Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einführunganiem/dyd-zips/BM3-1-Intro-hypo.pdf · 2019-02-14 ·...

Hypoplastische Stoffgesetze - eine Einfuhrung

A. Niemunis und F. PradaIBF-Karlsruhe

Viskositat, Teilsattigung und Zyklik10. Januar 2019

Inhalt der Vorlesung (1)

I Hypoplastische Stoffgesetze

I Hypoplastizitat mit zyklischer Belastung 3D + iD

I Visko-hypoplastizitat, Setzung eines Damms

I Kriechhange mit Verdubelung

I Pseudo-Kriechen der Boden unter zyklischen Belastung

I Hochzyklisches Modell fur Pseudo-Kriechen

I Naturliche Boden

I Phanomen der Scherlokalisierung

I Verflussigungspotential

I Setzungen, Sackungen, großflachige Setzungen

I Sondierungen, Penetration, Kontaktmechanik

I Teilsattigung Hydraulik + Mechanik

I Teilsattigung Numerik

Elastoplastizitat (EP) (2)

Konventionelle bodenmechanische Berechnungen:

I Setzungsberechnung: Boden ist elastischε

z.B. in der Formel s = σ1− ν2

L+ B ln

]mit R =

√L2 + B2 nach

Steinbrenner

I Tragfahigkeit: Boden ist starr ideal-plastischε

z.B. in den Grundbruchformeln σ = (2 + π)c oder σ =c

(1 + sinϕ

1− sinϕeπ tanϕ − 1

)nach Prandtl (Zonenbruch)

I Daraus Elastoplastizitatε

0 fur σε > 0 und |σ| = Ty

Eε fur andere Falle

oderT =

0 fur TD > 0 und |T | = Ty

Eε sonst

Elastoplastizitat (EP) (3)

EP beschreibt die Spannungsrate T (T,D) und nicht dieSpannung T (ε){

T = 0 fur TD > 0 und |T | = Ty

T = ED sonst

mit D =dε

dtund T =

Pfadabhangigkeit

T( )?Ende

εT( )?Ende

ε Ende

In der numerischen Berechnung erfordert EP eine inkrementelle Form:

∆T = E∆ε

und erst eine Zeitintegration T t+∆t = T t + ∆T , εt+∆t = εt + ∆ε ergibtT (ε(t)) (T ist ein pfadabhangiges Funktional von ε(t) und keine Funktion).

elastisch T = E D plastisch T = 0

|T | < Ty oder |T | = Ty und

T D < 0 T D > 0

Die Integrierte T (ε)-Kurve ist zu

“kantig” /Die Dilatanzeffekte sind schwerreproduzierbar (Rowe 1961) /

Nichtlineare Elastizitat (4)

Inkrementelle (Hypo-) Elastizitat

T = ED wobei E =

(|T |Ty

)n]Emax

ist fur Boden nicht geeignet.

T = Ty

T = -Ty

E(T)1soll

ist ε

NL-Elastizitat ergibt zwar glatte Spannung-Dehnungs-Kurven, versagt aberbei Entlastung, da die Spannungs-Dehnung-Hysterese nicht modelliertwerden kann.

Hypoelastizitat ist integrierbar , z.B.solu=DSolve[{T’[e]== 100(1-(T[e] /10)^2), T[0]==0}, T[e] ,e][[1]];

Plot[T[e] /. solu, {e, -1, 1}]

“Bilineare” Elastizitat (5)

“Bilineare” inkrementelle Elastizitat z.B. Davies & Mullenger, 1978

ED fur TD > 0

EmaxD fur TD < 0

mit E =

(|T |Ty

)n]Emax

NL-elastisch fur Belastung TD > 0L-elastisch fur Entlastung TD < 0

E = Emax

Kontinuitatsbedingung verletzt daher ist das Stoffgesetz unbrauchbar /

Problem mit der“bilinearen” Elastizitat (6)

Kontinuitatsbedingung im 3D Fall: Definition der Belastung.

E : D fur n : E : D > 0 = Bel.

Emax : D fur n : Emax : D < 0 = Entl.

mit E =

)n]Emax und n = n(T)

Fließkrit: f(T)−Ty = 0 Be-lastung: n : E : D > 0

Bel.-richtung ndef=

]→Belastung

Belastung Belastung Belastung

affine Flächen

Grafische Darstellung eines Stoffgesetzes (7)

Das Stoffgesetz ∆T = f(D∆t) nimmt die Dehnungsinkremente D∆t undbildet sie zu den Spannungsinkrementen (T−T0) ab.

Abbildung =konstitutive Gleichung

DehnungsraumSpannungsraum

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

= isotrope Kompression= isotrope Extension

So wird die Kugel ‖D∆t‖ = r zur Antwortspolare ‖f−1(T−T0)‖ = r imSpannungsraum abgebildet.

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

Spannungspfad

Dehnungspfad

T tt ΔΔ

Antwortspolaren - numerisches Beispiel (7+)Needs["Tensor‘bnova‘"]

elUpdate[state_, de_, params_] := Module[{T, dT, eps},

{T, eps} = state[[1 ;; 2]]; m = normalized[T + dev[T]] ;

dT = iEVermeer[T, params]~colon~( de - m *0.3*Sqrt[(de ~colon~de)]);

{T + dT, eps + de, dT, de}];

T = -100*DiagonalMatrix[{3, 1, 1}]; eps = 0*delta ; state = {T, eps };

params = {75000, 200, 0.3 } ;

stressResponsePQ[elUpdate, {T, eps}, params]

stressResponse3D[elUpdate, {T, eps}, params]

200 200 400

Diskontinuitat der ”bilinearen” Elastizitat (8)

f( ) = 0

Instabilität: infinitesimal kleine Abweichung in verursacht finite Änderung in

Instabilität

“bilineare” Elastizität

Diskontinuitat beim Uberqueren der neutralen Richtung /Die Operatoren der Be- und Entlastung sollen fur neutrale Dehnung (furdie n : E : D = 0 gilt) die gleiche Antworten T geben!

Die Antwort aus der Elastoplastizitat oder

Hypoplastizitat ist stetig! ,Konkavitat ist kein Problem

Antwortspolare elast.

e.-plast.

konkav

Antwortspolaren - fur MCC (9)Masin & Gudehus, Geotechnique 2007 Dolezalova, Proceed. Modern Approaches to Plasticity,Horton, 1991.

Antwortspolaren im Dehnungsraum (10)

Tamagnini,Masin,Constanzo,Viggiani, Proceed. Modern Trends in Geomechanics, 2006

Ubung aus 3d-responses-All.nb: Antwortspolaren aus der Hypoplastizitat.

Versuche Karlsruhe Sand

εP [10-4]

ε Q [1

100 200 300 400 500 600

P (kPa)

ExperimentHyperelasticity UC

ICUEIE

Dehnungsrosetten an 23 Spannungen E.Espino und L.Knittel, IBF 2015

Experimentell schwierig (lokale Messung der Verformung)

Mehrflachen-EP als parallele Kopplung (11 )

back stress α = T1 - T2

Spannung T1

Spannung T2

Ges.SpannungT=T1+T2

Mehrflachenplastizitat =

Geglatteter Ubergang vonElastizitat zu Plastizitat:

I Gemeinsame Dehnungsrate Dk = D mit k = 1, 2, . . .

I Identische, elastische Steifigkeiten E fur Tk = E Dk

I Unterschiedliche Festigkeiten Rk bei Festigkeitskriteria |Tk| ≤ RkI Partiellen Spannungen konnen unterschiedlich sein. Sie werden

summiert T =∑nk=1 Tk

I α = ”Back stress” = Mittelpunkt des elastischen Bereiches.

I Die parallele Kopplung ergibt eine ”kinematische Verfestigung” :α wird verschoben.

Mehrflachenmodelle (Mroz- oder Overlay Modell) (12)

I Guter T − ε Verlauf und gute Hysterese (Masing Regel) ,I Komplizierte Strukturspannungen (=’back stresses’) notig /I Kontraktanz ist zu klein (da die Entlastung vorwiegend elastisch ist-).

Reparatur ist kompliziert, z.B. mit der sog. Degradationsflache. /

Hypoplastizitat (HP) (13)

Die HP liefert glatte Spannungs-Dehnung-Kurven mit Hysterese und bleibt

dabei sehr einfach , (HP - Kolymbas 1978; CLoE - Chambon 1996, Endochrone Theorie

- Valanis 1971)

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) mit m = sign(T ) = ±1

Sonderfalle a,b,c,d:

2 4 6 8

Fur E = 100 MPa, n = 1.5 und D in [%/h]

a) T = Ty , D = 1 dh. m = 1 und

T = E(1− 1 |1|1.5 |1|) = 0

b) T = −Ty , D = −1 dh. m = −1 und

T = E(−1− (−1) |−1|1.5 |−1|) = 0

c) T = 13Ty , D = 1 dh. m = 1 und

T = E(1− 1∣∣ 13

∣∣1.5 |1|) = 810 kPa/h

d) T = Ty , D = −1 dh. m = 1 und

T = E(−1− 1 |1|1.5 |−1|) = −2000 kPa/h

U: 1D-HP mit Mathematica : Rechenteil (17)Bezeichnungen:mat = {EE ,smax, n } = E, σmax, n{s1, e1, de, ds } = σ, ε,∆ε,∆σunknown = entweder ∆ε oder ∆σunapprox = Pradiktor fur {unknown, e1, s1 } fur implizite Zeitintegration.

states ={{σ, ε}1 , {σ, ε}2 , . . .

}Liste mit Zustandsgroßen = Pfad

increment[mat_, loading_]:= Module[{EE,smax,n,e0,e1,s0,s1,de,ds,eq1,eq2,eq3,unknown,unapprox},

{EE, smax, n} = mat;

{e0, s0} = Last[states];(*states is a global variable,

to be initialized outside*){de, ds} = loading;

eq1 = s0 + ds == s1;

eq2 = e0 + de == e1;

eq3 = ds == EE (de - Sign[s1]*Abs[s1/smax]^n Abs[de]);

unknown = Select[{de, ds}, ! NumberQ[#] &][[1]];

unapprox = {{unknown, 0}, {e1, e0}, {s1, s0}};

solution = FindRoot[{eq1, eq2, eq3}, unapprox , AccuracyGoal -> 5] ;

Evaluate[{e1, s1} /. solution] // N

step[mat_, loading_, ninc_] := Do[AppendTo[states, increment[mat, loading]], {iinc, 1, ninc}];

mat = {EE = 1000, smax = 10, n = 1};

states = {{0, 0}};

1D-HP mit Mathematica : GUI (18)Simulation des Odometerversuchs im Kompressionsdiagramm

controlPanel[] := Module[{},

Manipulate[

ListPlot[ states[[All, 1 ;; 2]],Joined -> True,

PlotMarkers -> Automatic, AxesLabel -> {\[Epsilon],\[Sigma]}],

"Loading step consists of:", {{ninc, xninc}},

"increments consisting of", {{de, xde}}, {{ds, xds}}, "each",

Delimiter,

Button["Calculate step",

step[mat, {de, ds}, ninc];],

Button["Undo step",

If[Length[states]>= 2+ninc,states= Drop[states,-ninc],states={First[states]}];],

Button["Reset the initial state",

states = {states[[1]]}; ninc = xninc; de = xde; ds = xds; ]

] (*manipulate*)

] ; (*module*)

controlPanel[]

HP: alte und neue Schreibweise (13b)

I Alt T = LD +N |D|, neu T = E

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|)

I Spannungsrate T =dT

dt, Dehnungsrate D =

I Fließbedingung (folgt aus T = 0 bei D 6= 0)∣∣∣∣NL∣∣∣∣ = 1 oder

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣ = 1 oder |T | = Ty

I Fließregel (folgt ebenfalls aus T = 0 bei D 6= 0)

~D = sign(−N/L) oder ~D = m

I Parameter:

I Steifigkeit L = EI max. Spannung Ty

I neuer Exponent n

HP mit einem Exponenten (13b)

(D −m

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n |D|) n beeinflusst die Krummung

Bei n→∞ und E →∞ erhalten wir St.-Venant Korper

2 4 6 8

E12 4 6 8

Leider kann die HP nicht zwischen derErst- und Wiederbelastung unterscheiden

/.Das Problem heißt ”Ratcheting”

Sperrklinkeε

Endochrone Theorie (13a)

Die innere Zeit z ist die Lange des Dehnungsphades, dz = |ε|dt (Valanis 1971)

Die Spannung T wird als Integral (mit Kernfunktion K) formuliert:

T (z) =

K(z, τ)dε(τ)

dτdτ mit K(z, τ) = Ee−b(z−τ) (1)

wobei τ ein Parameter analog zu z ist, d.h. dτ = |ε|dt.

-b(z- )

τ = zτ

Die Kernfunktion K(z, τ)/E = e−b(z−τ) beschreibt einen ruckwarts entlangdes Verformungspfades abklingende Wichtungsfaktor. Damit wird diejungste Geschichte der Verformung im Vordergrund stehen.

Endochrone Theorie (13a)Ableitung bezuglich z eines Integrals mit den Integrationsgrenzen abhangig von z (Leibnizregelfur Parameterintegrale, http://de.wikipedia.org/wiki/Parameterintegral):

∫ U(z)

L(z)f(z, τ)dτ =

∫ U(z)

∂f(z, τ)

∂zdτ + f(z, U)U

′(z)− f(z, L)L

′(z) (2)

Die Spannungsrate (bezuglich z) mit L(z) = 0 und U(z) = z betragt

dz= −b

∫ z0K(z, τ)

dε(τ)

dτdτ +K(z, z)

dε(τ)

dτ1 (3)

dz= −bT +E

dε(τ)

dτ(4)

dT = −bTdz +Edε(τ)

dτdz (5)

T = −bT |ε| +Eε (6)

HP und endochrone Theorie sind aquivalent und die beiden lassen sich mit‖ε‖ fur 3D verallgemeinern.

Zyklische Akkumulation (ist zu groß) (14)

Δεacc

ampl2ΔT

(N<0)acc

E-(T/T )yn

E+(T/T )yn

(>0)m=1

T>0 m=1

T<0 m=-1

E-(T/T )yn

E+(T/T )yn

Dehnungszyklen ↑ Spannungszyklen ↑

∆T acc = 4Nεampl =

= −mE∣∣∣∣ TTy

∣∣∣∣n 4εampl

∆εacc =−4NT ampl

L2 −N2=

=4T amplY m

E(1− Y 2)mit Y =

∣∣∣∣ TTy∣∣∣∣n

pro Zyklus

Schwinger mit hypoplastischer Feder (15)

lhypoplast.Feder

I Gleichgewicht TA+mu = 0homogene Verformung u = lε u. u = lε ergibtTA+mlε = 0und abgeleitet nach Zeit:TA+ml

...ε= 0

...u= l

...ε= Ruck, engl. jerk

eq1 = T’[t] + 10 e’’’[t] == 0;

I Stoffgesetz: T = LD +N |D|, z.B. mit L = 10 und N = −Teq2 = T’[t] == 10 e’[t] - T[t] Abs[e’[t]];

I AB: (bei t = 0): T = 5, ε = 0, ε = 1, ε = 0IC = {T[0] == 5 , e[0] == 0, e’[0] == 1, e’’[0] == 0};

Die erhaltene GDG hat die numerische Losung

solu = NDSolve[{eq1,eq2,IC}, {e, T}, {t,0,100}, Method-> "BDF",

MaxSteps->100000][[1]]

ParametricPlot[ ({e[t], T[t]} /. solu), {t, 0, 100}]

ParametricPlot[ ({e[t], e’[t]} /. solu), {t, 0, 100}]

Freies Schwingen - Beispiele (16)

Oben: Spannung-Dehnungskurven, unten: Phasendiagramme

2 4 6 8 10 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2 4 6 8 10 12

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2 4 6 8 10

hat keine Grenze

N=-5 N=-T N=-TT(0)=0 T(0)=0 T(0)=5

Exzessive Akkumulation bei unsymm. Zyklen /BDF =(Backward Differencing Formula)= Differenzen unter Einbeziehung vorherigerZeitpunkte.BDF 1. Ordnung = Euler Integration.BDF 2. Ordnung basiert auf einer Parabel, die auf den Zeitpunkten t−∆t, t und t+∆tfestgelegt wird.Die Implementierung ist unwesentlich aufwendiger als Euler, die Ergebnisse sind jedochwesentlich genauerer (fur aquidistante Gitter).

Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (17)

FE-Berechnung mit HP ergibt eine Aufwolbung neben dem Fundamentwenn der Dilatanzwinkel ausreichend groß ist.Das Verhalten von HP und EP Modellen ist dabei ahnlich.

n(A.F.R.)

pkrit.

Zustand

mehrDilatanz

ist soll

Hypopl. Fließregel:

HP EP Fließregel

Y = 0→ perfekte Elastizitat, z.B. am Zustand T1

Y = 1→ perfekte Plastizitat, z.B. am Zustand T3 T = E : (D−mY ‖D‖)

Vereinfachte HP fur 3D unter monotoner Belastung (18)

Druckabhangige Elastizitat E = E0 + λEP mit ν = 0, d.h. T = ED

Drucker-Prager Fließkriterium mit abge-rundeter Spitze

y(T) ≡ −M P −B +√Q2 +B2 = 0

P = −trT (∂P/∂Tij) = −δijQ = ‖T∗‖ (∂Q/∂Tij) = T ∗ij/Q

M =√

8/3 sinϕ/(3 + sinϕ)

B =√

24 c cosϕ/(3 + sinϕ)

Die Interpolation 0 < Y < 1 fur T = E : (D− Y wm|D|) erfolgt mit

Y =Q√

(B + MP )2 −B2fur P > PR

Y =(B + MPR)(PR − P ) +

√B2(P − PR)2 + (2B/M + PR)PRQ2

PR(2B + MPR)fur P < PR

Vereinfachte HP fur monotone Belastung (19)Assoziierte Fließregel (fur dichten Sand) ψ = ϕ

[T∗√

B2 + ‖T∗‖2+M 1 =

bT∗ +M 1

]→Volumentreue (isochore) Fließregel (fur lockeren Sand) ψ = 0

m = h ~1 +√

1− h2 ~T∗ mit h =

1− P/PR, fur P < PR;

0, fur P ≥ PR.

Inkrementelle Berechnung mit einer impliziten Zeitintegration und mit einerkonsistenten Jakobi Matrix:

∂Pmn∂εab

[Jijmn − L′ijklmn

Mεkl +

MεLijrs

∂(Y wLijrsmrs)

∂Pmn

]−1[Lijab − LijrsY wmrs

~Mεab

Mε = ‖Mε‖ und P = Tt+∆t garantiert numerische Stabilitat mit quadrati-

scher Konvergenz der Gleichgewichtsiteration. (Erklarung in der Vorlesungzur Numerik in der Geotechnik)

Mangelhafte Simlation mit vW-HP (20)

(Avg: 75%)SDV1

+6.800e−01+6.833e−01+6.867e−01+6.900e−01+6.933e−01+6.967e−01+7.000e−01+7.033e−01+7.067e−01+7.100e−01+7.133e−01+7.167e−01+7.200e−01

+6.502e−01

+7.737e−01

Step: Step−2Increment 5010: Step Time = 1.000Primary Var: SDV1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +1.000e+00

FROM G600 BY A.NIEMUNISODB: 1.odb Abaqus/Standard Version 6.7−1 Tue May 08 14:16:59 Mitteleuropäische Sommerzeit 2012

Durchstanzen mit dem Fundament auch bei sehr dichten Bodennur vW-HP.

Implementierung der HP (20)

Shear Stress (kPa)

-200-110-20+70

+160+250+340+430+520+610+700

ShearStress (kPa)

+6+17+27+38+48+59+69+79+90

Streifenfundament (dicht) Kreisfundament (dicht)

Streifenfundament (locker) Kreisfundament (locker)

7.5m0.5m

s=0.2m

Q=15kPaQ=15kPa

γ '=10kN/m3

Deformiertes Netz und Isolinien der Schubspannung T12.Sehr gute (±10%) Ubereinstimung mit Tragfahigkeit nach DIN 4017.

Im lockeren Sand bildet sich wirklich kein Buckel neben dem Fundament.(Reproduziert durch ψ = 0◦, )

Quelle: Tatsuoka, F., Nakamura, S., Huang, C. C. & Tani, K., Soils & Foundations 1990

Der Bruchmechanismus wird qualitativ richtig prognostiziert (Vesic 1973).

Erhohte Steifigkeit bei kleinen Verformungen (23)

Elastizitat gilt bis εampl ≈ 10−5

1% 1%0

Anderung der Steifigkeit E(εampl) mit der Verformungsamplitude auchunterhalb von εampl = 10−3

E(10−3) ≈ 1

5E(10−5)

Wichtig fur die Setzungsprognosen.(ε = 0 ist verstanden als Ausgangs-K0-Zustand).

Kleine DehnungenErhohte Steifigkeit bei Sand furεampl<10−4

εamplε0 0.010.001

εamplε010-310-5

keine Linearität

Lineare Elastizitat nur bis εampl ≈10−5

Nichtlinearitat bei Sand auch furγampl<10−2

γ ampl10-5 10-4 10-3 10-2

:e=0.640:e=0.696:e=0.742:e=0.793

Kokusho (1980)

sehr klein

TriaxRC υ = G/ρs

Stützmauer

Fundament

Tunnel

Abnahme der Schubsteifigkeit G mit der Dehnungsamplitude γampl

0.0001

Stützmauer

Fundament

Tunnel

klein großsehrklein

1μm0.1μm

γ [%]0.001 0.01 0.1 1 10

aus RC υ = G/ρs

WikipediA: LVDT = Linear Variable Differential-Transformer. Primarspule + zwei

Sekundarspulen. Letztere sind gegenphasig in Reihe geschaltet, dadurch subtrahieren sich die

Spannungen (. . . ) Wird die Symmetrie gestort, so entsteht eine Ausgangsspannung.

Abnahme der Steifigkeit mit γampl(die Schleife wird flacher)

Zunahme der Dampfung mit γampl(die Schleife wird dicker)

Backbonecurve

D=Dämpfung

Erstbelastung nach einem Einspielen (Shakedown) wird durch “Backbonecurve” beschrieben.Dampfungsmaß D wird oft mit dem Gutefaktor (=quality factor) Q = 1/(2D) ausgedruckt.

Hysteretisches Verhalten

I Reversibilitat

I Dampfungsmaß D(γampl)

I Sekantensteifigkeit G(γampl)

I Steifigkeit Et nimmtunmittelbar nach jederUmkehr zu

I Keine Sprunge beiUber-Belastung.

I Wiederbelastung passiertexakt durch alteUmkehrpunkte(= keine Akkumulation).

I Kleine Zyklen werdenvergessen beiUber-Belastung.

I Dampfungsmaß nimmtuberproportional mit derAmplitude zu.

Hysterese ist i.d.R. durch Akkumulation (pseudo-Kriechen) uberlagert (Vorlesungen 5+6).

I Reversibilitat

Masing Regel:

I Vom Umkehrpunkt (reversal) (γR, τR) entspricht dieEntlastungs-Kurve der zweifachen Erstbelastungs-Kurve im τ − γDiagramm:

Erstbelastung τ = F (γ) Entlastungτ − τR

(γ − γR

)I Eine Uberlastung folgt die Erstbelastungs-Kurve unabhangig von der

Veformungsgeschichte, siehe Abschnitt b . . . d

γ ,τ 0 0

τ =F(

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x 1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ , τR R

γ ,τ 0 0

d dbbτ

-2x 1st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

Masing Regel:

(γ − γR

γ ,τ 0 0

τ =F(

γ ,τ 0 0

-2x 1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ , τR R

γ ,τ 0 0

d dbbτ

-2x 1st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

Masing Regel:

(γ − γR

γ ,τ 0 0

τ 0 ta a

τ =F(

γ ,τ 0 0

-2x 1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

-2x1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ , τR R

γ ,τ 0 0

d dbbτ

-2x 1st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

Masing Regel:

(γ − γR

γ ,τ 0 0

τ 0 ta a

τ =F(

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x 1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

-2x1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ , τR R

γ ,τ 0 0

d dbbτ

-2x 1st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

Masing Regel:

(γ − γR

γ ,τ 0 0

τ 0 ta a

τ =F(

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x 1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

τ 0 t

-2x1-st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ , τR R

γ ,τ 0 0

d dbbτ

-2x 1st loading

τ =F(

γ , τ R R

γ ,τ 0 0

Vorschlage fur das backbone Profil F (γ) (27)

• Ramberg & Osgood γ =τ

Gmax+ α

τy+ α

)r• Hardin & Drnevich

1 + β(γ/γref)amit β ≈ 1 und a ≈ 0.92

• Prevost τ = Gmaxγmax

y − 12

14− y

− y mit y = τmax/(Gmaxγmax)

• Bardet G(γ) =

(τmax − ττmax

)nfur τ < τmax

0 fur τ >= τmax

• Prandtl; Kondner & Zelasko; Jennings; Seed & Idriss; Iwan; Finn; Pyke;Vucetic; Darendeli; Lo Presti, ...

Die 3D Erweiterungen sind kaum zu finden in der Literatur.

Beispiel: F (γ) nach Hardin, Drnevich (27)

Die Formel G/Gmax = 1/(1 + β(γ/γref)a) betrachtet γ als eine Amplitude,

d.h. γ > 0. Wir bilden τ = F (γ) mit |γ| d.h.

F (γ) ≡ Gmaxγ

1 + β(|γ|/γref)a(7)

F[g_] := Gmax g/(1 + b (Abs[g]/gref)^a);

Gmax = 10000 ; b = 1; gref = 0.001; a = 0.9; (* mat const *)

gR1= 0.01; gR2= -0.005; gR3= 0.00; gR4= -0.0025; gR5=0.015;

tR1 = F[gR1];

tR2 = tR1 + 2 F[(gR2 - gR1)/2];

tR3 = tR2 + 2 F[(gR3 - gR2)/2];

tR4 = tR3 + 2 F[(gR4 - gR3)/2];

tR5 = tR4 + 2 F[(gR5 - gR4)/2];

g0 = ListPlot [{{0,0}, {gR1,tR1},{gR2,tR2},{gR3,tR3},

{gR4,tR4},{gR5,tR5}}];

g1 = Plot[ F[g] , {g, 0, gR1} ];

g2 = Plot[ tR1 + 2 F[(g - gR1)/2] , {g, gR1, gR2} ];

Show[ g0, g1, g2, g3, g4, g5 , PlotRange -> All]

0.005 0.005 0.010 0.015

Die Masing Regelτ − τR

(γ − γR

)garantiert keine geschlossene

Zyklen ohne Aktualisierung von γR und τR. Es ist nicht einfach die LetzteUmkehr!

Intergranulare Dehnung (=iD) (28)

Um Ratcheting zu mildern wird die Steifigkeit nach jeder Pfad-Umkehrerhoht. Dafur muss der jungste Zeitverlauf der Dehnung = iD, hberucksichtigt werden.

• hD > 0 und |h| = R (max. Wert von h), Steifigkeit wird nicht erhoht

• h = 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht

• hD < 0 Steifigkeit wird 5-fach erhoht

Entwicklung von h:h =

(1−|h|R

)D fur hD ≥ 0 Aufbau, h→ R~D

h = D fur hD < 0 Abbau, h→ 0

ohne iD

T T h = Rh = R

h=-Rh=-R

hD > 0hD < 0

Intergranulare Dehnung (29)

m LR L + N |D|

h=R und hD>0h=0 oder hD<0

Die Steifigkeit kann bis mR ≈5-fach vergroßert werden.

ohne iD

T T h = Rh = R

h=-Rh=-R

hD > 0hD < 0

[(1− |h|

|h|RN~hD fur hD ≥ 0

T = mRLD fur hD < 0

mit N = −T und ~h = sign(h) also ~hD = |D| gilt.

h = |R| und hD > 0 ergibt T = LD +N~hD =alte Hypoplast.

h = |R| und hD < 0 ergibt T = mRLD =nach Pfad-Umkehr

h = 0 ergibt T = mRLD =elastisches Einspielen

Hypoplast. Schwinger mit intergr. Dehnung (30)

0.5 1 1.5 2 2.5 3

ε0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Ohne iD mit kleiner iD mit großer iD

Ratcheting ohne und mit iD (31)

4 8 12

ε [%]1

T [MPa]1

0.20.1 0.5 1

(ln)0.6

Odometer Test und Triax. Test

ohne die iD

0.20.1 0.5

00 4 8 12

ε [%]1

T [MPa]11

(ln)0.6

und mit der iD

Defekte der iD (32)Masing Regel nicht erfullt(Dampfung unrealistisch). /

Einfaches Scheren.

Verhalten bei unterschiedlichenAmplituden mangelhaft /

log(p)Druck

iD hier richtig

iD hier zu klein

ohneiD

iD zu groß

Odometer: zyklische Belastung

Defekte bei iD

Prognostizierte Sekanten-Steifigkeit G(γampl) und Dampfung D(γampl) sindzum Teil unrealistisch.

-2x10-3

-1 0 1 2γ12

τ 12[k

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

γ [-]

10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1

γ [-]

-5.0x10

-4-2.5 0 2.5 5.0

γ12 [-]

τ 12[k

12ampl

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