Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation Vorlesung 9 SS...

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

GeoinformationVorlesung 9

SS 2001

Voronoi-Diagramme: Bestimmung derTangente bei der Konstruktion des

trennenden Kantenzuges

Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.00 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 9

Übersicht I

• Bestimmung der Tangente• Extrempunkte von CH(P1) CH(P2)• Tangente von CH(P1) CH(P2)• Nochmals zur konvexen Hülle CH• Tangente• Nachfolger - Bestimmung• Nachfolger• Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen

Hüllen

Übersicht II

• Extrempunkte• 2 vertikal monotone Kantenzüge• Tangente• Bestimmung des Nachfolgers• Konvexe Hülle• Bestimmung des Nachfolgers• Konvexe Hülle

Bestimmung der Tangente

• im Detail

min ymin y

Extrempunkte von CH(P1) bzw. CH(P2)

Tangente von CH(P1) CH(P2)

Extrempunkte: Funktioniert das immer ?

Nochmals zur konvexen Hülle CH

Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?

Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.

• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten.

• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge.

• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen.

• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.

Tangente

Extrempunkte

2 vertikal monotone Kantenzüge

Tangente

Nachfolger - Bestimmung

Winkel minimal

Nachfolger

Winkel minimal

Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen

1. Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1 höher als Q1

2. Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel

3. Fälle:– P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig

– P1 P2 minimal: ersetze P1 durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

– P1 Q2 minimal: ersetze Q1 durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

4. weiter mit 2.

Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

Bestimmung des Nachfolgers

Winkel nicht minimal

Winkel minimal

Konvexe Hülle

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