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FiniteElemente in1D und 2D
Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
FEM im2D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion
Regeln fur dieDreiecke
Konv-analyseKonvergenzanalyse
FreeFEM-Plots
Quellen
Finite Elemente in 1D und 2D
Johannes Veit
Ein Blick uber den Tellerrand ... mit FreeFem++
8. Januar 2016
FiniteElemente in1D und 2D
Johannes Veit
RuckblickLaplace-Problem aufdem Einheitsquadrat
GalerkinApproximation
FEM im1D-FallDiskretisierung
Ansatzfunktion imRaum Vh
Genauigkeit
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Ansatzfunktion
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Quellen
Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
4 KonvergenzanalyseKonvergenzanalyseFreeFEM-Plots
5 Quellen
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Gliederung1 Ruckblick
Laplace-Problem auf dem EinheitsquadratGalerkin Approximation
2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Laplace-Problem auf demEinheitsquadrat
Laplace - Gleichung:
−∆u(x) = 0
• Man betrachte das Problem auf dem Intervall Ω=(0; 1)
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Aus der ersten Sitzung wissen wir
Finde u0 ∈ V : a(u0, v) = F (v) ∀v ∈ V⇓
Finde u0,h ∈ Vh : a(u0,h, vh) = F (vh) ∀v ∈ Vh
wobei Vh ⊂ V mit dim Vh <∞
Ist ϕ1, . . . , ϕn eine Basis von Vh und u0,h =∑n
i=1 αiϕi ergibtsich das lineare Gleichungssystem
Aα = b mit Aij = a(ϕj , ϕi ), bi = F (ϕi ), i , j = 1, . . . , n.
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Diskretisierung
• Definition: Diskretisierung bedeutet die Gewinnung einerdiskreten Teilmenge
• Hier wird das Gebiet Ω in aquidistante Teilmengen ∆zerlegt.
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Ansatzfunktion im Raum Vh
X rh = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P r (K ) ∀K ∈ Th
• r beschreibt den Grad der Ansatzfunktion bzw. derPolynome (hier: linear = 1, quadratisch = 2)
• Lineare Ansatzfunktion• Basisfunktion von X 1
h zum Knoten xi
ϕi (x) =
x−xi−1xi−xi−1
fur xi−1 ≤ x ≤ xi ,xi+1−xxi+1−xi
fur xi ≤ x ≤ xi+1,
0 sonst.
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• quadratische Ansatzfunktion
X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th
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Lineares Gleichungssystemv(x) =
∑6i=1 αiϕi (x) , (allgemein v(x) =
∑Ni=1 αiϕi )
= (Π1hv)(x)→ αi = v(xi )
FEM: X 1h = span (ϕi )
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3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Genauigkeit
Eine fundamentales Werkzeug der Galerkin-Methode ist dasCea-Lemma
VorraussetzungenSei V ein reeller Hilbertraum mit der Norm ‖ · ‖.Sei a:V × V → R eine Bilinearform, die
• beschrankt(aquivalent dazu stetig), d. h.|a(u, v)| ≤ M‖u‖ ‖v‖ fur eine Konstante M > 0 und ∀u, v∈ V
• und koerzitiv ist, d. h. a(v , v) ≥ α‖v‖2 fur eine Konstanteα > 0 und ∀v ∈ V
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Cea-Lemma
Dann besagt das Cea-Lemma:
‖u − uh‖V ≤Mα
infwh∈Vh
‖u − wh‖V ,
, dass die Approximation der Losung uh aus dem Unterraum Vhhochstens um die Konstante M
α schlechter ist als die besteApproximation fur u im Raum Vh.Hierbei ist
• u= exakte L“osung des Randwertproblems• uh = Approximation• fur kleine h geht uh gegen u• h beschreibt Intervallgrosse, ist Proportional zur
Abweichung
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2 FEM im 1D-FallDiskretisierungAnsatzfunktion im Raum VhGenauigkeit
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Diskretisierung in 2D
Man betrachte das Problem auf der Flache Ω (z.B. =(0; 1)2)
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3 FEM im 2D-FallDiskretisierungAnsatzfunktionRegeln fur die Dreiecke
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Ansatzfunktion in 2d• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum
X 1h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P1(K ) ∀K ∈ Th
(lineare Basisfunktionen)• Hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1, an benachbarten Knoten xn±1 = 0
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Ansatzfunktion in 2d
• Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum
X 2h = v ∈ C0(Ω) | v |K ∈P2(K ) ∀K ∈ Th
(quadratische Basisfunktionen)• Auch hier wird Ω in Dreiecke zerlegt• Nj = 1 oder 0, an benachbarten Knoten xn±1 = 0 oder 1,
an Knoten xn±2 = 0
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Regeln fur die Dreiecke
• Keine Ecke eines Dreiecks darf auf einer Kante einesanderen Dreiecks liegen.
• Folgende Anordnung ware verboten:
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• Das Verhaltnis vom Inkreis zur grossten Seite jedesDreiecks ist nach oben beschrankt
hKγk
< c ∀K ∈ Th
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Interpolationsabschaetzung
• Folgende Bedingung wird auf das Cea-Lemma angewendet:
|v − Πrhv |Hm(Ω) ≤ Chr+1−m|v |Hr+1(Ω) ∀v ∈ H r+1(Ω)
• C ist eine Konstante, unabhangig von h und u• Cea-Lemma:
‖u−uh‖V ≤Mα
infwh∈Vh
‖u−wh‖V ≤Mα‖u−Πr
hu‖V V = H10 (Ω)
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• Hieraus ergibt sich fur u ∈ H r+1(Ω) und uh ∈ X rh(Ω)
‖u − uh‖V ≤Mα
Chr |u|Hr+1(Ω)
• Hier kann man die Approximation durch 2 Artenverbessern:
1 h kleiner machen2 r erhohen, also finite Elemente hoherer Ordnung
verwenden
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• Man erhalt nun Vorschriften fur den Approximationsfehler
‖u − uh‖H1(Ω) ≤ Chr‖u‖Hr+1(Ω)
‖u − uh‖L2(Ω) ≤ Chr+1‖u‖Hr+1(Ω)
• Plottet man diesen Fehler gegen h (log-log-Plot), erhaltman verschiedene Steigungen
• Diese Steigungen zeigen r , also den Grad der verwendetenAnsatzfunktionen
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FE-Approximation
Gegeben sei das Poisson-Problem:
−∆u = f in Ωu = g auf Γ = ∂Ω
Gesucht sei
uh ∈ X 1h∫
Ω∆u ∆v dx =
∫Ω
f vh dx ∀v ∈ Vh
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Hier wurde anhand der exakten Losungu(x , y) = sin(2 ∗ π ∗ x)cos(2 ∗ π ∗ y) gelost
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• Wechseln wir nun zum Programm FreeFEM
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Quellen
• A. Quarteroni: Numerical Models for DifferentialProblems, 2nd Ed., Springer-Verlag Italia 2014
• Einfuhrungsvortrag Dr. Steffen Weißer (ein Blick uber denTellerrand ... mit FreeFem++)
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Zusammenfassung
• Approximation von Problemen mit der Galerkin-Methode• Zerlegung des Intervalls (1D) oder der Flache(2D) in
Teilstucke der Breite h• Stuckweise Aufstellen durch Basisfunktionen der Ordnung
r• Durchfuhrung und Visualisierung der Approximation durch
FreeFEM• Berechnen des Fehlers mit eigenem Programm
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