Kristian Bredies Uttendorf, 14. Februar 2005 · Yoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer...

Zentrum fur TechnomathematikFachbereich 03Mathematik / Informatik

Das Falten-und-Schneiden Problem

Kristian Bredies

Uttendorf, 14. Februar 2005

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InhaltEinleitung

OrigamiDas Falten-und-Schneiden Problem

Mathematische AnalyseFlaches OrigamiLokale EigenschaftenFaltbarkeit

Konstruktion einer L osungLokale FaltmusterZusammensetzen der Teillosungen

Literatur

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Origami – Die Kunst des Papierfaltens

Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.

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Origami – Die Kunst des Papierfaltens

Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.

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Origami – Die Kunst des Papierfaltens

Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.

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Origami – Die Kunst des Papierfaltens

Im klassischen Origami werden komplexe Figuren aus einemeinzigen quadratischen Blatt Papier gefaltet.

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Zur Geschichte des Origami

OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.

Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren

Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren

Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.

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Zur Geschichte des Origami

OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.

Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren

Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren

Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.

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Zur Geschichte des Origami

OrigamiAus den japanischen Worten oru – falten und kami – Papier.

Japan: 6. Jahrhundert; schriftliche Aufzeichnungen erstEnde 18. Jahrhundert; einfache Figuren

Spanien: 12. Jahrhundert; geometrische Figuren

Popular geworden als Kunstform erst ab 1950 durchYoshizawa Akira, ab dann Entwicklung komplexer Figuren.

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Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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Erweiterung: Falten und Schneiden

BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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BeobachtungZusammenfalten eines Blattes Papier und anschließendesDurchschneiden entlang einer Linie gibt ebene Figuren.

FrageLassen sich auf diese Weise beliebige polygonale Figurenerzeugen?

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Mathematische Analyse

Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:

I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;

Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]

I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,

Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]

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Mathematische Analyse

Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:

I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;

Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]

I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,

Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]

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Mathematische Analyse

Origami laßt sich mathematisch auf verschiedenen Ebenenuntersuchen. Zum Beispiel:

I Geometrische Konstruktion durch Papierfalten.I Formalisierung des Papierfaltens durch Huzitas Axiome;

Losung von Gleichungen dritten Grades damit moglich(Winkeldrittelung, Verdoppelung des Wurfelinhalts)[Huzita 1992]

I Graphentheoretische Untersuchung der Faltmuster.I Untersuchung der Faltmuster (Lokale Eigenschaften,

Faltbarkeit); Origamidesign durch Baume. [Hull 1994,Lang 1996]

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Mathematische Beschreibung

Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.

I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.

DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.

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Mathematische Beschreibung

Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.

I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.

DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.

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Mathematische Beschreibung

Praktische AnnahmeWenn man das Faltmuster einer Figurkennt, kann man sie auch falten.

I Identifizierung von fertig gefaltetenFiguren mit deren Faltmuster.

DefinitionEin Faltmuster (N, E , ϕ) sei gegeben durch einen endlichenplanaren Graphen (N, E) in [0, 1]2 und eine Winkelfunktionϕ : E → [−π, π]. Ist das Faltmuster faltbar, so definiert es einOrigami. Nimmt ϕ nur die Werte ±π an, so ist das Origamiflach.

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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.

Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.

Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:

|M − V | = 2 .

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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.

Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.

Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:

|M − V | = 2 .

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Lokale EigenschaftenSei (N, E , ϕ) ein flaches Origami. Wahle einn ∈ N im Inneren von [0, 1]2 und betrachtealle Kanten K ⊂ E , die mit n verbunden sind.

Eine Talfalte ist eine Kante k , mit ϕ(k) = π,eine Bergfalte eine Kante k mit ϕ(k) = −π.

Satz von MaekawaSei V die Anzahl der Talfalten und M die Anzahl derBergfalten. Dann gilt:

|M − V | = 2 .

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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

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Der Satz von Maekawa – BeweisBetrachte einen “hochgeklappten” Knoten imzusammengefaltetem Origami.

I Das Wegschneiden des Knotens enthulltein zusammengefaltetes Polygon.

I Tal- bzw. Bergfalten entsprechen innerenWinkel 2π bzw. 0, also ist derGesamtwinkel 2πV .

I Das Polygon ist ein M + V = n–Eck,d.h. der Gesamtwinkel ist (n − 2)π.Also folgt M − V = 2.

Analog folgt bei “heruntergeklappten” KnotenV −M = 2.

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Der Satz von Maekawa – Folgerungen

I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.

I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.

An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.

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Der Satz von Maekawa – Folgerungen

I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.

I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.

An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.

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Der Satz von Maekawa – Folgerungen

I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.

I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.

An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.

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Der Satz von Maekawa – Folgerungen

I Jeder innere Knoten hat eine geradeAnzahl von Kanten.Betrachtet man alle Randknoten alseinen Knoten, so gilt das auch furdiesen.

I Damit ist der Graph ein Euler-Graph.Also kann man die Flachen desGraphen zweifarben.

An einer Zweifarbung lassen sich dieSeiten im gefalteten Origamiidentifizieren.

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Der Satz von Kawasaki

Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt

α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .

Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also

α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich

α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .

Daraus folgt das Obige.

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Der Satz von Kawasaki

Bezeichne α1, . . . , α2n die sortierten Winkelzwischen den Kanten. Dann gilt

α1 + α3 + . . . α2n−1 = α2 + α4 + . . . + α2n = π .

Beweis.Im zusammengefalteten Origami wechselt beijeder Falte das Vorzeichen im Winkel, also

α1 − α2 + α3 − . . .− α2n = 0 und naturlich

α1 + α2 + α3 + . . . + α2n = 2π .

Daraus folgt das Obige.

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Faltbarkeit

I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.

I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.

I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.

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Faltbarkeit

I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.

I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.

I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.

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Faltbarkeit

I Man kann zeigen, daß die Aussage vom Satz vonKawasaki hinreichend fur lokale Faltbarkeit ist.

I Es existieren jedoch Faltmuster, die den Satzen vonMaekawa und Kawasaki genugen und nicht globalfaltbar sind.

I Fur Spezialfalle existieren Aussagen bezuglich globalerFaltbarkeit, der allgemeine Fall ist jedoch offen.

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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.

1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]

2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]

ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons

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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.

1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]

2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]

ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons

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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.

1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]

2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]

ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons

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Zuruck zum Falten-und-Schneiden ProblemEs existieren zwei Strategien fur die Losung des Problems.

1. “Strichmannchenkonstruktion”, erlaubt dasAusschneiden baumartiger Figuren. [Demaine, 1998]

2. Konstruktion durch Scheibenpackung, allgemeineLosung. [Demaine et. al, 2001]

ScheibenpackungsalgorithmusI Erstellen eines Drei- und VierecksgittersI Konstruktion von lokalen FaltmusternI Zuweisen der Berg- und TalfaltenI Verbreitern des Polygons

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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.

I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.

I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.

I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.

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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.

I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.

I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.

I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.

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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.

I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.

I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.

I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.

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Das Drei- und VierecksgitterBezeichne R den Rand des Papiersund P das auszuschneidenePolygon.

I Setze in jeden Eckpunkt von P(und R) eine Kreisscheibe, sodaß sich keine Scheibenuberschneiden.

I Fulle die Lucken so auf, daß sie3 oder 4 Kreisscheibenberuhren.

I Erstelle daraus ein Drei- undVierecksgitter.

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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

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Konstruktion lokaler FaltmusterIdeeFalte jedes Drei- und Viereck so, daß deren Rand auf einerLinie liegt.

I Jede entsprechende Falte mußsenkrecht auf dem Rand stehen.

I Randknoten mussen zum Gitterpassen.

I Der Satz von Kawasaki soll erfulltsein.

Ergibt sich durch die Schnitte der Kreisemit P.

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Lokale FaltmusterKonstruktion anhand der KreiseDreiecke:

Vierecke:

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Vierecke:

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Wie ergibt dies das Gewunschte?

I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.

I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach

obenI Außerhalb von P zeigt nach

unten

I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.

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Wie ergibt dies das Gewunschte?

I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.

I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach

obenI Außerhalb von P zeigt nach

unten

I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.

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Wie ergibt dies das Gewunschte?

I Die “Molekule” lassen sich nachoben oder unten falten.

I Falte sie also so, daß:I Innerhalb von P zeigt nach

obenI Außerhalb von P zeigt nach

unten

I P selbst wird nicht gefaltet undergibt eine Linie.

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:

I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Kann man dies uberhaupt falten?

Faltungsalgorithmus:I Erstelle Kantenbaum TE

I Jeder inneren Knoten erreichbarI Keine Kanten aus PI Wurzel auf dem Rand

I Konstruiere dualen Molekulbaum TM

I Schneide entlang TE

I Falte entlang TM (vorwarts) und klebeentlang TE (ruckwarts) wiederzusammen

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Der letzte Schliff

Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.

I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.

Jetzt kann man Falten und Schneiden.

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Der letzte Schliff

Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.

I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.

Jetzt kann man Falten und Schneiden.

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Der letzte Schliff

Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.

I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.

Jetzt kann man Falten und Schneiden.

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Der letzte Schliff

Bei dem jetzigen Muster landet P zwar auf einer Linie, alleinneren Kanten beruhren sie jedoch.

I Verbreitert man P so, daß alle Merkmale erhaltenbleiben, dann landen die inneren Kanten wirklich ober-und unterhalb der Schnittlinie.

Jetzt kann man Falten und Schneiden.

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Literatur

I Thomas Hull. On the mathematics of flat origamis.Congressus Numerantium 100 (1994) 215–224.

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