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Lineare Gleichungssysteme (LGS)rechnerisch lösen - Teil IV
x
y
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6Löse das lineare
Gleichungssystem!
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
Das geht bei diesem linearen
Gleichungssystem schneller!
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
Es gibt nämlich neben dem Gleichsetzungsverfahren
noch ein weiteres Verfahren zum Lösen eines
LGS.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
Wie dieses funktioniert, wollen wir uns heute gemeinsam
anschauen!
Beginnen wir, wie schon beim Gleichsetzungsverfahren, mit
zwei Waagen, die sich im Gleichgewicht befinden.
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg
Baue mit allen Gewichten aus diesen beiden Waagen eine dritte Waage, die sich ebenfalls im Gleichgewicht
befindet.
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg
Baue mit allen Gewichten aus diesen beiden Waagen eine dritte Waage, die sich ebenfalls im Gleichgewicht
befindet.
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
Überprüfen wir die Waagen, indem wir
annehmen, dass Kugeln und Klötzchen folgendes
Gewicht besitzen:
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
4 kg=
= 2 kg
Die Seiten der Waagschalen der beiden Ausgangswaagen hätten
folgende Gewichte zu tragen:
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
4 kg=
= 2 kg
Die Seiten der Waagschalen der beiden Ausgangswaagen hätten
folgende Gewichte zu tragen:
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
4 kg=
= 2 kg
8 kg 8 kg
10 kg 10 kg
Bei unserer neuen Waage würde es wie
folgt aussehen:
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
4 kg=
= 2 kg
8 kg 8 kg
10 kg 10 kg
Bei unserer neuen Waage würde es wie
folgt aussehen:
6 kg
6 kg 4 kg4 kg
4 kg6 kg
4 kg
4 kg 6 kg
4 kg=
= 2 kg
8 kg 8 kg
10 kg 10 kg
18 kg 18 kg
4 kg6 kg4 kg 6 kg
18 kg 18 kg
Addiert man die Gewichte zweier Waagen, die sich im Gleichgewicht befinden, auf
jeder Seite, so entstehtwiederum eine Waage, die sich
im Gleichgewicht befindet!
Was bringt uns das nun bei unserer
Einstiegsaufgabe?
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y + (– 3y) = 15 + 6
Addieren wir einfach beide Seiten der Gleichung und
schauen, was passiert.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y + (– 3y) = 15 + 6
Vereinfachen wir die Rechen- und Vorzeichen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 6
Vereinfachen wir die Rechen- und Vorzeichen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21
Und siehe da, wir haben wieder eine Gleichung
mit nur einen Unbekannten (x).
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21
Lösen wir diese durch Äquivalenz-
umformungen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
Lösen wir diese durch Äquivalenz-
umformungen
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
Und da ist unsere erste Variable!
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
Den Rest kennen wir schon vom
Gleichsetzungsverfahren.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
Setzen wir die x-Koordinate in die
erste ODER zweite Gleichung ein.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 15
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 15 | - 12
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
| - 12
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
| - 12 | : 3
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Da ist die y –Koordinate
unseres Schnittpunkts.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Wie immer dürfen wir die Angabe der
Lösungsmenge nicht vergessen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Wie immer dürfen wir die Angabe der
Lösungsmenge nicht vergessen.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Da wir beide Gleichungen zu Beginn addiert haben, spricht
man vom
Additionsverfahren!
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Die Frage ist nun, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit wir das Additionsverfahren
anwenden können.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Betrachten wir nochmals unseren Lösungsweg,
dann wird es bestimmt klar.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Voraussetzung Nr. 1 ist, dass gleiche Terme (x, y,
Zahl) und das Gleichheitszeichen
untereinander stehen.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Ziel der Addition ist nun (wie beim
Gleichsetzungsverfahren auch), dass eine Variable
oder ihr Vielfaches herausfällt.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Damit dies geschehen kann, muss eine Variable oder ihr
Vielfaches in einer Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Fassen wir nochmals zusammen:
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer
Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
3. Terme der linken und rechten Seite
addieren.
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer
Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
3. Terme der linken und rechten Seite
addieren.
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer
Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
4. Gleichung lösen und erste Variable
bestimmen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
4. Gleichung lösen und erste Variable
bestimmen.
3. Terme der linken und rechten Seite
addieren.
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer
Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
5. Erste Variable in Gleichung I oder II
ersetzen und zweite Variable berechnen.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
L = {( 3 | 1 )}
3. Terme der linken und rechten Seite
addieren.
1. Gleiche Terme müssen untereinander
stehen.
2. Eine Variable oder ihr Vielfaches muss in einer
Gleichung ein positives und in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzen.
5. Erste Variable in Gleichung I oder II
ersetzen und zweite Variable berechnen.
6. Lösungsmenge angeben.
4. Gleichung lösen und erste Variable
bestimmen.
6 kg
6 kg
Jetzt bist du an der Reihe! Löse die Aufgabe
genauso wie die Musteraufgabe mit dem
Additionsverfahren in deinem Heft!
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33
6 kg
6 kg
Die gleichen Variablen, die Zahlen und die Gleichheitszeichen
stehen schon einmal untereinander.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33
6 kg
6 kg
Jetzt brauchen wir nur noch das gleiche Vielfache einer Variablen mit
unterschiedlichem Vorzeichen.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33
6 kg
6 kg
Ich entscheide mich für die Variable y, da hier die Vorzeichen schon unterschiedlich sind. Auch x wäre natürlich
möglich.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33
6 kg
6 kg
Ich entscheide mich für die Variable y, da hier die Vorzeichen schon unterschiedlich sind. Auch x wäre natürlich
möglich.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3
6 kg
6 kg
Und schon können wir addieren, denn y wird sich dabei auflösen.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99
6 kg
6 kg
Und schon können wir addieren, denn y wird sich dabei auflösen.
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115
Berechnen wir also den x – Wert unseres
Schnittpunkts.
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
Setzen wir den x-Wert in Gleichung I oder II ein. Ich nehme Gleichung II.
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
x in II 6 ∙ 5 + y = 33
Setzen wir den x-Wert in Gleichung I oder II ein. Ich nehme Gleichung II.
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
x in II 6 ∙ 5 + y = 33
Berechnen wir die y-Koordinate.
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33 |-30
6 kg
6 kg
Musteraufgabe
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
L = {( 3 | 1 )}
I 5x - 3y = 16II 6x + y = 33 |∙ 3I 5x - 3y = 16II‘ 18x +3y = 99 I + II‘ 5x + 18x – 3y + 3y = 16 + 99
23x = 115 |:23x = 5
x in II 6 ∙ 5 + y = 3330 + y = 33 |-30
y = 3
Noch die Lösungsmenge und das war‘s.
L = {( 5| 3 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Vergleichen wir nochmals das Additions-
mit dem Gleichsetzungsverfahren.
L = {( 3 | 1 )}
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Wichtig ist, dass beide Verfahren zur Berechnung
des gemeinsamen Schnittpunkts verwendet
werden können.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
L = {(3 | 1)}
ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Das Gleichsetzungsverfahren bietet sich immer dann an, wenn auf einer Seite der
Gleichung die gleiche Variable oder ihr gleiches
Vielfaches steht.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
L = {(3 | 1)}
ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Das Additionsverfahren bietet sich immer dann an,
wenn das Gleichheitszeichen, die
Variablen und die Zahlen untereinander stehen….
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
L = {(3 | 1)}
ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
… und wenn die Variableoder ihr Vielfaches in einer Gleichung ein positives und
in der anderen Gleichung ein negatives Vorzeichen
besitzt.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
L = {(3 | 1)}
ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
I + II
4x + 3x + 3y – 3y = 15 + 67x = 21 |:7
x = 3
x in I4 ∙ 3 + 3y = 15
12 + 3y = 153y = 3
y = 1
| - 12 | : 3
Manchmal ist das Additionsverfahren
geschickter, manchmal das Gleichsetzungsverfahren.
I 4x + 3y = 15II 3x – 3y = 6
| - 3y| + 3y
I‘ 4x = 15 – 3yII‘ 3x = 6 + 3y
| ∙ 3| ∙ 4
I‘‘ 12x = 45 – 9yII‘‘ 12x = 24 + 12yI‘‘=II‘‘
45 – 9y = 24 + 12y45 = 24 + 21y21 = 21y
y = 1
| + 9y| - 24| : 21
y in I‘4x = 15 – 3 ∙ 14x = 12
x = 3
| : 4
L = {(3 | 1)}
L = {(3 | 1)}
ADDITIONSVERFAHREN Gleichsetzungsverfahren
I y = 2x + 1II y = -x + 10
Machen wir ein kleines Spiel. Additions-,
Gleichsetzungsverfahren oder beides, das ist hier die
Frage!
I 2x – y = 4II 3x + y = 1
I y = 3x - 15II 2y = x + 10
I 3y + x = -1II y = x + 3
I 2x – 3 = yII 3x + 2 = 2y
I 13x - 2y = 20II 2x + y = 7
I 3x + 4y = 21II 2x + 2y = 13
I 3x + 5y = -30II 5x - 3y = 120
Gleichsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Additionsverfahren
Additionsverfahren Additionsverfahren
Additionsverfahren
I y = 2x + 1II y = -x + 10
I 2x – y = 4II 3x + y = 1
I y = 3x - 15II 2y = x + 10
I 3y + x = -1II y = x + 3
I 2x – 3 = yII 3x + 2 = 2y
I 13x - 2y = 20II 2x + y = 7
I 3x + 4y = 21II 2x + 2y = 13
I 3x + 5y = -30II 5x - 3y = 120
Gleichsetzungsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Gleichsetzungsverfahrenoder
Additionsverfahren
Additionsverfahren
Additionsverfahren Additionsverfahren
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