View
103
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Methoden derPsychologie
Multivariate Analysemethodenund
Multivariates Testen
Günter MeinhardtJohannes Gutenberg Universität Mainz
21.04.2008
Methoden derPsychologie
Vorlesung
Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen
Verfahrensdarstellung in
• Überblick • Grundprinzip• wichtigsten mathematischen Beziehungen• Anwendungsbeispielen
Übung + TutMalte Persike / Franziska Schmidt (Do 18-20, R3-428)
• Vertiefung mit Anwendungsbeispielen• Aufgabenbearbeitung mit Excel - Project File
Prüfung Kenntnisse aus WS2007/08 & SS2008
• Freischussklausur: 18.07.2008• Abschlussklausur: 2.- 3. Oktoberwoche 2008
Methoden derPsychologie
Einführung
Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen
Prinzipien des inferenzstatistischen Schliessens
• Konfidenzintervalle • multivariate Mittelwertsvergleiche• multivariate Varianzanalyse (MANOVA)Verfahren • Diskriminanzanalyse• ANOVA/MANOVA, Hotelling‘s T2
• statistische Entscheidungslehre
Versuchspläne
Typische Designs aus• Allgemeine Experimentelle Psy. • Klinische Psy. • AOW
Ziele • Wissen über statistische Verfahren• Wissen über Untersuchungsstrategien• Umsetzung mit Software
Methoden derPsychologie
Literatura) b)
c) d)
Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen
Johnson/Wichern Backhaus
Bortz Winer
Methoden derPsychologie
Problem
Frage
Anzahl der gefundenen Zielelemente in einem Konzentrationsleistungstest
(metrisch)
Gruppierungsvariable Messgröße
Geschlecht
M J
Univariate Mittelwertevergleiche - Problemstellung
x
Unterscheidet sich die Leistung von Mädchen und Jungenim statistischen Mittelwert ?
Beispiel
Methoden derPsychologie
Stichprobe
Frage
Wir untersuchen 40 Mädchen und 45 Jungen
Univariate Mittelwertevergleiche - Problemstellung
Gibt es wirkliche Leistungsunterschiede zwischen Jungen und Mädchen, oder ist der gefundene Unterschied „rein zufällig“ ?
Beispieldaten
23.7 17.2
Geschlecht
M J
Mx Jx M Jx x x
23.7 – 17.2 = 6.5
Methoden derPsychologie
Strategie
Urteil
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für den beobachtetenMittelwertsunterschied unter der Annahme, dass beide Gruppen in der Population denselben Mittelwert besitzen
Univariate Mittelwertevergleiche - Prüfstrategie
Ist der beobachtete Mittelwertsunterschied unter der H0 sehr unwahrscheinlich (höchstens 5%), so lehnen wir die H0 ab, und sehen die H1 als die bessere Alternative an.
Annahme
0 : J MH
Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich
Null-HypotheseAlternativ-Hypothese 1 : J MH
Methoden derPsychologie
Theoretische Verteilung – Sampling Distribution
Sampling
Population der Jungen
Stichprobe des Umfangs NJ
Jx
Population der Mädchen
Stichprobe des Umfangs NM
Mx
Mittelwertsdifferenz
M Jx x x
1 1 1M Jx x x
2 2 2M Jx x x Tue dies k - mal:
k Mk Jkx x x
1 2 i kx x x x Verteilung der Differenzen von Mittelwerten
Methoden derPsychologie
Central LimitTheorem
Die Verteilung von Differenzen von Mittelwerten nähert sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung. Für N > 30 ist die Approximation gut.
0.00
0.05
0.10
Wah
rsch
ein
lich
keit
sdic
hte
x
f x
x
Es gilt:
Theoretische Verteilung – Sampling Distribution
xx x x
x
0x
(wird geschätzt)
In der theoretischen Verteilung der Differenzen von Mittel-werten wird die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vorge-nommen. Sie liegt dem inferenzstatistischen Schluss zugrunde.
Inferenzstat.Schluss
Methoden derPsychologie
Sampling Distribution – Bestimmung des Standardfehlers
Unabhängigkeit
Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV:
2 2M J
xM JN N
Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population2 2 2M J
Gleichheit derPopulations-varianz
2 1 1x
M JN N
Standardfehler
Methoden derPsychologie
Sampling Distribution – Schätzung des Standardfehlers
Für die Populationsvarianz verwendet man eine Schätzung aus den Daten beider Stichproben:
2 22ˆ
2M M J J M J
M J M J
N s N s SAQ SAQ
N N df df
wobei und die Stichprobenvarianzen sind2Ms 2
Js
2 2 1 1ˆ
2M M J J
xM J M J
N s N s
N N N N
Dann gilt
Schätzung aus Stichproben
“Pooling”
(Beste Schätzung des Standardfehlers aus Stichprobendaten)
Schätzformel
Methoden derPsychologie
Normalverteilung – z –Standardnormalverteilung
20 30 40 50 60 70 800.00
0.05
0.10
Wa
hrs
che
inlic
hke
itsd
ich
te
x
x xz
s
Wa
hrs
che
inlic
hke
itsd
ich
te
-3 -2 -1 0 1 2 30.00
0.05
0.10
f (z)
1z
zx
Normalverteilung Standard-Normalverteilung
Die z- Transformation übersetzt die Rohdatenskala in die Standardskala( z = 0, z = 1)
_
x_
z_
f (x)
Methoden derPsychologie
Sampling Distribution – Prüfgrösse
z- Skala der Differenzen von Mittelwerten
x
x
xz
Unter der H0 gilt 0x
Dann gilt:Prüfgrösse
x
xz
ist standardnormalverteilt
[ ] z0 1 22 1
0 x x 2 x 2 x [ ] xTransformatio
n
Methoden derPsychologie
Entscheidung über Prüfgrösse mit Standardnormalverteilung
f t
-4 -2 2 4
0.1
0.2
t0
2.5%2.5%
95%x
xz
Prüfgrösse
Testen zum Signifikanzniveau : Ist |z| > z1-/2?
0.05 Signifikanzniveau
1 /2P z z
1 /2z 1 /2z Annahmebereich
1 /2z z Ablehnungsbereich
1 /2z z Ablehnungsbereich
1 /2z z
Methoden derPsychologie
Entscheidung über Signifikanz des Mittelwerteunterschieds
1. Prüfgrösse Berechnex
xz
A. Gilt |z| > z1-/2 Ablehnung von H0
(die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden)
Ermittle kritischen z - Wert z1-/2für ein Fehlerniveau2. Kritischer z - Wert
3. Entscheide
(die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich zufällig)
B. Gilt |z| < z1-/2 Beibehalten von H0_
Methoden derPsychologie
Numerisches Beispiel
Differenz der Mittelwerte
23.7 17.2
173 106
Mx Jx M Jx x x
23.7 – 17.2 = 6.52Ms 2
Js
40 173 45 106 1 1ˆ 2.58
40 45 2 40 45x
Standardfehler
Prüfgrösse undKritischer Wert
6.52.52
2.58z z1-/2 = z0.975 = 1.96
Entscheidung d.h. |z| > z1-/22.52 > 1.96 H0 ablehnen
Die Mittelwerte entstammen nicht derselben Population(unterscheiden sich signifikant)
Methoden derPsychologie
Voraussetzungen der Prüfung
Varianz-homogenität
Unabhängigkeit
Verletzungen
a. Die Populationsvarianzen die beiden Stichproben zu Grunde liegen, müssen gleich (homogen) sein.
(Prüfung mit geignetem Verfahren)
b. Die Messeinheiten innerhalb jeder Stichprobe müssen unabhängig sein.c. Die Messeinheiten beider Stichproben dürfen nicht teilweise paarweise zuzuordnen sein.
Der Test ist relativ robust gegen Verletzungen der Varianzhomogenität. Verletzungen der Unabhängigkeit(b.) führen zur Ungültigkeit der Prüfgrösse, der Unab-hängigkeit (c.) je nach Höhe der Korrelationen zu progressiven (kleine Korr.) oder zu konservativen Entscheidungen (hohe Korr.).
Methoden derPsychologie
Mittelwertsprüfung bei mehreren Variablen
Beispiel
X1: Gehalt
X2: EntscheidungsfreiheitX3: Qualität der Kommunikation
Arbeit
X4: Ehe
X5: Freunde/BeziehungenX6: Sexualität
Privatsphäre
X7: Lebensansprüche
X8: Sinnhaftigkeit
Person
X9: Hobbies
X10: Sport/Fitness
Aktivität
( )1 2 10, , ,x x xK
Lebenszufriedenheit
Gesunde Herzinfarktpatienten
10 Variablen
2 Gruppen
Methoden derPsychologie
Multivariate Mittelwertsvergleiche - Einzeltestungen
Teststrategie
Ausweg
Frage Unterscheiden sich Gesunde und Patienten im Variablen-komplex Lebenszufriedenheit?
Wir testen auf jeder der 10 Skalen den Gruppenunterschied mit einem t- Test. Wenn irgend einer der Tests signifikantwird, sehen wir die Gruppen als verschieden an.Probleme 1. Multiples Testen: Dieselbe Hypothese wird 10 mal geprüft.
2. Unterstellte Unabhängigkeit: Man behandelt die einzelnen Skalen als unabhängig voneinander.
3. Fehlendes Konstrukt: Lebenszufriendenheit wird nicht alsVariablenkomplex mit Binnenstruktur behandelt.
4. Mangelnde Teststärke: Man nutzt nicht die Korrelations-struktur der Variablen für einen leistungsfähigen Test.
Verwendung eines multivariaten Tests, der die Information aller 10 Variablen und ihrer Korrelationsstruktur in eine statistische Prüfgrösse einfliessen lässt.
Methoden derPsychologie
Einzeltestungen - Bonferronikorrektur
Fehler Kumulierung
Overall
Bei simultanen Einzeltestungen „kumuliert“ sich das – Risiko:
BonferroniApproximation
1/ˆ1 1
ˆ
m
m
Setzt man das overall -Niveau fest und löst nach auf, folgt ̂
1 2
ˆ mind. 1 falsch 1 keinen 1 falsch
1
1 1 1 1
1 1
m
m
P P
P T T T
Um alle m Tests auf einem konventionellen Alpha Niveau abzusichern, muss dieses durch die Anzahl der Tests geteilt werden. Bei 10 Tests muss man für ein overall Alpha= 5% ein Test-Alpha von 0.5% verwenden.
Methoden derPsychologie
Multivariate Mittelwertsvergleiche - Verfahren
MultivariatesTestkonstrukt
Variablen-komplex
Verfahren
( )1 2 10, , ,x x xK
Multivariate Distanz(Mahalanobisdistanz)
Multivariate Quadratsummen(SSCP-Matrizen-Zerlegung)
Optimale Linearkombination(Linear Discriminant Function)
Hotelling‘s T2 MANOVA Diskriminanz-Analyse
Alle Verfahren entscheiden über den Gruppenunterschied imgesamten Variablenkomplex mit einem statistischen Test
Methoden derPsychologie
Grundprinzip(2 Gruppen)
Multivariates Testen - Diskriminanzanalyse
( )1 2, , , mx x xKFür die m Variablen
finde eine Linearkombination zu einer neuen Variable
0 1 1 2 2 m my b b x b x b x= + + + +K
so dass diese die Gruppen c1 und c2 optimal trennt.
Das Optimierungskriterium für die Wahl der bj lautet
erklärte Variationmax
nicht erklärte VariationBetween
Within
QS
QS
Die der bj sind so zu wählen, dass auf der neuen Variable y die Streuung zwischen den Gruppen zu der Streuung innerhalb der Gruppen ein maximales Verhältnis hat.
Kriterium derOptimierung
Methoden derPsychologie
2D-Beispiel Man möchte trennen
anhand von
Anforderung
2D BeispielDiskriminanzanalyse
Stechmückenc1
Blindmückenc2
Fühlerlänge
x1
2 Gruppen
2 Variablen Flügellänge
x2
• Maximale Gruppentrennung (Mittelwerte)• Minimale Klassifikationsfehler (Fall-Klassifikation)
Methoden derPsychologie
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
(Fühlerlänge)
Blindmücke
Stechmücke
Variablenraum
• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2) möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).
• In beiden Gruppen existiert eine Korrelation der Variablen Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2).
Ausgangslage
2D BeispielDiskriminanzanalyse
x1
(Flügelänge)
x2
Regression Stechmücke
Regression Blindmücke
Methoden derPsychologie
Bestes Kriterium auf x1
Blindmücke
Stechmücke
• Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X1) und Flügellänge (X2) möglichst eindeutig in Stechmücke (c1) und Blindmücke (c2).
• Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X1
und X2 offenbar nicht.
Problem
2D BeispielDiskriminanzanalyse
x1
x2
Bestes Kriterium auf x2
Variablenraum
Methoden derPsychologie
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
1.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
(Fühlerlänge)
Blindmücke
Stechmücke
Variablenraum
2D BeispielDiskriminanzanalyse
x1
(Flügelänge)
x2
Kriteriumsfunktion
Lösung Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c1), unterhalb Blindmücke (c2).
2 1x b ax Somit folgt die Klassifikationsfunktion
1 2 11 2
2 2 1
, wenn ,
, wenn
c x ax bg x x
c x ax b
Methoden derPsychologie
Einfache Lösung
2D BeispielDiskriminanzanalyse
Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel drehen !
x1
1x
2xx2
Zentrierung &Rotation !
Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x‘1 maximiert, und x‘2 steht senkrecht x‘1. Eine Parallele zu x‘2 liefert das optimale Trennkriterium.
Methoden derPsychologie
z-Standard
2D BeispielDiskriminanzanalyse
standardisiert
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
z1
z2
Methoden derPsychologie
z-Standard
2D BeispielDiskriminanzanalyse
Diskriminanz-funktion
• Die neue x- Achse z1‘ ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßt sich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden.
1 1 1 2 2z b z b z
• Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten:
-3.00
-2.00
-1.00
0.00
1.00
2.00
3.00
-3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00
z‘1
z‘2
Koordinaten rotiert um = 46° (clockwise)
Methoden derPsychologie
y: Linear-kombination
2D BeispielDiskriminanzanalyse
Koeffizientenvon y
Das Auffinden der Koeffizienten b1 und b2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems.
y (Diskriminanzfunktion)
Kriterium y0
blindstech
1 1
2 2
cos sin
sin cos
z z
z z
1 2 1
1 2 2
cos sin
sin cos
z z z
z z z
Da 1y z gilt
1 1 2 2y b z b z
mit 1 cosb und 2 sinb
[Excel-Beispiel]
Methoden derPsychologie
Rotation zury - Funktion
2D BeispielDiskriminanzanalyse
y (Diskriminanzfunktion)
z1
z2
Klassifikation • Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y0. • Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y.
y (Diskriminanzfunktion)
Kriterium y0
blind
stech
Recommended