Integrales Multiples

INTEGRAL TRIPLE

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL TRIPLE

Las Propiedades del 1 al 6 de las integrales dobles se generalizan para las integrales

Triples, en general sobre un sólido Q , se tiene:

donde Q = .

y se llaman «solapamientos»

dV

CÁLCULO DE INTEGRALES TRIPLES – INTEGRAL ITERADA

EVALUACIÓN DE INTEGRALES ITERADAS

Si R es el rectángulo R = [a, b] x [c , d] x [u , v ] sobre el cual f es integrable, entonces

1. Si R :

La región de integración R ,es proyectada

Sobre el plano XY.

∭𝑅

❑

𝑓 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )𝑑𝑉=∫𝑎

𝑏 ( ∫∅ 1 (𝑥 )

∅ 2 (𝑥 )

( ∫𝛾1 (𝑥 ,𝑦)

𝛾2 (𝑥 ,𝑦)

𝑓 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 )𝑑𝑧)𝑑𝑦 )𝑑𝑥

REGIONES DE INTEGRACIÓN

𝐎𝐓𝐑𝐀𝐒𝐑𝐄𝐆𝐈𝐎𝐍𝐄𝐒𝐃𝐄𝐈𝐍𝐓𝐄𝐆𝐑𝐀𝐂𝐈Ó𝐍

X= f(y,z)Y=f(x,z)

Ejemplo 1

Proyectando sobre el plano XY, hacemos z = 0 , entonces

y =

x

y

y

x

-2

∫0

1

∫0

𝑦

∫0

1− 𝑦2

𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Determinar el sólido cuyo volumen es dado por la integral

00 x y0 z 1 -

Ejemplo 2

TEOREMA DE FUBINI PARA INTEGRALES TRIPLES

Si suponemos que la región de integración es de la primera forma Q: a

Cambio de Variable

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

rcos

rsen

COORDENADAS CILINDRICAS

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

X=

F(, , )

CAMBIO A COORDENADAS ESFERICAS

DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS

z = 1 -

y + z = 2 , x = 4 -

MOMENTOS DE INERCIA DE UNA REGIÓN SÓLIDA

Cambio de Variable

,y)

CAMBIOS DE VARIABLES: JACOBIANOS

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

rcos

rsen

COORDENADAS CILINDRICAS

CAMBIO A COORDENADAS CILINDRICAS

La integral triple en coordenadas cilíndricas

Coordenadas Esféricas

X=

F(, , )

z = 1 -

y + z = 2 , x = 4 -