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Kräftepaar und Drehmoment

Vorlesung und Übungen1. Semester BA Architektur

Fachgebiet Bautechnologie

Tragkonstruktionen

2 02.11.2010 Dipl.-Ing. Kai HainleinDipl.-Ing. Stefan SanderProf. Dr.-Ing. Rosemarie Wagner

Statik- und Festigkeitslehre Kräftepaar und Drehmoment

KräftepaarDrehmomentGleichgewicht


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreDrehmoment

F1

F2

F3

Kräfte mit parallelen Wirkungslinien, die nicht identisch sind.

⇒ Angriffspunkt der Resultierenden ?

F1 F2

F3

R

F1

F2

F3

R R


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreKräftepaar

F1 F2 = -F1 F1 F1

R = 0

F1

F1

a

2 gleichgroße und entgegen gesetzt

gerichtete Kräfte mit parallelen Wirkungslinien

⇒ Resultierende Kraft ist Null

⇒ Verdrehung des Körpers

Drehpunkt A


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreKräftepaar

M A

Zwei Kräfte, die gleichgroß sind, entgegengesetzt gerichtet wirken und mit parallelen Wirkungslinien im Abstand a werden als Kräftepaar bezeichnet.

Die Resultierende solch eines Kräftepaares ist das Drehmoment M.Das Drehmoment M ist bestimmt durch:

die Größe der Kraft Fden Abstand a der Wirkungsliniena ist senkrecht zu den Wirkungslinienden Drehsinn (rechts drehend, links drehend)

a

F

A

F.

.

mit M = F · a


Tragkonstruktionen



Zur Berechnung des Drehmomentes wird ein Drehpunkt A festgelegt.

Der Abstand von der wirkenden Kraft zum Drehpunkt steht im rechten Winkel zur Wirkungslinie der Kraft.

F1

F2

A

M1

a1

M2

a2


Tragkonstruktionen



F1

F1

a

A

F1

F1

a

A

M = F1· a

M

F1

F1

a/2

A

M = 2 · F1· a/2

= F1· a

M

a/2

Das resultierende Drehmoment ist unabhängig vom Drehpunkt konstant


Tragkonstruktionen



F1 F2

F3

R = F1 – F2 – F3 = 0

F1

F2

F3

a a

M

Drehpunkt AResultierendes Drehmoment M

Vertikales Gleichgewicht

M = F1 · 2a – F2 · a – F3 · 0 = (2 F1– F2 ) · a

Einheit des Drehmoments: [kNm], [MNm]

Beispiel 1


Tragkonstruktionen



F1

F2

F3

Aa a

M

a

F1 F2

F3

Dreh-punkt

R = F1 – F2 – F3 = 0

Resultierendes Drehmoment M

Vertikales Gleichgewicht

Beispiel 2

Drehpunkt außerhalb des Körpers

M = F1 · 3a – F2 · 2a – F3 · a

M = F1 · 3a – F2 · 2a – (F1 + F2)· a = (2 F1 – F2) · a

F3 = F1 – F2


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen



Hebelgesetz

M1 – M2 = 0

P1·a – P2·b = 0

P1·a = P2·b ⇒ P2 = P1·a/b

Resultierende Kraft P3 am Drehpunkt

P1 + P2 – P3 = 0

P3 = P1 + P2

M1 = P1 · a

M2 = P2 · b


Tragkonstruktionen



Hebelgesetz

⇒ x = 3/4 · a

Beispiel 3F2 = F3 = F1/2

M1 = F2 · a + F3 · 2a = 3/2 F1 · a

M2 = R · x

Resultierende Kraft R

F1

F2 F3

F1

F2

F3 R

R = F1 + F2 + F3 = 2 · F1

a a

x

R

A

Dreh-punkt A

M1 = M2

3/2F1·a = R·x

3/2F1·a = 2F1·x


Tragkonstruktionen



F1 F2

F3 F4Resultierende Kraft R

a a a a a

x RBeispiel 4

F3 = F4 = F1/2 = F2/2

HebelgesetzM1 = F1 · a + F2 · 2a + F3 · 3a + F4 · 4a = 13/2 · F1 · a

M2 = R · x

M1 = M2

13/2 · F1·a = R·x

13/2·F1·a = 3F1·x ⇒ x = 13/6 · a ~ 2,167 a

R = F1 + F2 + F3 + F4 = 3· F1


Tragkonstruktionen




Tragkonstruktionen



Drehpunkt Aa

b

H H

A1

A2

Resultierende Kraft A1

Hebelgesetz um Drehpunkt A

H · a - A2 · b = 0

A1 = A2 + H

A2 = H · a/b


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht in der Ebene

Physikalisches Prinzip: actio = reactio

Vertikale Verschiebung Horizontale Verschiebung Verdrehung

VertikalesGleichgewicht

HorizontalesGleichgewicht

Momenten-gleichgewicht


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreGleichgewicht

Statik: das zu untersuchende System befindet sich in Ruhe

⇒ keine Bewegung

F1

F2F3RAnnahme: Masseloser Körper

Gesucht:

Betrag, Angriffspunkt und Richtung der Kraft, damit der Körper unter den einwirkenden Kräften in Ruhe ist (sich nicht bewegt)

Bedingung:

die Summe aller einwirkenden Kräfte ist Null !


Tragkonstruktionen



Kräftegleichgewicht

F1

F2F3

F1F2

F3A = - R

Kräftepolygon ist geschlossen

Pfeile haben einen Umlaufsinn

A = - R

Die zum Gleichgewicht des Körpers erforderliche Kraft A entspricht dem Betrag der resultierenden Kraft R und ist zur resultierende Kraft R entgegengesetzt gerichtet


Tragkonstruktionen



Momentengleichgewicht

Drehpunkt A

F1

M1 = F1 · h

h

a/2

F2

M2 = F2 · a/2

h

a/2 Drehpunkt A

Kein Kippen: M1 – M2 = 0

F2 = F1 · 2h/a

F1 · h - F2 · a/2 = 0


Tragkonstruktionen



Überlegungen zum Kippen

HV

Kippen

H

V

H

V

R

RR

gerade nicht kippen

kein Kippen

a/2

h

a/2 a/2

h

a/2a/2

h

a/2


Tragkonstruktionen


Statik- und FestigkeitslehreZerlegen von Kräften

Kernsatz der Statik:

Findet jede an einem Körper wirkende Kraft eine gleich große Gegen-kraft und findet jedes Moment ein gleich großes Gegenmoment, so befindet sich der Körper in Ruhe.

Die Summe aller an ihm wirkenden Kräfte und Momente ist NULL.

Für ebene Systeme, bezogen auf des kartesische Koordinatensystemgilt somit:

Summe der Kräfte in X-Richtung ist Null Σ Fx = 0

Summe der Kräfte in Y-Richtung ist Null Σ Fy = 0

Summe der Momente ist Null Σ M = 0


Tragkonstruktionen



Das Einhalten des Gleichgewichts ist die Grundlage zu:

der Bestimmung des Lastangriffspunktes von Resultierenden

der Bestimmung des Flächenschwerpunktes von Bauteilen

der Bestimmung der Schwerachsen von Bauteilen

der Berechnung der Auflagerreaktionen von Bauteilen

der Berechnung der inneren Beanspruchungen in Bauteilen

dem Nachweis der Standsicherheit von Tragwerken.


Tragkonstruktionen


Statik- und Festigkeitslehre Gleichgewicht

Stabiles Gleichgewicht

indifferentes Gleichgewicht

labiles GleichgewichtZugelement (Pendel)

stabil

Druckstab (Stütze)

labil


Tragkonstruktionen


Statik- und Festigkeitslehre Gleichgewicht

aD

aA

FD

FA

öffnen: FA · aA > FD ·aD

FD Gewicht der Hülle

FA Auftriebskraft

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