ.Σ είναι ισοδύναμο του αρχικού.

• Υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς εφαρμόζοντας τον τύπο του Mason στο τροποποιημένο Δ.Ρ.Σ.

17

0 0

[ - ] [ ] (7)N M

k m

k m

b y n k x n m

Εξισώσεις διαφορών

• Οι εξισώσεις διαφορών είναι για τα συστήματα διακριτού χρόνου ότι και οι διαφορικές εξισώσεις για τα συστήματα συνεχούς.

• Η γενική μορφή μιας εξίσωσης διαφοράς N βαθμού είναι:

• και για τη λύση της πρέπει να είναι γνωστές Ν+Μ αρχικές συνθήκες που θα αφορούν στα y[-1],….y[-N] και χ[-1],….χ[-Μ] .

18

Διακριτοποίηση συνάρτησης μεταφοράς (1)

• Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές για τον σχεδιασμό ενός ψηφιακού φίλτρου για τον αυτόματο έλεγχο ενός συστήματος .

• Η πρώτη τεχνική ονομάζεται διακριτός σχεδιασμός ή άμεσος διακριτός σχεδιασμός (Direct Digital Design) και πραγματοποιείται σε δύο στάδια

• Διακριτοποίηση του συστήματος που επιθυμούμε να ελέγξουμε.

• Κατασκευή του κατάλληλου ψηφιακού ελεγκτή χρησιμοποιώντας μεθόδους ανάλυσης συστημάτων διακριτού χρόνου.

19

Διακριτοποίηση συνάρτησης μεταφοράς (2)

• Η δεύτερη τεχνική ονομάζεται εξομοίωση (emulation) και πραγματοποιείται σύμφωνα με τα ακόλουθα στάδια.

• Κατασκευή του αναλογικού ελεγκτή χρησιμοποιώντας μεθόδους ανάλυσης συστημάτων συνεχούς χρόνου.

• Διακριτοποίηση του αναλογικού ελεγκτή.

• Επαλήθευση της σωστής λειτουργίας του ψηφιακού ελεγκτή χρησιμοποιώντας μεθόδους ανάλυσης συστημάτων διακριτού χρόνου.

20

Διακριτοποίηση συνάρτησης μεταφοράς (3)

• O μετασχηματισμός της G(s) στην ισοδύναμη της G(z) μπορεί να πραγματοποιηθεί με τρείς διαφορετικές μεθόδους.

• Η πρώτη μέθοδος βασίζεται στη χρήση αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το δοθέν σύστημα και τη μετατροπή τους σε εξισώσεις διαφορών. Δηλαδή μετατρέπουμε τη συνάρτηση μεταφοράς στην ισοδύναμη διαφορική εξίσωση από την οποία προήλθε και για να επιλύσουμε τη διαφορική εξίσωση χρησιμοποιούμε μεθόδους αριθμητικής διαφόρισης ή ολοκλήρωσης.

21

Διακριτοποίηση συνάρτησης μεταφοράς (4)

• Η δεύτερη μέθοδος βασίζεται στο ότι η απόκριση ενός αναλογικού φίλτρου με πόλο στο σημείο s=s0 όταν υποστεί δειγματοληψία με περίοδο T, αναπαριστάται με την απόκριση ενός διακριτού φίλτρου με πόλο στο σημείο z=es0T.

• Αυτή η αντιστοιχία χρησιμοποιείται για να ταυτίσουμε τους πόλους και τα μηδενικά της G(s) στο πεδίο του s με τους πόλους και τα μηδενικά της G(z) στο πεδίο του z.

22

Διακριτοποίηση συνάρτησης μεταφοράς (5)

• Η τρίτη μέθοδος βασίζεται στην ταύτιση των αποκρίσεων των συστημάτων συνεχούς χρόνου σε συγκεκριμένες εισόδους (βηματική, κρουστική, αναρριχητική συνάρτηση ), με αυτές των συστημάτων διακριτού χρόνου για τις ίδιες εισόδους.

• Το ισοδύναμο φίλτρο διακριτού χρόνου πρέπει να έχει περίπου τα ίδια δυναμικά χαρακτηριστικά με το αρχικό φίλτρο συνεχούς χρόνου.

23

Μέθοδοι διακριτοποίησης

• Τα πιο σημαντικά σημεία σύγκρισης των μεθόδων διακριτοποίησης που θα αναφερθούν είναι:

• Η ευκολία χρήσης

• Η διατήρηση της ευστάθειας.

• Η διατήρηση της κρουστικής απόκρισης.

• Η διατήρηση της αρμονικής απόκρισης.

24

Μέθοδος μετασχηματισμού Ζ ή Αμετάβλητης κρουστικής απόκρισης

(Impulse Invariance method) (1)

25

Μέθοδος μετασχηματισμού Ζ ή Αμετάβλητης κρουστικής απόκρισης

(Impulse Invariance method) (2)

• Το ισοδύναμο φίλτρο διακριτού χρόνου της μεθόδου του αναλλοίωτου της κρουστικής απόκρισης είναι αυτό του οποίου η κρουστική απόκριση ταυτίζεται με την κρουστική απόκριση του φίλτρου συνεχούς χρόνου G(s), στις χρονικές στιγμές kΤ, k=0,1,2,3…, T όπου Τ η περίοδος δειγματοληψίας.

• Επειδή ο μετασχηματισμός Ζ απεικονίζει πάντοτε έναν ευσταθή πόλο του πεδίου του s σε ευσταθή πόλο στο πεδίο του Z, συμπεραίνουμε ότι το διακριτό φίλτρο θα είναι ευσταθές αν και το αρχικό αναλογικό φίλτρο είναι ευσταθές .

• Με τη μέθοδο αυτή δεν διατηρείται η απόκριση συχνότητας (λόγω επικάλυψης παρατηρείται παραποίηση συχνοτήτων) ούτε η βηματική απόκριση.

26

Μέθοδος εκθετική ή Αμετάβλητης Βηματικής απόκρισης

(Step Invariance method) (1)

27

Μέθοδος εκθετική ή Αμετάβλητης Βηματικής απόκρισης

(Step Invariance method) (2)

• Αν το αρχικό αναλογικό σύστημα είναι ευσταθές τότε και το ισοδύναμο διακριτό που προκύπτει με τη μέθοδο του αναλλοίωτου της βηματικής απόκρισης θα είναι ευσταθές.

• Με τη μέθοδο αυτή δεν διατηρείται η απόκριση συχνότητας (αρμονική απόκριση) ούτε η κρουστική απόκριση.

• Εδώ χρησιμοποιήθηκε το κύκλωμα (φίλτρο) συγκράτησης μηδενικής τάξης (zero order hold – zoh) με συνάρτηση μεταφοράς .

28

Zero order hold (1)

• Ένας μετατροπέας D/A είναι ένα δίκτυο συγκράτησης του οποίου η έξοδος είναι μια τμηματικά συνεχής συνάρτηση. Το παρακάτω σχήμα συνοψίζει τη λειτουργία του zero order hold που είναι να κρατήσει την τελευταία δειγματοληπτημένη τιμή του σήματος f(t).

29

Zero order hold (2)

30

First order hold (1)

31

First order hold (2)

32

Μέθοδος διαφοράς προς τα πίσω (Backward difference method) (1)

33

Μέθοδος διαφοράς προς τα πίσω (Backward difference method) (2)

34

Μέθοδος διαφοράς προς τα εμπρός (Forward difference method) (1)

35

Μέθοδος διαφοράς προς τα εμπρός (Forward difference method) (2)

36

Μέθοδος διγραμμικoύ μετασχηματισμού (Bilinear ή Tustin method) (1)

37

Μέθοδος διγραμμικoύ μετασχηματισμού (Bilinear ή Tustin method) (2)

38

Μέθοδος διγραμμικoύ μετασχηματισμού με αλλαγή συχνότητας (frequency

prewarping) (1)

39

Μέθοδος διγραμμικoύ μετασχηματισμού με αλλαγή συχνότητας (frequency

prewarping) (2)

40

Μέθοδος ταιριάσματος (ταύτισης) πόλων και μηδενικών

(pole-zero matching) (1)

Μέθοδος ταιριάσματος (ταύτισης) πόλων και μηδενικών

(pole-zero matching) (2)

Μέθοδος ταιριάσματος (ταύτισης) πόλων και μηδενικών

(pole-zero matching) (3)

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΞΑΣΚΗΣΗΣ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ Σ.Α.Ε

ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ Σ.Μ.

45

Άσκηση 1

46

Λύση Άσκησης 1 (1)

47

Λύση Άσκησης 1 (2)

48

Άσκηση 2

49

Λύση Άσκησης 2 (1)

50

Λύση Άσκησης 2 (2)

51

Λύση Άσκησης 2 (3)

52

Άσκηση 3

53

Λύση Άσκησης 3 (1)

54

Λύση Άσκησης 3 (2)

55

Λύση Άσκησης 3 (3)

56

Λύση Άσκησης 3 (4)

57

Άσκηση 4

58

Λύση Άσκησης 4 (1)

59

Λύση Άσκησης 4 (2)

60

Λύση Άσκησης 4 (3)

61

Λύση Άσκησης 4 (4)

62

Λύση Άσκησης 4 (5)

63

Λύση Άσκησης 4 (6)

64

Άσκηση 5

65

Λύση Άσκησης 5 (1)

66

Λύση Άσκησης 5 (2)

67

Λύση Άσκησης 5 (3)

68

Λύση Άσκησης 5 (4)

Λύση Άσκησης 5 (5) Κώδικας σε Matlab

zero1=[];

pole1=[-1 -4];

k1=[1];

sysc=zpk(zero1,pole1,k1)

zero2=[0 0];

pole2=[0.5 0.2];

k2=[1/10];

T=1;

sysd=zpk(zero2,pole2,k2,T)

step(sysc,'b',sysd,'r')

69

70

Άσκηση 6

71

Λύση Άσκησης 6 (1)

72

Λύση Άσκησης 6 (2)

73

Λύση Άσκησης 6 (3)

74

Λύση Άσκησης 6 (4)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΨΗΦΙΑΚΩΝ Σ.Α.Ε.

ΔΙΑΚΡΙΤΟΠΟΙΗΣΗ Σ.Μ.

75

76

Άσκηση 1

77

Άσκηση 2

78

Άσκηση 3

79

Άσκηση 4

Τέλος Ενότητας