Kapitel3

Mikroökonomik

Dr. Andreas Szczutkowski

Fakultät für Wirtschaftswissenschaften

SS 2014

Mikroökonomik

Theorie des Produzentenverhaltens

3 Theorie des Produzentenverhaltens

Inputs

(Arbeit, Rohstoffe, Kapitalgüter)

Technologie

Outputs

(Konsumgüter)

Stromgrößen: eingesetzte Arbeitsmenge pro Monat

Nutzung eines Kapitalgutes pro Monat

Anzahl produzierter Gütereinheiten pro Monat

Mikroökonomik

Technologien und Produktionsfunktionen

3.1 Technologien und Produktionsfunktionen

Einproduktunternehmen: Nur ein Outputgut;mehrere Inputgüter a1, a2, . . . , al .

Beispiel:

l = 1 (nur ein Input: L (Arbeit))

Produktionsfunktion: f : R+ → R+, L 7→ f (L).

Mit der Inputmenge L kann das Unternehmen jede Outputmengey ≤ f (L) erzeugen.

Mikroökonomik

y (Output)

L (Arbeit)

Produktionsmöglich-

keitenmenge

y = f (L)

(Produktionsfunktion)

Mikroökonomik

Beispiel: l = 2, d.h. 2 Inputs: a1 = Kapital (K ), a2 = Arbeit(L).

Produktionsfunktion: y = f (K , L), fK > 0, fL > 0.

f ordnet jeder Inputkombination (K , L) das

maximale Outputniveau zu, das das Unternehmen

mit (K , L) erzeugen kann.

Isoquante: Besteht aus allen Inputkombinationen, die einen gleich hohen

Output ergeben.

Höher gelegende Isoquanten repräsentieren höhere Outputniveaus.

Mikroökonomik

1 2 3 4 5

Ay = 10

Mikroökonomik

1 2 3 4 5

Ay = 10

Mikroökonomik

1 2 3 4 5

Ay = 10

y = 12

Mikroökonomik

Beispiele für Produktionsfunktionen im 2-Input-Fall

f (K , L) = AK aLb (Cobb-Douglas Produktionsfunktion)

A > 0, a > 0, b > 0.

Konstante Proportionen:f (K , L) = min

cK , 1

, c, d > 0.

Perfekte Substitute: f (K , L) = 1

cK + 1

dL, c, d > 0.

Mikroökonomik

Allgemeiner Fall

Produktionsfunktion: f : Rl+ → R+, a = (a1, . . . , al ) 7→ y

Isoquante: I (y) = {a | f (a) = y} , a = (a1, . . . , al ).

Annahme 3.1

Die Produktionsfunktion f : Rl+ → R ist

strikt monoton: a > a =⇒ f (a) > f (a);

strikt quasi-konkav: a 6= a, f (a) ≥ f (a)

=⇒ f(γa + (1 − γ)a

)> f (a) ∀ γ ∈ (0, 1).

Mikroökonomik

Eigenschaften von Produktionsfunktionen

3.2 Eigenschaften von Produktionsfunktionen

Kurze Frist: Nicht alle Produktionsfaktoren können mengenmäßigverändert werden.

Lange Frist: Alle Produktionsfaktoren sind flexibel.

Grenzprodukt eines Inputfaktors: Rate, mit der die Outputmenge steigt,wenn die Inputmenge des Faktors(marginal) erhöht wird.

Mikroökonomik

GPj(a1, . . . , al ) = ∂f (a1,...,al )∂aj

= Grenzprodukt von Faktor aj .

Beachte: Das Grenzprodukt eines Inputs hängt von den Einsatzniveausaller Inputfaktoren ab!

2-Input-Fall: a1 = Kapital (K ); a2 = Arbeit (L)

fK (K , L) := ∂f (K ,L)∂K

= Grenzprodukt des Kapitals.

fL(K , L) := ∂f (K ,L)∂L

= Grenzprodukt der Arbeit.

Mikroökonomik

Gesetz des fallenden Grenzprodukts:∂GPj (a)

∂aj= ∂2f (a)

∂a2j

Dieses ‘Gesetz’ ist lediglich eine (plausible) Annahme.

Weitere Annahme:∂GPj (a)

∂ak= ∂2f (a)

∂aj∂ak> 0, ∀j 6= k .

2-Input-Fall: a1 = Kapital (K ); a2 = Arbeit (L)

∂2f (K , L)

∂K∂L=

∂2f (K , L)

∂L∂K> 0.

Mikroökonomik

Produktion in der kurzen Frist

Kurze Frist: Kapital fix (K = K ), Arbeit variabel.

Fallende Grenzprodukte ⇐⇒ kurzfristige Produktionsfunktionstreng konkav.

(K , L

)= tan α > tan β = fL

für ˆL > L

=⇒ abnehmendes Grenzprodukt der Arbeit.

Mikroökonomik

Output

L (Arbeit)

f (K , L)

f(K , L

Mikroökonomik

Output

L (Arbeit)

f (K , L)

f(K , L

Mikroökonomik

f (K ,L)L

= Durchschnittsprodukt (DP) der Arbeit.

tan αi = f (K ,Li )Li

= DP der Arbeit.

tan α1 > tan α2 > tanα3 =⇒ abnehmendes Durchschnittsprodukt.

Mikroökonomik

Output

L (Arbeit)

f (K , L)

f (K , L1)

Mikroökonomik

Output

L (Arbeit)

f (K , L)

f (K , L1)

f (K , L2)

Mikroökonomik

Output

L (Arbeit)

f (K , L)

f (K , L1)

f (K , L2)

f (K , L3)

Mikroökonomik

Produktion in der langen Frist

Lange Frist: Alle Inputfaktoren variabel.

Zwei-Input-Fall: Kapital und Arbeit variable Inputfaktoren.

Entlang einer Isoquante gilt:

0 = ∆y = fK (K , L)∆K + fL(K , L)∆L

⇐⇒ fL(K , L)

fK (K , L)= −∆K

Mikroökonomik

y = α (konstant)

∆L︷︸︸︷

︸︷︷

−∆K

Mikroökonomik

Bei marginalen Veränderungen:

fL(K , L)

fK (K , L)= − dK

∣∣∣∣y=α

− dKdL

∣∣y=α

=: TRS(K , L) (technische Rate der Substitution)

(3.1)=⇒ TRS(K , L) =

fL(K , L)

fK (K , L)(3.2)

Mikroökonomik

fLL(K , L) < 0fKK (K , L) < 0

}fallende Grenzprodukte.

fKL(K , L) = fLK (K , L) ≥ 0.

Implikationen für den Verlauf von Isoquanten?

Mikroökonomik

fL(A) > fL(B)fK (A) < fK (B)

}=⇒ fL(A)

fK (A) >fL(B)fK (B) =⇒ TRS(A) > TRS(B).

=⇒ Isoquanten haben einen konvexen Verlauf.

Mikroökonomik

Skalenerträge

f (λa) = λf (a) ∀ λ > 1, ∀ a = (a1, . . . , al) =⇒ konstanteSkalenerträge

konstanteSkalenerträge

Mikroökonomik

Skalenerträge

Mikroökonomik

Skalenerträge

Mikroökonomik

Skalenerträge

f (K , L) = AKαL(1−α)

=⇒ f (λK , λL) = A(λK )α(λL)(1−α) = AλαKαλ(1−α)L(1−α)

= λAKαL(1−α) = λf (K , L)

=⇒ konstante Skalenerträge

fK (K , L) = AαK (α−1)L(1−α) = αA(

)(1−α)

fL(K , L) = AKα(1 − α)L−α = (1 − α)A(

}fallendeGrenzprodukte

Mikroökonomik

Skalenerträge

f (λa) > λf (a) ∀ λ > 1, ∀ a = (a1, . . . , al) =⇒ zunehmendeSkalenerträge

Skalenerträge

zunehmende

Mikroökonomik

Skalenerträge

zunehmende

Mikroökonomik

Skalenerträge

9zunehmende

Mikroökonomik

Skalenerträge

f (λa) < λf (a) ∀ λ > 1, ∀ a = (a1, . . . , al) =⇒ fallendeSkalenerträge

Skalenerträge

fallende

Mikroökonomik

Skalenerträge

fallende

Mikroökonomik

Skalenerträge

fallende

Mikroökonomik

Skalenerträge

Beispiel: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion

f (K , L) = AK aLb

=⇒ f (λK , λL) = A(λK )a(λL)b = λa+bf (K , L)

a + b > 1 =⇒ zunehmende Skalenerträgea + b = 1 =⇒ konstante Skalenerträgea + b < 1 =⇒ fallende Skalenerträge

Mikroökonomik

Optimale Produktionsentscheindungen

3.3 Optimale Produktionsentscheindungen

Ziel: Gewinnmaximierung

p = Verkaufserlös pro Einheit Output.

(w1, . . . ,wl ) = Inputpreisvektor.

Π := py −l∑

wiai (Gewinne)

Mikroökonomik

Gewinnmaximierung in der kurzen Frist

Entscheidungsproblem: maxL

pf (K , L) − r K − wL

FOC: pfL(K , L)−w = 0 ⇐⇒ pGPL(K , L∗)︸︷︷︸Wertgrenzprodukt

der Arbeit

= w (3.3)

Falls keine innere Lösung existiert =⇒ 2 mögliche Ursachen:

Die Lösung ist L∗ = 0. Dies tritt auf, wenn pfL(K , 0) ≤ w

6 ∃ Lösung. Dies tritt auf, wenn pfL(K , L) > w , ∀ L > 0 gilt.

Mikroökonomik

Beispiel:

Produktionsfunktion: f (K , L) = 2√

K · L

Grenzprodukt (der Arbeit): GPL(K , L) =√

⇐⇒ L∗ = K( p

(Arbeitsnachfrage)

y∗ = f (K , L∗) = 2Kp

w(Güterangebot)

Π∗ = K

w− r

](Gewinn)

Mikroökonomik

Grafische Herleitung der Optimalitätsbedingung

Π = py − r K − wL (Unternehmensgewinn)

Isogewinnlinie: Menge aller (L, y)-Kombinationen, die das GewinnniveauΠ ergeben.

pL (3.4)

Achsenabschnitt: Πp

Steigung: wp

Mikroökonomik

y = f (K , L)

Mikroökonomik

y = f (K , L)

Isogewinnlinie mit Steigung wp

Mikroökonomik

Optimum: GPL(K , L∗) = wp

Erhöhung des Lohnsatzes

∆w > 0(3.4)=⇒ Isogewinnlinien steiler.

Ergebnis: ∆w > 0 =⇒ ∆L < 0.

Die Arbeitsnachfrage verläuft fallend.

Mikroökonomik

y = f (K , L)

tanα = wp

Mikroökonomik

y = f (K , L)

tanα = wp

tanβ =ˆwp

ˆw > w

Mikroökonomik

Erhöhung des Outputpreises

∆p > 0(3.4)=⇒ Isogewinnlinien verlaufen flacher

Ergebnis: ∆p > 0 =⇒ ∆y > 0.

Die Angebotsfunktion verläuft steigend.

Erhöhung der Kosten für den fixen Faktor Kapital

∆r > 0 =⇒ ∆y = 0, ∆L = 0.

Mikroökonomik

y = f (K , L)

tanα = wp

Mikroökonomik

y = f (K , L)

ˆp > p

tanβ = wˆp

tanα = wp

Mikroökonomik

Die Lösung des Gewinnmaximierungsproblems wird charakterisiertdurch die Marginalbedingung

GPL(K , L∗) =w

Als Lösung des Problems ergeben sich die Faktornachfragefunktiondes variablen Faktors

L∗ = L

und die Angebotsfunktion

y∗ = y

(K , L

Mikroökonomik

Eigenschaften von Faktornachfragefunktion und

Angebotsfunktion in der kurzen Frist

Die Faktornachfragefunktion und die Angebotsfunktion sindwachsend in p und fallend in w .

Die Faktornachfragefunktion und die Angebotsfunktion hängennicht vom Preis des fixen Faktors K ab.

Mikroökonomik

Gewinnmaximierung in der langen Frist

Entscheidungproblem: maxL,K

pf (K , L) − rK − wL

FOC:pfL(K

∗, L∗) − w = 0pfK (K ∗, L∗) − r = 0

⟩pGPL(K

∗, L∗) = w

pGPK (K ∗, L∗) = r

=⇒K ∗ = K

(wp, r

L∗ = L(

Faktornachfragekurven

Mikroökonomik

GPL(K , L) = wp

GPK (K , L) = rp

fLL < 0, fKK < 0

fLK = fKL > 0

Mikroökonomik

Gewinne in der kurzen und langen Frist

In der langen Frist ist der maximierte Gewinn stetsnicht-negativ. In der kurzen Frist kann der maximierte Gewinnnegativ sein.

Der maximierte Gewinn in der langen Frist ist immermindestens so hoch wie in der kurzen Frist.

Mikroökonomik

Skalenerträge und langfristige Gewinnmaximierung

zunehmende Skalenerträge =⇒ 6 ∃ innere Lösung des langfristigenProblems.

Begründung: Angenommen y∗ = f (a∗) > 0 wäre eine Lösung mitΠ∗ > 0. Dann ergibt sich ein Widerspruch, weil für λ > 1 folgt:

pf (λa∗) −l∑

wi (λa∗i ) > λ

[pf (a∗) −

wia∗

]= λΠ∗ > Π∗.

Mikroökonomik

konstante Skalenerträge: Eine Lösung existiert nur für solche Preise,bei denen der maximierte Gewinn Nullbeträgt.

Begründung: Angenommen y∗ = f (a∗) > 0 wäre eine Lösung mitΠ∗ > 0. Dann ergibt sich ein Widerspruch, weil für λ > 1 folgt:

pf (λa∗) −l∑

wi (λa∗i ) = λ

[pf (a∗) −

wia∗

]= λΠ∗ > Π∗.

Mikroökonomik

Zerlegung des Gewinnmaximierungsproblems:

1. Stufe: Minimierung der Produktionskosten zu festem Outputniveau.

2. Stufe: Wahl des optimalen Outputniveaus.

Mikroökonomik

Die Kosten der Produktion

Kostenminimierung in der kurzen Frist (K = K )

r K + wL

so dass f (K , L) = y

Cs(r , w , K , y) = Kostenfunktion in der kurzen Frist.

Mikroökonomik

Die Kosten der Produktion

Kostenminimierung in langer Frist

minL,K

rK + wL

so dass f (K , L) = y

C (r , w , y) = Kostenfunktion in langer Frist.

Mikroökonomik

Produktionskosten in kurzer Frist

Cs = FK + VK

Cs = Gesamtkosten der Produktion (kurzfristig)

FK = Fixkosten (Miete für Verwaltungsgebäude,Instandhaltungsausgaben etc.)

VK = variable Kosten (Löhne und Gehälter, Zwischenprodukte,Energie etc.)

Mikroökonomik

GK = Grenzkosten (Kosten einer zusätzlichen (marginalen) Output-einheit bei kostenminimalem Faktoreinsatz)

GK(y) =dCs(y)

dVK(y)

DK = Durchschnittskosten (Kosten pro Outputeinheit bei kosten-minimalem Faktoreinsatz)

DK(y) =Cs(y)

Mikroökonomik

f (L, K ) = y (Produktionsfunktion)

f (g(y)︸︷︷︸L

, K ) = y (g Umkehrfunktion von f (·, K ))

g(y): erforderliche Arbeitsmenge für die Produktion von y

Outputeinheiten.

fL(L, K )dg(y)dy

= 1 ⇐⇒ dg(y)dy

fL(L,K)

Mikroökonomik

VK(y) = wg(y) (3.5)

=⇒ GK(y) =dVK(y)

fL(L, K )(3.6)

In der kurzen Frist verhalten sich die Grenzkosten der Produktioninvers zum Grenzprodukt der Arbeit.

Mikroökonomik

fL(L, K ) = zusätzlicher Output pro zusätzlicher Arbeitseinheit.

fL(L,K)= zusätzlich erforderliche Arbeitsmenge für eine

zusätzliche Outputeinheit.

DK(y) =FK + VK(y)

Mikroökonomik

Verlauf der Durchschnitts- und Grenzkostenkurven

(3.6) =⇒ GK(y) streng monoton wachsend.

GK(y) < DK(y) =⇒ Durchschnittskosten fallend in y .

GK(y) > DK(y) =⇒ Durchschnittskosten steigend in y .

Mikroökonomik

GK(y)Kosten

Mikroökonomik

Resultat: Die Durchschnittskostenkurve nimmt ihr Minimum imSchnittpunkt mit der Grenzkostenkurve an.

DK(y) =C (y)

y=⇒ dDK(y)

C ′(y)y − C (y)

⇐⇒ C ′(y) =C (y)

y= DK(y)

Mikroökonomik

Produktionskosten in der langen Frist

Isokostengerade: Besteht aus allen (L, K )-Kombinationen, die jeweilsdieselben Produktionskosten verursachen.

C = wL + rK (3.8)

K = Cr− w

rL (Isokostengerade)

∣∣C=konst. = − w

Mikroökonomik

tanα = wr

Mikroökonomik

f (K , L) = y

Mikroökonomik

f (K , L) = y

Mikroökonomik

f (K , L) = y

L1 L2 Cw

L∗ ˆCw

ˆC < C < C

Mikroökonomik

Im Produktionsoptimum verläuft die Isoquante tangential zurIsokostengerade:

TRS(K , L)(3.2)=

fL(K , L)

fK (K , L)=

r. (im Optimum) (3.9)

⇐⇒ fL(K , L)

fK (K , L)

r. (3.10)

Mikroökonomik

Bestimmung der bedingten Faktornachfragefunktionen

min(a1,,...,al )∈R

wiai unter der NB f (a1, . . . , al ) = y0

= a1(w1, . . . ,wl , y0)

...a∗l = al (w1, . . . ,wl , y

bedingte Faktornachfrage

Mikroökonomik

2-Input Fall

min(L,K)∈R

(wL + rK ) unter der NB f (K , L) = y0 (3.11)

Z (K , L, λ) = wL + rK + λ[f (K , L) − y0

](3.12)

FOC:∂Z

∂K= r + λfK (K , L) = 0 (3.13)

∂L= w + λfL(K , L) = 0 (3.14)

∂λ= f (K , L) − y0 = 0 (3.15)

Mikroökonomik

Aus (3.13) und (3.14) folgt

fL(K , L)

fK (K , L). (3.16)

Aus (3.15) und (3.16) folgt nun

K ∗ = K (r , w , y0) (bedingte Kapitalnachfrage) (3.17)

L∗ = L(r , w , y0) (bedingte Arbeitsnachfrage) (3.18)

Mikroökonomik

Komparativ-statische Analyse

∆w > 0 =⇒ steilerer Verlauf der Isokostengerade

=⇒ ∆L∗ < 0, ∆K ∗ > 0.

∆r > 0 =⇒ flacherer Verlauf der Isokostengerade

=⇒ ∆L∗ > 0, ∆K ∗ < 0.

Dies bedeutet:

∂K (r ,w , y0)

∂r< 0;

∂K (r ,w , y0)

∂w> 0;

∂L(r ,w , y0)

∂r> 0;

∂L(r ,w , y0)

∂w< 0.

Mikroökonomik

f (K , L) = y0

tan α = wr

Mikroökonomik

f (K , L) = y0

bbK ∗

tan α = wr

tan β = wr

Mikroökonomik

Expansionspfad

Mikroökonomik

Die Produktionskosten in der langen Frist

Die langfristige Kostenfunktion

C (r , w , y0) := rK (r , w , y0) + wL(r , w , y0)

= min(K ,L)∈R

[rK + wL | f (K , L) = y0

](3.19)

Die Kostenfunktion gibt bei gegebenen Faktorpreisen die minimalenProduktionskosten zur Erreichung eines vorgegebenenOutputniveaus an.

Mikroökonomik

Z (K , L, λ) = wL + rK + λ[f (K , L) − y0

](3.12)

Anwendung des Envelope-Theorems liefert ‘Shepard’s Lemma’:

Lemma (Shepard’s Lemma)

∂C (r ,w , y0)

∂Z (K∗, L∗, λ∗)

(3.12)= K∗ = K (r ,w , y0)(3.20)

∂C (r ,w , y0)

∂Z (K∗, L∗, λ∗)

(3.12)= L∗ = L(r ,w , y0) (3.21)

Mikroökonomik

Z (K , L, λ) = wL + rK + λ[f (K , L) − y0

](3.12)

Envelope-Theorem (‘Umhüllungssatz’)

∂C (r , w , y0)

∂y0=

∂Z (K ∗, L∗, λ∗)

(3.12)= − λ∗ (3.22)

|λ∗| entspricht den Grenzkosten der Produktion.

Mikroökonomik

Weitere Eigenschaften der langfristigen Kostenfunktion

1 Für K ∗ > 0 ist C (r , w , y0) strikt monoton wachsend in r .

2 Für L∗ > 0 ist C (r , w , y0) strikt monoton wachsend in w .

3 C (r , w , y0) ist linear homogen in den Faktorpreisen r und w ,d.h. für λ > 0 gilt:

C (λr , λw , y0) = λ · C (r , w , y0).

Begründung:

C (λr , λw , y0) := min(K ,L)∈R

[λrK + λwL | f (K , L) = y0

= λ · min(K ,L)∈R

[rK + wL | f (K , L) = y0

= λC (r , w , y0).

Mikroökonomik

4 C (r , w , y0) ist konkav in (r , w).

Beweis zu 4: Wir zeigen die Aussage für den allgemeinen Fall von l

Faktorinputs, d.h. für alle w , w ′ ∈ Rl+, t ∈ [0, 1] ist zu zeigen:

C(tw + (1 − t)w ′, y0

)≥ tC (w , y0) + (1 − t)C (w ′, y0).

Es sei w ′′ := tw + (1 − t)w ′ für t ∈ [0, 1]. a, a′ und a′′ (alles Elementedes R

l+) seien die optimalen bedingten Inputvektoren zum Outputniveau

y0 und den Faktorpreisen w , w ′ und w ′′. Dann folgt

C (w ′′, y0) = w ′′a′′ = twa′′ + (1 − t)w ′a′′.

Wegenwa′′ ≥ C (w , y0) und w ′a′′ ≥ C (w ′, y0)

ergibt sich

C (w ′′, y0) ≥ tC (w , y0) + (1 − t)C (w ′, y0), ∀t ∈ [0, 1]�

Mikroökonomik

Konkavität der Kostenfunktion =⇒ Faktornachfragen fallend imeigenen Preis(bereits bekanntes Resultat).

∂K (r , w , y0)

∂2C (r , w , y0)

∂r2≤ 0

∂L(r , w , y0)

∂2C (r , w , y0)

∂w2≤ 0

Mikroökonomik

Das Güterangebot bei vollständiger Konkurrenz

3.5 Das Güterangebot bei vollständiger Konkurrenz

Kosten

1 2 3 4 5 6

variable

Produktionskostenbei y = 5

Mikroökonomik

Das Güterangebot bei vollständiger Konkurrenz

VK(y1)

GK(y1)

Kosten

Mikroökonomik

Entscheidungsproblem der Firma

py − C (y) (3.23)

FOC: C ′(y) = GK(y)!= p (3.24)

SOC: C ′′(y) = GK′(y) ≥ 0 (3.25)

Zu jedem Preisniveau wird die Angebotsmenge der Firma durch dieGrenzkosten bestimmt (gilt für kurze und lange Frist).

Mikroökonomik

py C (y)

︸︷︷

Mikroökonomik

Angebotskurve in der kurzen Frist

GKs(y) = p (3.24’)

Angebotskurve = Umkehrabbildung der kurzfristigenGrenzkostenkurve.

Mikroökonomik

Die Angebotsfunktion in der langen Frist

langfr.≥ Π∗

kurzfr.

Außerdem gilt:

py − C (y) ≥ 0 ⇐⇒ GK(y) = p ≥ C (y)

y= DK(y).

Mikroökonomik

p GK(y)

Angebotskurve lange Frist

Mikroökonomik

Das Marktangebot

Angebot

GK1 GK2

Marktangebot

Mikroökonomik

Zusammenfassung der Hauptergebnisse

1 Die Grenzkostenkurve schneidet die langfristigeDurchschnittskostenkurve in ihrem Minimum.

2 Bei gewinnmaximalem Verhalten sind die Grenzkosten derProduktion für alle Unternehmen gleich (= p).

Kapitel3

Documents

herr holle eigendruck buchblock...5 INHALT Kapitel1-Melvin 007 DerGoldjunge kommt Kapitel2-Memphis 077 EinPechboyimHimmel Kapitel3-Hardo 129 Irrenistgöttlich Extra:HerrHolleinVersen

Ergebnissewebdoc.sub.gwdg.de/ebook/diss/2003/fu-berlin/2001/138/kapitel3.pdf · Diese ähneln in Größe und Form PC und sind in Gruppen angeordnet. Sie weisen über einen Strang

Erdwärmepumpe NIBEF1255 · P@3/ AO1 AS04 AO0 DA0/ DO0 FP0/ GR0 WK1/ PM0 WK10 14 Kapitel3|AufbauderWärmepumpe NIBEF1255. ROHRANSCHLÜSSE XL20 Wartungsanschluss,Hochdruck XL21 Wartungsanschluss,Niederdruck

Grundlagen Mathematik - 3. Reelle Funktionenmatthies/Material/WiSe15/Kapitel3.pdf · Funktionsbegriﬀ Deﬁnition Seien A und B nichtleere Mengen. Eine Vorschrift f, die jedem x

„Unternehmen und Unternehmer in der Marktwirtschaft“, Herbert Hax Kapitel3 PRODUKTION UND ABSATZ S. 75 – 98 A.Zur Abgrenzung von Produktion und Absatz

ACDSee 12 Handbuchfiles.acdsystems.com/deutsch/acdsee/manuals/acdsee12...ACDSee12Handbuch Kapitel3:Verwaltungsmodus 17 ImportierenvonFotos 17 ImportierenvonDateienmitACDSee 17 InfoszumGerätedetektor

Datenbankentwurf Kapitel 3 - resources.mpi-inf.mpg.deresources.mpi-inf.mpg.de/d5/teaching/ss08/is/kapitel3.pdf · Logischer Entwurf ↓ Logisches Schema ... Datenbankentwurf Konzeptueller

Anhang A Herleitung wichtiger Ergebnisse aus …978-3-322-88913...Herleitung wichtiger Ergebnisse aus Kapitel3 A.I Bestimmung der optimalen Lieferantenentschei dung ... opt durch Nullsetzen

3 Material und Methoden - webdoc.sub.gwdg.dewebdoc.sub.gwdg.de/ebook/diss/2003/fu-berlin/2001/192/Kapitel3.pdf · standene DNA-CTAB Komplex abzentrifugiert und erneut in 300 µ l

Kapitel 3: Wie man mit dem Rauchen aufhört-Kapitel3.pdf · Kapitel 3: Wie man mit dem Rauchen aufhört Gute Tipps zum Aufhören 1. Hören Sie mit der Schlusspunktmethode auf. Das

Algorithmen und Datenstrukturen (f ur ET/IT)campar.in.tum.de/files/teaching/2015ss/AuD/AuD-kapitel3.pdf · Beispiele f ur primitive Datentypen in C: int f ur ganze Zahlen ... 210

Der L1-L2-Vergleich topologischer Präpositionenwebdoc.sub.gwdg.de/ebook/ah/1999/aroui/Kapitel3.pdf · Präposition hat sowohl syntaktische als auch semantische Charaktereigenschaften,

Wo sind meine ganzen Werkzeuge? - pearson.ch · 36 Kapitel3 · Die(neue)OberflächeundersteSchritte Wo sind meine ganzen Werkzeuge? Kürzer kann man eine Standard-Werkzeugpalette

Beeinflussung der Wahrnehmung von Informationen im ...webdoc.sub.gwdg.de/ebook/diss/2003/fu-berlin/2001/183/kapitel3.pdf · 3 Beeinflussung der Wahrnehmung von Informationen im

3. Methoden und Experimentelles - GOEDOCwebdoc.sub.gwdg.de/ebook/diss/2003/fu-berlin/2003/12/Kapitel3.pdf · Da eine der drei Laue-Bedingungen in zwei Dimensionen wegfällt, erhält

opsi Version 4.1 Release Notes - download.uib.de · opsiVersion4.1ReleaseNotes 3/75 Kapitel3 WichtigeHinweise-UnbedingtBeachten opsi4.1isteineigenständigesRelease,welcheseigenePaketquellenmitbringt