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MATHEMATIK
GRUNDWISSEN
7. KLASSE
LESSING-GYMNASIUM
NEU-ULM
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
I. ALGEBRA
1. Terme
1.1 Begriff
Terme sind sinnvolle Zusammenstellungen aus Zahlen, Platzhaltern (= Variablen), Rechenzeichen und
Klammern.
Beispiele: a) 7⋅25–36 :84
b) 4⋅233⋅52–12:0,3
c) T x =7⋅x2 –3⋅x –8
d) T a;b =8⋅a⋅b2–5⋅ab
Der Malpunkt vor einer Variablen oder vor einer Klammer darf weggelassen werden.
Die Definitionsmenge D eines Terms bilden alle Zahlen aus der Grundmenge G, die beim Einsetzen
einen Ausdruck liefern, dessen Wert berechnet werden kann.
Beispiele: a) T x =x24: x−2; G=ℚ; D=ℚ∖ {2}
b) T x =25 x1x x2−9
; G=ℚ; D=ℚ∖ {0;3 ;−3 }
1.2 Berechnung von Termwerten
Werden die in einem Term auftretenden Variablen durch Zahlen aus der Definitionsmenge ersetzt, so
kann der Wert des Terms berechnet werden.
Beispiele: a) T a = 4a² – 5 a1T 3 = 4⋅32 – 5⋅3 1
= 4⋅9− 5⋅4= 36 − 20= 16
b) T x ; y = 8xy² 2x : y−2T 2;3 = 8⋅2⋅32 2⋅2 :3– 2
= 16⋅9 4 : 1= 144 4= 148
T 4;−2 = 8⋅4⋅−222⋅4: −2–2= 32⋅4 8 : −4 = 128 – 2= 126
Tritt in einem Term dieselbe Variable mehrmals auf, so muss für sie dieselbe Zahl eingesetzt werden.
Die Art eines Terms wird durch diejenige Rechenart bestimmt, die bei der Berechnung des Termwerts
zuletzt ausgeführt wird.
Beispielsweise ist der Term T x =7⋅12 – 3 x : 4 eine Differenz, da als letzte Rechenart eine
Subtraktion ausgeführt wird.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 3/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.3 Aufstellen von Termen
Vorgehensweise:
(1) Lege die Variable(n) fest
(2) Drücke eventuell weitere Größen durch die Variable(n) aus
(3) Suche nach Zusammenhängen oder Gesetzmäßigkeiten
(4) Stelle den Term auf
Beispiele:
a) Vom vierfachen Quadrat einer Zahl wird 18 subtrahiert und das Ergebnis durch die Summe
der Zahlen 12 und 15 dividiert.
4⋅x2−18 :1215
b) Echternacher Springprozession
Bei der Echternacher Springprozession bewegen sich die Teilnehmer rhythmisch jeweils drei
Schritte nach vorn und zwei Schritte zurück. Die Schritte nach vorn sind etwas länger als die
Schritte zurück. Ermittle, welchen Weg ein Pilger nach 5 Schritten zurückgelegt hat.
Vorwärtsschritt: Länge a
Rückwärtsschritt: Länge b
Summe von 5 Schritten: 3⋅a –2⋅b
c) Aus einem 1,2m langen Draht werden verschiedene Rechtecke geformt. Gib einen Term für
den Flächeninhalt der Rechtecke an.
Länge des Rechtecks: x
Umfang des Rechtecks: 2⋅x2⋅b = 1,2m
Breite des Rechtecks: b=0,6m– x
Flächeninhalt: Ax =x⋅0,6m−x
d) n Würfel mit der Kantenlänge a werden so zusammengeklebt, dass ein Quader entsteht. Gib
einen Term für die Oberfläche des Quaders an.
Länge des Quaders: n⋅a
Breite des Quaders: a
Höhe des Quaders: a
O n; a = 4⋅na⋅a2⋅a2 = 4na22a2
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 4/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
e) Eine Telefongesellschaft macht folgende Angebote:
A: Bei einer monatlichen Grundgebühr von 4,50€ kostet die Gesprächsminute 15 Cent.
B: Bei einer monatl. Grundgebühr von 7,50 € sind 20 Minuten frei, danach werden 20 Cent
pro Minute abgerechnet.
Stelle Terme für die Gesamtkosten auf und entscheide, welches Angebot günstiger ist.
Aufstellen der Terme:
A: TA x =4,50 €0,15€⋅x; x ist die Gesprächsdauer in Minuten; x0
B: TB x =7,50 €0,2 €⋅x – 20; x20
TB x =7,50€ f. x20
Wertetabelle:
Einsetzen verschiedener Werte für x liefert eine Wertetabelle für beide Terme:
x 0 10 20 30 40 50
TA(x) 4,50 6,00 7,50 9,00 10,50 12,00
TB(x) 7,50 7,50 7,50 9,50 11,50 13,50
Es zeigt sich, dass Tarif A günstiger ist; die Kosten sind für verschiedene Gesprächsdauern
kleiner oder gleich denen von Tarif B.
Darstellung in einem Diagramm:
Die Ergebnisse, die in die Wertetabelle
eingetragen wurden, können in einem
Diagramm veranschaulicht werden:
Alle Punkte, die zu Tarif A gehören, liegen
im Diagramm unterhalb derer von B (bzw.
sie sind für x = 20 Minuten identisch),
damit zeigt sich wieder, dass Tarif A
günstiger ist.
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0 10 20 30 40 50 600
2
4
6
8
10
12
14
16
Tarif A Tarif B
Gesprächsdauer in Minuten
Kos
ten
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.4 Umformung von Termen
1.4.1 Äquivalente Terme
Zwei Terme heißen äquivalent oder gleichwertig in der Menge G, wenn sie für jede Belegung der
Variablen den gleichen Wert liefern.
Beispiele:
T1(x) = 3(x+5) – 2x und
T2(x) = x + 15 sind äquivalent in G=ℚ
T3(x) = (x+1)² und
T4(x) = x² + 1 sind nicht in äquivalent in G=ℚ ,
da z.B. T3(1) = (1 + 1)² = 4,
aber T4(1) = 1²+1 = 2
T5(x;y) = 3x – 7(y – x) und
T6(x;y) = 10x – 7y sind äquivalent in G=ℚ
T7(a;b) = (a – b)² und
T8(a;b) = a² + b² sind nicht in äquivalent in G=ℚ ,
da z.B. T7(1;1) = (1 – 1)² = 0,
aber T8(1;1) = 1² + 1² = 2
1.4.2 Zusammenfassen gleichartiger Terme
Terme heißen gleichartig, wenn sie dieselben Variablen in jeweils gleicher Potenz besitzen.
Beispiele: 5x²y³ und 8x²y³ sind gleichartig,
5x²y und 8xy² sind nicht gleichartig.
Gleichartige Terme werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Koeffizienten addiert bzw.
subtrahiert. Die Variablen bleiben unverändert.
Beispiele:
a) 3x – 7x – 2x = – 6x
b) 5a + 3b – 2a – 8b = 3a – 5b
c) 2x² – 4x – 6x² – 5x = – 4x² – 9x
d) 3,2ab² + 8ab – 2a²b – 4,5ab – 1,7ab² – 4a²b = 1,5ab² + 3,5ab – 6a²b
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.4.3 Umformen von Produkten
a) Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz
Kommutativgesetz: a⋅b=b⋅a
In einem Produkt dürfen die Faktoren vertauscht werden.
Assoziativgesetz: a⋅b⋅c =a⋅b⋅c=a⋅b⋅c
In einem Produkt dürfen Klammern gesetzt oder weggelassen
werden.
Beispiele:
a) 3a2b⋅2ab3=3⋅2⋅a2⋅a⋅b⋅b3=6a3 b4
b) −2xy⋅−4xy2⋅3x4 =−2⋅−4⋅3⋅x⋅x⋅x 4⋅y⋅y2 = 24x6 y3
c) 4a2b32=4a2 b34a2 b3 =4⋅4⋅a2⋅a2⋅b3⋅b3=16a4b6
b) Rechenregeln für Potenzen
◦ Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis
z.B.: x 3⋅x4=x7
a2⋅a3=a5
an⋅am=anm; a∈ℚ; n,m∈ℕ
◦ Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten
z.B.: x 2⋅y2=x⋅x ⋅y⋅y =x⋅y ⋅x⋅y =x⋅y 2
a3⋅b3=a⋅a⋅a⋅b⋅b⋅b=a⋅b 3
a⋅b n=an⋅bn ; a ,b∈ℚ ; n∈ℕ
◦ Potenzieren von Potenzen
z.B.: a23=a2⋅a2⋅a2=a6
x 42=x4⋅x4=x8
anm=an⋅m ; a∈ℚ ; n ,m∈ℕ
Es gilt (–a)n = an , falls n gerade, a∈ℚ
(–a)n = – an , falls n ungerade
z.B.:
(–2)4 = 24 = 16 ;
(–2)³ = –2³ = –8
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.4.4 Auflösen von Klammern
Anwendung des Distributivgesetzes:a⋅bc=a⋅ba⋅c ; a,b ,c∈ℚ
Beispiele:
a) 2x(3y-4z) = 6xy – 8xz
b) 7a²(a³ + 2a – 1) = 7a5 + 14a3 – 7a2
c) 5ab (2a² – 3b) = 10 a³b – 15ab²
d) –4x(2x – 7 + 3y) = –8x² + 28x – 12xy
Speziell gilt:
Steht ein Pluszeichen vor der Klammer, so kann die Klammer weggelassen werden:
a + (b + c) = a + b + c
a + (b – c) = a + b – c
Beispiele:
a) 4a + (5b – 3a) = 4a + 5b – 3a = a + 5b
b) 2x + (4y – 8x) = 2x + 4y – 8x = 4y – 6x
Wegen a – bc=a−1⋅bc =a−b –c =a –b– c gilt:
Steht ein Minuszeichen vor der Klammer, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen in
der Klammer geändert werden:
a – (b + c) = a – b – c
a – (b – c) = a – b + c ; a ,b , c ∈ℚ
Beispiele:
a) 3x – (2x + 5y) = 3x – 2x – 5y = x – 5y
b) 8a – (6a – 7b) = 8a – 6a + 7b = 2a + 7b
c) 2a(a – 3b) – 3b(2a – b) = 2a² – 6ab – 6ba + 3b² = 2a² – 12ab + 3b²
d) 3x(5x – (2x + 4y)) – 2y(y – 6x) =
3x(5x – 2x – 4y) – 2y² + 12xy =
3x(3x – 4y) – 2y² + 12xy =
9x² – 12xy – 2y² + 12xy =
9x² – 2y²
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.4.5 Multiplizieren von Summen
Anwendung des Distributivgesetzes a⋅cd=a⋅ca⋅d liefert:
(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd ; a ,b , c ,d∈ℚ
Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der ersten Summe mit jedem
Glied der zweiten Summe unter Berücksichtigung der Vorzeichen multipliziert und die Produkte
addiert.
Beispiele: a) (2x + 3y)(3x – 5y) = 6x² – 10xy + 9xy – 15y² = 6x² – xy – 15y²
b) (4a – 2b)(a – 3b) = 4a² – 12ab – 2ab + 6b² = 4a² – 14ab + 6b²
c) (x – 2)(x + 3)(2x – 1) = (x² + 3x – 2x – 6)(2x – 1) = (x² + x – 6)(2x – 1) =
= 2x³ – x² + 2x² – x – 12x +6 = 2x³ + x² – 13x + 6
Durch Ausmultiplizieren ergeben sich die nützlichen
Binomischen Formeln:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b² ; a ,b∈ℚ
Beispiele: a) (2x² + 3y)² = 4x4 + 12x²y + 9y²
b) (4a – 5b)² = 16a² – 40ab + 25b²
c) (8r + 3s)(8r – 3s) = 64r² – 9s²
1.4.6 Faktorisieren von Termen
Die Umformung einer Summe in ein Produkt bezeichnet man als Faktorisieren. Enthält in einer Summe
jeder Summand den gleichen Faktor, so kann dieser gemeinsame Faktor ausgeklammert werden:
a⋅ba⋅c=a⋅bc Distributivgesetz
Beispiele: a) 8x + 12y = 4(2x + 3y)
b) 2x²y – 4xy² = 2xy(x – 2y)
c) 3ab² – ab = ab(3b – 1)
d) 4a(x + y) + 3b(x + y) = (x + y)(4a + 3b)
e) 2a(x – y) + b(y – x) = 2a(x – y) – b(x – y) = (x – y)(2a – b)
Zum Faktorisieren von Termen ist neben dem Ausklammern häufig die Anwendung der binomischen
Formeln erforderlich.
Beispiele: a) 4a² + 4ab + b² = (2a + b)²
b) 25x² – 16y² = (5x – 4y)(5x + 4y)
c) 64x² – 16x + 1 = (8x – 1)²
d) 3a² – 6ab + 3b² = 3(a² – 2ab + b²) = 3(a – b)²
e) 18x4 – 2x² = 2x²(9x² – 1) = 2x²(3x – 1)(3x + 1)
f) 8x5y – 24x³y² + 18xy³ = 2xy(4x4 – 12x²y + 9y²) = 2xy (2x² – 3y)²
g) 72a4b – 18a²b³ = 18a²b(4a² – b²) = 18a²b(2a – b)(2a + b)
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
2. Lineare Gleichungen
2.1 Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge besitzen.
z.B.: Die Gleichungen x + 7 = 12 und 2x – 3 = 7 sind äquivalent, da in der Grundmenge G=ℚ
beide die Lösungsmenge L = {5} besitzen.
Ändert sich bei einer Umformung einer Gleichung die Lösungsmenge nicht, so liegt eine
Äquivalenzumformung vor.
Eine Äquivalenzumformung liegt vor, wenn man
(1) auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl oder denselben Term addiert oder subtrahiert,
(2) beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ≠0 multipliziert oder durch dieselbe Zahl
≠0 dividiert.
2.2 Lösen von linearen Gleichungen
Vorgehensweise:
(1) Vereinfache beide Seiten so weit wie möglich (Klammern ausmultiplizieren, gleichartige
Terme zusammenfassen!)
(2) Führe Äquivalenzumformungen durch, so dass auf einer Seite nur ein Term mit x und auf der
anderen Seite kein x steht.
(3) Bestimme x durch geeignete Division oder Multiplikation.
(4) Gib die Lösungsmenge L an.
Beispiele:
a) 3x – 12 = x – 3 | – x ; G=ℚ
2x – 12 = – 3 | + 12
2x = 9 | : 2
x = 4,5
L = { 4,5 }
b) 8x – 3(5 – 2x)= 6(2x + 3) – 9 ; G=ℚ
8x – 15 + 6x = 12x + 18 – 9
14x – 15 = 12x + 9 | – 12x
2x – 15 = 9 | +15
2x = 24 |:2
x = 12
L = {12}
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 10/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
c) 2(x – 4)² = (2x + 5)(x – 6) + 35 ; G=ℚ
2(x² – 8x + 16) = 2x² – 12x + 5x – 30 + 35
2x² – 16x + 32 = 2x² – 7x + 5 | – 2x²
– 16x + 32 = – 7x + 5 | + 7x
– 9x + 32 = 5 | – 32
– 9x = – 27 | : (– 9)
x = 3
L = {3}
d) 21−12
x −3 x−13 = 0 ; G=ℚ
2 − x − 3x 1 = 03 − 4x = 0 ∣ −3−4x =−3 ∣:−4
x = 34
L = {34 }
e) x(x + 3) + 2 = (x + 4)(x – 1) + 6 ; G=ℚ
x² + 3x + 2 = x² – x + 4x – 4 + 6
x² + 3x + 2 = x² + 3x + 2 | – x²
3x + 2 = 3x + 2 | – 3x
2 = 2
L = ℚ
Eine Gleichung mit L=ℚ heißt allgemeingültig in der Grundmenge G.
f) (x – 2)(x + 6) = x(x + 4) + 2 ; G=ℚ
x² + 6x – 2x – 12 = x² + 4x + 2
x² + 4x – 12 = x² + 4x + 2 | – x²
4x – 12 = 4x + 2 | – 4x
– 12 = 2
L = { }
Eine Gleichung mit L = { } heißt unerfüllbar.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 11/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
2.3 Bearbeitung von Anwendungsaufgaben
Vorgehensweise:
(1) Variable (z.B. x) festlegen, evtl. andere Größen durch diese Variable ausdrücken
(2) Gleichung aufstellen
(3) Gleichung lösen
(4) Anhand der Aufgabenstellung überprüfen, ob das Ergebnis sinnvoll ist
(5) Antwort formulieren
Beispiele:
a) Der Umfang eines Rechtecks, dessen Breite um 6cm kleiner ist als die Länge, beträgt 60cm. Wie
lang und wie breit ist das Rechteck?
Länge in cm: x
Breite in cm: x – 6
2(x + x – 6) = 60
4x – 12 = 60 |+12
4x = 72 | :4
x = 18 (Länge in cm) => Breite in cm: x – 6 = 18 – 6 = 12
Das Rechteck ist 18cm lang und 12cm breit.
b) Die Summe von drei Zahlen, von denen die zweite um 7 kleiner ist als die erste und die dritte
dreimal so groß wie die zweite ist, ist 112.
1. Zahl: x
2. Zahl: x – 7
3. Zahl: 3⋅x –7
Summe: x + x – 7 + 3⋅ x –7 = 112
2x – 7 + 3x – 21 = 112
5x – 28 = 112 | + 28
5x = 140 | :5
x = 28 (1. Zahl) => 2. Zahl: x – 7 = 28 – 7 = 21;
=> 3. Zahl: 3⋅x –7=3⋅28−7=3⋅21=63
Die erste Zahl ist 28, die zweite 21 und die dritte 63.
c) Eine 4-köpfige Familie ist zusammen 140 Jahre alt. Der Sohn ist halb so alt wie die Mutter, die 5
Jahre jünger als der Vater ist. Die Tochter ist 3 Jahre jünger als ihr Bruder. Wie alt sind die Mitglieder
der Familie? Alter des Sohnes: x
Alter der Mutter: 2x
Alter des Vaters: 2x + 5
Alter der Tochter: x – 3
Summe: x + 2x + 2x + 5 + x – 3 = 140
6x + 2 = 140| – 2
6x = 138| : 6
x = 23 (Sohn) => Mutter: 2⋅23=46
=> Vater: 2⋅235=51
=> Tochter: 23 – 3 = 20
Der Sohn ist 23 Jahre, die Tochter 20 Jahre, die Mutter 46 Jahre und der Vater 51 Jahre alt.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 12/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
II. Daten, Diagramme und Prozentrechnung
1. Diagramme
Zur grafischen Darstellung von Daten können verschiedene Diagramme verwendet werden.
1.1 Säulendiagramm
z.B. Notenverteilung einer Schulaufgabe
1.2 Balkendiagramm
z.B.: täglicher Wasserverbrauch pro Person in Deutschland
1.3 Kreisdiagramm
z.B.: Sitzverteilung im Bundestag
1.4 Liniendiagramm
z.B. Temperaturverlauf während eines Tages
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 13/23
1 2 3 4 5 60
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Note
An
zah
l
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
Baden/Duschen Toilettenspülung Wäsche w aschen
Kochen/Trinken Sonstiges
CDU/CSU239
SPD146
FDP93
GRÜNE68
LINKE76
6 8 10 12 14 16 18 20 22 240
5
10
15
20
25
Zeit
Tem
pera
tur i
n °C
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
2. Das arithmetische Mittel
Den Mittelwert (das arithmetische Mittel) x einer Menge von Zahlen x1, x2, … , xn erhält man,
indem man die Summe der Zahlen durch ihre Anzahl dividiert.
x =x1x2…x n
n
Beispiel:
Notendurchschnitt bei einer Schulaufgabe
Note 1 2 3 4 5 6
Anzahl 2 5 9 6 2 1
Durchschnittswert: 1⋅22⋅53⋅94⋅65⋅26⋅1
25= 79
25= 3,16
3. Prozentrechnung
Grundgleichung der Prozentrechnung:
Prozentsatz⋅Grundwert = Prozentwert
Beispiele:
a) 3% von 75kg = 0,03⋅75kg = 2,25kg
b) Der Eintrittpreis für das Freibad wurde um 30 Cent auf 2,70€ erhöht. Um wie viel Prozent wurde
der Preis erhöht?
Grundwert: 2,40 €
Prozentwert: 0,30 €
Prozentsatz = ProzentwertGrundwert
= 0,30 €2,40 €
= 0,125 = 12,5 %
Der Eintrittspreis wurde um 12,5% erhöht.
c) Die Miete einer Wohnung wurde um 4% auf 780€ erhöht. Wie hoch war die Miete vorher?
104% vonx=780 €
1,04⋅x=780 € | :1,04
x=780 €1,04
=750 €
Die Miete betrug vorher 750 € .
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 14/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
III. Geometrie
1. Symmetrie
1.1 Achsensymmetrie
Definition:
Lässt sich eine Figur so falten, dass beide Teile zur Deckung kommen, so heißt
diese achsensymmetrisch. Die Faltlinie nennt man Symmetrieachse.
Zwei Figuren, die durch Spiegelung an einer Achse a ineinander
übergehen, heißen achsensymmetrisch bezüglich der Achse a.
1.1.1 Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren
• Die Verbindungsstrecke zweier symmetrischer Punkte A und A´ steht immer senkrecht auf
der Achse a. Sie wird von dieser stets rechtwinklig halbiert.
• Zueinander symmetrische Winkel bzw. Strecken sind gleich groß.
• Der Umlaufsinn der Winkel verändert sich.
• Punkte auf der Achse heißen Fixpunkte. Nur diese Punkte haben von dem Punkt A und dem
Bildpunkt A' die gleiche Entfernung.
• Zueinander symmetrische Geraden schneiden einander auf der Symmetrieachse oder sind zu
ihr parallel.
1.1.2 Konstruktion von Spiegelpunkten und Symmetrieachse
a) Konstruktion zueinander symmetrischer Punkte
Geg.: P, a
Ges: P'
Konstruktion:
• Auswahl eines beliebigen Achsenpunktes A. Kreis kA um A durch P.
• Auswahl eines zweiten Achsenpunktes B. Kreis kB um B durch P.
• kA∩ kB={P '}
b) Konstruktion der Symmetrieachse
Geg.: P, P'
Ges.: a
Konstruktion:
• Kreis um P mit Radius r > 0,5 PP' .
• Kreis um P' mit demselben Radius.
• Die Schnittpunkte der Kreise legen die Achse a fest.
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 15/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.1.3 Grundkonstruktionen
a) Mittelsenkrechte einer Strecke
Konstruiere die Symmetrieachse zu den beiden Endpunkten A und B der
Strecke.
b) Ein Lot errichten
Geg.: Gerade g, Punkt P∈g .
Konstruktionsbeschreibung:
• Finde zwei Punkte A und B auf g, die von P den gleichen Abstand haben:
Kreis um P, dieser schneidet g in A und B.
• Konstruiere die Symmetrieachse a zu diesen beiden Punkten.
• a ist das Lot zu g: g⊥a
c) Ein Lot fällen
Geg.: Gerade g, Punkt P∉g .
Konstruktionsbeschreibung:
• Kreis um P schneidet g in A und B.
• Konstruiere die Symmetrieachse zu den Punkten A und B.
d) Winkelhalbierende
Geg.: Winkel αKonstruktionsbeschreibung:
• Finde zwei Punkte A und B auf den Schenkeln, die
vom Scheitel S den gleichen Abstand haben: Kreis
um S.
• Konstruiere die Symmetrieachse w zu diesen
beiden Punkten.
• w ist die Winkelhalbierende von α.
• Beachte: S muss natürlich Fixpunkt sein, d.h. auf
der Winkelhalbierenden w liegen.
e) Konstruktion einer Parallelen
Geg.: Gerade g und Punkt P
Konstruktionsbeschreibung:
• Fälle das Lot l von P auf g
• Errichte das Lot h zu l in P
• h ist die Parallele
zu g durch P
Lessing-Gymnasium Neu-Ulm 16/23
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.2 Punktsymmetrie
Eine Figur heißt punktsymmetrisch, wenn man sie so um 180 ° um einen Punkt Z
(Symmetriezentrum) drehen kann, dass diese mit sich selbst zur Deckung kommt.
Zwei Figuren heißen punktsymmetrisch zum Zentrum Z, wenn sie
durch Drehung um 180° um den Punkt Z ineinander überführt
werden können.
Dieser Drehung um 180° entspricht eine Punktspiegelung an einem Punkt Z (Spiegelzentrum).
1.2.1 Eigenschaften punktsymmetrischer Figuren
• Punkt, Bildpunkt und Zentrum liegen auf einer Geraden.
• Punkt und Bildpunkt liegen auf einem Kreis um Z.
• Zueinander punktsymmetrische Strecken/Halbgeraden/
Geraden sind parallel
• Zueinander symmetrische Strecken gleich lang.
• Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß und haben
denselben Umlaufsinn.
1.2.2 Konstruktionen zur Punktsymmetrie
a) Konstruktion des Bildpunktes
Geg.: P, Z
Ges.: P'
Konstruktion:
• Gerade PZ
• Kreis k(Z; r = PZ )
• PZ ∩ k={P '}
b) Konstruktion des Symmetriezentrums
Geg.: P, P'
Ges.: Z
Konstruktion:
• Konstruiere die Symmetrieachse m von P und P'
• m ∩ PP'={Z}
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Q
P Q'
P'
R Z
R'
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
1.3 Symmetrische Vierecke
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Rechteck- vier rechte Winkel- zwei Symmetrieachsen- Punktsymmetrie- Diagonalen halbieren sich
Parallelogramm- Punktsymmetrie- gegenüberliegende Seiten gleich lang- Diagonalen halbieren sich
Drachenviereck- eine Symmetrieachse- Diagonalen stehen senkrecht aufeinander
Raute- alle Seiten gleich lang- Punkt- und Achsensymmetrie- Diagonalen halbieren sich und stehen senkrecht aufeinander
Quadrat- vier Symmetrieachsen
Gleichschenkliges Trapez- Achsensymmetrie- Diagonalen gleich lang
Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
2. Winkelbetrachtungen
2.1 Winkel an Geradenkreuzungen
• α und β heißen Nebenwinkel. Nebenwinkel haben
einen Schenkel gemeinsam und ergänzen sich zu
180°: α + β= 180°
• α und γ heißen Scheitelwinkel. Scheitelwinkel haben nur
den Scheitel gemeinsam und sind gleich groß.
2.2 Winkel an Doppelkreuzungen
Stufenwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = α2).
Sind an einer Doppelkreuzung die Stufenwinkel gleich groß, so sind die
entsprechenden Geraden parallel.
Wechselwinkel an parallelen Geraden sind stets gleich groß (α1 = γ2).
Sind an einer Doppelkreuzung die Wechselwinkel gleich groß, so sind die
entsprechenden Geraden parallel.
2.3 Winkelsumme im Dreieck
α, β und γ heißen die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
α*, β* und γ* heißen die Außenwinkel des Dreiecks ABC.
Es gilt:
Die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt stets 180°.
Die Summe der Außenwinkel an einem Dreieck beträgt stets 360°.
2.4 Winkelsumme im Vieleck
Die Winkelsumme im 4-Eck beträgt 360°.
Die Winkelsumme im 5-Eck beträgt 540°.
....
Die Winkelsumme im n-Eck beträgt (n – 2)·360°.
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3. Besondere Linien im Dreieck
3.1 Mittelsenkrechte und Umkreis
Auf der Mittelsenkrechten einer Strecke [AB] liegen alle
Punkte, die von A und B die gleiche Entfernung besitzen.
Die Mittelsenkrechten halbieren die Seiten des Dreiecks
rechtwinklig. Sie schneiden sich im Mittelpunkt U des
Umkreises, dem Umkreismittelpunkt.
3.2 Winkelhalbierende
Ein Punkt P liegt genau dann auf einer Winkelhalbierenden
zweier sich schneidender Geraden, wenn er von beiden
Geraden gleichen Abstand hat.
Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt I.
3.3 Höhen
Fällt man ein Lot von einer Ecke des Dreiecks auf
die gegenüberliegende Seite, so erhält man eine
Höhe des Dreiecks. Alle drei Höhen (oder deren
Verlängerungen außerhalb des Dreiecks) schneiden
sich im Höhenschnittpunkt H.
3.4 Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierende verbindet die Seitenmitte
mit der gegenüberliegenden Ecke. Alle
Seitenhalbierenden schneiden sich im Schwerpunkt des Dreiecks.
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4. Kongruenz und Dreiecke
4.1 Kongruente Figuren
Definition:
Zwei deckungsgleiche Figuren F1 und F2 nennt man kongruent.
Man schreibt F1≃F2 .
Kongruente Figuren stimmen in Form und Größe überein.
Beispiel: A1 B1 C1≃ A2 B2 C2
4.2 Kongruenzsätze
Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie:
- in allen drei Seiten (sss),
- in zwei Seiten und dem dazwischen liegenden Winkel (sws),
- in zwei Winkeln und der dazwischen liegenden Seite (wsw),
- in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel (Ssw)
übereinstimmen.
Es gilt:
Ein Dreieck ist eindeutig konstruierbar,
wenn drei einem Kongruenzsatz entsprechende Stücke gegeben sind.
4.3 Besondere Dreiecke
4.3.1 Das gleichschenklige Dreieck
Gleichschenklige Dreiecke
- haben zwei gleich lange Seiten (Schenkel) und eine Basis.
- haben zwei gleich große Winkel (Basiswinkel) und einen Winkel an
der Spitze.
- sind achsensymmetrisch, d.h. die Höhe auf die Basis halbiert diese.
4.3.2 Das gleichseitige Dreieck
Gleichseitige Dreiecke
- haben drei gleich lange Seiten.
- haben drei gleich große Winkel (60°).
- haben drei Symmetrieachsen, die sich alle in einem Punkt schneiden.
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
4.3.3 Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck mit einem rechten Winkel heißt rechtwinkliges Dreieck.
- Der rechte Winkel ist stets der größte Winkel in einem rechtwinkligen
Dreieck.
- Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse,
- die dem rechten Winkel anliegenden Seiten nennt man die Katheten.
4.4 Satz des Thales
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel,
wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB] liegt.
4.5 Kreis und Gerade
4.5.1 Bezeichnungen
Definition:
- Eine Tangente berührt den Kreis in einem Punkt B
(Berührpunkt).
- Eine Sekante schneidet den Kreis in zwei Punkten A
und B.
- Die Strecke [AB] heißt Sehne.
- Eine Passante schneidet den Kreis in keinem Punkt.
4.5.2 Tangentenkonstruktionen
a) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P∈k
Die Tangente steht senkrecht auf dem Kreisradius.
Deshalb:
Errichte in P ein Lot auf MP.
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Grundwissen 7. Jahrgangsstufe
b) Konstruktion der Tangente an k durch einen Punkt P∉k
• Konstruiere den Thaleskreis kT über
[MP].
• k∩k T={B1 ,B2}
4.6 Dreieckskonstruktionen
Bei der Konstruktion von Dreiecken wird üblicherweise nach folgendem Schema vorgegangen:
1. Zeichne zuerst eine Planfigur (Skizze), in der die gegebenen Angaben farbig markiert werden.
2. Nach Überlegung anhand der Planfigur erstellt man einen Konstruktionsplan, in welchem die
einzelnen Konstruktionsschritte genau aufgegliedert sind.
3. Zuletzt führt man die Konstruktion mit Hilfe des Konstruktionsplanes in Originalgröße nur mit
Zirkel und Lineal durch.
Beispiel: Konstruiere ein Dreieck ABC mit a = 4,5 cm, c = 7cm und hc = 4cm
Planfigur:
Konstruktionsplan:
• A und B sind durch AB=7cm gegeben.
• C liegt 1. auf der Parallelen zu AB im Abstand hc = 4cm
2. auf dem Kreis k um B mit Radius a
• Zwei Lösungen!
Konstruktion:
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