Kräftepaar und Drehmoment -...

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Kräftepaar und Drehmoment

Vorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Kräftepaar und Drehmoment

KräftepaarDrehmomentGleichgewicht

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

3 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1

F2

F3

Kräfte mit parallelen Wirkungslinien, die nicht identisch sind.

⇒ Angriffspunkt der Resultierenden ?

F1 F2

F3

R

F1

F2

F3

R R

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4 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreKräftepaar

F1 F2 = -F1 F1 F1

R = 0

F1

F1

a

2 gleichgroße und entgegen gesetzt

gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien

⇒ Resultierende Kraft ist Null

⇒ Verdrehung des Körpers

Drehpunkt A

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5 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreKräftepaar

M A

Zwei Kräfte, die gleichgroß sind, entgegengesetzt gerichtet wirken und mit parallelen Wirkungslinien im Abstand a werden als Kräftepaar bezeichnet.

Die Resultierende solch eines Kräftepaares ist das Drehmoment M.Das Drehmoment M ist bestimmt durch:

die Größe der Kraft Fden Abstand a der Wirkungsliniena ist senkrecht zu den Wirkungslinienden Drehsinn (rechts drehend, links drehend)

a

F

A

F.

.

mit M = F · a

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6 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

Zur Berechnung des Drehmomentes wird ein Drehpunkt A festgelegt.

Der Abstand von der wirkenden Kraft zum Drehpunkt steht im rechten Winkel zur Wirkungslinie der Kraft.

F1

F2

A

M1

a1

M2

a2

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7 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1

F1

a

A

F1

F1

a

A

M = F1· a

M

F1

F1

a/2

A

M = 2 · F1· a/2

= F1· a

M

a/2

Das resultierende Drehmoment ist unabhängig vom Drehpunkt konstant

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8 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1 F2

F3

R = F1 – F2 – F3 = 0

F1

F2

F3

a a

M

Drehpunkt AResultierendes Drehmoment M

Vertikales Gleichgewicht

M = F1 · 2a – F2 · a – F3 · 0 = (2 F1– F2 ) · a

Einheit des Drehmoments: [kNm], [MNm]

Beispiel 1

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9 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1

F2

F3

Aa a

M

a

F1 F2

F3

Dreh-punkt

R = F1 – F2 – F3 = 0

Resultierendes Drehmoment M

Vertikales Gleichgewicht

Beispiel 2

Drehpunkt außerhalb des Körpers

M = F1 · 3a – F2 · 2a – F3 · a

M = F1 · 3a – F2 · 2a – (F1 + F2)· a = (2 F1 – F2) · a

F3 = F1 – F2

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10 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

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11 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

Hebelgesetz

M1 – M2 = 0

P1·a – P2·b = 0

P1·a = P2·b ⇒ P2 = P1·a/b

Resultierende Kraft P3 am Drehpunkt

P1 + P2 – P3 = 0

P3 = P1 + P2

M1 = P1 · a

M2 = P2 · b

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12 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

Hebelgesetz

⇒ x = 3/4 · a

Beispiel 3F2 = F3 = F1/2

M1 = F2 · a + F3 · 2a = 3/2 F1 · a

M2 = R · x

Resultierende Kraft R

F1

F2 F3

F1

F2

F3 R

R = F1 + F2 + F3 = 2 · F1

a a

x

R

A

Dreh-punkt A

M1 = M2

3/2F1·a = R·x

3/2F1·a = 2F1·x

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13 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1 F2

F3 F4Resultierende Kraft R

a a a a a

x RBeispiel 4

F3 = F4 = F1/2 = F2/2

HebelgesetzM1 = F1 · a + F2 · 2a + F3 · 3a + F4 · 4a = 13/2 · F1 · a

M2 = R · x

M1 = M2

13/2 · F1·a = R·x

13/2·F1·a = 3F1·x ⇒ x = 13/6 · a ~ 2,167 a

R = F1 + F2 + F3 + F4 = 3· F1

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14 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

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15 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

Drehpunkt Aa

b

H H

A1

A2

Resultierende Kraft A1

Hebelgesetz um Drehpunkt A

H · a - A2 · b = 0

A1 = A2 + H

A2 = H · a/b

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16 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht in der Ebene

Physikalisches Prinzip: actio = reactio

Vertikale Verschiebung Horizontale Verschiebung Verdrehung

VertikalesGleichgewicht

HorizontalesGleichgewicht

Momenten-gleichgewicht

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17 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Statik: das zu untersuchende System befindet sich in Ruhe

⇒ keine Bewegung

F1

F2F3RAnnahme: Masseloser Körper

Gesucht:

Betrag, Angriffspunkt und Richtung der Kraft, damit der Körper unter den einwirkenden Kräften in Ruhe ist (sich nicht bewegt)

Bedingung:

die Summe aller einwirkenden Kräfte ist Null !

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18 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Kräftegleichgewicht

F1

F2F3

F1F2

F3A = - R

Kräftepolygon ist geschlossen

Pfeile haben einen Umlaufsinn

A = - R

Die zum Gleichgewicht des Körpers erforderliche Kraft A entspricht dem Betrag der resultierenden Kraft R und ist zur resultierende Kraft R entgegengesetzt gerichtet

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19 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Momentengleichgewicht

Drehpunkt A

F1

M1 = F1 · h

h

a/2

F2

M2 = F2 · a/2

h

a/2 Drehpunkt A

Kein Kippen: M1 – M2 = 0

F2 = F1 · 2h/a

F1 · h - F2 · a/2 = 0

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20 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Überlegungen zum Kippen

HV

Kippen

H

V

H

V

R

RR

gerade nicht kippen

kein Kippen

a/2

h

a/2 a/2

h

a/2a/2

h

a/2

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21 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreZerlegen von Kräften

Kernsatz der Statik:

Findet jede an einem Körper wirkende Kraft eine gleich große Gegen-kraft und findet jedes Moment ein gleich großes Gegenmoment, so befindet sich der Körper in Ruhe.

Die Summe aller an ihm wirkenden Kräfte und Momente ist NULL.

Für ebene Systeme, bezogen auf des kartesische Koordinatensystemgilt somit:

Summe der Kräfte in X-Richtung ist Null Σ Fx = 0

Summe der Kräfte in Y-Richtung ist Null Σ Fy = 0

Summe der Momente ist Null Σ M = 0

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22 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Das Einhalten des Gleichgewichts ist die Grundlage zu:

der Bestimmung des Lastangriffspunktes von Resultierenden

der Bestimmung des Flächenschwerpunktes von Bauteilen

der Bestimmung der Schwerachsen von Bauteilen

der Berechnung der Auflagerreaktionen von Bauteilen

der Berechnung der inneren Beanspruchungen in Bauteilen

dem Nachweis der Standsicherheit von Tragwerken.

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23 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Gleichgewicht

Stabiles Gleichgewicht

indifferentes Gleichgewicht

labiles GleichgewichtZugelement (Pendel)

stabil

Druckstab (Stütze)

labil

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24 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Gleichgewicht

aD

aA

FD

FA

öffnen: FA · aA > FD ·aD

FD Gewicht der Hülle

FA Auftriebskraft